湖北省武汉市洪山实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份湖北省武汉市洪山实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2022年卡塔尔世界杯是自1930年以来举办的第22届世界杯，历届世界杯可谓各具特色，会徽设计也蕴含了不同的文化．下列世界杯会徽的图案中，属于轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. a3⋅a2=a6B. a7÷a3=a4
C. (−3a)2=−6a2D. (a−1)2=a2−1
3. 若分式x2−1x−1的值为零，则x的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
4. 如图，△ABC和△DEF中，∠C=∠E=90°，∠B=∠D，再添加一个条件仍无法判断两个三角形全等的是( )
A. ∠A=∠FB. BC=DEC. AB=FDD. AC=FE
5. 已知多项式x2+4x+k2是一个完全平方式，则k的值为( )
A. 2B. 4C. 2或−2D. 4或−4
6. 下列变形中，正确的是( )
A. a+ba2+b2=1a+bB. x−yx+y=−x+yx+y
C. a−1a+1=a+1a−1D. x−+y=10x−3y3x+10y
7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的52倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是( )
A. 800x+2=52×800x−1B. 800x−2=52×800x+1
C. 800x−1=52×800x+2D. 800x+1=52×800x−2
8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC.则下列等式成立的是( )
A. BD=3DC
B. AD=2DC
C. AB=4DC
D. BD=2AC
9. 如图，大正方形的边长均为a，图(1)中白色小正方形的边长为b，图(2)中白色长方形的宽为b，设m=图(1)中阴影部分面积图(2)中阴影部分面积(a>b>0)，则m的取值范围为( )
A. m>2B. 110. 关于x的方程ax+1x−2=−1的解是正数，则a的取值范围是( )
A. a>1B. a>−1且a≠−12
C. a>−1且a≠2D. a≠2
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. “奥密克戎”病毒的直径为0.00000011米，0.00000011用科学记数法表示为______．
12. 已知等腰三角形的一边长等于4cm，一边长等于9cm，它的周长为______．
13. 分式方程2x2−1=−1x−1的解是 ．
14. 如图，有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类若干张，如果用A、B、C三类卡片拼成一个边长为(2a+3b)的正方形，则需要C类卡片______张．
15. 已知(a2+b2+3)(a2+b2−3)=7，ab=3，则(a+b)2= ．
16. 如图，等边△ABC中，BF是AC边上中线，点D为BF上一动点，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，则∠CFE的大小是______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)计算：
(1)2x3y2⋅(−2xy2z)2； (2)(4x3y−8xy3)÷2xy．
18. (本小题8.0分)因式分解：
(1)x3−9x； (2)x2y+2xy+y．
19. (本小题8.0分)
如图，点C是线段AB的中点，∠B=∠ACD，AD//CE.求证：△ACD≌△CBE．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(3a+1−a+1)÷a2−4a2+2a+1，其中a=32．
21. (本小题8.0分)
如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．
(1)在图1中，作AC边上的高线BD；
(2)若AC=5，则BD=______；
(3)在图1中，AB上找一点E，连接CE，使得S△CAE=S△CBE；
(4)在图2中，F点是BC与网格线交点，试画出一点G，使得∠BGF=45°．
22. (本小题10.0分)
某单位在疫情期间用3000元购进A、B两种口罩1100个，购买A种口罩与购买B种口罩的费用相同，且A种口罩的单价是B种口罩单价的1.2倍；
(1)求A，B两种口罩的单价各是多少元？
(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种口罩共2600个，已知A、B两种口罩的进价不变，求A种口罩最多能购进多少个？
23. (本小题10分)在等边△ABC中，点E，F分别在边AB，BC上．
(1)如图1，若AE=BF，以AC为边作等边△ACD，AF交CE于点O，连接OD．
求证：①AF=CE；
②OD平分∠AOC；
(2)如图2，若AE=2CF，作∠BCP=∠AEC，CP交AF的延长线于点P，求证：CE=CP．
24. (本小题12分)如图，点A在y轴上，点B在x轴上，点C(a,b)在第三象限，AC⊥AB，AC=AB，若a，b满足a2+4a+b2+6b+13=0．

(1)如图1，求点A，B的坐标；
(2)D为x轴上一点，过点A作AE⊥AD且AE=AD(A,D,E三点按顺时针方向排列)，连接EC，写出线段EC，OB，OD之间的数量关系的所有情况，并选择其中一种加以证明；
(3)如图2，将直线AB平移，与x，y轴分别交于点M，N，在过点C且与x轴垂直的直线上存在点P，使得△MNP为等腰直角三角形(MN为直角边)，请直接写出所有符合条件的点P的坐标．
答案和解析
1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.A 9.B
9.【解析】解：图(1)的阴影部分的面积为：a2−b2，
图(2)的阴影部分的面积为：a2−ab，
∴m=a2−b2a2−ab
=(a−b)(a+b)a(a−b)
=a+ba
=1+ba，
∵a>b>0，
∴1<1+ba<2，
10.B
【解析】解：去分母得：(a+1)x=1，
∴a+1>0，
且1a+1≠2，
∴a>−1且a≠−12．
故选：B．
11.1.1×10−7 12.22cm 13.x=−3 14.12 15.10
16.90°
【解析】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∵AF=CF，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，
∴点E在射线CE上运动(∠ACE=30°)，
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM是等边三角形，
∵AF=CF，
∴FM⊥AC，
∴∠CFE′=90°，
故答案为：90°．
17.解：(1)原式=2x3y2⋅4x2y4z2 =8x5y6z2；
(2)原式=4x3y÷2xy−8xy3÷2xy =2x2−4y2．
18.解：(1)x3−9x
=x(x2−9)
=x(x+3)(x−3)；
(2)x2y+2xy+y
=y(x2+2x+1)
=y(x+1)2．
19.证明：∵点C是AB的中点，∴AC=CB，
∵AD/​/CE，∴∠A=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∠A=∠BCEAC=CB∠ACD=∠B ∴△ACD≌△CBE(ASA)．
20.解：(3a+1−a+1)÷a2−4a2+2a+1
=[3a+1−(a−1)]÷(a+2)(a−2)(a+1)2
=3−(a−1)(a+1)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=−a2+4a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=−(a+2)(a−2)a+1⋅(a+1)2(a+2)(a−2)
=−(a+1)
=−a−1，
当a=32时，原式=−32−1=−52．
21.【解析】解：(1)如图1，高线BD即为所求；
(2)∵AC=32+42=5，
又∵12⋅AC⋅BD=4×4−12×1×3−12×3×4−12×1×4，
∴BD=135．
故答案为：135
(3)如图1，线段CE即为所求；
(4)如图2，点G即为所求(作出一个点G即可)．
22.解：(1)设B口罩的单价为x元/个，则A口罩单价为1.2x元/个，根据题意，得：
1500x+15001.2x=1100，
解得：x=2.5，
经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意，
则1.2x=3．
答：A口罩单价为3元/个，B口罩单价为2.5元/个．
(2)设购进A口罩m个，则购进B口罩(2600−m)个，
依题意，得：3m+2.5(2600−m)≤7000，
解得：m≤1000．
答：A种口罩最多能购进1000个．
23.(1)证明：①如图1中，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠BAC=60°，
∵AE=BF，
∴△ABF≌△CAE(SAS)，
∴AF=EC．
②如图1中，∵△ABF≌△CAE，
∴∠BAF=∠ACE，
∵∠AOE=∠OAC+∠ACO=∠OCA+∠BAF=∠BAC=60°，
又∵△ACD是等边三角形，
∴∠ADC=∠DAC=∠DCA=60°，
∴∠AOE=∠ADC，
∵∠AOE+∠AOC=180°，
∴∠ADC+∠AOC=180°，
∴A，D，C，O四点共圆，
∴∠AOD=∠ACD=60°，∠COD=∠CAD=60°，
∴∠AOD=∠COD，
∴OD平分∠AOC．
(2)证明：如图2中，取AE的中点M，连接CM．
∵AE=2CF，AM=ME，
∴AM=CF，
∵∠CAM=∠ACF=60°，AC=CA，
∴△ACM≌△CAF(SAS)，
∴∠ACM=∠CAF，
∵∠CME=∠CAM+∠ACM=60°+∠ACM，∠CFP=∠ACF+∠CAF=60°+∠CAF，
∴∠CME=∠CFP，
∵EM=CF，∠PCF=∠CEM，
∴△CME≌△PFC(ASA)，
∴CE=PC．
24.解：(1)过点C作CD⊥AO于点D．

∴∠CDA=∠AOB=90°，
∵a2+4a+b2+6b+13=0，
∴(a+2)2+(b+3)2=0．
∵(a+2)2≥0，(b+3)2≥0，
∴(a+2)2=0，(b+3)2=0，
∴a=−2，b=−3．
∴C(−2,−3)．
∴CD=2，OD=3．
在Rt△ADC中，∠DAC+∠C=90°．
∵CA⊥AB，
∴∠CAB=∠DAC+∠BAO=90°．
∴∠C=∠BAO．
在△ACD和△BAO中，
∠CDA=∠AOB∠C=∠OABAC=BA，
∴△ACD≌△BAO(AAS)．
∴AO=CD=2，BO=AD．
∴AD=AO+OD=2+3=5．
∴BO=5．
∴A(0,2)，B(5,0)．
(2)EC=OD−OB或EC=OB−OD或EC=OB+OD．
情况1如图：∵AB⊥AC，AD⊥AE，

∴∠BAC=∠DAE=90°．
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE．
∴∠CAE=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
AC=AB∠CAE=∠BADAE=AD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)．
∴EC=DB．
∵DB=OD−OB，
∴EC=OD−OB．
附情况2图：EC=OB−OD，
同理可得∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴EC=DB，
∵DB=OB−OD，
∴EC=OB−OD；

附情况3图：EC=OB+OD，
同理可得∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴EC=DB，
∵DB=OB+OD，
∴EC=OB+OD；

(3)①∵AB平移后与x轴、y轴相交于点M，N，
∴点M纵坐标为0，点N的横坐标为0，
∴A(0,2)纵坐标减2，点B(5,0)，
∴M(−5,0)，N(0,−2)，
∴OM=5，ON=2，
∵C(−2,−3)，PC⊥x轴，
∴点P的横坐标为−2，

过点M作GQ⊥x轴，过点P作PG⊥GQ于G，过点N作NQ⊥GQ于Q，则∠Q=∠G=90°，
∵∠GMP+∠QMN=∠QMN+∠QNM=90°，
∴∠GMP=∠QNM，
在△GPM和△QMN中，
∠G=∠Q∠GMP=∠QNMPM=MN，
∴△GPM≌△QMN(AAS)，
∴GM=QN=5，
∴点P的坐标为P(−2,5)；
②同理△GPM≌△QMN，
∴NG=OM=5，
∴OG=ON+NG=2+5=7，
∴点P的坐标为P(−2,−7)；

③同理可得△PDM≌△MON，
∴DM=ON，DP=OM，
∵A(0,2)，B(5,0)，
∴直线AB的解析式为y=−25x+2，
设点N的坐标为(0,n)，
∵平移后的直线MN的解析式为y=−25x+n，
∴当y=0时，得x=52n，∴M(52n,0)，
∴−52n−n=2，解得n=−47，
∴点P的纵坐标为−47×52=−107，∴点P的坐标为P(−2,−107)，

综上可得，P(−2,−107)或P(−2,5)或P(−2,−7)．