福建省福州格致中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题(含答案)

这是一份福建省福州格致中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题(含答案)，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．笛声，是一种清远悠扬的音乐，古人用“晚风拂柳笛声残，夕阳山外山”极其形象地道出了离别的伤感．贵州的玉屏竹笛是我国传统的民族管乐器，以音色清越优美、雕刻精致而著称．如图所示的一截竹竿正适合用来制作横笛，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．俯视图与左视图相同 C．主视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
2．下列各选项中的两个实数互为倒数的是（ ）
A．2024与 B．2024与 C．与2024 D．与
3．下列说法中不正确的是（ ）
A．数据4，9，5，7，5的平均数是6
B．任意画一个多边形，其外角和等于是必然事件
C．了解某市中学生50米跑的成绩，应采用抽样调查
D．某幼树在一定条件下移植成活的概率是0.9，则种植10棵这种树，结果一定有9棵成活
4．在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194.5亿立方米，用科学记数法表示194.5亿是（ ）
A． B． C． D．
5．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．人与车各几何?其大意是：每车坐3人，2车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．人数和车数各多少?设车数为x辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
6．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形．如果桥顶到水面的距离米，桥拱的半径米，此时水面的宽（ ）
A． B． C． D．
7．甲、乙两种物质的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．当温度为时，甲、乙两种物质的溶解度相等
B．当温度为时，甲、乙两种物质的溶解度都小于
C．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大
D．当温度升高至时，甲物质的溶解度比乙物质的溶解度大
8．安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度．如图，小明测得大树底端C点俯角，顶端D点的仰角，点A离地面的高度米，则大树的为（ ）
图1 图2
A．米 B．米 C． D．米
9．如图，直线分别与x轴、y轴相交于点M，N，点P在平面内，，点，则长度的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．1
10．如图，点A，B，C在上，，延长交于点，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如果式子有意义，那么x的取值范围是__________．
12．若一元二次方程的两根分别为，则__________．
13．请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是__________．
14．如图是扫雷游戏的示意图．点击中间的按钮，若出现的数字是6，表明数字6周围的8个位置有6颗地雷，现任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为__________．
15．如图，在矩形中，以点D为圆心，长为半径画弧，以点C为圆心，长为半径画弧，两弧恰好交于边上的点E处，若，则阴影部分的面积为__________．
16．已知过点的抛物线与坐标轴交于点A、C如图所示，连结，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P，当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为__________．
三、解答题
17．计算：．
18．如图，在正方形中，P是上的点，且为的中点．
求证：．
19．解方程：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．为了落实教育部“双减”工作要求，促进学生全面发展，丰富学生的课外生活，挖掘学生的兴趣、特长，某中学面向校内全体学生开设课后延时服务，课后延时课内容包括：A舞蹈、B篮球、C美术、D阅读、E合唱、F排球共六个兴趣组，每个学生只能选择其中一项参加．现随机调查了部分学生参加兴趣组的情况，将调查结果绘制成如下不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次调查的学生有_______人，C美术兴趣组所在扇形的圆心角为_____°；
（2）八年级8班有3名男同学和2名女同学参加了学校的美术兴趣小组，现需选派其中的2名同学参加比赛，用树状图或列表法求恰好抽到一男一女的概率．
22．如图，在中，．
（1）尺规作图：作，使得圆心O在边上，过点B且与边相切于点D（请保留作图痕迹，标明相应的字母，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若，求与重叠部分的面积．
23．根据以下素材，探索完成任务．
24．小聪同学在解决抛物线平移问题时，发现了一些几何结论：如图1，抛物线的顶点为A，沿右上方平移后，所得抛物线的顶点B落在原抛物线上，且与原抛物线的对称轴交于点C，连结，延长交原抛物线于点D，则．
图1 图2
（1）如图2，当时，请说明该结论成立．
（2）当时，求点D的坐标．
（3）过点D作轴，交原抛物线的对称轴于点E，若，直接写出的面积．
25．在中，．点D为的中点，点E为折线上一动点，连接，以为边作正方形（点F为点D绕点E顺时针旋转得到），直线与直线的交点分别为M，N．
（1）当点E在线段上时，
①若，求此时的长；
②若直线过点C，求此时正方形的面积；
（2）是否存在点E，使得是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考好了简单几何体的三视图，熟知圆柱的三视图是解题的关键．
【详解】解：主视图与俯视图是两个一样的长方形，左视图是一个圆，
故选：C
2．C
【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：由倒数的定义可知，只有C选项中的两个数互为倒数，
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了平均数、多边形外角和、频率估计概率等．结合题目分析即可得出答案．
【详解】解：A、数据4，9，5，7，5的平均数是，本选项不符合题意；
B、任意画一个多边形，其外角和等于是必然事件，本选项不符合题意；
C、了解某市中学生50米跑的成绩，应采用抽样调查，本选项不符合题意；
D、某幼树在一定条件下移植成活的概率是0.9，是在大量重复实验中得到的概率近似值，则种植10棵这种树，结果不一定有9棵成活，本选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了用科学记数法表示较大的数，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中为整数，n的取值由原数变成a时小数点移动的位数决定，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数，解题的关键是确定n的值．
【详解】解：194.5亿，
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设车x辆，根据乘车人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【详解】解：设车x辆，根据题意得：．
故选：B
6．C
【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，连接，根据垂径定理可知，在中，利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解．
【详解】解：连接，如图所示．
，
，
在中，，
，
．
故选：C．
7．A
【分析】利用函数图象的意义可得答案．
【详解】解：由图象可知B、C、D都正确，
当温度为时，甲、乙的溶解度都为，故A错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的图象，熟练掌握横纵坐标表示的意义是解题的关键．
8．D
【分析】过点A作，垂足为E，由题意得：，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点A作，垂足为E，
由题意得：，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9．D
【分析】以为直径作，连接并延长交于点P，此时的长度最小，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点M，N的坐标，进而可得出的长度及点E的长度，结合点C的坐标可求出的长，再利用，即可求出长度的最小值．
【详解】解：以为直径作，连接并延长交于点P，此时的长度最小．
当时，，
∴点N的坐标为；
当时，，
解得：，
∴点M的坐标为．
，点E的坐标为．
又∵点C的坐标为，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与几何变换、勾股定理以及圆的认识，牢记点内一点到圆的最短距离=半径-该点到圆心的距离是解题的关键．
10．D
【分析】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，连接，作于点M，结合已知条件，利用圆周角定理及直角三角形性质可得，再由特殊锐角的三角函数值求得，再结合等腰直角三角形性质及三角形内角和定理可求得，然后利用三角函数分别求得的长度，最后利用线段的和差即可求得答案，正确作出辅助线构造直角三角形并求得是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，作于点M，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
11．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件列不等式组求解即可得出答案．
【详解】解：有意义，
，
故答案为：．
12．5
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，根据根与系数的关系得到，再由进行求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，
，
，
故答案为：5．
13．答案不唯一，只要满足即可，如等．
【详解】试题分析：仔细分析题中要求根据二次函数的性质即可得到结果．
答案不唯一，如或．
考点：二次函数的性质
点评：二次函数的性质是初中数学的重点，是中考必考题，一般难度不大，需熟练掌握．
14．
【分析】本题考查了简单的概率计算，掌握求概率的公式是关键．由题意可知数字6周围的8个位置中有2个位置有地雷，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：由题意可知数字6周围的8个位置中有6个位置有地雷，
∴任意点击这8个按钮中的一个，则会出现地雷的概率为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查矩形的性质，扇形的面积，解题的关键是掌握扇形的面积公式，矩形的性质．
连接，根据勾股定理，得，根据阴影部分的面积为：扇形的面积减去，据此求解即可．
【详解】解：连接，如下图：
∵四边形是矩形，，
，
，
∴扇形的面积为：，
的面积为：，
∴阴影部分的面积为：．
故答案为：．
16．或
【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解．
【详解】解：如图，过点M作于E，
∵抛物线过点，
，
，
∴点，抛物线解析式为，
当时，则，
，
∴点，
∵点，点，点，
，
，
，
设点，
，
当时，，
，
，
，
∴点，
当时，
，
，
，
∴点，
综上所述：点M坐标为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，二次函数的性质，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
17．
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整指数幂的运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．先计算乘方和开方运算，并把特殊角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可求解．
【详解】解：
18．答案见解析
【分析】根据为的中点，可以得出，即可求证．
【详解】证明：为的中点，
，
又，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．
19．．
【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方
程，再解一元一次方程，最后检验即可求解，熟练掌握解分式方程是解题的关键．
【详解】解：去分母，得，
去括号、移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：把代入得：，
是原方程的解．
20．
【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的混合运算法则将分式化简后，再代入求值即可．
【详解】
，
当时，原式．
21．（1）75； （2）
5【分析】（1）由B篮球兴趣组人数除以所占的百分比得出本次调查的学生人数，先求出C美术兴趣组所占的百分比，再乘以即可求出C美术兴趣组所在扇形的圆心角的度数；
（2）列表得出所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：本次调查的学生有：（人），
C美术兴趣组所在扇形的圆心角：；
故答案为：75，；
（2）在根据题意列表如下：
由上表可知，所有等可能的情况有20种，其中恰好抽到一男一女的情况有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率．
【点睛】本题考查了列表法求概率、条形统计图、扇形统计图等知识，正确列表是解题关键．
22．（1）见解析
（2）
【分析】（1）作的角平分线交于点D，过点D作，交于点O，以O为圆心，为半径作，即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求得圆的半径，设交BC于点E，连接，可得是等边三角形，进而根据与重叠部分的面积等于扇形面积与等边三角形的面积和，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：是的切线，
，
，
则，
解得：，
如图所示，设交于点E，连接，
，
是等边三角形，
如图所示，过点E作于点F，
在中，，
，
，则，
与重叠部分的面积为．
【点睛】本题考查了基本作图，切线的性质，求扇形面积，熟练掌握基本作图与切线的性质是解题的关键．
23．（1）（答案不唯一）；
（2）从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，共需2根竹竿，所需竹竿总长度为米．
【分析】（1）以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系，用待定系数法求出解析式即可；
（2）从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，从而得到共需2根竹竿，分别求出两根竹竿长度，相加即可求解．
【详解】解：（1）如图，以地面作为x轴，点A所在墙体作为y轴，建立直角坐标系如图（答案不唯一）：
由题意可得，，顶点P的横坐标为3.5，
设大棚横截面所对应的抛物线解析式为，
，
解得，
∴大棚横截面所对应的抛物线解析式为；
（2）符合要求的方案：
从距左侧墙体2米处立第一根竹竿，距左侧墙体4米处立第二根竹竿，
∴共需2根竹竿，
当时，，
当时，，
∴所需竹竿总长度为（米）．
【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，方案设计等，解题的关键是读懂题意，根据题意建立合适坐标系，掌握待定系数法求函数解析式．
24．（1）见解析
（2）
（3）4
【分析】（1）由题意知，，可得顶点，对称轴为y轴，设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，则平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，进而可得，由，
，证明结论即可；
（2）由题意知，，则顶点，对称轴为y轴，同理（1）：平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，则，如图1，过点B作轴于E，则，，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立得：，计算求出满足要求的解，然后求解作答即可；
（3）如图2，过点B作于F，则，由，可得，同理（1）可得，，待定系数法求直线的解析式为，联立得：，求得点D的横坐标为，则，由，可得，证明，则，计算求解即可．
【详解】（1）解：证明：当时，，
∴顶点，对称轴为y轴，
设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，
∴平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，
将代入，得，
，
当时，，
，
，
；
（2）解：当时，，
∴顶点，对称轴为y轴，
同理（1）：平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，
，
，
如图1，过点B作轴于E，
图1
，
，
，
解得，，
，
设直线的解析式为，
将代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
联立得：，
解得，（舍去），，
；
（3）解：如图2，过点B作于F，
图2
，
，
，
，
，
设抛物线向右平移h个单位长度，向上平移k个单位长度，
∴平移后的抛物线顶点为，平移后的函数解析式为，
将代入，得，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得：．
解得：，
∴点D的横坐标为，
，
又，
，
，
，
，
．
的面积为4．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，正切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数与相似综合等知识．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的图象与性质，一次函数解析式，正切，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数与相似综合是解题的关键．
25．（1）①；②正方形的面积为5
（2）存在，的腰长为或或或
【分析】（1）①作，解直角三角形即可求得结果；
②作作于H，作于Q，可证得，从而，
故设，则，求出，
由可得，从而列式计算即可；
（2）分为四种情形：当点E在上，时，可得出是的平分线，从而，可求得，根据可求得，根据，得出，进而求得，进一步得出结果；当点E在B处时，可求得，进而求得，根据，列出，进而求得结果；当点E在上，时，作于H，交于X，设，则，设，则，从而得出，可证得，利用相似三角形的性质即可求得；当时，可得，作于T，作于H，可求得，从而得出，根据，得出，求出，进一步得出结果．
【详解】（1）解：①如图1，
图1
作于F，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
；
②如图2，
图2
作于H，作于Q，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
同理可得：，
，
，
，
，
，
，
，
∴正方形的面积为5；
（2）存在点E，使是等腰三角形；
如图3，
图3
当点E在上，时，则，
，
，
，
，
作于R，
，
，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图4，
图4
当点E在B处时，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图5，
图5
当点E在上，时，则，
，
作于H，交于X，
由（2）如图3可知：，
设，则，设，则，
，
，
，
，
，
，
如图6，
图6
当时，则，
，
作于T，作于H，
，
，
由上知：，
，
，
，
，
综上所述：的腰长为或或或．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是画出图形进行分类讨论．
如何加固蔬菜大棚？
素材1
农科所在某蔬菜基地试用新型保温大棚技术．大棚横截面为抛物线型（如图），一端固定在距离地面1米的墙体A处，另一端固定在距离地面2米的对面墙体B处，两墙体的水平距离为6米．大棚离地面的最高点P与A的水平距离为3.5米．
素材2
为了使大棚更牢固，在此横截面内竖立若干根与地面垂直的竹竿连接到大棚的边缘．要求相邻竹竿之间的水平距离为2米，靠近墙体的竹竿与墙体的水平距离不超过2米．
问题解决
任务1
确定大棚形状
结合素材1，在图中建立合适的直角坐标系，求大棚横截面所对应的抛物线解析式（不需写自变量取值范围）．
任务2
探索加固方案
请你设计一个符合要求的竹竿竖立方案，方案内容包括：
①从何处立第一根竹竿；
②共需多少根竹竿；
③所需竹竿的总长度（写出计算过程）．
男1
男2
男3
女1
女2
男1
（男1，男2）
（男1，男3）
（男1，女1）
（男1，女2）
男2
（男2，男1）
（男2，男3）
（男2，女1）
（男2，女2）
男3
（男3，男1）
（男3，男2）
（男3，女1）
（男3，女2）
女1
（女1，男1）
（女1，男2）
（女1，男3）
（女1，女2）
女2
（女2，男1）
（女2，男2）
（女2，男3）
（女2，女1）