福建省福州市三校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份福建省福州市三校2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（全卷共5页，25小题；完卷时间：120分钟；满分：150分；考试时间：）
命题人：林瀚宇审核人：薛尧峰
温馨提示：请将所有答案填写在答题卡的相应位置上，在本卷上作答一律无效！
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
2.一元二次方程的根的情况是（ ）
A.没有实数根B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根
3.如图，在中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A.抛掷一枚硬币，落地后正面朝上B.打开电视机正在播放亚运会比赛
C.在一个只装有白球的袋子里摸出红球D.正数大于负数
5.反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
6.已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
7.函数和在同一平面直角坐标系内的图像大致是（ ）
A.B.C.D.
8.在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A.P与t的函数关系式为B.当时，
C.当时，D.p随t的增大而减小
9.发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实物剖面图，图②是其示意图.图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成，AB与BO表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与的交点；当点A运动到E时，点B到达C；当点A运动到F时，点B到达D.若，，则下列结论正确的是（ ）
图1图2
A.B.
C.当AB与相切时，D.当时，
10.定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图，在正方形OABC中，点，点，则互异二次函数与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是（ ）
A.4，B.，C.4，0D.，
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.把二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后二次函数的解析式为______.
12.如图是某公园一座抛物线型拱桥，按如图所示建立坐标系，得到函数，在正常水位时水面宽米，当水位上升5米时，则水面宽______米
13.从某小麦新品种的种子中抽取6批，在相同条件下进行发芽实验，数据统计如表：
据此可知，该种子发芽的概率为______（精确到0.1）.
14.如图，OM为半圆的直径，观察图中的尺规作图痕迹，若，则的度数为______.
15.若圆锥的母线长为6cm，其侧面积为，则圆锥底面半径为______cm.
16.如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，连接BC，在第一象限，且与BC和两条坐标轴都相切，反比例函数的图像经过圆心M，则k的值为______.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（8分）解方程：
18.（8分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根，，且，求m的值.
19.（8分）如图，点M，N分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，把绕点A顺时针旋转90°得到.
（1）求证：.
（2）若，，求正方形ABCD的边长.
20.（8分）如图，正方形ABCD内接于，E是的中点，连接AE，DE，CE.
（1）求证：；
（2）若，求四边形AECD的面积.
21.（8分）面向世界的年度文化盛会、四川建设文化强省的闪亮名片——2023天府书展于10月13日至16日在四川成都开幕.本次盛会以“共享书香互鉴文明”为年度主题，定位“书香天府盛典，出版发行盛会”.值得一提的是，成都将为市民举办一场“巴适的购书节”，为庆祝活动的顺利召开，某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍．
（1）求商家购买A书籍和B书籍的进价.
（2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍，据统计，B书籍的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？
22.（10分）如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置.其中，杠杆绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A.
（1）若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为______N.
（2）为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的质量变化时，的长度随之变化.设重物B的质量为xN，的长度为.则①y关于x的函数解析式是______.
②完成下表：
③在直角坐标系中画出该函数的图象.
（3）在（2）的条件下，将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L.若点A的坐标为，在L上存在点Q，使得.请直接写出所有满足条件的点Q的坐标.
23.（10分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，至今已有几百种证明方法，在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释并创制了一幅“勾股圆方图”；后刘徽用“出入相补”原理证明了勾股定理；清朝末年，数学家华蘅芳提出了二十多种对于勾股定理证法.
（1）某学校数学活动室进行文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用1幅，恰好选中的画像是刘徽的概率________；
（2）在某次数学活动中，有一个不透明的信封内装有三根长度分别为4cm，6cm和8cm的细木棒，木棒露出纸袋外的部分长度相等，小亮手中有一根长度为10cm的细木棒，现从信封内随机取出两根细木棒与小亮手中的细木棒首尾相接放在一起，求抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率（用画树状图或列表的方法求解）
24.（12分）已知顶点为A的抛物线过点和.
（1）求点A的坐标；
（2）直线与拋物线相交于不同的两点B，C（B在C的左侧），
①若，直线AC与x轴相交于D，连接BD，求证：轴；
②过点B作不平行y轴的直线，且与拋物线有且只有一个公共点.记点P为与x轴的交点；点Q为l与x轴的交点，求线段PQ长度的最小值.（用含a的式子表示）
25.（14分）如图，在等边中，于点D，E为线段AD上一动点（不与A，D重合），连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF.
图1图2图3
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：；
（3）如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将沿AG所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿DG所在直线翻折至所在平面内，得到，连接PQ，QF.若，直接写出的最小值.
2023—2024学年第一学期福州市三校12月阶段适应性检测
九年级数学参考答案及详细解析
1.B
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，在一个平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；由此判断即可得出答案.
【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形.
故选：B.
2.D
【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，求出判别式与0的关系直接判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：D.
3.D
【分析】本题主要考查了垂径定理的推论，弧、弦、圆心角的关系等知识，理解并掌握垂径定理及其推论是解题关键.平分弦的直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧；同弧或等弧所对的弦相等，所对的圆心角也相等，据此即可获得答案.
【详解】解：∵P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，
∴，，，故选项A正确，不符合题意；
∵，
∴，，故选项B，C正确，不符合题意；
已知条件无法确定，故选项D不正确，符合题意.
故选：D.
4.C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下，一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.根据事件发生的可能性大小判断即可.
【详解】解：A、抛掷一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，不符合题意；
B、打开电视机正在播放亚运会比赛，是随机事件，不符合题意；
C、在一个只装有白球的袋子里摸出红球，是不可能事件，符合题意；
D、正数大于负数，是必然事件，不符合题意；
故选：C.
5.C
【分析】本题考查了反比例函数的性质：反比例函数的图象是双曲线；当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.根据反比例函数的性质得，然后解不等式即可.
【详解】解：根据题意得，
解得.
故选：C.
6.B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数解析式得出，开口向上，对称轴为直线，再根据二次函数的增减性判断即可得到答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键.
【详解】解：∵二次函数，
∴，开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故选：B.
7.D
【分析】本题是一次函数与二次函数图象的综合，熟悉这两种函数的图象与性质是关键；根据二次函数开口方向、对称轴的位置可确定a、b的符号；根据一次函数的升降及直线与y轴交点可确定a、b的符号，两者符号相同时正确，否则错误，由此即可确定正确答案.
【详解】解：A、对于抛物线而言，；对于直线，它与y轴的交点在y轴负半轴上，则，显然矛盾，不符合题意；
B、对于抛物线而言，，，则；对于直线，图象是下降的，则，显然矛盾，不符合题意；
C、对于抛物线而言，；对于直线，它与y轴的交点在y轴正半轴上，则，显然矛盾，不符合题意；
D、对于抛物线而言，，，则；对于直线，它与y轴的交点在y轴负半轴上，则，图象是上升的，则，显然符合题意；
故选：D.
8.C
【分析】求得解析式，进而根据反比例函数的图象，即可求解.
【详解】解：功率与做功所用的时间成反比例函数关系，
设解析式为，
∵过点，
∴，
∴解析式为，故A选项正确，不合题意，
当时，，故B选项正确，不合题意，
当时，，故C选项不正确，符合题意，
∵
∴在第一象限，P随t的增大而减小，故D选项正确，不符合题意，
故选：C.
【点睛】反比例函数的应用，关键是求得解析式.
9.C
【分析】本题考查了切线的性质定理和勾股定理，由题意可得从而可判断A、B选项，如图：当AB与相切时，求解，可得，可判断C；当时，如图，可得，，，可判断D；从而可得答案.理解题意并熟练的运用数形结合的方法解题是关键.
【详解】解：如图，由题意可得：，，，，
∴，故A不符合题意；
，故B不符合题意；
如图，当AB与相切时，
∴，
∴，
∴，故C符合题意；
如图：当时，
∴，
∴，，
∴，故D不符合题意；
故选：C.
10.D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴之间、位于直线和之间、位于直线右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可.
【详解】解：由正方形的性质可知：；
若二次函数与正方形OABC有交点，则共有以下四种情况：
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，解得：；
综上可得：m的最大值和最小值分别是，.
故选：D.
【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等.
11.
【分析】根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答.
【详解】解：二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度后的二次函数为，故答案为：.
【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟记平移口诀是解题的关键.
12.20
【分析】根据正常水位时水面宽米，找出当时，再根据水位上升5米时，代入解析式求值即可.
【详解】解：∵，
∴当时，，
当水位上升5米时，，
把代入，得，
解得，
此时水面宽米，
故答案为：20.
【点睛】本题考查二次函数的应用，根据图形找出相关数据求值是解题的关键.
13.0.9
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论.
【详解】解：∵观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴该小麦种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9.
【点睛】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比.
14.70°/70度
【分析】证明，求出，再证明，推出，可得结论.
【详解】解：∵OM为半圆的直径，
∴，
∵，
∴，
由作图得：PQ垂直平分线段FM，
∴，
∴，
∴.
故答案为：70°
【点睛】本题考查作图——基本作图，线段的垂直平分线的性质，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
15.3
【分析】本题考查了求圆锥底面半径，根据圆锥侧面积公式即可求解，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键.
【详解】解：设底面半径为r，
依题意得：
，
解得：，
则圆锥底面半径为3cm，
故答案为：3.
16.36
【详解】作轴于P，轴于Q，与H，根据题意证得P、H、Q是切点，四边形POQM是正方形，根据切线长定理得到，设，得出，，即可得到，解得，从而求得M的坐标，代入即可求得k的值.
【分析】解：如图：作轴于P，轴于Q，与H，
∴在第一象限，且与BC和两条坐标轴都相切，
∴，都是的半径，
∴P、H、Q是切点，四边形POQM是正方形，
∴，，
∴，
∴点，点，
∴，，
∴，
设，
∵四边形POQM是正方形，
∴，
∴，，
∴，解得，
∴，
∵反比例函数的图像经过圆心M，
∴.
故答案为：36.
【点睛】本题主要考查了切线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、以及反比例函数与几何结合等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键.
17.，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是化成一般式，再利用因式分解法求解.
【详解】解：整理成一般式，得，
∴，
∴或，
∴，.
18.（1）见解析
（2）3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）计算根的判别式的值得到，则，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）先利用根与系数的关系得，，由于，所以，然后解关于m的方程即可.
掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
【详解】（1）解：∵
，
∴无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据根与系数的关系得，，
∵，
∴，
解得，即m的值为3.
（1）见解析
（2）6
【分析】（1）由旋转的性质可证明，进一步证明点E，点B，点C三点共线，然后根据SAS证明三角形全等即可；
（2）设，则，，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题.
【详解】（1）证明：由旋转的性质得 ，
∴，，，
∴，
∴点E，点B，点C三点共线，
∵，，
∴
∴，
又∵，
∴；
（2）解：设，则，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，或（舍弃），
∴正方形ABCD的边长为6.
【点睛】本题考查旋转变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.
（1）见解析
（2）
【分析】（1）欲证明，只要证明即可.
（2）连接BD，过点D作交EC的延长线于F.证明，推出，得到，推出，再利用等腰三角形的性质构建方程求出DE，即可解决问题.
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴
∴
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴.
（2）解：连接BD，AO，过点D作交EC的延长线于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查正多边形与圆，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
（1）A书籍进价为16元，B书籍的进价为24元
（2）每本B书籍的售价为29元
【分析】（1）设商家购买A书籍进价为a元，购买B书籍的进价为b元，根据题目数量关系列分式方程求解即可；
（2）根据题意得A书籍的利润为450元，设B书籍的售价降低了x元，则B书籍的售价为元，销售的数量为本，可根据数量关系列一元二次方程求解即可；
本题主要考查分式方程，一元二次方程的综合运用，理解题目中的数量关系列方程，掌握解分式方程，解一元二次方程的方法是解题的关键.
【详解】（1）解：设商家购买A书籍进价为a元，购买B书籍的进价为b元，
∴，解得，，
检验，当时，原分式方程有意义，
∴A书籍进价为16元，B书籍的进价为24元.
（2）解：已知A书籍的售价为每本25元，平均每天可卖出50本A书籍，
∴A书籍的利润为（元），
已知B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出25本B书籍，
∵B书籍的售价每降低0.5元平均每天可多卖出5本，
∴B书籍的售价每降低1元平均每天可多卖出10本，
设B书籍的售价降低了x元，则B书籍的售价为元，销售的数量为本，
∴B书籍的利润为（元），
∵想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，
∴，整理得，，
∴，解得，，，
∴当降低了4元，B书籍销售的数量为（本）；当降低了2.5元，B书籍销售的数量为（本），
∵为了促进B的销量，
∴B书籍的售价降低了4元，则，
∴每本B书籍的售价为29元.
（1）200
（2）①；②见解析；③见解析
（3）或
【分析】（1）根据公式进行计算即可；
（2）①根据公式即可得到；②根据（2）①所求求出a、b的值即可；③先描点，再连线，画出函数图象即可；
（3）先根据面积求出点Q的纵坐标，再根据反比例函数性质和平移的性质求出点Q的坐标即可.
【详解】（1）解：∵，
∴
∴重物B所受拉力为200N，
故答案为：200；
（2）解：①∵，
∴，即，
故答案为：；
②由（2）①得，，
填表如下：
③函数图象如下所示：
（3）解：∵点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，当时，
∴在函数上满足题意的Q的坐标为，
∵将函数图象向右平移4个单位长度，与原来的图像组成一个新的函数图象，记为L，
∴点，即也在L上，即满足题意的Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或.
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际运用，正确理解题意是解题的关键.
23.（1）；（2）；
【分析】（1）根据直接求解即可得到答案；
（2）根据题意列出树状图，找到所有情况及直角三角形的情况即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
有4幅图即有4种情况，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据题意可得，树状图如下，
总共有6种情况，是勾股数的有2种情况，
∴，
∴抽出的细木棒能与小亮手中的细木棒构成直角三角形的概率为：；
【点睛】本题考查简单概率求解及树状图法求概率，解题的关键是正确画出树状图及掌握.
24.（1）
（2）①证明见解析；②
【分析】（1）根据题意可得：，从而得到抛物线的解析式为，即可求解；
（2）①根据题意可得，得到，
，设直线AC的解析式为，
从而得到，继而得到，即可得证；
②根据题意可得：，得到，
，设直线的解析式为，根据直线与拋物线有且只有一个公共点，由一元二次方程根的判别式可得：
，从而得到，得到直线的解析式：，从而得到，，则，再根据平方的非负性质和二次根式的性质可得结论.
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，∴，
∴抛物线的解析式为，
∴顶点A的坐标为；
（2）①证明：∵，且直线与拋物线相交于不同的两点B，C（B在C的左侧），
∴，
解得：，，
∴当时，，
则，
当时，，
则，
设直线AC的解析式为，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴轴；
②解：∵直线与拋物线相交于不同的两点B，C（B在C的左侧），
∴，
解得：，，
∴，，
设过点B作不平行y轴的直线的解析式为，
∴，
∴，
∵直线：与拋物线有且只有一个公共点，
∴，
∴，即，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴直线的解析式为：，
当时，，
∴，
∵直线，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当即时，线段PQ长度的最小值为.
【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数的解析式和一次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点坐标及交点情况，一元二次方程根的判别式，平方的非负性，二次根式的混合运算等知识点.掌握二次函数的性质，二次函数与一次函数的交点坐标及交点情况，二次根式的混合运算是解题的关键.
25.（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】（1）根据旋转的性质得出，，进而证明，即可得证；
（2）过点F作，交DH点的延长线于点K，连接EK，FD，证明四边形EDFK是平行四边形，即可得证；
（3）如图所示，延长AP，DQ交于点R，由（2）可知是等边三角形，根据折叠的性质可得，，进而得出是等边三角形，由（2）可得，得出四边形GDQF是平行四边形，则.进而得出 ，则，当GQ取得最小值时，即时，PQ取得最小值，即可求解.
【详解】（1）证明：∵为等边三角形，
∴，.
∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，
∴，.
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图所示，过点F作，交DH的延长线于点K，连接EK，FD，
∵是等边三角形，
∴.
∵，
∴，
∴AD垂直平分BC，
∴.
又∵ ，
∴，，
∴，
∴点F在AC的垂直平分线上.
∵，
∴点B在AC的垂直平分线上，
∴BF垂直平分AC，
∴，，
∴.
又∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴.
又∵，，
∴，
∴，
∴.
在与中，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形EDFK是平行四边形，
∴；
（3）解：如图所示，延长AP，DQ交于点R，
由（2）可知是等边三角形，
∴.
∵将沿AG所在直线翻折至所在平面内，得到，将沿DG所在直线翻折至所在平面内，得到，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴.
由（2）可得，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴四边形GDQF是平行四边形，
∴.
由（2）可知G是AC的中点，则，
∴，
∴.
∵折叠，
∴，
∴.
又，
∴，
∴当GQ取得最小值时，即时，PQ取得最小值，此时如图所示，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键.种子粒数
100
400
800
1000
2000
5000
发芽种子粒数
95
358
744
893
1804
4505
发芽频率
0.950
0.895
0.930
0.893
0.902
0.901
…
10
20
30
40
50
…
…
8
a
2
b
…
…
10
20
30
40
50
…
…
8
4
2
…