福建省福州第十九中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

福州第十九中学2023-2024学年第一学期10月份校本练习

九年级数学试题

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）

1．将一元二次方程化成一般形式后，一次项系数是（    ）

A．-1 B．0 C．3 D．-3

2．下列图形中，为中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3．下列运算中，正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．一次函数的值随x的增大而增大，则点所在象限为（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．抛物线经平移后，不可能得到的抛物线是（    ）

A．  B．

C． D．

6．如图，在中，D，E分别为线段BC、BA的中点．设的面积为，的面积为．则（    ）

A． B． C． D．

7．如图，在中，弦AB，CD相交于点P，若，，则的大小为（    ）

A．32° B．42° C．52° D．62°

8．函数的自变量x的取值范围是（    ）

A． B． C．且 D．

9．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件；第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形的位置，旋转角为．若，则的大小是（    ）

A．68° B．28° C．22° D．20°

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）

11．杭州亚运会集结了37600名“小青荷”志愿者，37600用科学记数法表示为______．

12．已知是关于x的一元二次方程的解，则代数式的值为______．

13．如图，将点绕原点顺时针旋转90°得到点，则点的坐标为______．

14．如图，的直径CD垂直弦AB于点E，且，，则AB的长为______．

15．已知抛物线的对称轴为直线，当时，则x的取值范围是______．

16．如图，在ABCD中，，，将AB绕点A逆时针旋转角得到AP，连接PC，PD．当为直角三角形时，旋转角α的度数为______．

三、解答题（本题共9小题，共86分）

17．（8分）解方程：

18．（8分）如图，B是线段AC的中点，，，求证：．

19．（8分）先化简，再从不等式中选择一个适当的整数，代入求值．

20．（8分）如图，四边形ABCD内接于，AC为的直径，．

（1）试判断的形状，并给出证明；

（2）若，，求CD的长度．

21．（8分）为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t（单位：分钟）．按照完成时间分成五组：A组“”，B组“”，C组“”，D组“”，E组“”．将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：

（1）这次调查的样本容量是______，请补全条形统计图；

（２）在扇形统计图中，B组的圆心角是______度，本次调查数据的中位数落在______组内；

（3）若该校有2000名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．

22．（10分）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需150元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需280元．

（1）科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？

（2）为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过50本时，每增加1本，单价降低1元；社区计划购进两种图书共计1000本，其中科技类图书不少于50本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？

23．（10分）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形ABCD四个顶点都是格点，E是BC上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

图（1）                    图（2）

（1）在图（1）中，M是AE与网格线的交点，画出点M关于AC的对称点N；

（2）在图（2）中，先将线段AE绕点A顺时针旋转90°，画对应线段AF，再在CD上画点G，并连接AG，使．

24．（12分）如图，在菱形ABCD中，，对角线AC、BD相交于点O．在线段AO上任取一点P（端点除外），连接PD、PB．

（备用图）

（1）求证：；

（2）将线段DP绕点P逆时针旋转，使点D落在BA的延长线上的点Q处．当点P在线段AO上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由：

（3）在（2）的条件下探究AQ与CP的数量关系，并说明理由．

25．（14分）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．

图1                       图2                       图3

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；

（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC上方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．

福州第十九中学2023-2024学年第一学期10月份校本练习

九年级数学试卷参考答案

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．

1．D  2．B  3．D  4．B  5．D  6．B  7．A  8．C  9．A  10．C

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．   12．-1    13．    14．8    15．    16．90°或180°

三、解答题：本题共9小题，共86分．

17．（本小题满分8分）

解：…2

…4

…6

，…8

18．（本小题满分8分）

证明：∵点B为线段AC的中点，∴，…2

∵，∴，

∵，∴，……………………………4

在与中，，…6

∴．（ASA）．…8

19．（本小题满分8分）

解：原式…4

．…6

∵且，

∴符合题意．…7

当时，原式．…8

20．（本小题满分8分）

解：（1）是等腰直角三角形，

理由：连接BO，∵AC为的直径，

∴，…1

∵，∴…2

∴…3

又∵，∴是等腰直角三角形．…4

（2）在中，，

∴，…6

在中，，，

∴．…8

即CD的长度为．

21．（本小题满分8分）

解：（1）100…2

补全条形统计图，如图所示：

每天完成书面作业时间条形统计图

…3

（2）72°…5

C…6

（3）根据题意得：，…8

答：该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数约为1900．

22．（本小题满分10分）

解：（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，…1

依题意得：，…3

解得：．…4

答：科技类图书的单价为45元，文学类图书的单价为20元．…5

（2）设科技类图书的购买数量为m本，则文学类图书的购买数量为本，购买这两种图书的总金额为w元，其中．…6

，…8

∵，对称轴

∴当时，w随m的增大而减小，…9

∴当时，w的最小值为2900；

答：社区至少要准备2900元购书款．…10

23．（本小题满分10分）

（1）如图1所示点N即为所求；（画出线段AP得3分，画出点N得2分）

【作图过程】取格点P，连接AP，AP与网格线的交点为N；

（2）如图2所示线段AF和点G即为所求；（画出线段AF得2分，画出点G得3分）

【作图过程】

方法一：取格点F，连接AF，再取格点T，连接FT、ET，连接AT交CD于G（见图2）

方法二：取格点F，连接AF，连接EF，再取格点T，连接DT交EF于Q，连接AQ，延

长交CD于G；（见图3）

图1                      图2                  图3

24．（本小题满分12分）

（1）方法一：

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴，．…1

∵，∴…2

∴…3

方法二：

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴且…2

即AC垂直平分DB

∴…3

（2）解：的大小不变，…4

理由：过P作于M，于N，设AD与PQ交于点F如图，

∵四边形ABCD是菱形，，∴，

∴，…5

∵，∴

∵，，∴（HL），

∴…6

∵

∴即的大小不变…7

（3）解：；

理由：四边形ABCD是菱形，，

∴，∴是等边三角形，∴

∵由（1）可知，旋转得，∴，…8

过P作交AB于点E，交BC于点G，如图，

∴四边形PEGC是平行四边形，…9

，，

∴，，都是等边三角形，

∴，…10

过P作于点M，则，，

∴，…11

∴．…12

25．（本小题满分14分）

解：（1）∵，∴，∴，

∴点，…1

把、、代入得，∴…3

∴…4

图1

（2）方法一（见图2（1））

∵轴，，

图2（1）

∴点，∴，

∴…5

①当点P在直线BC的下方时，

过点P作轴，与BC的延长线于点Q，

直线BC的解析式：

设点，则点，

∴，

∴，∴，…6

∴，∴或，…8

②当点P在BC的上方时，同理得出，

∴，

∴，

此时点P和点D重合，故舍去，…9

∴或；

方法二：（见图2（2））

图2（2）

过D作，

∵抛物线的对称轴为直线，轴，，∴点，

∵直线BC的解析式：，∴DF的解析式为：，

由得，∴，

∴DF与抛物线只有一个公共点，…5

延长DC至E使，作，交抛物线于，，

此时，∴，∴的解析式为，…6

由得，，…7

当时，，

当时，

∵或…9

（3）如图3，

过P作轴交x轴于N，交BC于M，……10

图3

∵，，

∴，…11

∴，，

∴，…12

∴…13

∴当时，…14