2023-2024学年辽宁省沈阳市法库县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市法库县九年级上学期数学期末试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，四象限内B. 图像经过，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 如图所示，从上面看该几何体形状图为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】俯视图是从物体上面所看到的图形，可根据物体的特点作答；
【详解】解：这是一个中间部分掏空的长方体，根据俯视图是从物体上面所看到的图形，
故选：C
【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，根据物体的特征回答是解题的关键．
2. 如果，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据比例的性质求出b=4a，把b=4a代入，即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴b=4a，
∴= ，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，能根据比例的性质求出b=4a是解此题的关键．
3. 关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是
A. 有一个实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】根据根的判别式进行求解即可得答案.
【详解】，，，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.
一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4. 不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用列表法或树状图法可以列举出所有等可能出现的结果，然后看符合条件的占总数的几分之几即可．
【详解】解：两次摸球的所有的可能性树状图如下：
第一次 第二次
开始
∴两次都是红球．
故选D．
【点睛】考查用树状图或列表法，求等可能事件发生的概率，关键是列举出所有等可能出现的结果数，然后用分数表示，同时注意“放回”与“不放回”的区别．
5. 在下列光源的光线照射下，所形成的投影不能称为中心投影的是（ ）
A. 探照灯B. 台灯C. 路灯D. 太阳
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中兴投影，解题的关键是掌握中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，据此逐个判断即可．
【详解】解：在探照灯，台灯，路灯的光线照射下，所形成的投影是中心投影，故A、B、C不符合题意；
在太阳光线照射下，所形成的投影是平行投影，故D符合题意；
故选：D．
6. 在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求正切值，解题的关键是熟练掌握勾股定理和正切的定义，先根据勾股定理求出，再根据即可解答．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：D．
7. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图像分布在第二、四象限内B. 图像经过
C. y随x的增大而减小D. x<0时，y随x的增大而增大
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析即可．
【详解】解：A、，则图象位于第一、三象限，故不符合题意；
B、当时，，所以图象经过点，故符合题意；
C、，在每一象限内随的增大而减小，故不符合题意；
D、当时，随的增大而减小，故不符合题意．
故选：B．
8. 春节快到了，为增进友谊，老师要求班上每一名同学要给同组的其他同学写一份新春的祝福，小静同学所在的小组共写了42份祝福，该小组共有（ ）
A. 4人B. 5人C. 6人D. 7人
【答案】D
【解析】
【分析】设该小组共有人，则每人需写份新春的祝福，根据小静所在的小组共写了42份祝福，即可得出关于的一元二次方程，再解方程即可．
【详解】解：设该小组共有人，则每人需写份祝福，
依题意得：，
解得：（不符合题意），
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9. 如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）

A. 当，平行四边形是矩形
B. 当，平行四边形是矩形
C. 当，平行四边形是菱形
D. 当，平行四边形是正方形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查菱形，矩形的判定，根据菱形，矩形的判定逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
当，平行四边形是矩形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是矩形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是菱形，正确，不符合题意，
当，平行四边形是菱形，得不到正方形，错误，符合题意，
故选：D．
10. 已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线的开口方向及对称轴的位置可得ab＜0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＜0，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第二、三、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第二、四象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a>0，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，
，
∴b＜0，
∴ab＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
对于一次函数y＝cx+，c＜0，，故此函数图象经过第二、三、四象限；
对于反比例函数y＝，ab＜0，图象分布在第二、四象限．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系、一次函数图象与系数的关系以及反比例函数的图象，观察二次函数图象找出各系数的取值范围是解题的关键．
二、填空题
11. 方程的实数解是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
∴．
12. 二次函数的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是二次函数顶点坐标式的应用．直接解答即可．
【详解】解：二次函数的顶点坐标是：．
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，3），B（﹣6，3），以原点O为位似中心，在同一象限内把线段AB缩短为原来的，得到线段CD，其中点C对应点A，点D对应点B，则点D的坐标为 _______．
【答案】
【解析】
【分析】由位似图形的性质可得：这一组对应点的坐标之比为3，从而把的横坐标与纵坐标都乘以 即可得到答案.
【详解】解：∵以原点O为位似中心，相似比为，
把线段AB缩短为CD，AB，CD在同一象限，
点B的坐标为（-6，3），
∴点D坐标为即
故答案为：．
【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
14. 如图，在菱形中，，以点为圆心，长为半径作孤，交于点，再分别以点B，E为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线分别交，，于点H，G，F，连接，，则______．

【答案】##110度
【解析】
【分析】由题意知，是线段的垂直平分线，，则，即，由菱形中，，可得，，则，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，是线段的垂直平分线，，
∴，即，
∵在菱形中，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15. 已知正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝3，EC＝1，如图所示，把线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，则F、C两点的距离为_____．
【答案】1或7．
【解析】
【分析】首先在直角△ADE中利用勾股定理求得AE的长，然后分两种情况进行讨论：如图，①当线段AE顺时针旋转到BC上的F1点时，在直角△ABF1中利用勾股定理求得BF1的长，进而可求得F1C；②同理可以求得旋转到F2时，F2C的长．
【详解】解：CD＝DE+EC＝3+1＝4，则正方形ABCD的边长是4．
在直角△ADE中，根据勾股定理得：AE＝＝＝5．
如图，①当线段AE顺时针旋转到BC上的F1点时，AF1＝AE＝5，
在直角△ABF1中，BF1＝＝＝3．
∴F1C＝BC﹣BF1＝4﹣3＝1；
②当线段AE顺时针继续旋转到BC上的F2点时，同理可得BF2＝3，则F2C＝3+4＝7．
故答案为：1或7．
【点睛】本题考查了正方形性质、旋转的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握上述知识是解题的关键．
三、解答题
16. 计算
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查有理数的运算和特殊角的三角函数运算，熟练掌握有理数的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键，（1）利用有理数的运算法则即可得到答案；（2）利用特殊角三角函数值代入即可得到答案．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
解：．
17. 如图所示的几何体是由几个相同的小正方形排成两行组成的．
（1）填空：这个几何体由_______个小正方体组成．
（2）画出该几何体的三个视图．
【答案】(1)8；(2)三视图见解析
【解析】
【分析】（1）根据图示可知这个几何体由8小正方体组成；
（2）主视图有4列，每列小正方形数目分别为1，3，2，1；左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1；俯视图有4列，每行小正方形数目分别为1，2，1，1．
【详解】（1）这个几何体由8小正方体组成；
（2）该几何体的三个视图如图所示：
【点睛】本题考查实物体的三视图．在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，看得见的轮廓线都画成实线，看不见的画成虚线，不能漏掉．本题画几何体的三视图时应注意小正方形的数目及位置．
18. “垃圾分类”进校园，某中学要求将垃圾四类分别装袋投放，其中类指有害垃圾，类指厨余垃圾，类指可回收垃圾，类指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放如图所示的垃圾桶．
（1）小明正确投放垃圾的概率是______；
（2）请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同一类的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（）根据概率计算公式计算即可求解；
（）画树状图列出所有可能出现的结果，确定符合条件的结果，再根据概率公式计算即可求解；
本题考查了用列表或画树状图的方法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得，小明投放垃圾有种可能的结果，正确投放垃圾的结果只有种，
∴小明正确投放垃圾的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如图所示：

由图可知，共有种等可能结果，其中，小明投放的垃圾与小亮投放的垃圾是同一类的结果有种，
∴．
19. 如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为．
（1）填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）；
（2）当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
（1）根据题意：砌段墙用料为米．
（2）设矩形花园的长为米，则其段墙用料为米，依题意列方程求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意：的长为，因为入口不用砌墙，所以砌段墙用料为米，
∴段墙用料为
故答案为：．
【小问2详解】
由题意：，
，
，，
∵墙最长可利用，
∴，
答：面积为时，墙的长为米．
20. 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，B两点．
（1）______，______，点B坐标为______；
（2）直接写出不等式的解集______；
（3）已知轴，以，为边作菱形．求菱形的面积．
【答案】（1），，
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出点A坐标，进而利用待定系数法求得k值，再根据两个函数的对称性质求得点B坐标；
（2）根据图象，求得正比例函数图象位于反比例函数图象上方部分的点的横坐标取值范围即可；
（3）先利用两点坐标距离公式求得，再根据坐标与图形性质，结合菱形性质求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，将代入中，得，
解得，
∴，
将代入中，得，
∴，
∵反比例函数的图象与正比例函数的图象都关于原点对称，
∴点A、B关于原点对称，则，
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：由图象可知，不等式的解集为或，
故答案为：或；
【小问3详解】
解：∵，，
∴,
∵轴，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、菱形的性质、坐标与图形、两点坐标距离公式等知识，熟练掌握反比例函数与正比例函数的性质，运用数形结合思想求解是解答的关键．
21. 眼睛是人类感官中最重要器官之一，每年的6月6日定为全国爱眼日，小林想要探究自己按照标准护眼姿势读书时书籍应离身体多远，画出如图的侧面示意图，点A为眼睛的位置，A到书籍的距离为40cm，与水平方向夹角为，小林在书桌上方的身长为52cm，且垂直于水平方向，请你求出小林与书籍底端的水平距离．（参考数据：，，）

【答案】小林与书籍底端的水平距离为
【解析】
【分析】如图，过点D作于M，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，由，，可得，在中，，，则，，，在中，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于M，延长交的延长线于点H，

∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
，
∴，
在中，，
∴，
∴，
答：小林与书籍底端的水平距离为．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22. 【问题探究】
（1）如图1，在正方形中，对角线与相交于点O，在线段上任取一点P（端点除外），连接，．
①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处，当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由：
③在探究与的数量关系时，小颖作了如图2的辅助线：作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，请你直接写出与的数量关系．
【迁移探究】
（2）如图3，将（1）中正方形换成菱形，且，其他条件不变，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①证明见解析；②；理由见解析；③（2）；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①根据正方形的性质，证明，即可得出结论；②作于点M，作于点N， 推出，进而求证，得出，即可得出结论；③作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，通过证明，四边形是矩形，得出，，再根据，得出，最后根据，即可得出．
（2）先证明，作交AB于点E，交于点G，则四边形是平行四边形，，推出是等边三角形，同理与都是等边三角形，即可得出结论．
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小是不发生变化，；
理由：作于点M，作于点N，如图，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
③；
作于点M，作于点N，作交于点E，作于点F，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）；
理由：∵四边形是菱形，
∴垂直平分，
∴，
由旋转知：，
∴，
作交AB于点E，交于点G，如图
则四边形是平行四边形，，
∵四边形是菱形，
∴，
又∵
∴是等边三角形，
同理与都是等边三角形，
∴，
作于点M，
则，，
∴，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形、菱形是性质，矩形、平行四边形、等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，以及解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．
23. 【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子，小丽发现叠放所需杯子的总数y随着第一层（最底层）杯子的个数x的变化而变化．
【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？
【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分．为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示(如图3)，再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式．
【解决问题】
（1）直接写出y与x的关系式：
（2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数：
（3）如图4所示，O处为点光源，分别为杯子上、下底面圆的半径，．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过．求：
①杯子最多能叠放多少层和此时杯子的总数：
②此时叠放达到的最大高度．
【答案】（1）
（2）第一层杯子的个数是个
（3）①杯子的层数是层，杯子的总数为个；②杯子叠放达到的最大高度是
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的性质与判定，勾股定理：
（1）根据题意，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出与的关系式；
（2）将代入（1）中的解析，即可求解；
（3）①根据题意列出不等式求得第一层摆放杯子个，进而求得总数，②先利用勾股定理求出，再根据得出，利用相似三角形的性质得出的长，进而即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得 ；
【小问2详解】
解：当时，，
即．
解得，（舍去）．
答：第一层杯子的个数是个．
【小问3详解】
解：①∵第一层杯子的个数个，且第一层摆放杯子的总长度不超过cm，
∴，
解得，
∴的最大值为，
∴第一层摆放杯子的个数是，杯子的层数也是，
∴杯子的总数为个；
②在图4中中，．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴层杯子的高度是，
答：杯子叠放达到的最大高度是．第一层杯子的个数x
1
2
3
4
5
…
杯子的总数y
1
3
6
10
15
…