2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市浑南区九年级上学期数学期中试题及答案，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列哪个方程是一元二次方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程进行判断即可．
【详解】解：A、该方程中含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
C、该方程属于分式方程，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
D、当a=0时，不是一元二次方程，故本选项不合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
2. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（ ）
A. AB2＝AP2+BP2B. BP2＝AP•BA
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断．
【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或．
故选：D．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
3. 若点是反比例函数图象上一点，此函数图象必经过点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，若点是反比例函数图象上一点，可得k的值，结合反比例函数图象上的点的特点，分析选项可得答案．
【详解】解：根据题意，若点是反比例函数图象上一点，
则，
结合反比例函数图象上的点的特点，分析选项：
A、，故反比例函数的图象经过点，选项A符合题意，
B、，故反比例函数的图象不经过点，选项B不符合题意，
C、，故反比例函数的图象不经过点，故选项C不符合题意，
D、，故反比例函数的图象不经过点，故选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出参数k的值是解题关键．
4. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 3，；9B. 3，， C. 3，5，9D. 3，5，
【答案】B
【解析】
【分析】先把一元二次方程化成一般形式得到，然后根据二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解．
【详解】解：去括号得，
移项得，
所以二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式：一元二次方程的一般形式为（a、b、c为常数且）；要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
5. 若，且相似比为，则与的面积比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似三角形的性质：面积的比等于相似比的平方，解答即可．
【详解】解：，相似比为，
与的面积比为．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题关键．
6. 关于一元二次方程的根的情况叙述正确的是（ ）
A. 方程有一个实数根B. 方程有两个不等实数根
C. 方程有两个相等实数根D. 方程没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】先找到，再判断，根据根的判别式即可求出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
故一元二次方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是正确理解根的判别式，根据判别式得到根的情况．
7. 在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（ ）
A. 两条对角线互相垂直平分B. 两条对角线相等且互相垂直
C. 两条对角线互相垂直D. 两条对角线相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故正确；
B、两条对角线相等且互相垂直的四边形是筝形，故不正确；
C、两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故不正确；
D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故不正确.
故选A.
【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的判定方法，熟记两个图形的判定方法是解题的关键，本题“一组对边平行，一组对角相等”根据平行线的性质可以推出另一组对角相等，从而得到四边形是平行四边形，再利用平行四边形与矩形、菱形、正方形的特殊关系判定．
8. 利用配方法解方程x2﹣12x+13＝0，经过配方得到（ ）
A. （x+6）2＝49B. （x+6）2＝23C. （x﹣6）2＝23D. （x﹣6）2＝49
【答案】C
【解析】
【分析】方程先移项，再给两边同加上一次项系数一半的平方，即可完成配方．
【详解】解：x2﹣12x+13＝0，
移项得：x2﹣12x＝﹣13，
配方得：x2﹣12x+36＝23，即（x﹣6）2＝23．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9. 在一个不透明的口袋里有标号为1，2，3，4，5的五个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，摸球前先搅拌均匀，每次摸一个球．下列说法正确的是（ ）
A. 任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同
B. 有放回的连续摸10次，则一定摸出2号球两次
C. 有放回的连续摸5次，则摸出五个球标号数字之和可能是30
D. 有放回的连续摸6次，则一定能摸出2号球
【答案】A
【解析】
【分析】根据概率的意义，逐项分析判断即可即可求解．
【详解】解：A. 任意摸一次，摸出1号球和摸出5号球的概率相同，故该选项正确，符合题意；
B. 有放回的连续摸10次，不一定摸出2号球两次，故该选项不正确，不符合题意；
C. 有放回的连续摸5次，每个球的数字都小于6，则摸出五个球标号数字之和不可能是30，故该选项不正确，不符合题意；
D. 有放回连续摸6次，不一定能摸出2号球，故该选项不正确，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了概率的理解，掌握概率的意义是解题的关键．
10. 如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条小路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，那么小路进出口的宽度应为多少米？设小路进出口的宽为米，则可列方程为( )（注：所有小路进出口的宽度都相等，且每段小路均为平行四边形）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把减去小路的部分拼成一个矩形去计算面积，列出方程．
【详解】解：减去小路的部分依旧可以看作是一个矩形，该矩形的长是米，宽是米，
列式：．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是掌握几何问题的列式方法．
二、填空题（每空3分，共18分）
11. 已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝5，则d＝___．
【答案】##75
【解析】
【分析】根据题意可得 再将a＝2，b＝3，c＝5，代入求解即可．
【详解】解：线段a，b，c，d是成比例线段，

故答案为：．
【点睛】本题主要考查成比例的线段，属于基础题，能够根据题意列出等式这是解题关键．
12. 若点，在反比例函数图像上，，则，大小关系是 _____．
【答案】y1＞y2
【解析】
【分析】反比例函数中，，图像经过第一、三象限，函数值随自变量的值增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：反比例函数中，，图像经过第一、三象限，函数值随自变量的值增大而减小，且，
∴，
故答案是为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数图像的性质，掌握反比例函数中时的图像或时的图像所在象限及特点是解题的关键．
13. 在一个不透明的盒子里，装有5个黑球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，将其摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，估计盒子中白球的个数是 _____．
【答案】15
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为 ，
设盒子中共有白球x个，则，
解得：．
故答案为：15．
【点睛】本题考查利用利用频率估计概率．正确列出算式是解题关键．
14. 如图中，E，F分别是，的中点，过F作交于点G，若，且，，则阴影部分的面积为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据三角形中位线定理求出，根据题意得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：如图，连接，
E，F分别是，的中点，，
，
，F是的中点，
，G是的中点，
，
，
F是的中点，
，，
，
，
E，F分别是，的中点，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
15. 已知正方形，点E在线段上，连接，过点E作，垂足为G，过点D作交延长线于点F，连接，则与的数量关系为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】先证四边形是平行四边形可得，进而得到，再证明可得，进而得到是等腰直角三角形，从而完成解答．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理是解答本题的关键．
16. 如图，在矩形中，，，P是射线上一动点，把沿直线翻折，顶点B对应点为G，当线段与相交时，设交点为E，连接，交于点F，连接，若，则的值为 _____．
【答案】或
【解析】
【分析】利用折叠的性质和平行线的性质得到四边形为菱形，再利用相似三角形的判定与性质得到；设，则，利用相似三角形的判定与性质，得到关于x的方程，解方程求得x值，再利用勾股定理求得的长，将相应线段的值代入中，则结论可得．
【详解】解：由题意得：，
∴，，，，，
∵，
∴， ，
∴，
∴，
∴结合折叠的性质可得：，
∴四边形为菱形．
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴ ，
设，则，
∴， 解得：或，经检验符合题意；
∴或．
∴或，
∴或，
故答案为： 或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题（17题5分，18题8分，19题9分，共计22分）
17. 用适当的方法解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】先移项，把方程化为，再配方得到，再解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
则，即，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解本题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在坐标系内画，使它与位似，且位似比为．
（1）画出；
（2）请直接写出△DEF的顶点坐标．
【答案】（1）作图见详解
（2）D的坐标为，E的坐标为，F的坐标为
【解析】
【分析】（1）根据位数定义，及位似比即可作图；
（2）的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为，由此可求出对应点的坐标．
【小问1详解】
解：原点为位似中心，位似比为，
∴如图所示，
和即为所求．
【小问2详解】
解：的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，位似比为，
∴，，，， ，．
【点睛】本题主要考查图形的位似，掌握位似图形的定义及位似比的计算是解题的关键．
19. 小明、小芳做一个“配色”的游戏，如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘转出了红色，转盘转出了蓝色，或者转盘转出了蓝色，转盘转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负．
（1）转动转盘一次，请直接写出转到红色的概率；
（2）此游戏的规则，对小明、小芳是否公平？请利用列表或画树状图的方法解释说明．
【答案】（1）
（2）不公平，理由见详解
【解析】
【分析】（1）转动转盘一次，可能出现的结果有种，其中红色的有种，由此即可求解；
（2）用列表法将所有可能出现的结果表示出来，有种情况可能得到紫色，有种情况才可能得到绿色，由此即可求解．
【小问1详解】
解：转动转盘一次，可能出现的结果有种，其中红色的有种，
∴，
故转到红色的概率为．
【小问2详解】
解：不公平．理由如下，
用列表法将所有可能出现的结果表示如下，
上面等可能出现的种结果中，有种情况可能得到紫色，故配成紫色的概率是，即小芳获胜的概率是；但只有种情况才可能得到绿色，配成绿色的概率是，即小明获胜的概率是．而，故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏对双方是不公平的．
【点睛】本题主要考查用列表法或列举法求概率，理清题意，找出事件可能出现的结果，利用概率公式计算概率是解题的关键．
四、（20题8分，21题8分，共计16分）
20. 如图，直线与反比例函数的图像相交于点，且与x轴相交于点B．
（1）求a、b的值；
（2）若点P在x轴上，且的面积是的面积的，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）联立直线与反比例函数的解析式求得a的 值，即可确定A点坐标，然后将A点坐标代入即可求得b的值；
（2）先根据直线确定点B的坐标，进而得到的面积是的面积的，即，即可确定点P的坐标．
【小问1详解】
解：∵直线与反比例函数的图像相交于点，
∴，
∴a＝﹣1．
∴．
把A的坐标代入得:，解得：．
【小问2详解】
解：∵直线与x轴相交于点B．
∴，
∵点P在x轴上，
∴的面积是的面积的，
∴，
∴P的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数交点问题，求出A、B点坐标是解答本题的关键．
21. 随着互联网的发展，人们的购物方式有了变化，使用网络平台在线购物的越来越多．某产品今年开始做线上销售，二月份销售利润5万元，四月份销售利润万元，求三、四两个月份销售利润的月均增长率．
【答案】三、四两个月份销售利润的月均增长率为
【解析】
【分析】设三、四两个月份销售利润的月均增长率为x，则三月份获得利润万元，四月份获得利润万元，根据题意列出方程即可解得．
【详解】解：设三、四两个月份销售利润的月均增长率为x，则三月份获得利润万元，四月份获得利润万元，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：三、四两个月份销售利润的月均增长率为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程．
五、（10分）
22. 如图，有一块面积为的待加工材料，将它加工成一个矩形零件，矩形一边上的两个顶点E，F落在上，另两个顶点H，G分别在上．
（1）求证：；
（2）当矩形的面积为的面积一半时，求矩形的长和宽分别是多少厘米？
【答案】（1）见解析 （2）矩形的长为6厘米，宽为4厘米
【解析】
【分析】（1）直接根据证明即可；
（2）过点A作于点D，交于点M，由的面积为得到厘米，再由得到，设 厘米，厘米，根据得到，最后根据“矩形的面积为的面积一半”求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴；
【小问2详解】
过点A作于点D，交于点M，如图，
∵的面积为，
∴，
∵厘米，
∴厘米．
∵，
∴，
∴．
设 厘米，厘米，则 厘米，
∴ 厘米，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴．
∵矩形的面积为的面积一半，
∴．
∴．
解得：，
∴，
∴厘米，厘米．
答：矩形的长为6厘米，宽为4厘米．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．
六、（10分）
23. 如图，中，，动点E从点A出发沿方向运动，动点F从点C出发沿方向运动，点同时出发，且速度均为，设运动时间为．过E作线段，且，连接，解答下列问题：
（1）当点F运动到中点时，求的长；
（2）连接，当的面积为时，求t的值；
（3）是否存在某一时刻t，使为直角三角形，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在， 或
【解析】
【分析】（1）勾股定理求出，求出，即可求出；
（2）过点E作EM⊥CB于M，表示出，过点P作，交的延长线于G，四边形是矩形，得出，根据面积求出即可解得；
（3）分两种情况：①若时，证明求得；②当时，，求出．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵F为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
过点E作于M，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点P作，交的延长线于G，
∵，，
四边形是矩形，
∴（cm），
∵，
∴，
解得，
∴当时，的面积为；
【小问3详解】
存在．
分两种情况：
①若时，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得；
②当时，
过点E作，过点P作，交的延长线于G，
由（2）可知，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
综上所述，或时，为直角三角形．
【点睛】此题考查了勾股定理、三角形相似、一元二次方程，解题的关键是熟悉勾股定理、三角形相似、一元二次方程相关知识．
七、（12分）
24. 已知正方形，E是射线上一动点，连接，点F在直线上，且，将绕点E顺时针旋转得到，过点C作的平行线，交射线于点H，连接．
（1）如图1，当点E在中点时，重合，请判断四边形的形状并证明你的结论；
（2）如图2，当点E在延长线上时，补全图形并回答下列问题：
①四边形的形状是否发生改变，请说明理由；
②连接，交于点M，若， ，请直接写出的长．
【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析
（2）①四边形的形状不会发生改变，四边形是菱形，理由见解析；②
【解析】
【分析】（1）设与交与点M，利用正方形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
（2）①延长交于点K，利用正方形的性质，旋转的性质和全等三角形的判定与性质得到，再利用菱形的判定定理解答即可；
②设交于点N，利用①的结论证明，得到，则和为等腰直角三角形，设,则，利用勾股定理列出方程即可求得x值，再利用等腰直角三角形的性质求得的长，则．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由：
设与交与点M，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵点E在中点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴，
∵重合，
∴，
∵将绕点E顺时针旋转得到，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
四边形的形状不会发生改变，四边形是菱形，理由：
延长交于点K，如图，
由题意得：，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
②设与交于点N，如图，
由①知：，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，，
∴．
在中，
∵，
∴，
解得：（负数不合题意，舍去），
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
八.（12分）
25. 已知，菱形中，，，线段，分别与，两边相交，且．
（1）如图1，设线段，分别交，两边于点，，连接，当时，请直接写出的长；
（2）将绕着顶点旋转，射线，交于点．
①如图2，连接，，若，求出，，之间的数量关系；
②旋转过程中，四边形的面积是否有最大值，如果有，请直接写出最大值；如果没有，请说明理由．
【答案】（1）
（2）①，理由见详解；②四边形的面积有最大值，最大值为
【解析】
【分析】（1）四边形是菱形，，，易证，可知是等边三角形，，，由此即可求解；
（2）①将绕着顶点旋转，根据旋转的性质可证，，，从而得出，由此即可求解；②旋转过程中，判断四边形的面积何时为最大值即可，如图所示（见相机），连接，过点作于点，则可求出，四边形的面积，当的面积最大时，四边形的面积最大，由此找出的面积最大即可，当时，由，为边组成正方形时，的面积最大，且的最大面积，由此即可求解．
【小问1详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：①，理由如下，
如图所示，连接，，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
②如图所示，连接，过点作于点，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵四边形的面积，
∴当的面积最大时，四边形的面积最大，
∵，
∴当时，即由，为边组成正方形时，的面积最大，
∵是由，为边组成正方形的对角线，
∴正方形面积为，
∴的最大面积，
∴四边形的面积．
∴四边形的面积有最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的性质，图形旋转的性质的综合运用，掌握根据菱形的性质，等边三角形的性质以及旋转的性质找出角与角，线段与线段的关系是解题的关键．红
蓝
黄
红
（红，红）
（蓝，红）
（黄，红）
蓝
（红，蓝）
（蓝，蓝）
（黄，蓝）
红
（红，红）
（蓝，红）
（黄，红）
黄
（红，黄）
（蓝，黄）
（黄，黄）