适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第6章数列课时规范练43数列中的综合问题课件新人教A版

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1.(2021·新高考Ⅰ,17)已知数列{an}满足a1=1,an+1=(1)记bn=a2n,写出b1,b2,并求数列{bn}的通项公式;(2)求{an}的前20项和.
解 (1)(方法一)显然2n为偶数,则a2n+1=a2n+2,a2n+2=a2n+1+1,所以a2n+2=a2n+3,即bn+1=bn+3,且b1=a2=a1+1=2,所以{bn}是以2为首项,3为公差的等差数列,于是b1=2,b2=5,bn=3n-1.
(方法二　奇偶分类讨论)由题意知a1=1,a2=2,a3=4,所以b1=a2=2,b2=a4=a3+1=5.由an+1-an=1(n为奇数)及an+1-an=2(n为偶数)可知,数列从第一项起,若n为奇数,则其后一项减去前一项的差为1,若n为偶数,则其后一项减去前一项的差为2.所以an+2-an=3(n∈N*),则bn=b1+(n-1)×3=3n-1.
则bn=a2n=(a2n-a2n-1)+(a2n-1-a2n-2)+…+(a2-a1)+a1 =1+2+1+2+…+2+1+a1=n×1+2(n-1)+1=3n-1.所以b1=2,b2=5,数列{bn}的通项公式bn=3n-1.
(2)(方法一　奇偶分类讨论)S20=a1+a2+a3+…+a20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)
(方法二　分组求和)由题意知数列{an}满足a1=1,a2n=a2n-1+1,a2n+1=a2n+2,所以a2n+1=a2n+2=a2n-1+3.所以数列{an}的奇数项是以1为首项,3为公差的等差数列;同理,由a2n+2=a2n+1+1=a2n+3知数列{an}的偶数项是以2为首项,3为公差的等差数列.从而数列{an}的前20项和为S20=(a1+a3+a5+…+a19)+(a2+a4+a6+…+a20)
2.(2024·福建师大附中模拟)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式:①等额本金:每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息:每月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(如2023年7月7日贷款到账,则2023年8月7日首次还款).已知该笔贷款年限为20年,月利率为0.4%.(1)若小张采取等额本金的还款方式,已知第一个还款月应还4 900元,最后一个还款月应还2 510元,试计算该笔贷款的总利息.
(2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半.已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张申请该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素).(3)对比两种还款方式,从经济利益的角度考虑,小张应选择哪种还款方式.参考数据:1.004240≈2.61.
解 (1)由题意可知,等额本金还款方式中,每月的还款额构成等差数列,记为{an},用Sn表示数列{an}的前n项和,则a1=4 900,a240=2 510,则S240= =889 200,故小张的该笔贷款的总利息为889 200-600 000=289 200(元).
(2)设小张每月还款额为x元,采取等额本息的还款方式,则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600 000×(1+0.004)240,
所以小张申请该笔贷款能够获批.
(3)小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240-600 000=333 840 (元),因为333 840>289 200,所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择等额本金的还款方式.
3.(2021·全国乙,文19)设{an}是首项为1的等比数列,数列{bn}满足bn= .已知a1,3a2,9a3成等差数列.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)记Sn和Tn分别为{an}和{bn}的前n项和.证明:Tn< .
(1)解 设{an}的公比为q,则an=qn-1.因为a1,3a2,9a3成等差数列,
4.长江十年禁渔计划全面施行,渔民老张积极配合政府工作,如期收到政府的补偿款.他决定拿出其中10万元进行投资,并看中了两种为期60天(视作2个月)的稳健型理财方案.方案一:年化率2.4%,且有10%的可能只收回本金;方案二:年化率3.0%,且有20%的可能只收回本金.已知老张对每期的投资本金固定(都为10万元),且第一次投资时选择了方案一,在每期结束后,老张不间断地进行下一期投资,并且他有40%的可能选择另一种理财方案进行投资.(1)设第i次投资(i=1,2,3,…,n)选择方案一的概率为Pi,求P4;
(2)求一年后老张可获得总利润的期望(精确到1元).注:若拿1千元进行5个月年化率为2.4%的投资,则该次投资获利
那么,在一年间,老张共投资了6次,获得的总利润的期望为W=[P1W1+(1-P1)W2]+[P2W1+(1-P2)W2]+…+[P6W1+(1-P6)W2] =(P1+P2+…+P6)W1+[(1-P1)+(1-P2)+…+(1-P6)]W2≈2 400-40×(3+ )=2 255(元),即一年后老张可获得的总利润的期望约为2 255元.
5.(2024·浙江温州模拟)图中的数阵满足:每一行从左到右成等差数列,每一列从上到下成等比数列,且公比均为实数q,a1,1>0,a1,3=5,a2,2=-6, =a7,5.a1,1　a1,2　a1,3　…　a1,n　…a2,1　a2,2　a2,3　…　a2,n　…a3,1　a3,2　a3,3　…　a3,n　…a4,1　a4,2　a4,3　…　a4,n　……… …………(1)设bn=an,n,求数列{bn}的通项公式.(2)设Sn=a1,1+a2,1+…+an,1,是否存在实数λ,使an,1≤λSn恒成立?若存在,求出λ的所有值;若不存在,请说明理由.
解 (1)设a1,1=t,第一行从左到右成等差数列的公差为d,则a1,3=t+2d=5,a2,2=a1,2q=(t+d)q=-6,
又t>0,解得t=1,d=2,因此q=-2,a1,n=a1,1+(n-1)d=2n-1,所以an,n=a1,nqn-1=(2n-1)·(-2)n-1,即bn=(2n-1)·(-2)n-1.
(2)存在实数λ,使an,1≤λSn恒成立.理由如下:由(1)知,an,1=a1,1qn-1=(-2)n-1,
6.(2024·辽宁鞍山模拟)已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn,若Sn+1+Sn=3n2+6n+3,a1=2.(1)记bn=an+an+1,判断{bn}是否为等差数列,若是,给出证明;若不是,请说明理由.(2)记cn=(-1)n+1anan+1,{cn}的前n项和为Tn,求Tn.
解 (1)因为Sn+1+Sn=3n2+6n+3,当n=1时,S2+S1=2a1+a2=3+6+3=12,又a1=2,所以b1=a1+a2=10.当n≥2时,因为Sn-Sn-1=an,由Sn+1+Sn=3n2+6n+3,得an+1+Sn+Sn=3n2+6n+3,①所以an+2Sn-1=3(n-1)2+6(n-1)+3,②①-②得an+1+an=6n+3,经验证,当n=1时不等于b1,所以{bn}不是等差数列.
(2)由an+1+an=6n+3(n≥2),得an+2+an+1=6n+9(n≥2),两式相减得an+2-an=6(n≥2).所以当n≥2时:数列{a2k}(k∈N*)是首项为a2=8,公差为6的等差数列;数列{a2k+1}(k∈N*)是首项为a3=7,公差为6的等差数列.当n为偶数时,不妨设n=2k(k∈N*),则a2k=6k+2,此时T2k=c1+c2+c3+…+c2k-1+c2k=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+a5a6-…+a2k-1a2k-a2ka2k+1 =a1a2-a2a3-(a5-a3)a4-(a7-a5)a6-(a9-a7)a8-…-(a2k+1-a2k-1)a2k