适用于新高考新教材备战2025届高考数学一轮总复习第6章数列课时规范练38等差数列课件新人教A版

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1.(2024·河北秦皇岛模拟)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2,其前n项和为Sn,若S9=18,则a5=(　　)A.-2B.0C.2D.4
解析 根据题意2an+1=an+an+2,可得数列{an}为等差数列,所以S9= =18,所以a1+a9=4,所以2a5=4,所以a5=2.故选C.
2.(2024·广东深圳模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=10,则S30=(　　)A.0B.-10C.-30D.-40
解析 由等差数列{an}的前n项和的性质可得S10,S20-S10,S30-S20也成等差数列,所以2(S20-S10)=S10+(S30-S20),所以2×(10-20)=20+S30-10,解得S30=-30.故选C.
3.(2024·广西南宁模拟)2022年10月16日,中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕.某单位组织全体党员在报告厅集体收看党的二十大开幕式,已知该报告厅共有10排座位,共有180个座位数,并且从第二排起,每排比前一排多2个座位数,则最后一排的座位数为(　　)A.23B.25C.27D.29
解析 根据题意,把各排座位数看作等差数列,设等差数列通项为an,首项为a1,公差为d,前n项和为Sn,则d=2,S10=180,因为
a10=a1+9d=9+9×2=27.
4.(2024·河北唐山模拟)已知数列{an}为递增的等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,S14=14,S9=18-λa10,则λ=(　　)A.6B.7C.8D.9
5.(2024·河北石家庄模拟)数列{an},{bn}的通项公式分别为an=3n-1和bn=4n-3(n∈N*),设这两个数列的公共项构成集合A,则集合A∩{n|n≤2 023, n∈N*}中元素的个数为(　　)A.167B.168C.169D.170
解析 由题意可知,数列{an}:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,…,数列{bn}:1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,…,将集合A中的元素由小到大进行排序,构成数列{cn}:5,17,29,…,易知数列{cn}是首项为5,公差为12的等差数列,则cn=5+12(n-1)=12n-7,由cn=12n-7≤2 023,得 ,因此,集合A∩{n|n≤2 023,n∈N*}中元素的个数为169.
6. (多选题)(2024·广东湛江模拟改编)一百零八塔始建于西夏时期,是中国现存最大且排列最整齐的塔群之一,塔群随山势凿石分阶而建,自上而下一共12层,第1层有1座塔,从第2层开始每层的塔数均不少于上一层的塔数,总计108座塔.已知包括第1层在内的其中十层的塔数可以构成等差数列{an},剩下的两层的塔数分别与上一层的塔数相等,第1层与第2层的塔数不同,则下列结论正确的有(　 　)A.第3层的塔数为3B.第4层与第5层的塔数相等C.第6层的塔数为9D.等差数列{an}的公差为2
7.(2024·青海西宁模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和.若S12<0,a5+a7>0,则当Sn取最大值时,n的值为　　　　　. 
解析 因为S12= =6(a1+a12)=6(a6+a7)<0,所以a6+a7<0,又a5+a7=2a6>0,所以a6>0,所以a7<0,所以当Sn取最大值时,n的值为6.
8.(2024·广东广州模拟)在数列{an}中,a1=2,am+n=am+an,若akak+1=440,则正整数k=　　　　　. 
解析 由a1=2,am+n=am+an,令m=1,则an+1-an=a1=2,所以数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,即an=2+(n-1)×2=2n,所以akak+1=2k×2(k+1)=440,k为正整数,即k(k+1)=110,解得k=10或k=-11(舍去).
9.(2024·广东深圳模拟)记Sn为数列{an}的前n项和,已知Sn= +n2+1,n∈N*.(1)求a1+a2,并证明{an+an+1}是等差数列;(2)求Sn.
整理得an+an+1=4n+2,n∈N*,所以(an+1+an+2)-(an+an+1)=[4(n+1)+2]-(4n+2)=4(常数),n∈N*,所以{an+an+1}是首项为6,公差为4的等差数列.
10.(2024·河南郑州高三联考)已知数列{an}满足an≠0, (1+3a1)(1+3a2)(1+3a3)…(1+3an)=an(n∈N*).(1)证明:数列{ }是等差数列;(2)求数列{anan+1}的前n项和Tn.
(1)证明 因为(1+3a1)(1+3a2)(1+3a3)…(1+3an)=an ,①所以当n≥2时,(1+3a1)(1+3a2)(1+3a3)…(1+3an-1)=an-1.②
11.(多选题)已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=66,a2+a4+a6=57,则下列结论正确的是(　　)A.{an}的公差为-2B.{an}的通项公式为an=31-3nC.{an}的前n项和为D.{|an|}的前50项和为2 575
解析 设{an}的公差为d,前n项和为Sn,因为a1+a3+a5=3a3=66,a2+a4+a6=3a4=57,所以a3=22,a4=19,所以d=-3,故A错误;因为a1=a3-2d=28,所以an=28-3(n-1)=31-3n,故B正确;
12.(2024·广东潮州模拟)将数列{an}中的项排成下表:a1a2,a3a4,a5,a6,a7a8,a9,a10,a11,a12,a13,a14,a15…已知各行的第一个数a1,a2,a4,a8,…构成数列{bn},b2=3且{bn}的前n项和Sn满足Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n∈N*,且n≥2),从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成公差为d的等差数列,且公差为同一个常数.若a130=19,则第6行的所有项的和为　　　　　. 
解析 ∵Sn+1+Sn-1=2Sn+2(n∈N*,且n≥2),∴Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,即bn+1=bn+2, ∴数列{bn}的通项公式为bn=3+2(n-2)=2n-1(n∈N*,且n≥2),观察表中各行规律可知,第n行的最后一项是数列{an}的第2n-1项,∵27-1=127,∴a130在表中第8行第3列,∵b8=a128=2×8-1=15,且a128+2d=a130,∴公差d=2.∴第6行共有32个元素,则第6行所有项的和为11×32+ 2=1 344.
13.(2024·河北承德模拟)已知数列{an}满足a1=3,an+1=(1)证明:数列{a2n-1}为等差数列;(2)若将数列{an}中满足ai=aj的项ai,aj(i≠j)称为数列{an}中的相同项,将数列{an}的前40项中所有的相同项都剔除,求数列{an}的前40项中余下项的和.
所以数列{bn}是首项为3,公差为3的等差数列,即数列{a2n-1}为等差数列.
(2)解 由(1)可知,bn=a2n-1=3n,设cn=a2n,同理可证数列{cn}是首项为12,公差为9的等差数列,所以cn=3+9n,设数列{bn}的前n项和为Sn,数列{cn}的前n项和为Tn,则数列{an}的前40项和为S20+T20,若bk=cn(k,n∈N*),即3k=3+9n,得k=1+3n,k=1+3n≤20,有n≤6,将数列{an}的前40项中所有的相同项都剔除,则数列{an}的前40项中余下项的和为
14.(2024·河北邯郸模拟)若数列{an}从第二项起,每一项与前一项的差构成等差数列,则称数列{an}为二阶等差数列.某数学小组在数学探究课上,用剪刀沿直线剪一圆形纸片,将剪n(n∈N*)刀最多可以将圆形纸片分成的块数记为bn,经实际操作可得b1=2,b2=4,b3=7,b4=11,…,根据这一规律,得到二阶等差数列{bn},则b8=　　　　　;若将圆形纸片最多分成1 276块,则n=　　　　　.