2022-2023学年江西科技学院附中八年级（下）段考数学试卷（B卷）（含解析）

这是一份2022-2023学年江西科技学院附中八年级（下）段考数学试卷（B卷）（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，点P(−3,m2+1)关于原点对称点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.抛物线的函数表达式为y=3(x−2)2+1，若将x轴向上平移2个单位长度，将y轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为( )
A. y=3(x+1)2+3B. y=3(x−5)2+3
C. y=3(x−5)2−1D. y=3(x+1)2−1
3.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC，CD，AD的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为( )
A. 3+ 3B. 2+2 3C. 2+ 3D. 1+2 3
4.某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条.商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙.若想要商店每天盈利1200元，每条连衣裙应降价( )
A. 5元B. 10元C. 20元D. 10元或20元
5.某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门，已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m.设饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式是( )
A. y=−x2+50xB. y=−12x2+24xC. y=−12x2+25xD. y=−12x2+26x
6.设m、n是常数，且n<0，抛物线y=mx2+nx+m2−m−6为下图中四个图象之一，则m的值为( )
A. 6或−1B. 3或−2C. 3D. −2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.已知函数y=(k−3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为________．
8.用配方法将二次函数y=x2−6x+11化为y=a(x−h)2+k的形式，其结果为______．
9.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为______秒.
10.已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)与y轴交于点C，点D(4,y)在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点，当BE+DE的值最小时，△ACE的面积为______．
11.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=−1，给出下列结果：①b2>4ac；②abc>0；③2a+b=0；④a−b+c<0；⑤3a+c>0.其中正确结论的序号是______．
12.已知Rt△ABC中，∠A=90°，AC=2AB=4，D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，将△BDE绕顶点B旋转，当点E到直线AB的距离为1时，CE的长为______．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2−6x+2m−1=0有x1，x2两实数根．
(1)若x1=1，求x2及m的值；
(2)是否存在实数m，满足(x1−1)(x2−1)=6m−5？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
14.(本小题6分)
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB=60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°<α<120°)，所得的直线l分别交AD，BC于点E，F．
(1)求证：△AOE≌△COF；
(2)当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由．
15.(本小题6分)
已知：抛物线的解析式为y=−2(x+4)(x−1)．
(1)求抛物线与y轴的交点坐标；
(2)写出这个抛物线的对称轴方程；
(3)求出抛物线在x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围．
16.(本小题6分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(3,0)、B(−1,0)、C(0,−3)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17.(本小题6分)
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别位于x轴、y轴上，经过A、C两点的抛物线交x轴于另一点D，连接AC，请你只用无刻度的直尺按要求画图．
(1)在图1中的抛物线上，画出点E，使DE=AC；
(2)在图2中的抛物线上，画出抛物线的顶点F．
18.(本小题8分)
“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级(一)班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据(单位：小时)如下：
1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4
九年级(一)班女生一周复习时间频数分布表
(1)统计表中a=______，该班女生一周复习时间的中位数为______小时；
(2)扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为______°；
(3)该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？
(4)在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C.，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．
19.(本小题8分)
襄阳市开展精准扶贫工作时，贫困户张大爷在某单位的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的30天中，第一天卖出20千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数解析式为y=mx-76m(1≤x<20,x为正整数)n(20≤x≤30,x为正整数)，且第12天的售价为32元/千克，第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成本是18元/千克，每天的利润是W元(利润=销售收入−成本)．
(1)m=______，n=______；
(2)求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
(3)在销售蓝莓的30天中，当天利润不低于870元的共有多少天？
20.(本小题8分)
如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．
(1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．
①求证：△AGE≌△AFE；
②若BE=2，DF=3，求AH的长．
(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N.请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．
21.(本小题9分)
小爱同学学习二次函数后，对函数y=−(|x|−1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象.请根据函数图象，回答下列问题：
(1)观察探究：
①写出该函数的一条性质：______；
②方程−(|x|−1)2=−1的解为：______；
③若方程−(|x|−1)2=a有四个实数根，则a的取值范围是______．
(2)延伸思考：
将函数y=−(|x|−1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=−(|x−2|−1)2+3的图象？写出平移过程，并直接写出当222.(本小题9分)
定义：如果一个数的平方等于−1，记为i2=−1，这个数i叫做虚数单位.那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，复数一般表示为a+bi(a,b为实数)，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它与整式的加法、减法、乘法运算类似．
例如：解方程x2=−1，解得x1=i，x2=−i；同样我们也可以化简 −4= 4×(−1)= 22×i2=2i读完这段文字，请你解答以下问题：
(1)填空：i3= ______，i4= ______，i2+i3+i4…+i2021= ______；
(2)已知(a+i)(b+i)=2−5i，写出一个以a，b的值为解的一元二次方程；
(3)在复数范围内解方程：x2−6x+13=0．
23.(本小题12分)
定义：若一条抛物线上存在一点到两坐标轴的距离相等，则这个点称为等距离点，如：抛物线y=x2上有三个等距离点(1,1)，(−1,1)，(0,0)．
(1)下列说法正确的是______(填写所有正确答案的序号)．
①任意一条抛物线上都存在等距离点；
②抛物线y=14x2+1上有且仅有两个等距离点；
③抛物线y=x2+c上一定存在等距离点；
④抛物线y=x2+c上最多存在4个等距离点；
(2)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2x−t的顶点为A，且该抛物线上有三个等距离点O，A，B．
①求点B的坐标；
②求△OAB的面积；
③若在直线OB上方的抛物线上存在一点P，使得以P，O，A，B为顶点的四边形的面积最大，求此时点P的坐标？
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵m2+1>0，
∴点P(−3,m2+1)在第二象限，
∴点P(−3,m2+1)关于原点对称点在第四象限，
故选：D．
依据m2+1>0，即可得出点P(−3,m2+1)在第二象限，再根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出结论．
本题主要考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意知，将抛物线y=3(x−2)2+1向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为：y=3(x−5)2−1．
故选：C．
此题可以转化为求将抛物线“向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律是解题关键．
3.【答案】A
【解析】【分析】
证明△BEF是等边三角形，求出EF，同法可证△DGH，△EOH，△OFG都是等边三角形，求出EF，GH，EH，GF即可．
本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：如图，连接BD，AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴AB=BC=CD=AD=2，∠BAO=∠DAO=60°，BD⊥AC，
∴∠ABO=∠CBO=30°，
∴OA=12AB=1，OB= 3OA= 3，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠BEO=∠BFO=90°，
在△BEO和△BFO中，
∠BEO=∠BFO∠EBO=∠FBOBO=BO，
∴△BEO≌△BFO(AAS)，
∴OE=OF，BE=BF，
∵∠EBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴EF=BE= 3× 32=32，
同法可证，△DGH，△OEH，△OFG都是等边三角形，
∴EF=GH=32，EH=FG= 32，
∴四边形EFGH的周长=3+ 3，
故选：A．
4.【答案】D
【解析】解：设每条连衣裙降价x元，则每天售出(20+2x)条，
依题意，得：(40−x)(20+2x)=1200，
整理，得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
答：每条连衣裙应降价10元或20元．
故选：D．
设每条连衣裙降价x元，则每天售出(20+2x)条，根据总利润=单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】
根据题意表示出矩形的宽，再利用矩形面积求法得出答案．
此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出矩形的宽是解题关键．
【解答】
解：设饲养室长为xm，占地面积为ym2，
则y关于x的函数表达式是：y=x⋅12(50+2−x)=−12x2+26x．
故选：D．
6.【答案】D
【解析】解：∵y=mx2+nx+m2−m−6，
∴x=−n2m，
因为n<0，所以对称轴不可能是x=0，所以第一个图，第二个图不正确．
三，四两个图都过原点，
∴m2−m−6=0，即(m−3)(m+2)=0，
∴m=3或−2．
第三个图中m<0，开口才能向下．
对称轴为：x=−n2m<0，
所以m可以为−2．
第四个图，m>0，开口才能向下，
x=−n2m>0，而从图上可看出对称轴小于0，从而m=3不符合题意．
故选：D．
可根据函数的对称轴，以及当x=0时，y的值来确定符合题意的函数式，进而确定m的值．
本题考查二次函数的性质，开口方向，对称轴等以及二次函数图象与系数的关系．
7.【答案】k≤4
【解析】解：①当k−3≠0时，(k−3)x2+2x+1=0，
∵Δ=b2−4ac=22−4(k−3)×1=−4k+16≥0，
∴k≤4；
②当k−3=0，即k=3时，y=2x+1，与x轴有交点；
故k的取值范围是：k≤4，
故答案为：k≤4．
分为两种情况：①当k−3≠0时，(k−3)x2+2x+1=0，求出Δ=b2−4ac=−4k+16≥0的解集即可；②当k−3=0时，得到一次函数y=2x+1，与x轴有交点；即可得到答案．
本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．
8.【答案】y=(x−3)2+2
【解析】解：y=x2−6x+11=(x−3)2+2．
故答案为：y=(x−3)2+2．
化为一般式后，利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
本题考查了二次函数的三种形式．
二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；
(2)顶点式：y=a(x−h)2+k；
(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).
9.【答案】2
【解析】解：根据题意可知CN=t cm，AM=2t cm，
∴BN=(8−t)cm，BM=(12−2t)cm，
∵△MNB的面积为24cm2，
∴12×(12−2t)×(8−t)=24，
整理得：t2−14t+24=0，
解得：t1=2，t2=12(不合题意，舍去)．
故答案为：2．
根据题意可知CN=t cm，AM=2tcm，进而可得出BN=(8−t)cm，BM=(12−2t)cm，根据△MNB的面积为24cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】4
【解析】解：当y=0时，x2−2x−3=0，解得x1=−1，x2=3，则A(−1,0)，B(3,0)，
抛物线的对称轴为直线x=1，
当x=0时，y=x2−2x−3=−3，则C(0,−3)，
当x=4时，y=x2−2x−3=5，则D(4,5)，
连接AD交直线x=1于E，交y轴于F点，如图，
∵BE+DE=EA+DE=AD，
∴此时BE+DE的值最小，
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A(−1,0)，D(4,5)代入得−k+b=04k+b=5，解得k=1b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
当x=1时，y=x+1=2，则E(1,2)，
当x=0时，y=x+1=1，则F(0,1)，
∴S△ACE=S△ACF+S△ECF=12×4×1+12×4×1=4．
故答案为4．
解方程x2−2x−3=0得A(−1,0)，B(3,0)，则抛物线的对称轴为直线x=1，再确定C(0,−3)，D(4,5)，连接AD交直线x=1于E，交y轴于F点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE+DE的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD的解析式为y=x+1，则F(0,1)，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路径问题．
11.【答案】①④⑤
【解析】解：∵图象和x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，∴①正确；
∵从图象可知：a>0，c<0，−b2a=−1，b=2a>0，
∴abc<0，∴②错误；
∵b=2a>0
∴2a+b=4a>0，∴③错误；
∵x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，∴④正确；
∵x=1时，y>0，
∴a+b+c>0，
把b=2a代入得：3a+c>0，选项⑤正确；
故答案为①④⑤．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=−1计算2a+b与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．
本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
12.【答案】3或5或 41
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，BC的中点，如图1，
∴△BDE为直角三角形，
∵AC=2AB=4，
∴AB=2，BD=1，DE=2，
∴BE= 12+22= 5，
若点E到直线AB的距离为1，则可分四种情况进行讨论，
①当点E在直线AB的右侧，点E在上方时，如图2，过点D作DF⊥AC，
∵点E到直线AB的距离为1，BD=1，
∴DE/​/AB，E、D、F三点共线，
∵DF⊥AC，BD⊥DE，
∴四边形BDFA是矩形，
∴DF=AB=2，CF=AC−AF=AC−BD=3，
∴EF=4，
∴CE= CF2+EF2=5；
②当点E在直线AB的左侧，点E在上方时，如图3，过点E作EG⊥AC交CA延长线于点G，过点B作BH⊥EG，则EG/​/AB，
∵点E到直线AB的距离为1，
∴BH=1，
∴EH= BE2−BH2=2，
由题意可得：四边形ABHG为矩形，
∴AG=BH=1，AB=HG=2，
∴CG=5，
∴CE= CG2+EG2= 41；
③当点E在直线AB的左侧，点E在下方时，如图4，
∵点E到直线AB的距离为1，BD=1，
∴BD⊥AB，
∴四边形ABDE为矩形，
∴AE=BD=1，E、A、C三点共线，
∴CE=AC+AE=5；
④如图5，当点E在直线AB的右侧，点E在下方时，
BE= 5，AB=2，点E到直线AB的距离为1，
可以确定点E在线段AC上，且AE=1，
则CE=3，
综上，CE的长为3或5或 41．
根据三角形中位线求得DE，利用勾股定理求得BE的长度，再利用旋转的性质，根据点E到直线AB的距离为1，分类讨论求解即可．
此题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角形中位线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活运用相关性质进行求解．
13.【答案】解：(1)根据题意得，x1x2=ca=2m−1，x1+x2=6，
若x1=1，1+x2=6，解得x2=5，
∵5=ca=2m−1，
解得：m=3；
(2)存在；
∵(x1−1)(x2−1)=6m−5，
∴x1x2−(x1+x2)+1=6m−5，
∵x1+x2=6，x1x2=2m−1，
∴2m−1−6+1=6m−5，
整理得：m2−8m+12=0，
解得：m1=2，m2=6，
经检验m1=2，m2=6为原方程的解，
又∵一元二次方程x2−6x+2m−1=0有两个实数根，
∴Δ=(−6)2−4(2m−1)≥0，
解得：m≤5，
∴m=2．
【解析】(1)根据一元二次方程根和系数的关系，得到x1+x2=6，x1x2=2m−1，即可求出x2及m的值；
(2)将x1+x2=6，x1x2=2m−1代入(x1−1)(x2−1)=6m−5，整理得：m2−8m+12=0，求出m的值，然后再舍去不合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，根和系数的关系，解分式方程，熟练掌握一元二次方程根和系数的关系：x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题关键．
14.【答案】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，AO=CO，
∴∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
∠AEO=∠CFO∠AOE=∠COFAO=CO，
∴△AOE≅△COF(AAS)；
(2)当α=90°时，四边形AFCE为菱形，
理由：∵△AOE≅△COF，
∴OE=OF，
又∵AO=CO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵∠AOE=90°，
∴四边形AFCE为菱形．
【解析】(1)由“AAS”可证△AOE≅△COF；
(2)由全等三角形的性质可得OE=OF，可证四边形AFCE为平行四边形，由菱形的判定可得结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的性质等知识，证明△AOE≅△COF是解题的关键．
15.【答案】解：(1)令x=0得y=8，所以抛物线与y轴的交点坐标为(0,8)；
(2)令y=0得x1=−4，x2=1，所以对称轴方程为x=−1.5；
(3)根据y=−2(x+4)(x−1)可知：抛物线在x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围是−4【解析】(1)根据抛物线与y轴交点坐标特点和函数解析式即可求解；
(2)首先把已知函数解析式配方，然后利用抛物线的顶对称轴的公式即可求解；
(3)根据二次函数交点式的性质可得抛物线在x轴上方的部分所对应的自变量x的取值范围．
此题主要考查了抛物线与坐标轴的交点、函数的性质及二次函数的三种形式，是二次函数的基础知识，要求学生熟练掌握．
16.【答案】解：(1)将A(3,0)、B(−1,0)、C(0,−3)代入抛物线得：
9a+3b+c=0a−b+c=0c=−3，
解得a=1b=−2c=−3，
则抛物线解析式为：y=x2−2x−3；
(2)存在以点B、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，
设Q(m,0)，P(n,n2−2n−3)，
B(−1,0)、C(0,−3)，
当以BC、PQ为对角线时，由平行四边形的性质可得：
−1+0=m+n0+(−3)=n2−2n−3+0，
解得m=−1n=0(舍去)或m=−3n=2，
22−2×2−3=−3，
即P(2,−3)；
当以BP、CQ为对角线时，由平行四边形的性质可得：
−1+n=m+00+(−3)=n2−2n−3+0，
解得m=−1n=0(舍去)或m=1n=2，
22−2×2−3=−3，
即P(2,−3)；
当以BQ、CP为对角线时，由平行四边形的性质可得：
−1+m=n+00+0=n2−2n−3+(−3)，
解得m=2− 7n=1− 7或m=2+ 7n=1+ 7，
当n=1− 7时，n2−2n−3=3，即P(1− 7,3)，
当n=1+ 7时，n2−2n−3=3，即P(1+ 7,3)；
综上，存在以点B、C、Q、P为顶点的四边形是平行四边形，此时P点坐标为(1− 7,3)或(1+ 7,3)或(2,−3)．
【解析】(1)将A(3,0)、B(−1,0)、C(0,−3)代入抛物线求解即可；
(2)设Q(m,0)，P(n,n2−2n−3)，分三种情况，BC、BQ或BP为对角线时，求解即可．
此题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求解析式，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
17.【答案】解：(1)如图1，延长CB交抛物线于点E，点E即为所求；
(2)如图2，
延长CA、ED交于点P，连接CD、AE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F，点F即为所求．
【解析】(1)延长CB交抛物线于点E，则C、E两点的纵坐标相等，根据抛物线的对称性即可得；
(2)由(1)知CE/​/AD、AC=DE知四边形ADEC是等腰梯形，延长CA、ED交于点P知△PCE为等腰三角形，连接CD、AE交于点Q，连接PQ交抛物线于点F，根据等腰梯形和等腰三角形的轴对称性即可得．
本题主要考查抛物线与x轴的交点、等腰梯形和等腰三角形的性质，熟练掌握抛物线、等腰梯形及等腰三角形的轴对称性是解题的关键．
18.【答案】7 2.5 72
【解析】解：(1)由题意知a=7，该班女生一周复习时间的中位数为2+32=2.5(小时)，
故答案为：7，2.5；
(2)扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比为1−(10%+20%+50%)=20%，
∴该班男生一周复习时间为4小时所对应的圆心角的度数为360°×20%=72°，
故答案为：72；
(3)估计一周复习时间为4小时的学生有600×(620+20%)=300(名)；
答：估计一周复习时间为4小时的学生有300名．
(4)画树状图得：
∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中B和D的有2种结果，
∴恰好选中B和D的概率为P=212=16．
答：恰好选中B和D的概率为16．
(1)由已知数据可得a的值，利用中位数的定义求解可得；
(2)先根据百分比之和等于1求出该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比，再乘以360°即可得；
(3)用总人数乘以样本中一周复习时间为4小时的学生所占比例即可得；
(4)通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中B和D的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．
19.【答案】解：(1)−12 ， 25 ;
(2)由(1)第x天的销售量为20+4(x−1)=4x+16，
当1≤x<20时，
W=(4x+16)(−12x+38−18)
=−2x2+72x+320
=−2(x−18)2+968，
∴当x=18时，W最大=968，
当20≤x≤30时，W=(4x+16)(25−18)=28x+112，
∵28>0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x=30时，W最大=952，
∵968>952，
∴当x=18时，W最大=968；
(3)当1≤x<20时，令−2x2+72x+320=870，
解得x1=25，x2=11，
∵抛物线W=−2x2+72x+320的开口向下，
∴11≤x≤25时，W≥870，
∴11≤x<20，
∵x为正整数，
∴有9天利润不低于870元，
当20≤x≤30时，令28x+112≥870，
解得x≥27114，
∴27114≤x≤30，
∵x为正整数，
∴有3天利润不低于870元，
∴综上所述，当天利润不低于870元的天数共有12天．
【解析】【分析】
本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，应用了分类讨论的数学思想．
(1)根据题意将相关数值代入即可；
(2)在(1)的基础上分段表示利润，讨论最值；
(3)分别在(2)中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870元的天数，注意天数为正整数．
【解答】
解：(1)当第12天的售价为32元/千克，代入y=mx−76m得
32=12m−76m，
解得m=−12，
当第26天的售价为25元/千克时，代入y=n，
则n=25，
故答案为：−12；25．
(2)见答案；
(3)见答案．
20.【答案】解：(1)①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°．
又∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠BAG+∠BAE=45°．
∴∠GAE=∠FAE．
在△GAE和△FAE中，
AG=AF∠GAE=∠FAEAE=AE，
∴△GAE≌△FAE．
②∵△GAE≌△FAE，AB⊥GE，AH⊥EF，
∴AB=AH，GE=EF=5．
设正方形的边长为x，则EC=x−2，FC=x−3．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=FC2+EC2，即(x−2)2+(x−3)2=25．
解得：x=6．
∴AB=6．
∴AH=6．
(2)如图所示：将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′．

∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD=∠ADB=45°．
由旋转的性质可知：∠ABM=∠ADM′=45°，BM=DM′．
∴∠NDM′=90°．
∴NM′2=ND2+DM′2．
∵∠EAM′=90°，∠EAF=45°，
∴∠EAF=∠FAM′=45°．
在△AMN和△ANM′中，
AM=AM′∠MAN=∠M′ANAN=AN，
∴△AMN≌△ANM′．
∴MN=NM′．
又∵BM=DM′，
∴MN2=ND2+BM2．
【解析】(1)①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG，接下来在证明∠GAE=∠FAE，然后依据SAS证明△GAE≌△FAE即可；②由全等三角形的性质可知：AB=AH，GE=EF=5.设正方形的边长为x，接下来，在Rt△EFC中，依据勾股定理列方程求解即可；
(2)将△ABM逆时针旋转90°得△ADM′.在△NM′D中依据勾股定理可证明NM′2=ND2+DM′2，接下来证明△AMN≌△ANM′，于的得到MN=NM′，最后再由BM=DM′证明即可．
本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题主要应用了旋转的性质、全等三角形的性质和判定、勾股定理的应用，正方形的性质，依据旋转的性质构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
21.【答案】(1)①函数关于y轴对称;
②x=−2或x=0或x=2 ;
③−1(2)将函数y=−(|x|−1)2的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数y1=−(|x−2|−1)2+3的图象，
当2
【解析】解：(1)观察探究：
①该函数的一条性质为：函数关于y轴对称；
②方程−(|x|−1)2=−1的解为：x=−2或x=0或x=2；
③若方程−(|x|−1)2=a有四个实数根，则a的取值范围是−1故答案为函数关于y轴对称；x=−2或x=0或x=2；−1(2)见答案
(1)根据图象即可求得；
(2)根据“上加下减”的平移规律，画出函数y1=−(|x−2|−1)2+3的图象，根据图象即可得到结论．
本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键．
22.【答案】−i 1 0
【解析】解：(1)i3=i×i2=−i，i4=i2×i2=−1×(−1)=1，
∵i2+i3+i4+i5=−1−i+1+i=0，i2+i3+i4+…+i2021有2020个加数，2020÷4=505，
∴i2+i3+i4+…+i2021=0．
故答案为：−i，1，0；
(2)∵(a+i)(b+i)=2−5i，
∴ab+ai+bi+i2=2−5i，
∴ab−1+(a+b)i=2−5i，
∴ab−1=2，a+b=−5，
∴ab=3，
∴以a、b的值为解的一元二次方程可以是x2+5x+3=0(答案不唯一)；
(3)∵x2−6x+13=0，
∴x2−6x=−13，
∴(x−3)2=4i2，
∴x−3=±2i，
解得：x1=3+2i，x2=3−2i．
(1)根据i2=−1，则i3=i2⋅i，i4=i2⋅i2，先找到规律：每4个一组，其余每相邻四项的和均为0，从而可得答案；
(2)由(a+i)(b+i)=ab+ai+bi+i2=ab−1+(a+b)i=2−5i得出ab=3、a+b=−5，据此可得答案；
(3)由x2−6x+13=0知x2−6x=−13，据此得出(x−3)2=4i2，再开方即可．
本题考查了实数的运算，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
23.【答案】②④
【解析】解：(1)根据定义可知，等距离点在直线y=x或y=−x上，
∴与直线y=x或y=−x有交点的抛物线才有等距离点，①错误；
联立y=xy=14x2+1，
解得x1=x2=2y1=y2=2，
联立y=−xy=14x2+1，
解得x1=x2=−2y1=y2=2，
则抛物线y=14x2+1上有且仅有两个等距离点，②正确；
联立y=xy=x2+c，
整理可得：x2−x+c=0，
当Δ=1−4c<0时，即c>14时，抛物线y=x2+c与y=x没有交点，
同理可得：当c>14时，抛物线y=x2+c与y=−x没有交点，
抛物线y=x2+c上不一定存在等距离点，③错误；
抛物线y=x2+c与y=x最多有两个交点，抛物线y=x2+c与y=−x最多有两个交点，
∴抛物线y=x2+c最多有四个等距离点，④正确；
故答案为：②④；
(2)①将原点代入y=−x2+2x−t可得，t=0，
即抛物线解析式为：y=−x2+2x=−(x−1)2+1
则A(1,1)，∴点A在直线y=x上，
根据定义可知，等距离点为抛物线与直线y=x或y=−x的交点
∴点B是抛物线y=−x2+2x与y=−x的交点
联立y=−xy=−x2+2x可得−x2+2x=−x，
解得x=0y=0或x=3y=−3，
则B的坐标为(3,−3)；
②OA= 2，OB=3 2，AB= 22+42=2 5，
∵OA2+OB2=AB2，
∴△OAB为直角三角形，∠AOB=90°，
∴△OAB的面积=12OA×OB=3；
③当点P在OA上方的抛物线上，如图1：
设P(m,−m2+2m)，作PQ/​/y轴交OA于Q，则Q(m,m)，
以P，O，A，B为顶点的四边形的面积=S△OAB+S△AOP
=3+12×PQ×(xA−xO)
=3+12(−m2+2m−m)
=−12(m2−m)+3
=−12(m−12)2+258，
此时当m=12时，以P，O，A，B为顶点的四边形的面积最大，为258，此时点P的坐标为(12,34)；
当点P在OA下方的抛物线上时，连接AB，作PM/​/y轴交AB于M，如图2，
设直线AB解析式为y=kx+b，代入A、B两点坐标可得：
k+b=13k+b=−3，
解得k=−2b=3，
即AB解析式为：y=−2x+3；
设P(n,−n2+2n)，则M(n,−2n+3)，
以P，O，A，B为顶点的四边形的面积=S△OAB+S△ABP
=3+12×PM×(xB−xA)
=3+12×(−n2+2n+2n−3)×2
=−n2+4n
=−(n−2)2+4，
此时当n=2时，以P，O，A，B为顶点的四边形的面积最大，为4，此时点P的坐标为(2,0)；
∵4>258，
∴以P，O，A，B为顶点的四边形的面积最大时，点P的坐标为(2,0)．
(1)根据定义可知，等距离点在直线y=x或y=−x上，联立，求解即可；
(2)①将原点代入求得抛物线解析式，再根据等距离点的定义，求解即可；②利用勾股定理求得OA、OB、AB，再根据勾股定理逆定理判断出△AOB为直角三角形，即可求解；③分两种情况，点P在OA上方的抛物线上或点P在OA下方的抛物线上，分别求解．
此题考查了二次函数与面积的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数与直线的交点，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解等距离点的定义，利用数形结合的思想进行求解．复习时间
频数(学生人数)
1小时
3
2小时
a
3小时
4
4小时
6