2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）寒假数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市长郡中学高一（下）寒假数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.命题“∀x>0，都有x2−x+3≤0”的否定是( )
A. ∃x>0，使得x2−x+3≤0B. ∃x>0，使得x2−x+3>0
C. ∀x>0，都有x2−x+3>0D. ∀x≤0，都有x2−x+3>0
2.若a∈R，则“a2>a”是“a>1”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.下列选项中满足最小正周期为π，且在(0,π4)上单调递增的函数为( )
A. y=cs12xB. y=sin12xC. y=(12)cs2xD. y=(12)sin2x
4.已知正实数a，b满足1a+1b=3，则a+4b的最小值为( )
A. 9B. 8C. 3D. 83
5.生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减(称为衰减率)，P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)ta(其中a为常数)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的79%，则可推断该文物属于( )
参考数据：lg20.79≈−0.34．
参考时间轴：
A. 战国B. 汉C. 唐D. 宋
6.已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a=−flg215，b=f(lg24.1)，c=f(20.8)，则a，b，c的大小关系为
( )
A. a7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期是2π
B. 函数y=f(x+π12)关于直线x=−π2对称
C. 函数f(x)在区间(π2,π)上单调递增
D. 函数f(x)在区间[3π4,4π3]上的最大值是 32
8.已知函数f(x)=(1−a)x+a2,x<13x,x≥1与函数g(x)=lnx的值域相同，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,1)B. (−∞,−1]
C. [−1,1)D. (−∞,−1]∪[2,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−4,3)，b=(7,1)，下列说法正确的是( )
A. (a+b)⊥aB. |a−b|=5 5
C. 与向量a平行的单位向量仅有(−45,35)D. 向量a在向量b上的投影向量为−12b
10.某摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T=24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1～12(可视为点).现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟.假设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系为h(t)，1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，则( )
A. 当t=14时，h=17
B. 当t=22时，h=18
C. h(t)=30sinπ12t+32，t≥0
D. 若在0≤t≤t0这段时间内，H恰有三次取得最大值，则t0的取值范围为[32,44)
11.已知函数f(x)满足：∀x1，x2∈R，都有|f(x1)+f(x2)|≤|sinx1+sinx2|成立，则下列结论正确的是( )
A. f(0)=0
B. 函数y=f(x)是偶函数
C. 函数y=f(x)是周期函数
D. g(x)=f(x)−sinx，x∈(−1,1)，若−1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，若EB=34AB+λAC，则λ= ______．
13.若α∈(0,π2)，tan2α=csα2−sinα，则tanα=______．
14.我们知道，设函数f(x)的定义域为I，如果对任意x∈I，都有2a−x∈I，且f(x)+f(2a−x)=2b，那么函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称.若函数f(x)=−2x3+cex+1的图象关于点(0,1)成中心对称，则实数c的值为______；若f(−t2)+f(5t+6)>2，则实数t的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
化简求值：
(Ⅰ)2723− (−3)2+lg336−2lg32；
(Ⅱ)已知tanα=12，求13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax−b1+x2是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(1)=−1．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在[−1,1]上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解不等式f(t−1)+f(t2)>f(0)．
17.(本小题15分)
某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角△ABC和以BC为直径的半圆拼接而成，点P为半圆上一点(异于B，C)，点H在线段AB上，且满足CH⊥AB.已知∠ACB=90°，AB=1dm，设∠ABC=θ．
(1)为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足∠ABC=∠PCB，且CA+CP达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果？
(2)为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足∠PBA=60°，且CH+CP达到最大.当θ为何值时，工艺礼品达到最佳稳定性？并求此时CH+CP的值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，图象的一个对称中心为(π4,0)，将函数f(x)图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)的图象．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)求实数a与正整数n，使得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点．
19.(本小题17分)
若存在常数a、b，使得函数f(x)对于∀x∈R同时满足：f(a+x)=−f(a−x)，f(b+x)=f(b−x)，则称函数f(x)为“(a,b)”类函数．
(1)判断函数f(x)=cs2x是否为“(a,b)”类函数？如果是，写出一组(a,b)的值；如果不是，请说明理由；
(2)函数g(x)是“(0,1)”类函数，且当0≤x≤1时，g(x)=lg2(x+1)．
(ⅰ)证明：g(x)是周期函数，并求出g(x)在[−3,−1]上的解析式；
(ⅱ)若∀x∈R，g(t−2x8+2x+3)+g(12)≥0，求t的最大值和最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“>”即可，据此分析选项可得答案．
本题主要考查了命题的否定的写法，属于基础题．
【解答】
解：命题“∀x>0，都有x2−x+3≤0”的否定是：∃x>0，使得x2−x+3>0．
故选B．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了充分条件、必要条件．
结合不等式的知识进行分析即可．
【解答】
解：由a2>a得出a>1或a<0.不能得出a>1，
反之：由a>1得出a2>a，
所以“a2>a”是“a>1 ”的必要不充分条件．
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了三角函数的性质，复合函数的单调性，属于基础题．
利用周期公式求出各选项的周期，再结合函数的单调性判断各选项即可．
【解答】
解：对于A：函数y=cs12x的最小正周期为2π12=4π，故A错误；
对于B：函数y=sin12x的最小正周期为2π12=4π，故B错误；
对于C：函数y=(12)cs2x的最小正周期为π，且函数f(x)=cs2x在(0,π4)上单调递减，
根据复合函数的单调性，可知函数y=(12)cs2x在(0,π4)上单调递增，故C正确；
对于D：函数y=(12)sin2x的最小正周期为π，且函数f(x)=sin2x在(0,π4)上单调递增，
根据复合函数的单调性，可知函数y=(12)sin2x在(0,π4)上单调递减，故D错误．
故选：C．
4.【答案】C
【解析】解：因为1a+1b=3，所以a+4b=13(a+4b)(1a+1b)=13(5+ab+4ba)≥13(5+2 ab⋅4ba)=3，当且仅当a=2b=1时取等号．
故选：C．
利用1的代换，结合基本不等式进行求解即可
本题主要考查基本不等式的应用，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用数学知识解决实际问题，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
根据每经过5730年衰减为原来的一半，可得生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间的函数关系式；利用碳14的残余量约占原始含量的79%，建立方程，即可推算某遗址文物的年代．
【解答】
解：因为每经过5730年衰减为原来的一半，
所以生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为P=12t5730(t>0)，
由题意可得12t5730=0.79，
所以t5730=−lg20.79≈0.34，
可得t≈1948，
由2021−1948=73，可推断该文物属于汉朝．
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题．
根据奇函数f(x)在R上是增函数，化简a、b、c，进而可得出a，b，c的大小．
【解答】
解：奇函数f(x)在R上是增函数，
∴a=−f(lg215)=f(lg25)，b=f(lg24.1)，c=f(20.8)，
又1<20.8<2∴f(20.8)即c故选：C．
7.【答案】D
【解析】解：由图象可知T4=π4，即T=π=2πω，所以ω=2，即A选项错误．
将(π6,0)代入得sin(π3+φ)=0，解得φ=−π3，即f(x)=sin(2x−π3).
因为f(x+π12)=sin(2x−π6)，当x=−π2时，设t=2x−π6=−7π6不是sint的对称轴，所以B选项不正确．
当x∈(π2,π)时，即t=2x−π3∈(2π3,5π3)是y=sint函数的单调递减区间，所以C选项不正确．
当x∈[3π4,4π3]，即t=2x−π3∈[7π6,7π3]，所以y=sint∈[−1, 32]，即f(x)的最大值为 32，所以D选项正确．
故选：D．
通过函数图象先求周期，通过周期公式求ω，再代入一个已知点坐标即可求出φ，即可求出函数解析式．
本题主要考查给部分图象求函数解析式及正弦型函数的性质应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为g(x)=lnx的值域为R，
所以函数f(x)=(1−a)x+a2,x<13x,x≥1的值域也为R，
当x≥1时，f(x)=3x≥31=3，
所以当x<1时，①若1−a=0，即a=1，f(x)=1，此时不满足条件，
②若1−a<0，即a>1，f(x)>1−a+a2，此时f(x)的值域不可能为R，
③若1−a>0，即a<1，f(x)<1−a+a2，要使f(x)的值域为R，则1−a+a2≥3，
即a2−a−2≥0，解得a≥2或a≤−1，又因为a<1，所以a≤−1，
即实数a的取值范围是(−∞,−1]．
故选：B．
由分析知f(x)的值域为R，当x≥1时，3x≥3，要使f(x)的值域为R，则a<1，且1−a+a2≥3，即可求出a的取值范围
本题主要考查分段函数的应用，考查函数的值域问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，a=(−4,3)，b=(7,1)，
则a+b=(3,4)，(a+b)⋅a=3×(−4)+4×3=0，
所以(a+b)⊥a，故A正确；
对于B，a=(−4,3)，b=(7,1)，
a−b=(−11,2)，
故|a−b|= (−11)2+22=5 5，故B正确；
对于C，|a|= (−4)2+32=5，
所以与向量a平行的单位向量是a|a|=(−45,35)或−a|a|=(45,−35)，故C错误；
对于D，a=(−4,3)，b=(7,1)，
向量a在向量b上的投影向量为|a|cs〈a,b〉⋅b|b|=|a|⋅a⋅b|a||b|⋅b|b|=a⋅b|b|2⋅b=(−4)×7+3×1( 72+12)2⋅b=−12b，D正确．
故选：ABD．
利用向量的坐标表示逐一判断即可．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于中档题．
10.【答案】ACD
【解析】解：设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0)，
则A=30，b=32，
所以h(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0)，
依题意T=24min，所以ω=2πT=π12(rad/min)，
当t=0时，h(t)=32且在0附近为增函数，所以φ=0，
故h(t)=30sinπ12t+32(t≥0)，故C正确，
对于A，当t=14时，h=30sin7π6+32=−15+32=17，故A正确，
对于B，当t=22时，h=30sin11π6+32=−15+32=17，故B错误，
对于D：依题意h1=30sinπ12t+32，h5=30sinπ12(t+8)+32，
所以H=|(30sinπ12t+32)−[30sinπ12(t+8)+32]|=|30sinπ12t−30sinπ12(t+8)|=30|sinπ12t−sin(π12t+2π3)|=30|32sinπ12t− 32csπ12t|=30 3|sin(π12t−π6)|，
今π12t−π6=π2+kπ，k∈N，解得t=8+12k，k∈N，
所以当t=8+12k，k∈N时H取得最大值，
故8+12×2≤t0<8+12×3，
解得32≤t0<44，
所以t0∈[32,44)，故D正确．
故选：ACD．
设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0)，根据题意求出A，b，ω，φ的值，得到h(t)=30sinπ12t+32(t≥0)，再结合正弦函数的性质逐个分析各个选项即可．
本题主要考查了三角函数的实际应用，考查了正弦函数的性质，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：令x1=x2=0，则|f(x1)+f(x2)|=|2f(0)|≤0，所以f(0)=0，故A正确；
令x2=−x1，则|f(x1)+f(x2)|=|f(x1)+f(−x1)|≤|sinx1+sin(−x1)|=0，
所以f(x1)+f(−x1)=0，
故y=f(x)是奇函数，即B错误；
令x2=x+2π，x1=−x，则|f(−x)+f(x+2π)|≤|sin(−x)+sin(x+2π)|=0，
所以f(−x)+f(x+2π)=0，f(x+2π)=−f(−x)，
由B可知y=f(x)是奇函数，
所以f(x+2π)=−f(−x)=f(x)，
所以y=f(x)是周期函数，故C正确；
当−1则|f(x1)+f(−x2)|≤|sinx1−sinx2|=sinx2−sinx1，
所以sinx1−sinx2≤f(x1)−f(x2)≤sinx2−sinx1，
即f(x1)−sinx1≥f(x2)−sinx2，故D正确．
故选：ACD．
利用赋值法及函数奇偶性、周期性的定义、单调性一一判断选项即可．
本题考查了利用赋值法求抽象函数的值、判断抽象函数的奇偶性及周期性，属于中档题．
12.【答案】−14
【解析】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
又EB=AB−AE=AB−12AD=AB−12×12(AB+AC)=34AB−14AC．
故λ=−14．
故答案为：−14．
根据平面向量的基本定理可解．
本题考查平面向量的基本定理相关知识，属于基础题．
13.【答案】 1515
【解析】解：由tan2α=csα2−sinα，得sin2αcs2α=csα2−sinα，
∴2sinαcsα1−2sin2α=csα2−sinα，
∵α∈(0,π2)，∴csα≠0，
则4sinα−2sin2α=1−2sin2α，即sinα=14，
则csα= 1−116= 154，tanα=sinαcsα= 1515．
故答案为： 1515．
把已知等式化切为弦，展开倍角公式，即可求得sinα，进一步求解tanα．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
14.【答案】2 (−∞,−1)∪(6,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)=−2x3+cex+1的图象关于点(0,1)成中心对称，
所以f(x)+f(−x)=2，
即−2x3+cex+1+2x3+ce−x+1=2，
整理得cex+1+ce−x+1=2，
即c(ex+1)ex+1=2，所以c=2，
所以f(x)=−2x3+2ex+1在定义域R上单调递减，
令g(x)=f(x)−1=−2x3+2ex+1−1，
因为函数f(x)的图象关于点(0,1)成中心对称，
所以g(x)的图象关于(0,0)对称，
且g(x)=f(x)−1=−2x3+2ex+1−1单调递减，
因为f(−t2)+f(5t+6)>2，即f(−t2)−1>−f(5t+6)+1，
即g(−t2)>−g(5t+6)，也即g(−t2)>g(−5t−6)，
所以−t2<−5t−6，则−t2+5t+6<0，解得t<−1或t>6，
故实数t的取值范围是(−∞,−1)∪(6,+∞)．
故答案为：2；(−∞,−1)∪(6,+∞)．
首先利用函数的对称性求出c的值，进一步利用函数单调性和不等式的关系求出结果．
本题考查的知识点：函数的性质，函数的单调性和不等式的关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
15.【答案】解：(Ⅰ)原式=[(3)3]23−3+lg336−lg34
=9−3+lg39=6+2=8；
(Ⅱ)13cs(−α)−2cs(π2−α)sin(π2+α)+3sin(π+α)=13csα−2sinαcsα−3sinα
=13−2tanα1−3tanα，
因为tanα=12，所以原式=13−2×121−3×12=−24．
【解析】(Ⅰ)利用对数以及有理数指数幂的运算性质化简即可求解；(Ⅱ)利用诱导公式以及弦化切化简即可求解．
本题考查了对数以及有理数指数幂的运算性质以及诱导公式的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．
16.【答案】解：(1)函数f(x)=ax−b1+x2是定义在[−1,1]上的奇函数，
f(−x)=−f(x)；−ax−b1+x2=−ax−b1+x2，解得b=0，
∴f(x)=ax1+x2，而f(1)=−1，解得a=−2，
∴f(x)=−2x1+x2，x∈[−1,1]．
(2)函数f(x)=−2x1+x2在[−1,1]上为减函数；
证明如下：任意x1，x2∈[−1,1]且x1f(x1)−f(x2)=−2x11+x12−−2x21+x22=−2(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)
因为x1所以1−x1x2>0，所以f(x1)−f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x1)>f(x2)在[−1,1]上为减函数．
(3)由题意，f(t−1)+f(t2)>f(0)，又f(0)=0，所以f(t−1)+f(t2)>0，
即解不等式f(t2)>−f(t−1)，所以f(t2)>f(1−t)，
所以−1所以该不等式的解集为(0, 5−12)．
【解析】(1)根据奇函数的性质和f(1)=1求解即可．
(2)利用函数单调性定义证明即可．
(3)首先将题意转化为解不等式f(t2)>f(1−t)，再结合f(x)的单调性求解即可．
本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断及应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得∠ABC=∠PCB=θ，
因为AB=1dm，
在直角△ABC中，可得AC=sinθ，BC=csθ，
在直角△PBC中，可得PC=BC⋅csθ=csθ⋅csθ=cs2θ，PB=BC⋅sinθ=sinθ⋅csθ=sinθcsθ，
可得AC+CP=sinθ+cs2θ
=sinθ+1−sin2θ
=−sin2θ+sinθ+1
=−(sinθ−12)2+54，
所以当sinθ=12，即θ=30°时，AC+CP的最大值为54，
即θ=30°时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
(2)在直角△ABC中，由S△ABC=12CA⋅CB=12AB⋅CH，
因为AB=1dm，AC=sinθ，BC=csθ，
可得CH=CA⋅CBAB=sinθ⋅csθ1=sinθ⋅csθ，
因为∠PBA=60°，
所以在直角△PBC中，PC=BC⋅sin(60°−θ)=csθ⋅(sin60°csθ−cs60°sinθ)，
所以CH+CP=sinθcsθ+csθ⋅( 32csθ−12sinθ)，0<θ<60°，
所以CH+CP
=12sin2θ+ 32cs2θ−12sinθcsθ
=12sin2θ+ 34(1+cs2θ2)−14sin2θ
=14sin2θ+ 34cs2θ+ 34
=12sin(2θ+60°)+ 34，
可得当θ=15°时，工艺礼品达到最佳稳定性，此时CH+CP取得最大值，且最大值为12+ 34=2+ 34．
【解析】(1)利用直角三角形的边角关系，求出CA+CP的解析式，从而可得CA+CP取得最大值时θ的值；
(2)由等积法求出CH的值，再计算CH+CP的最大值以及对应的θ值．
本题考查了解三角形以及三角函数的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：(1)由函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期T=π，ω>0，得ω=2πT=2，
又曲线y=f(x)的一个对称中心为(π4,0)，φ∈(0,π)，
故f(π4)=sin(2×π4+φ)=0，得φ=π2，
所以f(x)=cs2x；
将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y=csx的图象，
再将y=csx的图象向右平移π2个单位长度后得到函数g(x)=cs(x−π2)=sinx，
即f(x)=cs2x，g(x)=sinx；
(2)依题意，F(x)=asinx+cs2x=−2sin2x+asinx+1，
现研究函数F(x)在(0,2π]上的零点的情况．
设t=sinx，p(t)=−2t2+at+1(−1≤t≤1)，则函数p(t)的图象是开口向下的抛物线，
又p(0)=1>0，p(−1)=−a−1，p(1)=a−1，
当a<−1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0,1)(另一个零点t2<−1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0,π)；
当a>1时，函数p(t)有一个零点t1∈(−1,0)(另一个零点t2>1，舍去)，F(x)在(0,2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π,2π)；
当−1由正弦函数的对称性，可知当a≠±1时，函数F(x)在(0,nπ)内总有偶数个零点，从而不存在正整数n满足题意．
当a=−1时，函数p(t)的一个零点t1=−1，另一个零点t2∈(0,1)，
当a=1时，函数p(t)的一个零点t1∈(−1,0)，另一个零点t2=1；
从而当a=1或a=−1时，函数F(x)在(0,2π]上有3个零点，
由正弦函数的周期性，2013=3×671，所以依题意得n=671×2=1342．
综上，当a=1，n=1342或a=−1，n=1342时，函数F(x)=f(x)+ag(x)在(0,nπ)内恰有2013个零点．
【解析】(1)由f(x)的最小正周期的值可得ω的值，再由函数的对称中心的横坐标，可得φ的值，即求出函数f(x)的解析式，再由函数的伸缩变换及平移可得g(x)的解析式；
(2)F(x)=asinx+cs2x=−2sin2x+asinx+1，换元可得p(t)=−2t2+at+1(−1≤t≤1)，再由p(0)=1>0，p(−1)=−a−1，p(1)=a−1，由a的取值分类可得满足函数的零点时a及n的值．
本题考查三角函数的解析式的求法及函数的零点的求法，属于中档题．
19.【答案】(1)解：f(x)=cs2x是“(a,b)”类函数，
因为f(x)=f(−x)，f(π4+x)=−f(π4−x)，
所以(a,b)可以是(π4,0)(答案不唯一)．
(2)(ⅰ)证明：因为函数g(x)是“(0,1)”类函数，
所以g(−x)=−g(x)，g(1+x)=g(1−x)，
所以g(2+x)=g(−x)=−g(x)，
所以g(x+4)=−g(x+2)=g(x)，所以g(x)是周期函数．
因为当0≤x≤1时，g(x)=lg2(x+1)．
所以g(x)在[−1,1]上单调递增，在(1,3)上单调递减．
当x∈[−2,−1]时，x+2∈[0,1]，所以g(x)=−g(x+2)=−lg2(x+3)．
当x∈[−3,−2)时，x+2∈[−1,0)，−(x+2)∈(0,1]，
所以g(x)=−g(x+2)=g[−(x+2)]=lg2[−(x+2)+1]=lg2(−x−1)．
故g(x)=lg2(−x−1),x∈[−3,−2),−lg2(x+3),x∈[−2,−1].
(ⅱ)解：记u=t−2x8+2x+3=18⋅−(1+2x)+(t+1)1+2x=−18+18⋅t+11+2x，
由(ⅰ)得：g(−12)=g(52)，
当t+1=0时，u=−18，满足g(t−2x8+2x+3)≥g(−12)；
当t+1<0时，u∈(−18+t+18,−18)=(t8,−18)，
由g(t−2x8+2x+3)≥g(−12)在R上恒成立可得：(t8,−18)⊆[−12,52]，
解得：t∈[−4,−1)．
当t+1>0时，u∈(−18,−18+t+18)=(−18,t8)，
由g(t−2x8+2x+3)≥g(−12)在R上恒成立可得：(−18,t8)⊆[−12,52]，
解得：t∈(−1,20]；
综上，t∈[−4,20]．
所以t的最大值为20，最小值为−4．
【解析】(1)由f(x)=f(−x)，f(π4+x)=−f(π4−x)，即可得解；
(2)(ⅰ)由类函数的定义可得g(−x)=−g(x)，g(1+x)=g(1−x)，从而可推出g(x)的周期，利用函数的单调性及周期性即可求解函数解析式；
(ⅱ)记u=t−2x8+2x+3=18⋅−(1+2x)+(t+1)1+2x=−18+18⋅t+11+2x，由(ⅰ)得：g(−12)=g(52)，再分t+1=0，t+1<0，t+1>0三种情况讨论，即可求解t的取值范围，从而可得结论．
本题主要考查函数的新定义，抽象函数及其应用，考查运算求解能力与分类讨论思想，考查运算求解能力，属于难题．