湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期寒假作业检测（月考六）数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市长郡中学2024届高三下学期寒假作业检测（月考六）数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设,则“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2．某班的全体学生参加数学测试, 成绩的频率分布直方图如图, 数据的分组依次为 ,,,.若低于60分的人数是15,则该班的学生人数是( )
A.40B.45C.50.D.60
3．设等差数列的前n项和为,若,则( )
A.20B.23C.24D.28
4．已知平面向量a,b满足,并且当时, 取得最小值,则( )
A.B.C.D.
5．已知一个圆锥的高与其底面圆的半径相等, 且体积为.在该圆锥内有一个正方体,其下底面的四个顶点在圆锥的底面内, 上底面的四个顶点在圆锥的侧面上,则该正方体的棱长为( )
A.B.1C.D.
6．已知把物体放在空气中冷却时, 若物体原来的温度是,空气的温度是,则后物体的温度满足公式 (其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数).某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中, 冷却后牛奶的温度是,则下列说法正确的是( )
A.
B.
C.牛奶的温度降至还需
D.牛奶的温度降至还需
7．已知,则( )
A.B.C.D.
8．双曲线的右支上一点P在第一象限,分别为双曲线C的左、右焦点,
I为的内心,若内切圆I的半径为1,则的面积等于( )
A.24B.12C.D.
二、多项选择题
9．已知z为复数,设z,,在复平面上对应的点分别为A,B,C,其中O为坐标原点,则( )
A.B.C.D.
10．已知A,C两点位于直线l两侧,B,D是直线l上两点, 且的面积是的面积的2倍,若,则下列说法正确的是( )
A.为奇函数B.在单调递减
C.在有且仅有两个零点D.是周期函数
11．若是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称,且对任意,都有,则下列说法正确的是( )
A.一定为正数
B.2是的一个周期
C.若,则
D.若在上单调递增,则
三、解答题
12．二项式的展开式中,x的系数为____________.
13．已知样本数据、、、、都为正数,其方差,则样本数据、、、、的平均数为_______________.
14．已知椭圆的右焦点为F，过点F作倾斜角为的直线交椭圆C于A，B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，若，则椭圆C的离心率_____________.
15．某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动, 甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开, 共五道题, 抢到并回答正确者得一分, 答错则对方得一分, 先得三分者获胜. 每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是,甲、乙正确回答每道题的概率分别为,且两人各道题是否回答正确均相互独立.
(1)比赛开始,求甲先得一分的概率;
(2)求甲获胜的概率.
16．已知函数.
(1)若,求在区间上的最小值和最大值;
(2)若,求证:在处取得极小值.
17．如图1,已知正方形ABCD的边长为4,E,F分别为AD,BC的中点, 将正方形ABCD沿EF折成如图2所示的二面角,且二面角的大小为,点M在线段AB上(包含端点)运动,连接AD.
(1)若M为AB的中点, 直线MF与平面ADE的交点为O,试确定点O的位置, 并证明直线平面EMC;
(2)是否存在点M,使得直线DE与平面EMC所成的角为?若存在, 确定出M点的位置;若不存在,请说明理由.
18．已知M,N为椭圆和双曲线的公共顶点,,分别为和的离心率.
(1)若.
(i)求的渐近线方程;
(ii)过点的直线l交的右支于A,B两点, 直线MA,MB与直线相交于,两点,记A,B,,的坐标分别为,,,,求证:;
(2)从上的动点 引的两条切线, 经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S,试判断S是否为定值? 若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
19．已知是个正整数组成的m行m列的数表,当，时，记.设,若满足如下两个性质：
①；
②对任意,存在,使得，则称 为数表.
(1)判断是否为数表, 并求的值；
(2)若数表满足,求中各数之和的最小值;
(3)证明：对任意数表,存在,使得.
参考答案
1．答案：B
解析：
2．答案：C
解析：
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：D
解析：因为圆锥的高与其底面圆的半径相等,设圆锥的高为h,底面圆的半径为r,则，
又因为圆锥的体积为,可得,解得,则，
设圆锥的顶点为S,底面圆心为O,则高为,SO与正方体的上底面交点为,
在该圆锥内有一个正方体,其下底面的四个顶点在圆锥的底面内,上底面的四个顶点在圆锥的侧面上，取其轴截面,如图所示,设正方体的棱长为a,可得，
由, 可得,即,解得,
所以该正方体的棱长为.
6．答案：D
解析：的牛奶放在的空气中,冷却2分钟以后物体的温度是.
则,两边取以e为底的对数,
得,解得,所以，
当牛奶的温度从降至时,, 即,解得 ，
所以牛奶的温度降至还需.
7．答案：D
解析：,所以,解得，
即,所以,
故，
，
.
8．答案：C
解析：由双曲线的,，
由题意可得I的纵坐标为1 ,即,
又,可得两底角和的一半的正切为 ,
所以面积为.
9．答案：AB
解析：设，，，，
，，
，，，，，
对于A, , 故选项A正确;
对于B,, 故选项B正确;
对于C,时),不等于,故选项C错误;
对于D,时),不平行于,故选项D错误.
10．答案：ABC
解析：设AC与直线l交于E,由题可得,
又,
，
B、E、D三点共线,
，
,函数的定义域为,又，
函数为奇函数,故A正确;
因为函数,在上为减函数,
所以在上单调递减,故B正确;
由,可得,
所以函数在的零点数即为与的交点数,
结合函数,的图象可得在有且仅有两个零点,故 C 正确;
因为,函数为周期函数,而函数不是周期函数,故不是周期函数,故D错误.
11．答案：BCD
解析：因为符合条件, 故A错误;
因为偶函数的图象关于直线对称,所以,则2是的一个周期, 故B正确;
因为对任意,都有,所以对任意,取得；
若,即,故，
由2是的周期得 ,故C正确;
假设,由及,，
得,故,这与在上单调递增矛盾, 故D正确.
12．答案：10
解析：
13．答案：11
解析：根据题意,设样本数据、、、、的平均数为，
其方差
，
又,则有,解得，
则样本数据、、、、的平均数为.
14．答案：
解析：设椭圆半焦距为c，则，则过点F，倾斜角为的直线l的方程为：，
设，线段AB的中点.联立
化为，，，
，，
，
AB的垂直平分线的方程为：，令，解得，
，，，
则，椭圆C的离心率为.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)每道题的抢答中,记甲得一分为事件M,
由题意得M的发生有两种可能:甲抢到题且答对，乙抢到题且答错，
所以，
故比赛开始，甲先得一分的概率为.
(2) 由(1)知, 在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别,,
设两人共抢答了X道题比赛结束, 且甲获胜,根据比赛规则,X的所有可能取值为3,4,5,
则，
，
，
所以甲获胜的概率.
16．答案：(1)
(2)若且无限趋向于0,
在上,递减,
在上,递增,
所以在处取得极小值
解析：(1)当时,,则,
在上,即在上单调递增,
所以最小值为,最大值为.
(2)由题意,则,
令, 则 , 且 .
所以 ,即 在处有递增趋势,
综上,若且无限趋向于0,
在上,递减,
在上,递增,
所以在处取得极小值.
17．答案：(1)见解析
(2)直线DE与平面EMC所成的角为
解析：(1)因为直线平面ABFE,故点O在平面ABFE内,也在平面ADE内，
所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线(即直线AE)上,
延长EA,FM交于点O, 连接OD(如图所示),
证明: 因为，M为AB的中点,所以,所以,
即M是OF的中点, 则,故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2 ;
连接DF交EC于点N, 因为四边形CDEF为矩形, 所以N是DF的中点,
又因为M 是OF的中点,
连接MN, 则MN为的中位线, 所以, 又平面EMC,平面EMC,所以直线平面EMC.
(2)由题意知,又, 且EA, 平面ADE,
所以平面ADE, 且,所以平面平面ADE,
因为,所以为等边三角形,取AE的中点H,连接DH,则,
而平面平面,且平面ADE,所以平面ABFE,以H为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,
所以,
设,则,
设平面EMC的法向量为, 则 即取, 则,所以平面EMC的一个法向量为,要使直线DE与平面EMC所成的角为,
则,
即, 整理得,解得或,
所以存在点M, 即为线段AB上靠近A或B的一个四等分点,使得直线DE与平面EMC所成的角为.
18．答案：(1)
(2)P在双曲线上,,则为定值
解析：(1)由题意得，
所以,又,解得,
(i)故双曲线的渐近线方程为,
(ii)设直线AB的方程为,
则消元得,,
且,所以,
故,
又直线的方程为 , 所以 ,同理,
所以
,
故.
(2)设两个切点,
由题意知,斜率存在,直线的方程为,
联立 由得,所以,
同理直线方程为,
由,过P点可得 可得直线的方程为,
不妨设,直线与双曲线两渐近线交于两点,
则围成三角形的面积,
因为P在双曲线上,,则为定值.
19．答案：(1)5
(2)22
解析：(1)是数表,
.
(2)由题可知.
当时,有,
所以.
当 时, 有 ,
所以.
所以.
所以 .
或者,或者,或，或,
故各数之和,
当时, 各数之和取得最小值22.
(3)由于数表中共100个数字,
必然存在, 使得数表中k的个数满足.
设第i行中k的个数为.
当时, 将横向相邻两个k用从左向右的有向线段连接,则该行有条有向线段,
所以横向有向线段的起点总数.设第j列中k的个数为.
当时,将纵向相邻两个k用从上到下的有向线段连接,
则该列有条有向线段,
所以纵向有向线段的起点总数.
所以,
因为, 所以.
所以必存在某个k既是横向有向线段的起点,又是纵向有向线段的终点,
即存在,
使得,
所以,
则命题得证.