2024湖南省长郡中学高二下学期寒假检测（开学考试）数学含解析

这是一份2024湖南省长郡中学高二下学期寒假检测（开学考试）数学含解析，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

时量：120分钟 满分：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则的最小值是（ ）
A．2B．
C．D．3
3．已知3、4、5、7、五个数据，均值，若再增加2、8两个数后，这七个数据的均值和方差应该是（ ）
A．5，2B．5，3
C．5，4D．6，2
4．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
★5．设，且，若能被13整除，则的可能取值为（ ）
A．0B．1
C．11D．12
★6．甲、乙两人要在一排7个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ）
A．6种B．12种
C．15种D．30种
7．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上．若，，则到的距离等于（ ）
A．1B．2
C．3D．4
8．已知函数及其导函数定义域均为，满足，且为奇函数，记，其导函数为，则（ ）
A．0B．1
C．D．2
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分）
9．且，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
★10．关于曲线，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆
B．当时，曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为4
C．当时，曲线表示的图形是一个椭圆
D．当或时，曲线表示的图形是双曲线
11．下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则
B．若复数满足，则
C．若复数为纯虚数，则
D．若复数满足，则的最大值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
★12．已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第41项为______．
13．古希腊数学家阿波罗尼奧斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果其中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆，已知点，，，动点满足，则点的轨迹与圆的公切线的条数为______．
14．已知函数若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，则的取值范围是______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本题满分13分）
在中，内角所对的边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且的面积为，求的周长．
16．（本题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正弦值．
17．（本题满分15分）
已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：．
18．（本题满分17分）
设分别是双曲线的左、右两焦点，过点的直线与的右支交于，两点，过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）当时，求实数的值；
（3）设点关于坐标原点的对称点为，当时，求面积的值．
19．（本题满分17分）
某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束；否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第一次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数．
（1）求消费者甲第2次获胜的概率；
（2）证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖．
长郡中学2024年高二寒假作业检测
数学参考答案
一、二、选择题
1．B 【解析】，，，故选B．
2．D 【解析】由题意，得，当且仅当时，取等号，故的最小值为3．故选D．
3．C 【解析】因为3、4、5、7、五个数据，均值，所以，故，则七个数据的均值为，七个数据的方差为．故选C．
4．D 【解析】设，则，，从而．故选D．
5．D 【解析】当能被13整除时，，能被13整除，且能被13整除，
也能被13整除，因此能被整除时可取值12，故选D．
6．B 【解析】一排共有7个座位，现有两人就坐，故有5个空座．
要求每人左右均有空座，
在5个空座的中间4个空中插入2个座位让两人就坐，即有种坐法．故选B．
7．B 【解析】取的中点，连结．过作于点，则，
又因为，所以，所以．
依题意，所以为等边三角形．由抛物线的定义，得，所以．
所以，所以．即到的距离为2．故选B．
8．D 【解析】因为，
两边同时求导可得：，即，
关于对称，同时，则关于对称．
为奇函数，则，即，
关于对称，同时，则关于对称，
由关于对称得，，由关于对称得
故，
故周期为6；同理的周期也为6，
．故选D．
9．ACD 【解析】当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得或舍去．
综上可知，实数的值为或或．故选：ACD．
10.AD 【解析】对A，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的椭圆，故A正确；
对B，当时，曲线方程为，所以曲线表示的图形是一个焦点在轴上的双曲线，且焦距为，故B错误；
对C，当时，曲线表示的图形是一个方程为的圆，故C错误；
对D，当或时，，所以曲线表示的图形为双曲线，故D正确．
11．AD 【解析】由复数相等知：，有，A正确；
若，，有，B错误；
若时，，C错误；
令，则为圆，而表示圆上的点到的最大距离，
所以，正确．故答案选：AD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．41
13．2 【解析】设，由题意可知，，，
整理得，点的轨迹方程为，其图形是以为圆心，以2为半径的圆，
而圆的圆心坐标为，半径为1，可得两圆的圆心距为2，大于，小于，
则动点的轨迹与圆的位置关系是相交．故公切线的条数为2．
14． 【解析】由题意知
当时，，时，，
令，则；当时，．
当时，，令，则或4；令，则或2；
由此可作出函数的图象如图：
由于方程恰有四个不同的实数解，分别记为，
故的图象与直线有4个不同的交点，由图象可知，
不妨设，则，且关于对称，所，
又即，则，，
故，由于在上单调递增，故，
所以，故的取值范围是．故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．【解析】（1），
由正弦定理得，，
，
，；
（2），①，又，②，
由①，②可得，而，所以的周长为．
16．【解析】（1）由题意，因为四边形为菱形，所以．
连接．因为，所以为等边三角形，从而．
在中，是的中点，所以．
因为平面，平面，所以．
，平面，平面，平面，
平面．又平面，平面平面
（2）法一：几何法：由题意及（1）得，
在平面中，过点作，垂足为，连接．
因为平面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面．又平面，所以，从而是二面角的平面角．
在中，，，所以．
在中，，，所以．
在中，，，
所以二面角的平面角的正弦值为．
法二：向量法建系．
17．【解析】（1），所以，
所以，又因为，即切点的坐标为，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）证明：解法1：隐零点解法．
要证明，只需证明，
设，则，设，则，
所以函数在上单调递增，
因为，，所以函数在上有唯一零点，且，
因为，所以，即，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，所以当时，取得最小值，
故，．综上可知，．
解法2：切线不等式放缩．
18．【解析】（1）由过点，且它的虚轴的端点与焦点的距离为，
所以即则所求的双曲线的方程为．
（2）因为直线过点，所以，由，，得：
等腰三角形底边上的高的大小为，
又到直线的距离等于等腰三角形底边上的高，则，
即，则．
（3）设，，由得：，
恒成立，则，，
又，即，则，，即，则，
又关于坐标原点的对称点为，
则．
则所求的面积为．
19．【解析】（1）记“消费者甲第次获胜”为事件，则，
；
（2）由题意得，
则，则，
，又，
数列是以为首项，为公比的等比数列；可知，
故，
从而，
因为表示前次游戏中平均获胜的次数，若要获得礼券，则有，
当为偶数时，有，①
当为奇数时，有，②
又由①②得，或10，故平均至少要玩9轮游戏才有可能获奖．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
D
C
D
D
B
B
D
ACD
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