中考数学一轮复习满分突破考点题型专练专题26 特殊的平行四边形-正方形（2份打包，原卷版+解析版）

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【知识要点】
正方形的定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.
正方形的性质：1）正方形具有平行四边形和菱形的所有性质。
2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等。
3）正方形对边平行且相等。
4）正方形的对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；
5）正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；
6）正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形.
正方形的判定：1）有一个角是直角的菱形是正方形；
2）对角线相等的菱形是正方形；
3）一组邻边相等的矩形是正方形；
4）对角线互相垂直的矩形是正方形；
5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.
正方形的面积公式： SKIPIF 1 < 0 边长×边长＝ SKIPIF 1 < 0 ×对角线×对角线
考查题型一 利用正方形的性质求线段长
典例1．（2022·浙江嘉兴·统考中考真题）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形 SKIPIF 1 < 0 ，形成一个“方胜”图案，则点D， SKIPIF 1 < 0 之间的距离为（ ）
A．1cmB．2cmC．( SKIPIF 1 < 0 －1)cmD．(2 SKIPIF 1 < 0 －1)cm
变式1-1．（2022·山东青岛·统考中考真题）如图，O为正方形 SKIPIF 1 < 0 对角线 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1-2．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）
A．（2 SKIPIF 1 < 0 ）5B．（2 SKIPIF 1 < 0 ）6C．（ SKIPIF 1 < 0 ）5D．（ SKIPIF 1 < 0 ）6
变式1-3．（2022·江苏泰州·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，E为与点D不重合的动点，以DE一边作正方形DEFG.设DE=d1，点F、G与点C的距离分别为d2，d3，则d1＋d2＋d3的最小值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1-4．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）如图，在边长为2的等边三角形 SKIPIF 1 < 0 的外侧作正方形 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1-5．（2022·江苏无锡·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．
变式1-6．（2022·海南·统考中考真题）如图，正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点E、F分别在边 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ___________ SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 的面积等于1，则 SKIPIF 1 < 0 的值是___________．
变式1-7．（2022·江苏常州·统考中考真题）如图，将一个边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四边形 SKIPIF 1 < 0 ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度达到 SKIPIF 1 < 0 时才会断裂．若 SKIPIF 1 < 0 ，则橡皮筋 SKIPIF 1 < 0 _____断裂（填“会”或“不会”，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ）．
变式1-8．（2022·四川遂宁·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．
变式1-9．（2022·湖北随州·统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．
(1)求证 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)已知平行四边形ABCD的面积为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的长．
考查题型二 利用正方形的性质求面积
典例2．（2022·贵州遵义·统考中考真题）如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 不与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 重合），交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆交直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式2-1（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，在边长为6的正方形 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 为直径画半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A．9B．6C．3D．12
变式2-2．（2022·内蒙古·中考真题）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形 SKIPIF 1 < 0 ，则它们的公共部分的面积等于（ ）
A．1﹣ SKIPIF 1 < 0 B．1﹣ SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式2-3．（2021·山东枣庄·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧 SKIPIF 1 < 0 ，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣3D．4﹣π
变式2-4．（2022·湖南永州·统考中考真题）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
变式2-5．（2022·湖南·统考中考真题）我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，这个图被称为“弦图”，它体现了中国古代数学的成就．如图，已知大正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积是100，小正方形 SKIPIF 1 < 0 的面积是4，那么 SKIPIF 1 < 0 __．
考查题型三 与正方形有关的折叠问题
典例3．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（ ）
A．三角形B．梯形C．正方形D．五边形
变式3-1．（2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE＝1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为（ ）
A．2 SKIPIF 1 < 0 B．2 SKIPIF 1 < 0 C．6D．5
变式3-2．（2022·山东泰安·统考中考真题）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，点E是 SKIPIF 1 < 0 的中点，将正方形 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，得到点B的对应点为点F，延长 SKIPIF 1 < 0 交线段 SKIPIF 1 < 0 于点P，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为___________．
变式3-3．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E为AD的中点，将△CDE沿CE翻折得△CME，点M落在四边形ABCE内．点N为线段CE上的动点，过点N作NP//EM交MC于点P，则MN+NP的最小值为________．
变式3-4．（2021·山东泰安·统考中考真题）如图，将矩形纸片 SKIPIF 1 < 0 折叠（ SKIPIF 1 < 0 ），使 SKIPIF 1 < 0 落在 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将 SKIPIF 1 < 0 边折起，使点B落在 SKIPIF 1 < 0 上的点G处，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长为________．
考查题型四 添加一个条件使四边形是正方形
典例4．（2021·广西玉林·统考中考真题）一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形：
a.两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等
c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d②b→d→c③a→b→c
则正确的是：（ ）
A．仅①B．仅③C．①②D．②③
变式4-1．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______，使矩形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
考查题型五 与正方形有关的证明
典例5．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在对角线 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形．
变式5-1．（2021·内蒙古呼伦贝尔·统考中考真题）如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的角平分线， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别是E、F，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交千点H．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 满足什么条件时，四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形？说明理由．
变式5-2（2021·甘肃武威·统考中考真题）问题解决：如图1，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形；
（2）延长 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，判断 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由．
类比迁移：如图2，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 边上， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
变式5-3．（2021·江苏扬州·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 的角平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点D， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）试判断四边形 SKIPIF 1 < 0 的形状，并说明理由；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积．
考查题型六 正方形性质与判定综合
典例6．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，分别交 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ．下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的是_________．（填序号即可）．
变式6-1．（2021·四川广元·统考中考真题）如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点O是对角线 SKIPIF 1 < 0 的中点，点P在线段 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交 SKIPIF 1 < 0 于点E，过点P作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于G，现有以下结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 为定值；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．以上结论正确的有________（填入正确的序号即可）．
变式6-2．（2021·湖南张家界·统考中考真题）如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 外取一点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ，其中正确结论的序号为______．
变式6-3．（2021·湖北黄石·统考中考真题）如图，在正方形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 点．
（1）若正方形的边长为2，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是______．
（2）下列结论：① SKIPIF 1 < 0 ；②若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ；③连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是______（把你认为所有正确的都填上）．
变式6-4．（2020·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由 SKIPIF 1 < 0 平移得到，若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：
①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；
②无论点M运动到何处，都有DM＝ SKIPIF 1 < 0 HM；
③在点M的运动过程中，四边形CEMD不可能成为菱形；
④无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．
以上结论正确的有_____（把所有正确结论的序号都填上）．