中考数学一轮复习满分突破考点题型专练专题25 特殊的平行四边形-菱形（2份打包，原卷版+解析版）

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【知识要点】
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
菱形的性质：
1）具有平行四边形的所有性质；
2）四条边都相等；
3）两条对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，菱形的对称中心是菱形对角线的交点，菱形的对称轴是菱形对角线所在的直线，菱形的对称轴过菱形的对称中心。
菱形的判定：
1）A
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
2）四条边相等的四边形是菱形。
3）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
菱形的面积公式：菱形ABCD的对角线是AC、BD，则菱形的面积公式是：S＝底×高，S＝ SKIPIF 1 < 0
考查题型一 利用菱形的性质求角度
典例1．（2022·贵州贵阳·统考中考真题）如图，将菱形纸片沿着线段 SKIPIF 1 < 0 剪成两个全等的图形，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
变式1-1．（2022·西藏·统考中考真题）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在 SKIPIF 1 < 0 上，连接 SKIPIF 1 < 0 ．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A．50°B．60°C．80°D．90°
变式1-2．（2020·湖北黄冈·中考真题）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1-3．（2020·甘肃金昌·统考中考真题）如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节 SKIPIF 1 < 0 间的距离，若 SKIPIF 1 < 0 间的距离调节到60 SKIPIF 1 < 0 ，菱形的边长 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式1-4．（2022·山东青岛·统考中考真题）图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中 SKIPIF 1 < 0 的度数是__________ SKIPIF 1 < 0 ．
变式1-5．（2021·贵州黔东南·统考中考真题）如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为_________度．
变式1-6．（2020·广东·统考中考真题）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，取大于 SKIPIF 1 < 0 的长为半径，分别以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 SKIPIF 1 < 0 边于点 SKIPIF 1 < 0 （作图痕迹如图所示），连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为_________．
考查题型二 利用菱形的性质求线段长
典例2．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，A，B两点的坐标分别是（2，2 SKIPIF 1 < 0 ），（﹣1，﹣ SKIPIF 1 < 0 ），点D在第一象限，且AD∥x轴，则点D的坐标是（ ）
A．（6，2 SKIPIF 1 < 0 ）B．（8，2 SKIPIF 1 < 0 ）C．（6， SKIPIF 1 < 0 ）D．（8， SKIPIF 1 < 0 ）
变式2-1．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，菱形 SKIPIF 1 < 0 对角线交点与坐标原点 SKIPIF 1 < 0 重合，点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式2-2．（2022·四川广安·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（ ）
A．2B． SKIPIF 1 < 0 C．1.5D． SKIPIF 1 < 0
变式2-3．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，已知菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为4，E是 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点F， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点G，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的长是（ ）
A．3B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式2-4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ，M是对角线BD上的一个动点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
变式2-5．（2022·陕西·统考中考真题）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ．若M、N分别是边 SKIPIF 1 < 0 上的动点，且 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足分别为E、F，则 SKIPIF 1 < 0 的值为______．
变式2-6．（2022·浙江台州·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B重合时，EF的长为________；当点M的位置变化时，DF长的最大值为________．
变式2-7．（2022·贵州遵义·统考中考真题）将正方形 SKIPIF 1 < 0 和菱形 SKIPIF 1 < 0 按照如图所示摆放，顶点 SKIPIF 1 < 0 与顶点 SKIPIF 1 < 0 重合，菱形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上．
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
变式2-8．（2022·黑龙江牡丹江·统考中考真题）在菱形ABCD中，对角线AC和BD的长分别是6和8，以AD为直角边向菱形外作等腰直角三角形ADE．连接CE．请用尺规或三角板作出图形，并直接写出线段CE的长．
考查题型三 利用菱形的性质求面积
典例3．（2021·西藏·统考中考真题）已知一元二次方程x2﹣10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为（ ）
A．6B．10C．12D．24
变式3-1．（2021·海南·统考中考真题）如图，在菱形 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 分别是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ．若菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积为8，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．5
变式3-2（2022·山东淄博·统考中考真题）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（ ）
A．16B．6 SKIPIF 1 < 0 C．12 SKIPIF 1 < 0 D．30
变式3-3．（2022·重庆·统考中考真题）如图，菱形 SKIPIF 1 < 0 中，分别以点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 长为半径画弧，分别交对角线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则图中阴影部分的面积为_________．（结果不取近似值）
变式3-4．（2021·重庆·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分别以点A，B，C，D为圆心， SKIPIF 1 < 0 的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为__________．（结果保留 SKIPIF 1 < 0 ）
变式3-5．（2021·四川凉山·统考中考真题）菱形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 ，则菱形的高等于___________．
变式3-6．（2022·山东滨州·统考中考真题）如图，菱形 SKIPIF 1 < 0 的边长为10， SKIPIF 1 < 0 ，对角线 SKIPIF 1 < 0 相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作 SKIPIF 1 < 0 且边EF与直线DC相交于点F．
(1)求菱形 SKIPIF 1 < 0 的面积；
(2)求证 SKIPIF 1 < 0 ．
变式3-7．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在 SKIPIF 1 < 0 的正方形网格中，网格线的交点称为格点， SKIPIF 1 < 0 在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以 SKIPIF 1 < 0 为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
考查题型四 添加一个条件证明四边形是菱形
典例4．（2022·湖北襄阳·统考中考真题）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（ ）
A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形
C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形
变式4-1．（2021·山东德州·中考真题）如图，下列条件中能使 SKIPIF 1 < 0 成为菱形的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
变式4-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O， SKIPIF 1 < 0 ，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________．（只需写出一个条件即可）
变式4-3．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，从① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 中选择一个作为条件，补充后使四边形 SKIPIF 1 < 0 成为菱形，则其选择是___（限填序号）．
30．（2022·浙江舟山·中考真题）小惠自编一题：“如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中，对角线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点O， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
变式4-4．（2022·湖南岳阳·统考中考真题）如图，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．请从以下三个条件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 中，选择一个合适的作为已知条件，使 SKIPIF 1 < 0 为菱形．
(1)你添加的条件是______（填序号）；
(2)添加了条件后，请证明 SKIPIF 1 < 0 为菱形．
考查题型五 菱形的证明
典例5．（2022·辽宁·统考中考真题）如图，CD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC，BC的平行线，交BC于点E，交AC于点F．若∠ACB＝60°，CD＝4 SKIPIF 1 < 0 ，则四边形CEDF的周长是_______．
变式5-1．（2022·四川广元·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB SKIPIF 1 < 0 CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连接CE．
(1)求证：四边形AECD为菱形；
(2)若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．
变式5-2．（2022·江苏连云港·统考中考真题）如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，延长 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别在线段 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上运动，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．
变式5-3．（2022·吉林长春·统考中考真题）如图，在Rt SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点D是 SKIPIF 1 < 0 的中点，过点D作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E.延长 SKIPIF 1 < 0 至点F，使得 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_______．
变式5-4．（2022·江苏南通·统考中考真题）【阅读材料】
【解答问题】
请根据材料中的信息，证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形．
变式5-5．（2022·湖南郴州·统考中考真题）如图，四边形ABCD是菱形，E，F是对角线AC上的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，连接BF．FD，DE，EB．
求证：四边形DEBF是菱形．
变式5-6．（2021·山东临沂·统考中考真题）如图，已知在⊙O中， SKIPIF 1 < 0 ，OC与AD相交于点E．求证：
（1）AD∥BC
（2）四边形BCDE为菱形．
变式5-7．（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，在四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
变式5-8．（2021·贵州遵义·统考中考真题）在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：
①画线段AB；
②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；
③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；
④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．
（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；
（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2 SKIPIF 1 < 0 ，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．
变式5-9．（2022·安徽·统考中考真题）已知四边形ABCD中，BC＝CD．连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．
(1)如图1，若 SKIPIF 1 < 0 ，求证：四边形BCDE是菱形；
(2)如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．
（ⅰ）求∠CED的大小；
（ⅱ）若AF＝AE，求证：BE＝CF．
老师的问题：
已知：如图， SKIPIF 1 < 0 ．
求作：菱形 SKIPIF 1 < 0 ，使点C，D分别在 SKIPIF 1 < 0 上．
小明的作法：
（1）以A为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半径画弧，交 SKIPIF 1 < 0 于点D；
（2）以B为圆心， SKIPIF 1 < 0 长为半经画弧，交 SKIPIF 1 < 0 于点C；
（3）连接 SKIPIF 1 < 0 ．
四边形 SKIPIF 1 < 0 就是所求作的菱形，