备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题15相似三角形(原卷版+解析)

这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题15相似三角形(原卷版+解析)，共80页。试卷主要包含了比例的性质，平行线分线段成比例定理，三角形的重心，618AB， 则C点可作等内容，欢迎下载使用。

相似三角形是中考数学的重点和难点，基础概念和性质主要出现在选填题中，难点主要出现在解答题中，尤其是第23题对逻辑推理，综合分析能力要求较高，还有第24，25题相似三角形的知识点可能渗透在其中，压轴题对学生的综合能力考查要求更高。
1.线段与角这两种最简单的几何图形的相关概念、画法及大小比较．重点的是尺规作图及线段与角的和、差、倍的相关计算．等知识点直接考查．
2．掌握相交线的性质、对顶角和垂直的有关特性；平行线的判定与性质的综合考查.
一、比例线段及比例的性质
1.比例线段：
（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.
（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．
要点：
通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.
2.比例的性质
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质: 或
(4)合比性质:
(5)等比性质: 且
3.平行线分线段成比例定理
（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.
（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：

这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或
基本图形(2): 若DE//BC，则或或或
基本图形(3): 若AC//BD，则或或或
在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.
2．由比例式产生平行线段
基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，
则DE//BC.
基本图形(3):若, , , , , 之一成立，
则AC//DB.
要点：
（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；
（2）平行线分线段成比例没有逆定理；
（3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.

A型 X型
常用的比例式：.
（4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).
4.三角形的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
要点：
（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍；
（2）重心的画法：两条中线的交点.
二、黄金分割
1.黄金分割
是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点.
2.黄金分割的求法
①代数求法：
已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C.
分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，

设AB＝，AC＝x，那么 CB＝－x， 由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)
整理后，得：x2＋x－ ＝0， 根据求根公式，得：x＝
∴(不合题意，舍去)
即AC＝AB≈0.618AB， 则C点可作.
②黄金分割的几何求法（尺规法）：
已知：线段AB， 求作：线段AB的黄金分割点C.
作法：如图：

(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB.
(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB.
(3)在AB上截取AC＝AE.
则点C就是所求的黄金分割点.
证明：∵AC＝AE＝AD－AB
而AD＝
∴AC＝
∴C点是线段AB的黄金分割点.
要点：
①一条线段有两个黄金分割点.
②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学.
一、单选题
1．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．3cm，6cm，7cm，9cmB．2cm，5cm，0.6dm，8cm
C．3cm，9cm，6cm，1.8dmD．1cm，2cm，3.5cm，4cm
2．已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则c等于（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．4cm
3．已知点C是线段的黄金分割点，且，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35m
B．若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cm
C．任意两个菱形都相似
D．有一个角相等的两个等腰三角形相似
5．如图，在中，，且．若，则的长为（ ）
A．8B．9C．12D．15
6．如图，与相交于点O，，若，则的长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
7．如图，，与相交于点，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ）
A．24B．18C．16D．8
二、填空题
9．已知0，则_____．
10．已知点P是直线上一点，且，若线段的长为2，则线段的长为______．
11．如图，C、D是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为___________ ．
12．如图1是某淘宝店新推出的鞋架，可抽象成图2，直线了，直线AC和DF被、、所截，如果；；，那么的长是___________．
13．已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为2，那么的面积是______．
14．甲、乙两地的实际距离为，如果画在比例尺为的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是________cm．
15．如图，在中，，分别为，上一点，，连接，，两线段相交于点，且，过点作交于点，则_____．
16．如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为__．
三、相似三角形
1.相似多边形
(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.
(3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比.
(4)相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
②相似多边形的周长比等于相似比．
③相似多边形的面积比等于相似比的平方．
2.相似三角形
（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.
（2）相似三角形的表示方法：
用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF.
（3）相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.
③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
（4）相似三角形的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.
（5）相似三角形应用举例
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.
要点：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
一、单选题
1．两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）
A．B．
C． D．
3．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ）
A．3:4B．9:16C．9:1D．3:1
4．如图，在四边形中，对角线，交于点O，若，则图中一定相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知在中，，于，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，有一张锐角三角形纸片，边，高，要把它加工成正方形纸片，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形纸片的周长为（ ）
A．1B．C．D．5
7．在中，，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是、的中点，、交于点G，的中点为H，连接、．给出下列结论：①；②；③；④与相似．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
9．若，它们的面积比为，则它们的对应高的比为 _____．
10．如图所示，已知，点D是的中点，，则的长为 _____．
11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为______
12．如图，在中，为延长线上一点，，若，则___________．
13．如图，点是边的中点，连接、交于点．现假设可在区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为______．
14．如图：在等边三角形中，，，分别是，，上的点，，，，若的面积为，则的面积为________.
15．如图，在中，，点I为三角形的重心，于点H，则________cm．
16．在中，，，，点在斜边上，把沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，当平行的直角边时，的长为______．
三、解答题
17．已知：如图，点、分别在等边三角形的边的延长线与反向延长线上，且满足．求证：
(1)；
(2)．
18．已知等腰中，，点、是边、上的点，且，联结、，交点为．
(1)若，求的值．
(2)若，求证：．
19．如图，在中，，为边上的中线，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求的值．
20．如图，已知点在△的外部，，点在边上，．
(1)求证：；
(2)在边取一点，如果，，求证：．
21．如图，在中，点、分别在边、上，点是上一点且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
22．已知：如图，在中，是边上的中线，点E在线段上，且，过点B作，交线段AE的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
23．如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
24．如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，连接，垂直平分交射线于点F，交边于点E．
(1)如图，当点D是斜边上的中点时，求的长；
(2)连接，如果和相似，求的长；
(3)当点F在边的延长线上，且时，求的长．
一、单选题
1． (2023·上海·上海市进才中学校考一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个等腰梯形
2． (2023·上海松江·统考中考模拟）在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A．B．C．D．
3． (2023·上海长宁·一模）已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（ ）
A．5(-1)B．5(+1)C．10(-2) -D．5(3-)
4． (2023·上海普陀·统考二模）如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·上海杨浦·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．不能确定
7． (2023·上海青浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ）
A．B．C．D．
8． (2023·上海浦东新·统考一模）如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列结论不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9． (2023·上海虹口·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
10． (2023·上海奉贤·统考一模）如图，在梯形中，，对角线交于点是梯形的中位线，与分别交于点，如果的面积为，那么梯形的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．（2023·上海静安·统考一模）已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为_________．
12． (2023·上海金山·统考二模）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝________．
13． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．
14． (2023·上海黄浦·格致中学校考二模）如图，在中，，，点E在边上且，点F在边上，过点F作的垂线交射线于点G，当Rt的一条直角边与的一边平行时，则的长为 _____．
15． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么______．
16． (2023·上海虹口·统考二模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 __．
三、解答题
17． (2023·上海金山·统考二模）如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
(1)求证：DECF；
(2)联结DF，设AD、CF的交点为M，如果＝FM•FC，求证：DFAC．
18． (2023·上海松江·统考二模）已知：如图，两个和中，，，，且点、、在一条直线上．联结、，与交于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
19． (2023·上海奉贤·统考二模）如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
20． (2023·上海黄浦·统考二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
(1)求证：∠AOM＝∠AON；
(2)如果AEON，AFOM，求证：．
21． (2023·上海虹口·统考二模）已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、．
(1)求证：；
(2)当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形．
22． (2023·上海·校考模拟预测）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．
(1)求证：；
(2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；
(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域．
专题15 相似三角形

相似三角形是中考数学的重点和难点，基础概念和性质主要出现在选填题中，难点主要出现在解答题中，尤其是第23题对逻辑推理，综合分析能力要求较高，还有第24，25题相似三角形的知识点可能渗透在其中，压轴题对学生的综合能力考查要求更高。
1.线段与角这两种最简单的几何图形的相关概念、画法及大小比较．重点的是尺规作图及线段与角的和、差、倍的相关计算．等知识点直接考查．
2．掌握相交线的性质、对顶角和垂直的有关特性；平行线的判定与性质的综合考查.
一、比例线段及比例的性质
1.比例线段：
（1）线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项.
（2）成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．
（3）比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．
（4）比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．
要点：
通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以.
2.比例的性质
(1)比例的基本性质：
(2)反比性质：
(3)更比性质: 或
(4)合比性质:
(5)等比性质: 且
3.平行线分线段成比例定理
（1）三角形一边的平行线性质定理: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.
（2）三角形一边的平行线性质定理推论:平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例.
（3）三角形一边的平行线判定定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
（4）三角形一边的平行线判定定理推论：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
（5）平行线分线段成比例定理：两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
（6）平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
这几个定理主要提出由平行线可得到比例式；反之,有比例可得到平行线.首先要弄清三个基本图形：

这三个基本图形的用途是:
1.由平行线产生比例式
基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或
基本图形(2): 若DE//BC，则或或或
基本图形(3): 若AC//BD，则或或或
在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置.
2．由比例式产生平行线段
基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，
则DE//BC.
基本图形(3):若, , , , , 之一成立，
则AC//DB.
要点：
（1）平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例；
（2）平行线分线段成比例没有逆定理；
（3）由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.

A型 X型
常用的比例式：.
（4）判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的平行线本身不能参与作比例).
4.三角形的重心
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
要点：
（1）重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的二倍；
（2）重心的画法：两条中线的交点.
二、黄金分割
1.黄金分割
是指把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较大的线段(AC)是原线段(AB)与较小线段(BC)的比例中项(AC2＝AB·BC)，C点为黄金分割点.
2.黄金分割的求法
①代数求法：
已知：线段AB ，求作：线段AB的黄金分割点C.
分析：设C点为所求作的黄金分割点，则AC2＝AB·CB，

设AB＝，AC＝x，那么 CB＝－x， 由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)
整理后，得：x2＋x－ ＝0， 根据求根公式，得：x＝
∴(不合题意，舍去)
即AC＝AB≈0.618AB， 则C点可作.
②黄金分割的几何求法（尺规法）：
已知：线段AB， 求作：线段AB的黄金分割点C.
作法：如图：

(1)过B点作BD⊥AB，使BD＝AB.
(2)连结AD，在AD上截取DE＝DB.
(3)在AB上截取AC＝AE.
则点C就是所求的黄金分割点.
证明：∵AC＝AE＝AD－AB
而AD＝
∴AC＝
∴C点是线段AB的黄金分割点.
要点：
①一条线段有两个黄金分割点.
②这种分割之所以被人们称为黄金分割，是因为黄金分割存在美学规律和具有实用价值.德国著名天文学家开普勒 (Kepler，1571—1630)把这种分割称为“神圣的比例”，说它是几何中的瑰宝，大家也可以看一下课外的阅读材料，体会一下黄金分割中所蕴含的美学.
一、单选题
1．下列各组线段中是成比例线段的是（ ）
A．3cm，6cm，7cm，9cmB．2cm，5cm，0.6dm，8cm
C．3cm，9cm，6cm，1.8dmD．1cm，2cm，3.5cm，4cm
【答案】C
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【解析】解：A、由于，所以不成比例，不符合题意；
B、由于，，所以不成比例，不符合题意；
C、由于，，所以成比例，符合题意；
D、由于，所以不成比例，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查比例线段．解决本类问题只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
2．已知线段，，线段c是线段a，b的比例中项，则c等于（ ）
A．10cmB．8cmC．6cmD．4cm
【答案】C
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段的长．
【解析】解：∵线段c是线段的比例中项是x，，，
解得：(线段是正数，负值舍去)，
故选C
【点睛】本题主要考查了线段的比例中项的定义，熟知如果线段c是线段a，b的比例中项则是解题的关键，注意线段不能为负．
3．已知点C是线段的黄金分割点，且，则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，点C是线段的黄金分割点（），得，可得答案．
【解析】解：根据黄金分割的定义得
故选：D
【点睛】此题考查黄金分割，掌握黄金分割点的定义是解题关键．
4．下列说法正确的是（ ）
A．两地在地图上的距离为7cm，地图上的比例尺为，则两地实际距离为35m
B．若cm，点是线段的黄金分割点，且，则cm
C．任意两个菱形都相似
D．有一个角相等的两个等腰三角形相似
【答案】B
【分析】根据比例的性质和图形相似的判定求解即可．
【解析】解：A. m，故A说法错误，不符合题意；
B. 点是线段的黄金分割点, 且，则，
设，则，解得或（舍去），故B说法正确，符合题意；
C.当两个菱形的角度不等时，不相似，故C说法错误，不符合题意；
D.若两个等腰三角形一个是顶角，一个是底角，则不是相似的，故D说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了图形的相似，比例的性质，理解图形相似的性质以及比例的性质是解题的关键．
5．如图，在中，，且．若，则的长为（ ）
A．8B．9C．12D．15
【答案】B
【分析】根据，得到计算即可．
【解析】∵，且，，
∴，
解得．
故选B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
6．如图，与相交于点O，，若，则的长为（ ）
A．10B．12C．14D．16
【答案】C
【分析】首先根据平行线的性质可以得到，由此即可求解．
【解析】解：∵与相交于点O，，
∴，
∵，＝8，
∴，
∴＝6，
∴．
故选：C．
【点睛】此题主要考查平行线分线段成比例，属于基础题型，熟练掌握比例线段的对应关系是解题的关键．
7．如图，，与相交于点，且，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解．
【解析】解：，
．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
8．如图，在菱形中，是的中点，，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ）
A．24B．18C．16D．8
【答案】C
【分析】易得长为长的2倍，那么菱形的周长，问题得解．
【解析】解：∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是的中位线，
∴，
∴菱形的周长是，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题
9．已知0，则_____．
【答案】
【分析】根据比例的性质设，，，再代入计算可求解．
【解析】解：有题意设，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查比例的性质，利用比例的性质设参数是解题的关键．
10．已知点P是直线上一点，且，若线段的长为2，则线段的长为______．
【答案】或
【分析】分点P是在点B左边、点B右边两类讨论即可得到答案．
【解析】解：由题意可得，
当点P是在点B左边时，如图所示，
∵，，
∴，
∴；
当点P是在点B右边时，如图所示，
∵，，
∴，
∴，
故答案为或．
【点睛】本题考查已知线段比例关系求线段长度问题，解题的关键是分类讨论点P的位置．
11．如图，C、D是线段的两个黄金分割点，且，则线段的长为___________ ．
【答案】##
【分析】根据黄金分割点的定义，知较长的线段=总线段的，可得和的长，则即可求得．
【解析】设线段，
∵C、D是线段的两个黄金分割点，
∴较长线段，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较长的线段=总线段的倍．
12．如图1是某淘宝店新推出的鞋架，可抽象成图2，直线了，直线AC和DF被、、所截，如果；；，那么的长是___________．
【答案】
【分析】由直线，利用平行线分线段成比例，可求出的长．
【解析】解：直线，
，
即，
，
的长是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
13．已知是的重心，过点作交边于点，作交边于点，如果四边形的面积为2，那么的面积是______．
【答案】9
【分析】延长交于F点，连接，先证四边形为平行四边形得，由G是的重心，得，为边上的中线，再根据平行线分线段成比例可证，从而即可求解．
【解析】解：延长交于F点，连接，如图，
∵， ，
∴四边形为平行四边形，
∴
∵G是的重心，
∴，为边上的中线，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为边上的中线，
∴．
故答案为∶ 9．
【点睛】本题考查了三角形的重心∶三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，也考查了平行四边形的判定与性质和平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
14．甲、乙两地的实际距离为，如果画在比例尺为的地图上，那么甲、乙两地的图上距离是________cm．
【答案】5
【分析】根据比例尺＝图上距离÷实际距离进行求解即可．
【解析】解：由题意得甲、乙两地的图上距离是，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了比例尺，熟知比例尺的定义是解题的关键．
15．如图，在中，，分别为，上一点，，连接，，两线段相交于点，且，过点作交于点，则_____．
【答案】
【分析】根据，得出，根据，得出，根据，得出，即可得出答案．
【解析】解：∵，
，
又∵，
，
又∵，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
16．如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为__．
【答案】6
【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可．
【解析】解：如图，作交于F，
∵，O是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
三、相似三角形
1.相似多边形
(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
(2)相似多边形的识别：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似.
(3)相似比：我们把相似多边形对应边的比称为相似比.
(4)相似多边形的性质
①相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．
②相似多边形的周长比等于相似比．
③相似多边形的面积比等于相似比的平方．
2.相似三角形
（1）相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.
（2）相似三角形的表示方法：
用“∽”表示，读作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以写成△ABC∽△DEF，也可以写成△DEF∽△ABC，读作△ABC相似于△DEF.
（3）相似三角形的性质：
①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
②相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.
③相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
要点：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.
（4）相似三角形的判定：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；
②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
⑤如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相等，那么这两个直角三角形相似.
（5）相似三角形应用举例
相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，可以解决一些不能直接测量的物体的长度问题，加深学生对相似三角形的理解和认识.
要点：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
一、单选题
1．两个相似三角形的相似比是，则其面积之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用相似三角形的性质分析得出答案．
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴其面积之比是，
故选：D
【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，正确掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．
2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【分析】三角形相似的判定方法有（1）平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）如果两个三角形对应边的比相等且夹角相等，这2个三角形也可以说明相似（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.）；
（3）如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似（简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.）；
（4）如果两个三角形的两个角分别对应相等（或三个角分别对应相等），则有两个三角形相似（简叙为两角对应相等，两个三角形相似）。
【解析】A选项符合判定方法（4），符合题意．
B选项相等的角不是对应边的夹角，不符合题意．
C选项相等的角不是对应角，不符合题意．
D选项相等的角不是对应角，不符合题意．
【点睛】本题考查的是三角形相似的判定方法，解题的关键是牢记判定方法．
3．如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（ ）
A．3:4B．9:16C．9:1D．3:1
【答案】B
【分析】根据题意可证，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【解析】∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练考查相似三角形的面积比等于相似比的平方．
4．如图，在四边形中，对角线，交于点O，若，则图中一定相似的三角形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可证．
【解析】解：∵，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
5．如图，已知在中，，于，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据三角形的面积公式判断A，根据射影定理判断B、C．
【解析】由直角三角形的面积公式可知：，A选项正确，所以A选项不符合题意；
由射影定理可知：，B选项正确，所以B选项不符合题意；
由射影定理可知：，C选项正确，所以C选项不符合题意；
无法证明，D选项错误，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是射影定理、三角形的面积计算，解题的关键是掌握射影定理、三角形的面积公式．
6．如图，有一张锐角三角形纸片，边，高，要把它加工成正方形纸片，使其一边在上，其余两个顶点分别在，上，则这个正方形纸片的周长为（ ）
A．1B．C．D．5
【答案】C
【分析】设正方形的边长为x，表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．
【解析】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
设正方形的边长为x， 则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴正方形纸片的周长为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比，表示出的长度，然后列出比例式是解题的关键．
7．在中，，以点A为顶点作三角形（阴影部分），使这个三角形与相似，且相似比为，根据下列选项图中标注的条件，不符合要求的作图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的性质逐一判断即可．
【解析】A、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
B、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
C、，则，此选项是符合要求的作图，故不符合题意；
D、，由勾股定理得：，则，此选项是不符合要求的作图，故符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理等知识，掌握相似三角形的相似比等于对应边的比是关键．
8．如图，在边长为4的正方形中，点E、F分别是、的中点，、交于点G，的中点为H，连接、．给出下列结论：①；②；③；④与相似．其中正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】利用正方形的性质和线段中点性质，证明，得到，即可判断①；利用勾股定理求，再利用三角形的面积公式求出的长，即可判断②；利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半，得到，进而得到，然后根据平行线的性质，得到，由勾股定理求出，再利用对应边成比例，夹角相等即可判断④；根据，得到，又因为，得到，进而得到，即可判断③．
【解析】解：四边形为正方形，
，，
、分别是、的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，①结论正确；
，，
，
，
，②结论错误；
为的中点，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，④结论正确；
，
，，
，
，
，
与不平行，③结论错误，
综上可知，正确的结论为：①④，
故选B．
【点睛】本题考查了三角形全等的证明与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的斜边中线等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题关键．
二、填空题
9．若，它们的面积比为，则它们的对应高的比为 _____．
【答案】
【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，由此即可求解．
【解析】解：∵，面积比为，
∴对应高的比是，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键．
10．如图所示，已知，点D是的中点，，则的长为 _____．
【答案】
【分析】证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【解析】解：∵，，
∴，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质，属于中考常考题型．
11．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上．已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高为______
【答案】
【分析】利用直角三角形和直角三角形相似求得的长后加上小明同学的身高即可求得树高．
【解析】解：，，
∽，
，
，，，，
，
米，
米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
12．如图，在中，为延长线上一点，，若，则___________．
【答案】
【分析】根据，可知的值，根据，可以得出，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可正确解答．
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，理解相似三角形的面积之比等于相似比的平方，根据，求出的值是解答本题的关键．
13．如图，点是边的中点，连接、交于点．现假设可在区域内随机取点，则这个点落在阴影部分的概率为______．
【答案】
【分析】先证明，根据相似三角形的性质可得出，设，得出，，再根据概率公式计算即可．
【解析】解：∵点是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴，
∴，
∴这个点落在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边的性质，几何概率，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
14．如图：在等边三角形中，，，分别是，，上的点，，，，若的面积为，则的面积为________.
【答案】
【分析】先证明是等边三角形，利用特殊角的三角函数值得到各线段之间的关系，再利用相似三角形的判定与性质即可求解．
【解析】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
设，
∴，，
∴
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形，解题关键是利用相似三角形的性质得到面积关系．
15．如图，在中，，点I为三角形的重心，于点H，则________cm．
【答案】
【分析】如图，的延长线与交于D，根据I是重心即可得到，，利用的性质，即可求解．
【解析】解：如图，的延长线与交于D，
点I为三角形的重心，
，
，
即
故答案为：
【点睛】本题考查三角形重心性质，三角形相似的判定和性质；关键在于知道三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心将中线分成的线段比为．
16．在中，，，，点在斜边上，把沿直线翻折，使得点落在同一平面内的点处，当平行的直角边时，的长为______．
【答案】1或3
【分析】如图1，当，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，，根据三角形的面积公式得到，由相似三角形的性质即可得到结论；如图2，当，根据折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，于是得到，推出，于是得到．
【解析】解：中，，，，
，，
①如图1，当，
，
把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
；
②如图2，当，
把沿直线折叠，点落在同一平面内的处，
，，，
，
，
，
，
综上所述：的长为：1或3，
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查了翻折变换折叠问题，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
三、解答题
17．已知：如图，点、分别在等边三角形的边的延长线与反向延长线上，且满足．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（1）由三角形的性质证，，再由得，即可得证；
（2）证明即可得证．
【解析】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴即，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．
18．已知等腰中，，点、是边、上的点，且，联结、，交点为．
(1)若，求的值．
(2)若，求证：．
【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）作，交延长线于，证明，根据相似三角形的性质得出，则，进而得出；
（2）根据已知条件证明，得出，进而证明，根据相似三角形的性质以及 ，即可得证．
【解析】（1）解：作，交延长线于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又 ，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵ ，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
19．如图，在中，，为边上的中线，于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)在（2）的条件下，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先利用等腰三角形的性质证明，，再由，得，即可得到结论；
（2）利用勾股定理求出，再根据（1），对应边成比例，即可求出；
（3）由中线的性质可得，再由，得，再利用锐角三角函数定义求解即可．
【解析】（1）证明：，为边上的中线，
，．
又，
．
又，
；
（2）解：由（1）得，，
在中，
．
，
，即，
；
（3）解：，为边上的中线，
，，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握各定理、性质及正切的定义是解题的关键．
20．如图，已知点在△的外部，，点在边上，．
(1)求证：；
(2)在边取一点，如果，，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）欲证明，只要证明即可；
（2）由，可得，再根据，推出，即可解决问题；
【解析】（1）∵，
∴
∵，
∴ ，
∴，
∴．
（2）由（1）得
∴，，
∵，
∴，
∴
∴
∴
∵，
∴，
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．如图，在中，点、分别在边、上，点是上一点且，连接．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据结合已知条件，直接证明根据相似三角形的性质即可得证；
（2）证明，得出，根据（1）的结论得出，根据公共角，证明，即可得证．
【解析】（1）∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．已知：如图，在中，是边上的中线，点E在线段上，且，过点B作，交线段AE的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由是边上的中线，且，可得，由可得，由相似三角形的性质即可得到结论；
（2）由（1）可得，再由及，可得，即有：，由夹角相等可得，则有，再由平行关系可得，则可得结论成立．
【解析】（1）证明：是边上的中线，
；
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：由（1），
，
，
，，
，
即有：，
，
，
；
，
，
，
，
，即，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用判定与性质是解题的关键．
23．如图，在中，点D、E分别在边BC、AC上，AD与BE相交于点F，，．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）先证明，可得，结合可证，从而可证成立；
（2）先证明，然后通过证明可证结论成立．
【解析】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴．
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例．
24．如图，在中，，，，点D是斜边上的动点，连接，垂直平分交射线于点F，交边于点E．
(1)如图，当点D是斜边上的中点时，求的长；
(2)连接，如果和相似，求的长；
(3)当点F在边的延长线上，且时，求的长．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）如图，记，的交点为，证明，，再利用锐角三角函数分别求解，即可；
（2）先求解，，由和相似，分两种情况讨论即可；
（3）如图，连接，过作交的延长线于，由，可得，求解 ，，结合垂直平分线的性质可得：，由勾股定理可得，从而可得答案．
【解析】（1）解：如图，记，的交点为，
∵，点D是斜边上的中点，，
∴，
∴，
∵ 垂直平分
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴．
（2）∵，，，
∴，设，则，
∴，解得：，
∴，，
∵和相似，如图，当时，
∴，
由垂直平分线的性质可得：，
∴，解得：，
如图，当时，
∴，
∴，解得：．
（3）如图，连接，过作交的延长线于，
∵，
∴，而，
同理可得：，，
由垂直平分线的性质可得：，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，清晰的分类讨论，作出适当的辅助线构建相似三角形与直角三角形都是解本题的关键．
一、单选题
1． (2023·上海·上海市进才中学校考一模）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形B．两个矩形C．两个菱形D．两个等腰梯形
【答案】A
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；
【解析】解：A、两个等边三角形，三个角都是60°
∴它们是相似图形，符合题意；
B、两个矩形四个角都是90°，但对应边的比不一定相等
∴它们不是相似图形，不符合题意；
C、两个菱形角不一定相等
∴它们不是相似图形，不符合题意；
D、两个等腰梯形对应边的比不一定相等，
∴它们不是相似图形；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键．
2． (2023·上海松江·统考中考模拟）在中，点、分别在边、上，，那么下列条件中能够判断的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】可先假设，由平行得出其对应线段成比例，进而可得出结论．
【解析】如图，
可假设，
∵
∴，故A选项错误，
，故D选项错误；
反过来，当时，不能得到，故B选项错误；
当时，能得到，故C选项正确；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由平行线分线段成比例来判定两条直线是平行线的问题，能够熟练掌握并运用．
3． (2023·上海长宁·一模）已知P，Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ长为（ ）
A．5(-1)B．5(+1)C．10(-2) -D．5(3-)
【答案】C
【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ、PB的长度，再根据PQ=AQ+PB－AB即可求出PQ的长度．
【解析】解：如图，
根据黄金分割点的概念，可知，
AQ=PB，
AB=10，
AQ=PB=，
PQ=AQ+PB－AB=．
故选：C．
【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．
4． (2023·上海普陀·统考二模）如图，已知直线，它们依次交直线、于点A、C、E和点B、D、F，下列比例式中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行线分线段成比例逐项判断即可．
【解析】∵，
∴，，
所以A，D，不正确；C正确．
B中的线段不是对应线段，所以不正确.
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分得的线段中，对应线段成比例是解题的关键．
5． (2023·上海·校联考模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，C是弦AB上一点，且BC：CA=2：1，连接OC并延长交⊙O于D，若DC=2cm，OC=3cm，则圆心O到弦AB的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，作OF⊥AB，即可求出CE，再证明，即可求出AC，BC，然后根据垂径定理求出BF，最后根据勾股定理得出答案．
【解析】先延长DO交圆O于点E，连接AD，BE，BO，过点O作OF⊥AB，于点F，
∴EO=CO+CD=5cm，
∴CE=8cm．
∵∠ADC=∠CBE，∠ACD=∠BCE，
∴，
∴，
即AC·BC=CE·CD，
则2AC2=16，
解得，
∴，
则．
∵OF⊥AB，
∴．
在Rt△BOF中，BO=5cm，
∴（cm）．
故选：C．
【点睛】这是一道关于圆得综合问题，考查了相似三角形的性质和判定，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等，构造相似三角形求出线段的长是解题的关键．
6． (2023·上海杨浦·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，DE∥BC，且AD=2CD，那么以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是（）
A．外离B．外切C．相交D．不能确定
【答案】C
【分析】根据勾股定理求得的长，根据AD=2CD，求得的长，根据DE∥BC，证明，求得，进而求得的长，勾股定理求得CE的长，进而比较圆心距与半径和，根据圆与圆的位置关系进行判断即可．
【解析】解：连接，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=3，
∴，
AD=2CD，AC=6，
，．
DE∥BC，
，
，
．
，
．
在中，．
>．
以点C为圆心、DC长为半径的圆C和以点E为圆心、EB长为半径的圆E的位置关系是相交．
故选C．
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
7． (2023·上海青浦·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为顶点，为一边作角，角的另一边交轴于（在上方），则坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，由题意易得AD=2，，BD=1，然后可得，，设BC=x，则CD=x+1，进而根据相似三角形及勾股定理可进行求解．
【解析】解：过点A作AD⊥y轴于点D，过点B作BE⊥AC于点E，如图所示：
∵，，
∴AD=2，，BD=1，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设BC=x，则CD=x+1，
∴，
在Rt△BEC中，由勾股定理得：，
解得：（负根舍去），
∴，
∴，
∴点；
故选B．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理；熟练掌握等腰直角三角形的性质、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
8． (2023·上海浦东新·统考一模）如图，在ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列结论不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据相似三角形的判定及性质以及平行线分线段成比例对每个选项逐个证明即可．
【解析】解：∵DEBC，EFCD，
∴∠ADE=∠B，∠ACD=∠AEF，
又∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠AEF，
∵∠ADE=∠AEF，∠A=∠A，
∴AEF∽ADE，
∴，
∴，故选项A正确；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴ACD∽ABC，
∴，
∴，故选项B正确；
∵DEBC，
∴，
∵EFCD，
∴，
∴，
∴，故选项D正确；
∵EFCD，
∴，
∴，故选项C错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键．
9． (2023·上海虹口·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB上一点，过D作DF⊥AB交边BC于点E，交AC的延长线于点F，联结AE，如果tan∠EAC＝，S△CEF＝1，那么S△ABC的值是（ ）
A．3B．6C．9D．12
【答案】C
【分析】根据，可得，由∽，可得相似比为，从而得到面积比为，进而求出答案．
【解析】∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
又∵DF⊥AB，
∴∠ADF＝90°，
∴∠BAC+∠F＝90°，
∴∠B＝∠F，
又∵∠ECF＝∠ACB＝90°，
∴△ECF∽△ACB，
∴＝tan∠EAC＝，
∴，
又∵S△ECF＝1，
∴S△ABC＝9，
故选：C．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的意义，相似三角形的性质和判断，掌握相似三角形的性质是解决问题的关键．
10． (2023·上海奉贤·统考一模）如图，在梯形中，，对角线交于点是梯形的中位线，与分别交于点，如果的面积为，那么梯形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设AD=2x，BC=6x，根据EF是梯形的中位线，求得EG=FH==x，GF==3x，证得GH=AD，由此得到，，，即可求出答案．
【解析】设AD=2x，BC=6x，
∵EF是梯形的中位线，
∴点E、F、G、H分别为AB、CD、BD、AC的中点，EF∥AD∥BC，
∴EF=x，
∴EG=FH==x，GF==3x，
∴GH=2x，
∴GH=AD，
∵GH∥AD,
∴△OAD∽△OHG,
∴，
∴OG=OD，，
∵GH∥BC,
∴△OGH∽△OBC，
∵
∴，
∵O是DG的中点，G是BD的中点，
∴，
，
故选：C．
．
【点睛】此题考查梯形中位线的性质定理，三角形中位线的性质定理，同底或同高三角形面积的关系，相似三角形的性质，这是一道与中位线相关的综合题．
二、填空题
11．（2023·上海静安·统考一模）已知，与的相似比为，与的相似比为，那么与的相似比为_________．
【答案】
【分析】设，根据相似三角形的对应边成比例分别表示出，继而求解即可．
【解析】设，
∵，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，能够用同一个字母表示的长度是解题的关键．
12． (2023·上海金山·统考二模）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEBC，如果△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，DE＝4，那么BC＝________．
【答案】6
【分析】由DEBC，△AED∽△ABC，利用相似三角形的性质结合△ADE和四边形BCED的面积分别为4和5，可得出＝，结合DE＝4，即可求出BC的值，经检验后即可得出结论．
【解析】解：依照题意画出图形，如图所示．
∵DEBC，
∴△AED∽△ABC．
又∵＝，
∴＝＝，
∴＝，即＝，
∴BC＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
13． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．
【答案】##
【分析】根据和，根据相似三角形对应边成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【解析】解：，
，
，
与的面积之比，
，
，
，
令，则，
设，
，
，
，
，
与的面积之比是，
与的面积之比是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握并运用：相似三角形对应边成比例、相似三角形的面积比等于相似比的平方等性质，是解此题的关键．
14． (2023·上海黄浦·格致中学校考二模）如图，在中，，，点E在边上且，点F在边上，过点F作的垂线交射线于点G，当Rt的一条直角边与的一边平行时，则的长为 _____．
【答案】4或8##8或4
【分析】分，，三种情况，结合含角的直角三角形和平行线分线段成比例定理分别求解．
【解析】解：过点C作CM⊥AB，
∵，，
∴，
在Rt中，，
∴，
∵，
∴，，
①当时，
由题意可得，
∴，
在Rt，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，
此时，
∴，
∴；
③当时，
此时，
过点F作，
∴，，
∵，，
∴，
在Rt中，，
∴，
综上，的长为4或8，
故答案为：4或8．
【点睛】本题考查含30°角的直角三角形性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，理解等腰三角形的性质，掌握含30°角的直角三角形的性质，利用分类讨论思想解题是关键．
15． (2023·上海·上海市娄山中学校考二模）如图1，内有一点，满足，那么点被称为的“布洛卡点”．如图2，在中，，，点是的一个“布洛卡点”，那么______．
【答案】
【分析】通过证明，可得，从而即可求解．
【解析】解：，
，，
点是的一个“布洛卡点”，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形相似是解此题的关键．
16． (2023·上海虹口·统考二模）如图，在矩形中，，，点E是的中点，连接，点O是线段上一点，的半径为1，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 __．
【答案】
【分析】根据题意，需要分分别与边相切两种情况下，计算出长度即可解答．
【解析】解：设与相切于点F，连接，，

∵，，
∴，
中，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴若与相切时，和一定相交；
若与相切时，和一定相离．
同理当与相切于点M时，连接，，计算得，
∴此时，

∴当时，与矩形的各边都没有公共点，
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是分两种情况计算．
三、解答题
17． (2023·上海金山·统考二模）如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．
(1)求证：DECF；
(2)联结DF，设AD、CF的交点为M，如果＝FM•FC，求证：DFAC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由等边三角形的性质证明△ACD≌△CBF，得出∠CAD＝∠BCF，由等边三角形的性质及三角形外角的性质得出∠BDE＝∠CAD，进而得出∠BDE＝∠BCF，即可证明DECF；
（2）先证明△DFM∽△CFD，得出∠FDM＝∠FCD，由∠CAD＝∠BCF，得出∠FDM＝∠CAD，即可证明DFAC．
（1）
如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝∠B＝60°，
在△ACD和△CBF中，
，
∴△ACD≌△CBF（SAS），
∴∠CAD＝∠BCF，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠ADE＝∠ACB＝60°，
∵∠ADE＋∠BDE＝∠ACB＋∠CAD，
∴∠BDE＝∠CAD，
∴∠BDE＝∠BCF，
∴DECF；
（2）
如图2，
∵DF2＝FM•FC，
∴，
∵∠DFM＝∠CFD，
∴△DFM∽△CFD，
∴∠FDM＝∠FCD，
∵∠CAD＝∠BCF，
∴∠FDM＝∠CAD，
∴DFAC．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判断，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
18． (2023·上海松江·统考二模）已知：如图，两个和中，，，，且点、、在一条直线上．联结、，与交于点．
(1)求证：；
(2)如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质，证，从而证得，，再利用平行线分线段成比例即可得出结论．
（2）证明，得，继而利用，即可得出结论．
（1）
.证明： ，，
，，
，
，
，，
，，
．
（2）
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握三角形相似的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
19． (2023·上海奉贤·统考二模）如图，已知，点E在边上，且，过点A作的平行线，与射线交于点D，连结．
(1)求证：；
(2)如果．
①当，求的长；
②当时，求的正弦值．
【答案】(1)见详解
(2)①CE=1；②∠BAC的正弦值为或．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠ADB=∠CBE，则有∠BAE=∠BDA，然后可证△ABE∽△DBA，进而问题可求证；
（2）①过点A作AF⊥BC于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解；②由题意易知当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，然后分类讨论当四边形ABCD是平行四边形时和当四边形ABCD是等腰梯形时，进而问题可求解．
(1)
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵，
∴∠BAE=∠BDA，
∵∠ABE=∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴；
(2)
解：①过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵AD∥BC，
∴当AB=DC时，四边形ABCD是平行四边形或等腰梯形，
当四边形ABCD是平行四边形时，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EN⊥BC于点N，如图所示：
∴EN∥AM，，，
∴，
∴，
∵在Rt△ABM中，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∴，
由（1）得：，
∵，
∴，
∴（负根舍去），
∴，
∴；
当四边形ABCD是等腰梯形时，过点A作AH⊥BC于点H，过点E作EQ⊥BC于点Q，如图所示：
∴，
在△BAD和△CDA中，
，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
过点D作DP∥AB交AC于点P，则∠DPA=∠BAC，
∴，
∴，
∵DP∥AB，
∴，
∴，
∴，
∵AD∥BC，
∴，
∴，
∴，
∴BC=AB=4，
∴，
由以上可知：，
∴，
∵AH⊥BC，EQ⊥BC，
∴AH∥EQ，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BEQ中，由勾股定理得：，
∴；
综上所述：∠BAC的正弦值为或．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定及解直角三角形是解题的关键．
20． (2023·上海黄浦·统考二模）如图，已知A、B、C是圆O上的三点，AB＝AC，M、N分别是AB、AC的中点，E、F分别是OM、ON上的点．
(1)求证：∠AOM＝∠AON；
(2)如果AEON，AFOM，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂径定理的推论，得出，，再证Rt△AOM≌Rt△AON（HL），即可得出结论；
（2）连接EF，交AO于点P．先证四边形AEOF是平行四边形，再证四边形AEOF是菱形，根据菱形的性质得，．然后证．得，代入即可得出结论．
【解析】（1）证明：∵M、N分别是AB、AC的中点，OM、ON过圆心，
∴，．
又∵，
∴．
∵在Rt△AOM和Rt△AON中，
，
∴Rt△AOM≌Rt△AON（HL），
∴．
（2）解：连接EF，交AO于点P．
∵，，
∴四边形AEOF是平行四边形．
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴四边形AEOF是菱形．
∴，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，即．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，证四边形AEOF是菱形是解题的关键．
21． (2023·上海虹口·统考二模）已知：如图，、是的两条弦，，点、分别在弦、上，且，，联结、．
(1)求证：；
(2)当为锐角时，如果，求证：四边形为等腰梯形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明即可；
（2）由可得，可得，再证明OM∥AC即可．
【解析】（1）∵、是的两条弦，，
∴
在和中
∴（SAS）
∴；
（2）∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴，OM∥AC
∴
∴四边形为等腰梯形．
【点睛】本题考查圆的弧弦关系、全等三角形的证明、等腰梯形、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由弦得到．
22． (2023·上海·校考模拟预测）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，，且DC∥AE．
(1)求证：；
(2)如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；
(3)如图2，延长AD、BC交于点F，设，求y关于的函数解析式，并写出定义域．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB=∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE=∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；
（2）如图，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形的性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得，根据△ABE∽△AED且相似比为3:2，可求得，由可求答案；
（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE=，进而得出，再利用△ADE∽△ECD，进而求得：，再结合题意得出答案．
（1）
∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵
∴
∴△ABE∽△AED
∵∠ABE=∠ADE
∴
∴，∠AED=∠CDE
∴∠ADE=∠DCE，
∴△ADE∽△ECD
∴
∴
（2）
如图，过点B作BG⊥AE
∵BE=9=AB
∴△ABE是等腰三角形
∴G为AE的中点，
由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，
∵，AB=BE=9，AE=6
∴AD=4，DE=6，CE=4，AG=3
∴△ADE≌△ECD（SAS）
在Rt△ABG中，
BG=
∴
∵△ABE∽△AED且相似比为3:2
∴
∴=
∴
（3）
由（1）知：△ABE∽△AED
∴
∵BE=x，AB=9,AE=6，
∴
∴
由（1）知： ,
∴
∵△ADE∽△ECD







y关于x的函数解析式为
【点睛】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．