备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题03整式与因式分解(原卷版+解析)

这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题03整式与因式分解(原卷版+解析)，共49页。试卷主要包含了5，﹣8等内容，欢迎下载使用。

1.整式部分主要考查整式的相关概念、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；
2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一、代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
【注意】
1.代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2.代数式中不含有=、<、>、≠ 等
3.对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
代数式的分类：
列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
(2)数字通常写在字母前面.
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数.
(4)除法常写成分数的形式.
代数式的值
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
单项式
概念：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算，或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式（单项式中“只含乘除，不含加减”）.
【注意】：
1）圆周率 SKIPIF 1 < 0 是常数，所以1?也是常数；
2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写;
3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．
单项式的系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
单项式的次数：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
【注意】：
1）一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或者-1。
2)一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）负数作系数时，需带上前面的符号。
4）若系数是1或-1时，“1”通常省略不写。
多项式
概念：几个单项式的和叫多项式.
多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；
【注意】
1.ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式（若a、b、c、p、q是常数）.
2.多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
步骤：①找 ②移 ③合
去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
注意：
1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
3、括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.
4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项.
5、遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
注意:多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.
一、单选题
1．下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．m×6B．C．x﹣7元D．
2．一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（ ）
A．abB．10a+bC．10b+aD．ba
3．若式子的值是4，则的值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
4．如果代数式的值是，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
5．下列式子中：，，，，，，整式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
6．下列说法正确的是 （ ）
A．单项式的系数是2B．单项式的次数是2
C．是四次多项式D．有两项，分别是
7．下列各式中，，，，，是多项式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．按一定规律排列的单项式：第n（，n为正整数）个单项式是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．单项式的系数为______，次数为______．
10．将多项式按字母降幂排列________．
11．已知多项式（为常数）不含项，当，时，该多项式的值为______．
12．某文具店的钢笔每支m元，练习本每本n元，小颖买了2支钢笔和3本练习本，应付___________元．
13．有三个连续的奇数，中间一个是，则另外两个奇数的和为_____．
14．若，则代数式的值为_____．
15．已知是方程式的根，则式子的值为______．
二、整式的乘除
幂的运算性质1：
am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【同底数幂相乘注意事项】
1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
幂的运算性质2：
am ÷an＝am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减．
【同底数幂相除注意事项】
1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，如x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
整式的乘法
单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
【注意】
单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
运算顺序：先算乘方，再算乘法。
单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
【单项式乘以多项式注意事项】
1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【多项式乘以多项式注意事项】
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
乘法公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： ?2+ ?2=(?+?)2-2ab
扩展二： (?+?)2+ (?−?)2 = 2(?2+ ?2)
(?+?)2 - (?−?)2 = 4ab
扩展三： ?2+ ?2+ ?2= (?+?+?)2-2ab-2ac-2bc
② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
整式的除法
单项式÷单项式
一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
【同底数幂相除注意事项】
1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
多项式÷单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
【解题思路】
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。
整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。
一、单选题
1．下列各组中，不是同类项的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．若A是一个四次多项式，B也是一个四次多项式，则是一个（ ）
A．八次多项式B．四次多项式
C．次数不超过四次的多项式D．次数不超过四次的代数式
5．小丽做一道数学题，已知两个多项式、，且为，求“”；小丽把 错看成了，计算的结果是，那么正确的结果为（ ）
A．B．C．D．
6．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，若无论，为何值时，的值始终不变，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
8．下列运算，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图所示的是小章家房子的结构图（单位：米），她打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖，地砖每平方米x元，木地板每平方米元，小章家总共花费（ ）
A．元B．元C．元D．元
10．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A．5B．16C．5或D．25或7
二、填空题
11．如果单项式与的和是单项式，那么______．
12．已知与是同类项，那么________．
13．多项式减去一个多项式得，则减去的多项式是___________．
14．已知，B是关于x的m次n项式，若的结果为三次多项式，则n的最大值为___________．
15．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________ ．
16．若，则的值为______．
17．若，，则 ______ ．
18．如果是个完全平方式，那么m 的值是___________．
19．如图，线段的长度为5，点是线段上一点且，分别以、为边在同一侧作正方形、，点为线段上任意一点（不与、重合），若的面积为，则的长度为_____．
20．已知，则___________．
三、因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【因式分解的定义注意事项】
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
提公因式法
【提公因式法的注意事项】
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
要点：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点：分组分解法分解因式常用的思路有：
添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
、
一、单选题
1．下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
4．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ）
A．4B．5C．6D．8
5．已知，则的值为（ ）
A．2011B．2012C．2013D．2014
6．因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．
A．B．
C．D．
7．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
8．如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形
9．已知，满足，则下面关于，描述正确地是（ ）
A．满足条件的整数，有2对B．满足条件的整数，有4对
C．满足条件的整数，有8对D．满足条件的整数，有无数对
10．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )
A．0B．1C．2D．3
二、填空题
11．分解因式：__________．
12．在实数范围内分解因式：a3﹣9a2＝____．
13．分解因式：2x－ay＋ax－2y＝________．
14．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．
15．分解因式：的结果为___________________________．
16．若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
三、解答题
17．分解因式：．
18．因式分解：
(1)．
(2)．
(3)
(4)．
19．因式分解：
一、单选题
1． (2023·上海市实验学校二模）下列代数式中，为单项式的是（ ）
A． B．aC． D．
2． (2023·上海·格致中学二模）下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
3． (2023·上海市青浦区教育局二模）下列关于代数式的说法中，正确的有（ ）
①单项式系数是2，次数是2022次；②多项式是一次二项；③是二次根式；④对于实数，．
A．1个B．2个C．3个D．4个
4． (2023·上海·二模）下列说法中错误的是（ ）
A．单项式0.5xyz的次数为3B．单项式的次数是
C．10与同类项D．1－x－xy是二次三项式
5．（2018·上海杨浦·一模）已知，，则等于（ ）
A．B．C．17D．72
6．（2011·上海奉贤·中考模拟）下列合并同类项的结果正确的是( )
A．-3=-2B．3a-a=2C．3a+b=3abD．a+3a=3
7． (2023·上海杨浦·三模）下列各式的变形中，正确的是( )
A．(－x－y)(－x＋y)＝x2－y2B．－x＝
C．x2－4x＋3＝(x－2)2＋1D．x÷(x2＋x)＝＋1
8． (2023·上海市南塘中学二模）设三个互不相等的有理数，既可以表示为的形式，也可以表示为的形式，则的值等于 （ ）
A．0B．1C．2D．3
9．（2012·上海徐汇·二模）如果a-2b=3，那么6-2a+4b的值是( ) ．
A．；B．2；C．1；D．0．
10． (2023·上海静安·二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
二、填空题
11． (2023·上海奉贤·二模）如果单项式与是同类项，那么的值是_______．
12． (2023·上海浦东新·二模）计算：___________．
13． (2023·上海浦东新·二模）计算：a3•a﹣1＝_____．
14． (2023·上海·一模）若3x﹣2＝y，则 ＝_____．
15． (2023·上海宝山·三模）某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是________（用m的代数式表示）．
16．（2018·上海奉贤·二模）如果A2－B2＝8，且A＋B＝4，那么A－B的值是____.
17．（2016·上海·中考模拟）设x，y为实数，则代数式2x2＋4xy＋5y2－4x＋2y＋5的最小值为________．
18． (2023·上海·模拟预测）计算的过程为：
原式；根据上面的解题过程，说出下面算式的计算结果： ______ ．
三、解答题
19．（2018·上海·模拟预测）计算：
20． (2023·上海·模拟预测）计算：
（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；
（2）解不等式组：．
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式
专题03 整式与因式分解

1.整式部分主要考查整式的相关概念、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现；
2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查.
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一、代数式
概念：用基本的运算符号(运算包括加、减、乘、除、乘方与开方)把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.单独的一个数或一个字母也是代数式.
【注意】
1.代数式中除了含有字母、数字、运算符号外还可以有括号。
2.代数式中不含有=、<、>、≠ 等
3.对于用字母表示的数，如果没有特别说明，就应理解为它可以表示任何一个数。
代数式的分类：
列代数式方法
列代数式首先要确定数量与数量的运算关系，其次应抓住题中的一些关键词语，如和、差、积、商、平方、倒数以及几分之几、几成、倍等等.抓住这些关键词语，反复咀嚼，认真推敲，列好一般的代数式就不太难了.
列代数式时应该注意的问题
(1)数与字母、字母与字母相乘时常省略“×”号或用“·”.
(2)数字通常写在字母前面.
(3)带分数与字母相乘时要化成假分数.
(4)除法常写成分数的形式.
代数式的值
一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值.
单项式
概念：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算，或虽含有除法运算，但除式中不含字母的一类代数式叫单项式（单项式中“只含乘除，不含加减”）.
【注意】：
1）圆周率 SKIPIF 1 < 0 是常数，所以1?也是常数；
2）当一个单项式的系数是1或－1时，“1”通常省略不写;
3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．
单项式的系数：单项式中不为零的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式的系数；
单项式的次数：系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数.
【注意】：
1）一个单项式只含有字母因数，它的系数就是1或者-1。
2)一个单项式是一个常数时，它的系数就是它本身。
3）负数作系数时，需带上前面的符号。
4）若系数是1或-1时，“1”通常省略不写。
多项式
概念：几个单项式的和叫多项式.
多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；
【注意】
1.ax2+bx+c和x2+px+q是常见的两个二次三项式（若a、b、c、p、q是常数）.
2.多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式。
一、单选题
1．下列各式符合代数式书写规范的是（ ）
A．m×6B．C．x﹣7元D．
【答案】B
【分析】根据代数式的书写要求判断各项：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；
（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；
（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写，带分数要写成假分数的形式．
【解析】解：A、不符合书写要求，应为6m，故此选项不符合题意；
B、符合书写要求，故此选项符合题意；
C、不符合书写要求，应为（x﹣7）元，故此选项不符合题意；
D、不符合书写要求，应为xy2，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了代数式的书写要求，解题的关键是掌握代数式的书写要求．
2．一个两位数，十位数字是b，个位数字是a，这个两位数可表示为（ ）
A．abB．10a+bC．10b+aD．ba
【答案】C
【分析】根据数的表示，两位数=10×十位数字+个位数字，将对应字母或数值代入即可求解．
【解析】解：由题意可知，该两位数可表示为：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是列代数式，重点在于掌握多位数用字母表示．
3．若式子的值是4，则的值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】先根据的值是4，得出，然后整体代入求值即可．
【解析】解：∵的值是4，
∴，
∴，
∴
，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求代数式的值，解题的关键是注意整体思想的应用．
4．如果代数式的值是，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由题意得到，然后整体代入求解即可．
【解析】∵代数式的值是
∴
∴
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．
5．下列式子中：，，，，，，整式有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】C
【分析】根据整式的概念，对式子逐个判断即可，单项式和多项式统称为整式．
【解析】解：是单项式，为整式；
是单项式，为整式；
是单项式，为整式；
是多项式，为整式；
，分母含有未知数，不是整式；
是多项式，为整式；
整式有5个，
故选：C
【点睛】此题考查了整式的判断，解题的关键是掌握整式的概念．
6．下列说法正确的是 （ ）
A．单项式的系数是2B．单项式的次数是2
C．是四次多项式D．有两项，分别是
【答案】C
【分析】根据单项式的系数、次数和多项式的次数、项数的定义解答即可．
【解析】解：A、单项式的系数是，故该选项错误，不符合题意；
B、单项式的次数是，故该选项错误，不符合题意；
C、是四次多项式，故该选项正确，符合题意；
D、有两项，分别是和，故该选项错误，不符合题意．
故选：C
【点睛】本题考查了单项式、多项式，属于基础题型，需要熟练掌握相关基础知识．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数；由若干个单项式相加组成的代数式叫做多项式，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项次数，就是这个多项式的次数．
7．下列各式中，，，，，是多项式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据多项式的定义，几个单项式的和叫做多项式，即可求解．
【解析】解：是多项式，是单项式，是单项式，不是整式，是多项式
∴，是多项式，共2个，
故选B
【点睛】本题考查了多项式的定义，掌握多项式的定义是解题的关键．
8．按一定规律排列的单项式：第n（，n为正整数）个单项式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】通过观察系数和指数的规律即可求解．
【解析】解：∵，
∴系数的规律为以1，2，3，4，…，n；指数的规律为3，5，7，9，…，
∴第n（，n为正整数）个单项式是．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了单项式规律题，通过观察单项式的系数和指数，找到它们的规律是解题的关键．
二、填空题
9．单项式的系数为______，次数为______．
【答案】
【分析】根据单项式的系数和次数的概念，求解即可，单项式中的数字因数是单项式的次数，所有字母的指数的和是单项式的次数．
【解析】解：的系数为，次数为
故答案为：，
【点睛】此题考查了单项式的有关概念，掌握单项式的有关概念是解题的关键．
10．将多项式按字母降幂排列________．
【答案】
【分析】依题意，多项式按字母降幂排列即可求解．
【解析】解：
，
故答案为：
【点睛】本题考查了多项式按某个字母的降幂排列，掌握多项式的项的定义是解题的关键．几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．
11．已知多项式（为常数）不含项，当，时，该多项式的值为______．
【答案】
【分析】根据合并同类项法则把原式合并同类项，根据题意得到代数式，再把，的值代入代数式计算即可．
【解析】解：
，
∵多项式（为常数）不含项，
∴这个多项式为：，
当，时，
原式
．
故答案为：．
【点睛】本题考查多项式的概念，合并同类项，求代数式的值．合并同类项法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．根据题意正确列出算式是解题的关键．
12．某文具店的钢笔每支m元，练习本每本n元，小颖买了2支钢笔和3本练习本，应付___________元．
【答案】
【分析】根据总价单价数量的关系列出代数式即可．
【解析】解：应付元．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查代数式问题，解答此题的关键是根据总价单价数量的关系列出代数式．
13．有三个连续的奇数，中间一个是，则另外两个奇数的和为_____．
【答案】
【分析】根据每两个连续的奇数之间相隔2，即得出另外两个奇数分别为和，再相加即可．
【解析】∵三个连续的奇数，中间一个是，
∴另外两个奇数分别为和，
∴另外两个奇数的和为．
故答案为：
【点睛】本题考查列代数式，整式的加法运算．理解每两个连续的奇数之间都相隔2是解题关键．
14．若，则代数式的值为_____．
【答案】10
【分析】根据，得到，从而计算即可．
【解析】因为，
所以，
所以，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了已知式子的值求代数式的值，熟练掌握整体代入法求值是解题的关键．
15．已知是方程式的根，则式子的值为______．
【答案】2025
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把代入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解．
【解析】解：是方程的根，
，





．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了方程解的定义和代数式求值，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
二、整式的运算
整式的加减
同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
同类项与系数无关，与字母的排列顺序也无关。
合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
步骤：①找 ②移 ③合
去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
注意：
1、要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据.
2、去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉.
3、括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,而忘记改变其余的符号.
4、括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项.
5、遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号。
整式加减法法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接，然后去括号，合并同类项.
注意:多项式相加（减）时，必须用括号把多项式括起来，才能进行计算。
多项式的升幂和降幂排列：把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂）排列.
幂的运算
幂的运算性质1：
am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【同底数幂相乘注意事项】
1）底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
幂的运算性质2：
am ÷an＝am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数减．
【同底数幂相除注意事项】
1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，如x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
整式的乘法
单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
【注意】
单项式乘以单项式的结果仍是单项式。
运算顺序：先算乘方，再算乘法。
单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
【单项式乘以多项式注意事项】
1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【多项式乘以多项式注意事项】
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
乘法公式
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： ?2+ ?2=(?+?)2-2ab
扩展二： (?+?)2+ (?−?)2 = 2(?2+ ?2)
(?+?)2 - (?−?)2 = 4ab
扩展三： ?2+ ?2+ ?2= (?+?+?)2-2ab-2ac-2bc
② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式．
2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
整式的除法
单项式÷单项式
一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
【同底数幂相除注意事项】
1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
多项式÷单项式
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
【解题思路】
多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题解决。
整式的混合运算
运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的。
一、单选题
1．下列各组中，不是同类项的是（ ）
A．与B．与C．与D．与
【答案】C
【分析】根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，可得答案．注意同类项与字母的顺序无关，与系数无关．
【解析】解：A、与都是常数，则它们是同类项，故不符合题意；
B、与字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意；
C、与所含字母相同；相同字母的指数不同，不是同类项，故符合题意；
D、与字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，故不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义是解题的关键．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式，单项式除以单项式，合并同类项，多项式除以单项式，逐项判断即可求解．
【解析】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，单项式除以单项式，合并同类项，多项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
3．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据同底数幂乘法的逆运算将原式变为，再根据积的乘方的逆运算求解即可．
【解析】解：
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，积的乘方的逆运算，熟知相关计算法则是解题的关键．
4．若A是一个四次多项式，B也是一个四次多项式，则是一个（ ）
A．八次多项式B．四次多项式
C．次数不超过四次的多项式D．次数不超过四次的代数式
【答案】D
【分析】利用整式的运算法则判断即可得到结果．
【解析】解：若A是一个四次多项式，且B也是一个四次多项式，
则一定是不高于四次的多项式或单项式．
故选：D．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．小丽做一道数学题，已知两个多项式、，且为，求“”；小丽把 错看成了，计算的结果是，那么正确的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据，计算的结果是，求出多项式，再计算正确的结果即可．
【解析】解：∵，且为，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查多项式的加减运算，能够熟练掌握运算法则是解题关键．
6．下列计算中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解析】解：A．，故符合题意；
B．，故不符合题意；
C．，故不符合题意；
D．，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
7．已知，，若无论，为何值时，的值始终不变，则的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】先将化简，然后根据题意得出，代入求解即可．
【解析】解：∵，，
∴
，
∵无论，为何值时，的值始终不变，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】题目主要考查整式的加减及取值无关型问题，求代数式的值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
8．下列运算，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，乘法公式逐一判断各个选项即可．
【解析】解：A． ，故原选项错误；
B． ，故原选项错误；
C． ，故原选项错误；
D． ，，故原选项正确，
故选D．
【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，乘法公式，掌握完全平方公式和平方差公式是关键．
9．如图所示的是小章家房子的结构图（单位：米），她打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖，地砖每平方米x元，木地板每平方米元，小章家总共花费（ ）
A．元B．元C．元D．元
【答案】D
【分析】根据图形可以分别表示出卧室的面积和厨房、卫生间、客厅的面积之和，再分别乘以价钱即可得到结果．
【解析】解：由题意得：
卧室的面积是：（平方米），
厨房、卫生间、客厅的面积之和是：
（平方米），
∵地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米元，
∴所需要花费的钱为：
（元），
故选：D．
【点睛】本题考查列代数式，整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
10．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足，则该直角三角形的第三边长的平方为（ ）
A．5B．16C．5或D．25或7
【答案】D
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再利用勾股定理进行求解即可．
【解析】解：∵即，
∴，
∴，
当4是直角边时，则该直角三角形第三边的长的平方为；
当4是斜边时，则该直角三角形第三边的长的平方为；
综上所述，该直角三角形第三边的长为25或7，
故选D．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
二、填空题
11．如果单项式与的和是单项式，那么______．
【答案】5
【分析】根据同类项的定义直接可得到、的值，然后代值计算即可．
【解析】解：单项式与的和是单项式，
与是同类项，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了合并同类项，掌握同类项的定义是解答本题的关键．同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项．
12．已知与是同类项，那么________．
【答案】5
【分析】根据同类项的定义，列出关于m，n的方程组，即可求解．
【解析】解：∵与是同类项，
∴，
解得：，
∴5，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查同类项的定义，解二元一次方程组，掌握同类项：字母相同，相同的字母的指数也相同是关键．
13．多项式减去一个多项式得，则减去的多项式是___________．
【答案】##
【分析】根据被减数减去差等于减数列式计算即可．
【解析】解：由题意得，
即减去的多项式是，
故答案为：
【点睛】此题考查了整式的减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
14．已知，B是关于x的m次n项式，若的结果为三次多项式，则n的最大值为___________．
【答案】5
【分析】根据的结果为三次多项式可得出，由此即可得出答案．
【解析】解：是四次四项式，是关于的次项式，的结果为三次多项式，
，
四次多项式最多有五项，
的最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了多项式的项数和次数、整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
15．若展开后不含x的一次项，则p与q的关系是___________ ．
【答案】
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据结果中不含x的一次项，即含x的一次项系数为0进行求解即可．
【解析】解：
，
∵展开后不含x的一次项，
∴，即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式中的无关型问题，正确求出的结果是解题的关键．
16．若，则的值为______．
【答案】1
【分析】利用幂的乘方及同底数幂的除法对式子进行整理即可得出结果．
【解析】解：，
，
则，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
17．若，，则 ______ ．
【答案】25
【分析】先将所求式子进行变形后，代入可得结论．
【解析】解：∵，，
∴，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是本题的关键，注意：．
18．如果是个完全平方式，那么m 的值是___________．
【答案】或
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【解析】解：∵是个完全平方式，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
19．如图，线段的长度为5，点是线段上一点且，分别以、为边在同一侧作正方形、，点为线段上任意一点（不与、重合），若的面积为，则的长度为_____．
【答案】
【分析】先根据题意求出，再由“线段的长度为5”得到，然后通过完全平方公式的变形得到，最后代入求值即可．
【解析】解：∵的面积为，
∴，
∴，
∴
∵线段的长度为5，
∴，
∵，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，完全平方公式的变形，代入求值，解题的关键是得到．
20．已知，则___________．
【答案】119
【分析】根据已知可得，然后再利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【解析】解：∵，
，
即，
，
，
，
∴，
∴，
∴
故答案为：119．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
三、因式分解
因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
【因式分解的定义注意事项】
1.分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
2.因式分解必须是恒等变形；
3.因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．
因式分解的常用方法：
提公因式法
【提公因式法的注意事项】
1）定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数。
2）定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母。
3）定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂。
4）查结果：最后检查核实，应保证含有多项式的因式中再无公因式。
公式法
运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；
①平方差公式： a2－b2＝（a＋b）（a－b）
完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）2
十字相乘法
利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.
对于二次三项式，若存在 ，则
要点：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号
（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.
首项系数不为1的十字相乘法
在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.
要点：（1）分解思路为“看两端，凑中间”
二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.
分组分解法
对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.
要点：分组分解法分解因式常用的思路有：
添、拆项法
把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.
、
一、单选题
1．下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐项判断即可．
【解析】是多项式乘法，不是因式分解，故A不符合题意；
，结果不是几个最简整式的乘积，不是因式分解，故B不符合题意；
，符合因式分解得定义，是因式分解，故C符合题意；
，分母中含有字母，不是因式分解，故D不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查判断因式分解．掌握因式分解是把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式是解题关键．
2．下列四个式子从左到右的变形是因式分解的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义，即可求解．
【解析】解：AD.等号右边都不是积的形式，所以不是因式分解，故AD不符合题意；
B.左边不是多项式，所以不是因式分解，故B不符合题意；
C.符合因式分解的定义，故C符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程是解题的关键．
3．下列式子中，从左到右的变形为多项式因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据因式分解的定义，从表现形式，恒等性两个方面去判断即可.
【解析】∵是多项式，
且，符合因式分解的定义，
∴选项A正确；
∵是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，
∴选项B错误；
∵是多项式，
但不是恒等变形，不符合因式分解的定义，
∴选项C错误；
∵是因式的积，不是多项式，不符合因式分解的定义，
∴选项D错误；
故选A.
【点睛】本题考查了因式分解，解答时，严格按照因式分解的定义去解答是解题的关键.
4．数学课上老师出了一道因式分解的思考题，题意是x2+2mx+16能在有理数的范围内因式分解，则整数m的值有几个．小军和小华为此争论不休，请你判断整数m的值有几个？（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【解析】根据把16分解成两个因数的积，2m等于这两个因数的和，分别分析得出即可．
解：∵4×4=16，（﹣4）×（﹣4）=16，2×8=16，（﹣2）×（﹣8）=16，1×16=16，（﹣1）×（﹣16）=16，
∴4+4=2m，﹣4+﹣4=2m，2+8=2m，﹣2﹣8=2m，1+16=2m，﹣1﹣16=2m，
分别解得：m=4，﹣4，5，﹣5，8.5，﹣8.5；
∴整数m的值有4个，
故选A．
5．已知，则的值为（ ）
A．2011B．2012C．2013D．2014
【答案】C
【分析】等式x2-x-1=0，变形得x2-x=1，代入原式求解即可．
【解析】解：由已知得x2-x＝1，
∴．
故选：C
【点睛】本题主要考查了整体思想在因式分解中的灵活运用，属于常见题型，要求学生能够熟练掌握和应用．
6．因式分解，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据甲看错了a的值，将分解的结果展开，能求出正确的b的值，乙看错了b的值，可以求出a的值，再因式分解即可得到答案．
【解析】解：∵甲看错了a的值
∴b是正确的
∵=
∴b=-6
∵乙看错了b的值
∴a是正确的
∵=
∴a=-1
∴=
故选：B．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练因式分解以及计算是解决本题的关键．
7．多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【解析】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】此题考察多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
8．如果一个三角形的三边、、，满足，那么这个三角形一定是（ ）
A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形
【答案】B
【分析】由已知推出=0即（a-b）（b-c）=0，即可判定三角形边的关系.
【解析】解：
=0
（a-b）（b-c）=0
即：a=b或b=c，则三角形一定为等腰三角形；
故答案为B.
【点睛】本题考查了三角形形状的判定，其关键在于对等式的变形，推导出a、b、c的关系.
9．已知，满足，则下面关于，描述正确地是（ ）
A．满足条件的整数，有2对B．满足条件的整数，有4对
C．满足条件的整数，有8对D．满足条件的整数，有无数对
【答案】C
【分析】将已知等式利用因式分解变形为，令A=x-2y，B=y+1，可得不同的方程组，解之可得满足条件的x和y的取值．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
令A=x-2y，B=y+1，
∵x，y均为整数，
∴（舍去），，（舍去），（舍去），，（舍去），
∴或，
解得：或或或或或或或共8对，
故选C．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，二元一次方程组，解题的关键是将已知等式合理变形．
10．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．
【解析】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac
＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）
当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2
＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2
＝3．
故选D．
【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．
二、填空题
11．分解因式：__________．
【答案】##（x-y+2）（x+y-2）
【分析】先分组成，再利用完全平方公式化为，最后利用平方差公式解答．
【解析】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解，涉及分组分解法、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题的关键．
12．在实数范围内分解因式：a3﹣9a2＝____．
【答案】a2（a﹣9）．
【分析】按照因式分解的定义，提取公因式即可求解．
【解析】解：a3﹣9a2＝a2（a﹣9）．
故答案为：a2（a﹣9）．
【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式法进行因式分解．
13．分解因式：2x－ay＋ax－2y＝________．
【答案】
【分析】首先分组，然后利用提取公因式法分解因式．
【解析】解：原式＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法，因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
14．已知x+y＝8，xy＝2，则x2y+xy2＝_____．
【答案】16
【分析】将所求式子提取xy分解因式后，把x+y与xy的值代入计算，即可得到所求式子的值．
【解析】∵x+y=8，xy=2，
∴x2y+xy2=xy（x+y）=2×8=16．
故答案为16．
【点睛】本题考查的知识点是因式分解的应用，解题关键是将所求式子分解因式．
15．分解因式：的结果为___________________________．
【答案】
【分析】首先将x+y与xy看作一个整体，去括号，再利用完全平方公式分解因式得出结果即可．
【解析】解：（xy−1）2−（x＋y−2xy）（2−x−y）
＝（xy−1）2＋（x＋y−2）（x＋y−2xy）
＝（x＋y）2−2xy（x＋y）−2（x＋y）＋4xy＋（xy）2−2xy＋1
＝[（x＋y）2−2xy（x＋y）＋（xy）2]−2（x＋y−xy）＋1
＝（x＋y−xy）2−2（x＋y−xy）＋1
＝[（x＋y−xy）−1]2
＝（−xy＋x＋y−1）2
＝[−x（y−1）＋（y−1）]2
＝[（y−1）（1−x）]2
＝（x−1）2（y−1）2
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了因式分解，正确去括号进而利用完全平方公式分解因式是解题关键．
16．若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
【答案】
【分析】根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【解析】解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．
故答案为：．
【点睛】本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
三、解答题
17．分解因式：．
【答案】
【分析】利用分组分解法对进行因式分解，再提取公因式，即可得到答案.
【解析】
=
=
【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是掌握提公因式法进行求解.
18．因式分解：
(1)．
(2)．
(3)
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）直接利用完全平方公式进行分解；
（2）利用平方差公式分解因式；
（3）前3项分成一组利用完全平方公式分解，然后再与第四项利用平方差公式分解因式；
（4）把1+x看作一个整体，利用提公因式法分解因式即可．
（1）
解：
；
（2）
解：
；
（3）
解：
；
（4）
解：
．
【点睛】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
19．因式分解：
【答案】
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可
【解析】解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
一、单选题
1． (2023·上海市实验学校二模）下列代数式中，为单项式的是（ ）
A． B．aC． D．
【答案】B
【分析】根据单项式的定义判断即可得出答案．
【解析】解：A、不是单项式，不符合题意；
B、是单项式，符合题意；
C、不是单项式，不符合题意；
D、是多项式，不是单项式，不符合题意，
故答案选B．
【点睛】本题考查单项式的定义：数字与字母的乘积组成的代数式为单项式，需要特别注意的是，单独的一个数字或一个字母也是单项式，且单项式是整式．
2． (2023·上海·格致中学二模）下列运算正确的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据同类项的定义、同底数幂的乘除法运算法则、积的乘方运算法则，进行运算，即可一一判定．
【解析】解：A.与不能合并，故该选项错误，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D.，故该选项错误，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了同类项的定义、同底数幂的乘除法运算法则、积的乘方运算法则，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键．
3． (2023·上海市青浦区教育局二模）下列关于代数式的说法中，正确的有（ ）
①单项式系数是2，次数是2022次；②多项式是一次二项；③是二次根式；④对于实数，．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据单项式的系数，次数，多项式的次数，二次根式的定义，二次根式的性质逐个分析判断即可．
【解析】解：①单项式系数是，次数是0次，故①不正确；
②多项式中不能约分，故②不正确；
③是二次根式，故③正确；
④对于实数，，故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查了单项式的系数，次数，多项式的次数，二次根式的定义，二次根式的性质，掌握以上知识是解题的关键．单项式中，所有字母的指数和叫单项式的次数，数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数的和叫做它的次数，通常系数不为0， 多项式的每一项都有次数，其中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数，一个多项式的项数就是合并同类项后用“＋”或“－”号之间的多项式个数，次数就是次数和最高的那一项的次数； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数；多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数．形如的代数式是二次根式．
4． (2023·上海·二模）下列说法中错误的是（ ）
A．单项式0.5xyz的次数为3B．单项式的次数是
C．10与同类项D．1－x－xy是二次三项式
【答案】B
【分析】根据同类项、单项式、及多项式的概念进行解答即可．
【解析】解： A、单项式0.5xyz的次数为3，故A选项正确；
B、单项式的系数，次数是2，故B选项错误；
C、10与都属于常数项，是同类项，故C选项正确；
D、1－x－xy是二次三项式，故D选项正确．
故答案为：B．
【点睛】本题考查同类项、单项式、及多项式的概念，同类项“同类项是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项”；单项式“由数与字母的积组成的代数式叫做单项式；单独的一个数或一个字母也叫做单项式，字母前的常数为单项式的系数，所有字母的指数和为单项式的次数”；多项式“若干个单项式的和组成的式子叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数”．
5．（2018·上海杨浦·一模）已知，，则等于（ ）
A．B．C．17D．72
【答案】A
【分析】直接逆用幂的乘方运算法则以及逆用同底数幂的除法运算法则将原式变形得出答案．
【解析】解：∵xa=2，xb=3，
∴x3a-2b=（xa）3÷（xb）2
=23÷32
=．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算，正确掌握运算法则是解题关键．
6．（2011·上海奉贤·中考模拟）下列合并同类项的结果正确的是( )
A．-3=-2B．3a-a=2C．3a+b=3abD．a+3a=3
【答案】A
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，结合选项即可得出答案．
【解析】A、a2−3a2＝−2a2，故本选项正确；
B、3a−a＝2a，故本选项错误；
C、3a和b不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、a＋3a＝4a，故本选项错误；
故选：A．
【点睛】此题考查了合并同类项的法则，属于基础题，解答本题的关键是掌握合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，难度一般．
7． (2023·上海杨浦·三模）下列各式的变形中，正确的是( )
A．(－x－y)(－x＋y)＝x2－y2B．－x＝
C．x2－4x＋3＝(x－2)2＋1D．x÷(x2＋x)＝＋1
【答案】A
【解析】试题分析：根据平方差公式可得A正确；根据分式的减法法则可得：B=；根据完全平方公式可得：C=－1；根据单项式除以多项式的法则可得：D=．
故选：A．
考点：多项式的乘法、除法计算，完全平方公式．
8． (2023·上海市南塘中学二模）设三个互不相等的有理数，既可以表示为的形式，也可以表示为的形式，则的值等于 （ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据三个互不相等的有理数，既可以表示为1，，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即与a中有一个是0，与b中有一个是1，再根据分式有意义的条件判断出a、b的值，代入代数式进行计算即可．
【解析】三个互不相等的有理数，既表示为1，，a的形式，又可以表示为0，，b的形式，
这两个数组的数分别对应相等．
与a中有一个是0，与b中有一个是1，但若，会使无意义，
，只能，即，于是只能是，于是．
，
故选C．
【点睛】本题考查的是有理数及无理数的概念，能根据题意得出“与a中有一个是0，与b中有一个是1”是解答此题的关键．
9．（2012·上海徐汇·二模）如果a-2b=3，那么6-2a+4b的值是( ) ．
A．；B．2；C．1；D．0．
【答案】D
【分析】把6-2a+4b变形为6-2（a-2b），再代入，即可求出答案．
【解析】∵a-2b=3，
∴6-2a+4b，
=6-2（a-2b），
=6-2×3，
=0，
故选D．
【点睛】本题考查了求代数式的值的应用，用了整体代入的方法，即把a-2b当作一个整体进行代入．
10． (2023·上海静安·二模）如果把二次三项式分解因式得，那么常数的值是（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
【答案】B
【分析】将因式分解的结果用多项式乘法的展开，其结果与二次三项式比较即可求解．
【解析】解：∵
∴
故
故选B
【点睛】本题考查了因式分解，多项式的乘法运算，掌握多项式乘法与因式分解的关系是解题的关键．
二、填空题
11． (2023·上海奉贤·二模）如果单项式与是同类项，那么的值是_______．
【答案】
【分析】利用同类项的含义可得：且 再利用乘方运算的含义可得答案．
【解析】解： 单项式与是同类项，
且
解得：

故答案为：
【点睛】本题考查的是同类项的含义，有理数乘方的含义，掌握“同类项的概念”是解本题的关键．
12． (2023·上海浦东新·二模）计算：___________．
【答案】
【分析】利用同底数幂相除的法则计算即可．
【解析】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查整式的乘除，掌握积的乘方与同底数幂相除的法则是解题的关键．
13． (2023·上海浦东新·二模）计算：a3•a﹣1＝_____．
【答案】a2
【分析】根据同底数幂的乘法，可得答案．
【解析】解：原式＝a3+（﹣1）
＝a2．
故答案为：a2．
【点睛】本题主要考查同底数幂乘法运算，掌握同底数幂乘法运算法则是解题的关键．
14． (2023·上海·一模）若3x﹣2＝y，则 ＝_____．
【答案】4
【分析】由3x﹣2＝y可得3x﹣y＝2，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则计算即可．
【解析】解：因为3x﹣2＝y，
所以3x﹣y＝2，
所以4．
故答案是：4．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方运算法则和同底数幂的除法法则，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
15． (2023·上海宝山·三模）某中学组织九年级学生春游，有m名师生租用45座的大客车若干辆，共有2个空座位，那么租用大客车的辆数是________（用m的代数式表示）．
【答案】
【分析】用汽车上一共可坐的人数除以每辆汽车可坐的人数即为租用大客车的辆数．
【解析】解：共有2个空座位，那么一共可以坐（m+2）人，
∴租用大客车的辆数是，
故答案为：．
【点睛】考查列代数式；得到租用大客车的辆数的等量关系是解决本题的关键．
16．（2018·上海奉贤·二模）如果A2－B2＝8，且A＋B＝4，那么A－B的值是____.
【答案】2
【分析】（A+B）（A-B）=A2-B2，可得（A+B）（A-B）=8，再代入A+B=4可得答案．
【解析】解：∵A2－B2=8，
∴（A+B）（A-B）=8，
∵A+B =4，
∴A-B =2，
故答案为2．
【点睛】此题主要考查了平方差公式，熟练掌握运用平方差公式是解题关键．
17．（2016·上海·中考模拟）设x，y为实数，则代数式2x2＋4xy＋5y2－4x＋2y＋5的最小值为________．
【答案】0
【解析】因为原式＝(x2＋4xy＋4y2)＋(x2－4x＋4)＋(y2＋2y＋1)＝(x＋2y)²＋(x－2)²＋(y＋1)²≥0，当x＝2，y＝－1时等号成立，所以原式的最小值是0，故答案为0．
18． (2023·上海·模拟预测）计算的过程为：
原式；根据上面的解题过程，说出下面算式的计算结果： ______ ．
【答案】
【分析】原式依次利用平方差公式计算即可求解．
【解析】解：原式
…
，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握并运用平方差公式．
三、解答题
19．（2018·上海·模拟预测）计算：
【答案】
【分析】先逆用积的乘方法则计算，再算除法即可．
【解析】解：原式．
【点睛】本题考查了幂的运算，以及有理数的除法，熟练掌握幂的乘方、积的乘方、以及负整数指数幂是解答本题的关键．
20． (2023·上海·模拟预测）计算：
（1）分解因式：3x2y﹣12xy2+12y3；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）3y（x﹣2y）2；（2）不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣．
【分析】（1）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【解析】（1）3x2y﹣12xy2+12y3
=3y（x2﹣4xy+4y2）
=3y（x﹣2y）2；
（2）由①移项得：3x﹣x＞﹣5+1，
合并得：2x＞﹣4，
解得：x＞﹣2，
由②去分母得：x+2﹣3x≥3，
移项合并得：﹣2x≥1，
解得：x≤﹣，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤﹣．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
方法
分类
分组方法
特点
分组分解法
四项
二项、二项
①按字母分组②按系数分组
③符合公式的两项分组
三项、一项
先完全平方公式后平方差公式
五项
三项、二项
各组之间有公因式
六项
三项、三项
二项、二项、二项
各组之间有公因式
三项、二项、一项
可化为二次三项式