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备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题02实数(原卷版+解析)
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这是一份备战2024年中考数学一轮复习考点帮(上海专用)专题02实数(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了实数的相关概念和运算，主要体现的思想方法，估计的大小应在，下列各式正确的有个，下列各数中一定有平方根的是，若，则的正确结果是，，，则的值为，已知等内容，欢迎下载使用。
实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．
1．实数的相关概念和运算．如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指数幂等知识点直接考查．
2．出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解， 结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运算理解的考查力度较．
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一 、平方根
算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作a，读作根号a，其中a是被开方数。
平方根概念：如果一个数的平方等于?，那么这个数就叫做?的平方根或二次方根，即如果?2=?，那么x叫做a的平方根。
平方根的性质与表示：
表示：正数a的平方根用±?表示， ?叫做正平方根，也称为算术平方根， −?叫做a的负平方根。
性质：一个正数有两个平方根：±? （根指数2省略）且他们互为相反数。
0有一个平方根，为0，记作0=0
负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
、
一、单选题
1．下列说发正确的的是（ ）
A．的平方根是B．4是的算术平方根
C．平方根是D．2的平方根是
2．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3B．C．1D．
3．的算术平方根是（ ）
A．5B．-5C．D．
4．估计的大小应在（ ）
A．之间B．之间C．之间D．之间
5．下列各式正确的有（ ）个
①；②；③的平方根是±2；④是的平方根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5B．﹣aC．a+1D．a2+1
7．若，则的正确结果是（ ）
A．-1B．1C．-5D．5
8．，，则的值为（ ）
A．13.11B．C．41.47D．
9．示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
10．已知：（n是自然数）．那么的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若，则_________；的平方根是_________．
12．如下图网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为_______．
13．__；的算术平方根是 __.
14．一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是________．
15．如图是一个计算程序，当输出值时，输入值x为_________．
16．已知x、y是实数，且，且，则＝____．
三、解答题
17．已知一个正数的两个平方根是和．
(1)求这个正数是多少？
(2)的算术平方根是多少？
18．某新建学校计划在一块面积为的正方形空地上建一个面积为的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
19．（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．则 ； ； ； ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，求的值．
二 、立方根和n次方根
1、立方根概念：如果一个数的立方等于?，即?3=?，那么x叫做?的立方根或三次方根，
表示方法：数a的立方根记作3?，读作三次根号a
立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开平方的表示：3?3=? 3?3=? 3−?=−3? （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:０的平方根和立方根都是０本身。
2、?次方根
概念：如果一个数的?次方（?是大于１的整数）等于?，这个数就叫做?的?次方根。
当?为奇数时，这个数叫做?的奇次方根。
当?为偶数时，这个数叫做?的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±??；０的偶次方根为０：?0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
、
一、单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．的立方根是 B．立方根是等于其本身的数为
C．没有立方根 D．的立方根是
2．已知a，b满足，则的立方根是（ ）
A．1B．C．D．0
3．已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．的6次方根是（ ）
A．2B．-2C．D．
5．在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（ ）
A．立方B．n次方C．开奇次方D．开偶次方
6．表示的含义是（ ）
A．a的正的n次方根B．a的n次方根
C．当时，表示a的正的n次方根D．当时，且n为奇数时，表示a的n次方根
7．下列运算中，正确的是（ ）
A．＝a﹣bB．
C．﹣＝a﹣bD．＝a+b
8．将一块体积为的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．计算___________；___________；____________
10．的算术平方根是______，的立方根是______．
11．已知，则的值是________．
12．的算术平方根是3，的立方根是2，则的算术平方根为___________．
13．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是___________．
14．如果，则________；，则 ________；如果，，则________；，则________．
15．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．现给出以下结论：①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
16．计算：_______________________．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
18．己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求的平方根．
19．已知，且，求的值．
20．已知，求的n次方根（n为大于1的整数）
三 、实数与分数指数幂
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数概念：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即?2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即?≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
分数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
（其中、为整数，）.
说明：在说明同样适用后，导出后一个负分数指数幂.
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.
、
一、单选题
1．下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．在实数，，，，（每2个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列说法中错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数
B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0
D．负数没有立方根
4．纳米是一种长度单位，1纳米=0.000 000 001米，已知某种花粉的直径为5300纳米，这种花粉的直径用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数
B．大于2
C．面积为8的正方形边长是
D．数轴上表示的点不存在
6．根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．比较大小：_______1；_________
8．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， ，﹣0.9，5.4， ，0，﹣3.6，1.2020020002…（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
9．如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示数为1，若，则数轴上点E所表示的数为___________．
10．把写成幂的形式是_____．
11．如果，那么______．
12．已知m，n是两个连续整数，且m＜+1＜n，则m+n＝_____．
13．已知m，n分别是的整数部分和小数部分，那么的值是______．
14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
三、解答题
15．计算：．
16．利用幂的性质计算：．
17．（1）计算：（结果表示为含幂的形式）．
（2）计算：．
18．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
(1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
(2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______．
(3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．
19．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题：
(1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）；
(2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________；
②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．
一、单选题
1．（2018·上海·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．平方根是B．的平方根是
C．平方根等于它本身的数是1和0D．一定是正数
2． (2023·上海闵行·二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ）
A．B．C．D．0.2022022022…
3． (2023·上海浦东新·模拟预测）无理数的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
4． (2023·上海奉贤·三模）点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点A表示的数一定是整数
B．点A表示的数一定是分数
C．点A表示的数一定是有理数
D．点A表示的数可能是无理数
5． (2023·上海金山区世界外国语学校一模）已知，下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·上海市青浦区教育局二模）下列说法中，错误的有（ ）
①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为；
③把237145精确到万位是240000；④对于实数，规定
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
7． (2023·上海嘉定·二模）化简：||＝_____．
8． (2023·上海松江·二模）计算：＝___．
9． (2023·上海松江·中考模拟）计算：__．
10．（2018·上海·模拟预测）用幂的形式表示：=________．
11． (2023·上海虹口·中考模拟）在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的_____侧．（填“左”、“右”）
12．（2018·上海·模拟预测）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
三、解答题
13． (2023·上海·二模）计算：．
14．（2018·上海·模拟预测）利用幂的运算性质计算：
专题02 实数
实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．
1．实数的相关概念和运算．如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指数幂等知识点直接考查．
2．出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解， 结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运算理解的考查力度较．
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一 、平方根
算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作a，读作根号a，其中a是被开方数。
平方根概念：如果一个数的平方等于?，那么这个数就叫做?的平方根或二次方根，即如果?2=?，那么x叫做a的平方根。
平方根的性质与表示：
表示：正数a的平方根用±?表示， ?叫做正平方根，也称为算术平方根， −?叫做a的负平方根。
性质：一个正数有两个平方根：±? （根指数2省略）且他们互为相反数。
0有一个平方根，为0，记作0=0
负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
、
一、单选题
1．下列说发正确的的是（ ）
A．的平方根是B．4是的算术平方根
C．平方根是D．2的平方根是
【答案】C
【分析】根据平方根的定义：一个数的平方为，叫做的平方根；算术平方根的定义：一个非负数的平方为，叫做的算术平方根，逐一进行计算判断即可．
【解析】解：A、的平方根是，选项错误，不符合题意；
B、2是的算术平方根，选项错误，不符合题意；
C、平方根是，选项正确，符合题意；
D、2的平方根是，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考察平方根、算术平方根的定义．熟练掌握相关定义是解题的关键．注意先化简，再计算．
2．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据平方根的性质列方程求解即可；
【解析】∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．
3．的算术平方根是（ ）
A．5B．-5C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的性质，首先得，再通过计算，即可得到答案.
【解析】∵
∴的算术平方根是
故选：C.
【点睛】本题考查了算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质，从而完成求解.
4．估计的大小应在（ ）
A．之间B．之间C．之间D．之间
【答案】B
【分析】先把平方，再把选项中的数分别平方，即可解答．
【解析】解：∵，，
∴在之间，
故选：B．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．
5．下列各式正确的有（ ）个
①；②；③的平方根是±2；④是的平方根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据算术平方根的性质判断①②；根据负数没有平方根判断③；根据平方根的性质判断④，即可．
【解析】解：因为，所以，故①错误；
，故②错误；
因为，负数没有平方根，故③错误；
，故④正确；
所以正确的有1个．
故选：A
【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握一个正数的平方根有2个，且互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根是解题的关键．
6．下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5B．﹣aC．a+1D．a2+1
【答案】D
【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．
【解析】解：A．当a＝0时，a2﹣5＝﹣5＜0，不符合题意；
B．当a＝1时，﹣a＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当a＝﹣5时，a+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论a取何值，a2≥0，a2+1＞0，符合题意．
故选D．
【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．
7．若，则的正确结果是（ ）
A．-1B．1C．-5D．5
【答案】A
【分析】根据绝对值的非负性质及算术平方根的性质求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质及非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．，，则的值为（ ）
A．13.11B．C．41.47D．
【答案】C
【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解析】解：∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题关键是掌握被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．
9．示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
【答案】D
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．
【解析】解：A.不符合题意；
B.不符合题意；
C．不符合题意；
D.符合题意．
故选：D．
【点睛】这道题主要考查利用算术平方根的含义及实际应用，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
10．已知：（n是自然数）．那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算 再求解 再化简 再计算即可得到答案.
【解析】解：由题意得：，
∴
，
则
∴．
故选D．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.
二、填空题
11．若，则_________；的平方根是_________．
【答案】
【分析】根据绝对值，算术平方根和平方根的定义求解即可．
【解析】解：∵，
∴；
的平方根是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了绝对值，算术平方根和平方根，熟知相关定义是解题的关键．
12．如下图网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为_______．
【答案】
【分析】先求出大正方形的面积及三角形的面积，再利用，进而可求解．
【解析】解：，，
则：，
阴影部分为正方形，
阴影正方形的边长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根和正方形的面积，熟练掌握算术平方根的定义及正方形的面积公式是解题的关键．
13．__；的算术平方根是 __.
【答案】
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可；
【解析】解：∵
∴
∵ ，的算术平方根为
∴的算术平方根为
故答案为：；
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的关键．
14．一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是________．
【答案】##
【分析】首先根据算术平方根的定义求出这个自然数，然后即可求出与这个自然数相邻的下一个自然数即可．
【解析】解：∵一个自然数的算术平方根为a，
∴这个自然数是．
∴与这个自然数相邻的下一个自然数是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，同时要知道相邻的两个自然数相差为1．
15．如图是一个计算程序，当输出值时，输入值x为_________．
【答案】或4##4或
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求得．
【解析】解：根据题意得：，
得，
解得或，
故答案为：4或
【点睛】本题考查了程序框图及求一个数的平方根，理解题意，列出方程是解决本题的关键．
16．已知x、y是实数，且，且，则＝____．
【答案】
【分析】利用完全平方公式解题即可．
【解析】∵，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，注意二次根式的非负性，能够熟练运用完全平方公式是解题关键．
三、解答题
17．已知一个正数的两个平方根是和．
(1)求这个正数是多少？
(2)的算术平方根是多少？
【答案】(1)49
(2)3
【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出；
（2）利用（1）的结果及算术平方根的定义即可求解．
【解析】（1）解：（1）和是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：
解得．
则这个正数是；
（2）．
答：的算术平方根是3．
【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
18．某新建学校计划在一块面积为的正方形空地上建一个面积为的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
【答案】该学校不能实现这个愿望．
【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．
【解析】解：长方形花坛的宽为，长为．
依题意得，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的面积，
∴正方形的边长为16m，
∵，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，该学校不能实现这个愿望．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
19．（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．则 ； ； ； ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，求的值．
【答案】（1），0，1，（2）
【分析】（1）直接利用负整数、绝对值、倒数、平方根的定义分别分析得出答案；
（2）直接利用相反数、互为倒数的定义得出，，进而得出答案．
【解析】解：（1）∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根，
则；；； ．
故答案为：，0，1，；
（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，
∴，，
∴
＝
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了负整数、绝对值、倒数、平方根、相反数、互为倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
二 、立方根和n次方根
1、立方根概念：如果一个数的立方等于?，即?3=?，那么x叫做?的立方根或三次方根，
表示方法：数a的立方根记作3?，读作三次根号a
立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开平方的表示：3?3=? 3?3=? 3−?=−3? （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:０的平方根和立方根都是０本身。
2、?次方根
概念：如果一个数的?次方（?是大于１的整数）等于?，这个数就叫做?的?次方根。
当?为奇数时，这个数叫做?的奇次方根。
当?为偶数时，这个数叫做?的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±??；０的偶次方根为０：?0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
、
一、单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．的立方根是 B．立方根是等于其本身的数为
C．没有立方根 D．的立方根是
【答案】D
【分析】根据立方根的概念和求一个数的立方根的方法求解并判断即可．
【解析】解：A、，，所以的立方根是，故选项A错误，不符合题意；
B、立方根是等于其本身的数为，，，故选项B错误，不符合题意；
C、，所以的立方根是，故选项C错误，不符合题意；
D、，所以的立方根是，故选项D正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根的概念和求一个数的立方根的方法，熟练掌握求一个数的立方根的方法是解答本题的关键．
2．已知a，b满足，则的立方根是（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得a、b值，再根据立方根的定义求解即可．
【解析】解：∵，且，。
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、立方根，正确求得a、b值是解答的关键．
3．已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】直接利用平方根以及立方根、相反数的定义得出a，b的值，进而得出答案．
【解析】解：∵数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，
∴，，
则，
故选：B．
【点晴】本题主要考查了平方根以及立方根、相反数的定义，正确得出a，b的值是解题关键．
4．的6次方根是（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】C
【分析】由，进而问题可求解．
【解析】解：∵，
∴的6次方根是；
故选C．
【点睛】本题主要考查偶次方根，熟练掌握偶次方根是解题的关键．
5．在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（ ）
A．立方B．n次方C．开奇次方D．开偶次方
【答案】D
【分析】根据立方根、n次方根的意义可进行排除选项．
【解析】解：A、任意实数都可以开立方，故不符合题意；
B、当这个数为正实数时，可以开n次方，当这个数为负实数时，可以开n次方（n为奇数），当这个数为0时，都可以开n次方（n不为0），故不符合题意；
C、任何实数都可以开奇次方，故不符合题意；
D、当这个数是负实数时，则开偶次方无意义，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查立方根、n次方根，熟练掌握立方根、n次方根的意义是解题的关键．
6．表示的含义是（ ）
A．a的正的n次方根B．a的n次方根
C．当时，表示a的正的n次方根D．当时，且n为奇数时，表示a的n次方根
【答案】D
【分析】根据n次方根的意义可依此进行排除选项即可．
【解析】解：对于A、B选项当a＜0时 ，n为偶数时，无意义，
对于C，需多加一个条件，n为偶数时；
对于D选项，其说法正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查n次方根，熟练掌握n次方根的意义是解题的关键．
7．下列运算中，正确的是（ ）
A．＝a﹣bB．
C．﹣＝a﹣bD．＝a+b
【答案】B
【分析】根据公式进行求解即可．
【解析】解：A、＝|a﹣b|，故错误；
B、，故正确；
C、﹣＝|a|﹣|b|，故错误；
D、＝|a+b|，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查偶次方根的性质，熟练掌握偶次方根的性质是解题的关键．
8．将一块体积为的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据立方根的定义求出大正方体的棱长，取其一半即可；
【解析】解：（）
（）
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的定义；熟练掌握立方根的计算法则是解题的关键．
二、填空题
9．计算___________；___________；____________
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义及性质和立方根的定义及性质直接求解即可得到答案．
【解析】解：①，
；
②，算术平方根非负，
；
③，
；
故答案为：；；．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根的定义及性质，立方根的定义及性质是解决问题的关键．
10．的算术平方根是______，的立方根是______．
【答案】
2
【分析】根据算术平方根、立方根的意义，即可解答．
【解析】解：解：∵，
∴的算术平方根是；
∵，，
∴的立方根是2．
故答案为：，2．
【点睛】本题主要考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
11．已知，则的值是________．
【答案】4
【分析】利用立方根的定义，可得，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握若一个数的立方等于a，则这个数称为a的立方根是解题的关键．
12．的算术平方根是3，的立方根是2，则的算术平方根为___________．
【答案】6
【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义，先求出a和b的值，再将a和b的值代入求解即可．
【解析】解：∵的算术平方根是3，的立方根是2，
∴，，
∴，，
∴，
∴的算数平方根为：．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．
13．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是___________．
【答案】
【分析】直接根据题意列式计算即可．
【解析】解：，，
2是有理数，
，
即输出的y是，
故答案为．
【点睛】本题考查了求算术平方根和立方根即根据图片列式计算，能够根据图片正确列出算式是解题的关键．
14．如果，则________；，则 ________；如果，，则________；，则________．
【答案】 395.22 1562 0.2872
【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．
【解析】解：如果，则，
，则；
如果，，则；
，则；
故答案为：①395.22，②1562；③0.2872，④．
【点睛】此题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．
15．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．现给出以下结论：①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】实数包括有理数和无理数，结论①②先将答案解出来，再判断，结论③将看成整体，用配方法解出，结论④将不等式化简，再判断
【解析】①方程x9=3在实数范围内有解
故结论①正确
②在实数范围内有两个解，且这两个解互为相反数
故结论②正确
③当x=±1时，，当x=±2时，
由于2<5<20
所以在实数范围内有解，解介于1和2之间及-2与-1之间
故结论③错误
④由题意：
得：
时成立
时不成立
故结论④错误
故答案为：①②．
【点睛】本题考查实数及算术平方根，正确理解乘方的意义是关键，注意结论②③中偶数次幂的解有正负两个，注意结论④要分情况讨论．
16．计算：_______________________．
【答案】
【分析】根据偶次方根的性质即可完成．
【解析】
故答案为：2．
【点睛】本题考查了偶次方根的性质，当n为偶数时， ，掌握此性质是关键．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
=5
=2．
【点睛】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
【解析】（1）解：∵，∴，∴；
∵，∴，∵，∴；
∵，∴；
（2）把：代入得：
，
∵，
∴的平方根是：．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．
19．已知，且，求的值．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义可得，然后通过计算可得．
【解析】解：，
，
．
【点睛】此题考查了整式的加减和绝对值的意义、立方根、算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键，并注意整体代入思想的运用．
20．已知，求的n次方根（n为大于1的整数）
【答案】1
【分析】根据分式以及根式有意义的条件计算出x与y的值，进而可计算出的值，进而可求出其n次方．
【解析】解：由题意可知：，，
∴，
当x=2时，y无意义，
∴x=-2时，y=-1，
∴，
∴1的n次方为1，
故答案为1．
【点睛】本题考查分式，根式有意义的条件，乘方运算，能够根据分式和根式有意义的条件求出x，y的值是解决本题的关键．
三 、实数与分数指数幂
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数概念：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即?2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即?≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
分数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
（其中、为整数，）.
说明：在说明同样适用后，导出后一个负分数指数幂.
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.
、
一、单选题
1．下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义和估算无理数大小的方法求解即可．
【解析】解：A. 是有理数，不符合题意；
B. ∵，
∴，不符合题意；
C. ∵，
∴，不符合题意；
D. ∵，
∴，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数的估算，实数的大小比较，掌握估算无理数的方法是解题的关键．
2．在实数，，，，（每2个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义即无理数就是无限不循环小数分别进行分析，即可得出答案．
【解析】解：无理数有，，（每2个1之间依次多一个0），共有3个；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数
B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0
D．负数没有立方根
【答案】D
【分析】根据实数的定义：有理数和无理数统称为实数；实数和数轴的关系；平方根的定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就是的平方根；立方根的定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就是的立方根；据此判断即可；
【解析】解：A、有理数和无理数统称为实数，说法正确，不符合题意；
B、实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确，不符合题意；
C、平方根是其本身的数只有0，说法正确，不符合题意；
D、负数的立方根还是负数，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的定义，实数与数轴的关系，平方根和立方根的定义，熟记相关定义并理解是解本题的关键．
4．纳米是一种长度单位，1纳米=0.000 000 001米，已知某种花粉的直径为5300纳米，这种花粉的直径用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先把5300纳米换算成5300×10-9米，再用科学记数法表示为5.3×10-6．
【解析】解：由题意可知：35300纳米=5300×10-9米=5.3×10-6．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数
B．大于2
C．面积为8的正方形边长是
D．数轴上表示的点不存在
【答案】C
【分析】根据立方根的定义，算术平方根的应用，数轴上点的特点逐项进行判断即可．
【解析】解：A.∵，∴是有理数，故A错误；
B.，故B错误；
C.面积为8的正方形边长是，故C正确；
D.数轴上的点与实数一一对应，所以数轴上表示的点存在，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根的应用、算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握相关的定义．
6．根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分数指数幂与乘方和开方的对应关系可得．
【解析】解：∵，
∴．
故选：D
【点睛】考核知识点:分数指数幂的意义．理解分数指数幂与乘方和开方的对应关系是关键．
二、填空题
7．比较大小：_______1；_________
【答案】 < <
【分析】实数比较大小，化简成相同的形式在比较大小.
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：＜，＜．
【点睛】两个正数的算术平方根比较大小，较大的数的算术平方根更大
8．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， ，﹣0.9，5.4， ，0，﹣3.6，1.2020020002…（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
【答案】 ﹣8， ﹣|﹣2|， ，0； ﹣0.9，﹣3.6； π， -，1.2020020002…．
【分析】根据整数、负分数、无理数的概念判断即可．
【解析】解：整数-8，-|-2|，,0；
负分数-0.9，-3.6
无理数π，−，1.2020020002…；
【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类是解题的关键．
9．如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示数为1，若，则数轴上点E所表示的数为___________．
【答案】
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数可得点E所表示的数．
【解析】解：∵正方形的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是1，且点E在点A左侧，
∴点E表示的数为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，算术平方根，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
10．把写成幂的形式是_____．
【答案】
【分析】根据分数指数幂公式，逆推即可得到答案．
【解析】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数幂，正确理解分数指数幂的含义以及会逆向推理是解题的关键．
11．如果，那么______．
【答案】##-0.5
【分析】把原式化成分数指数幂计算即可．
【解析】解：．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分数指数幂的计算，将根式转化为分数指数幂是求解本题的关键．
12．已知m，n是两个连续整数，且m＜+1＜n，则m+n＝_____．
【答案】5
【分析】估算确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
【解析】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，即2＜+1＜3，
∴m＝2，n＝3，
则m+n＝2+3＝5，
故答案为5
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清无理数估算的方法是解本题的关键
13．已知m，n分别是的整数部分和小数部分，那么的值是______．
【答案】12
【分析】首先求出m和n的值，然后代入求解即可．
【解析】∵
∴，
∴的整数部分为4，的小数部分为
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解答本题的关键利用“夹逼法”得出，求出m，n的值，难度一般．
14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【答案】或或
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【解析】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：．
与C重合的点表示的数：．
第二次折叠，折叠点表示的数为：或．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
三、解答题
15．计算：．
【答案】
【分析】先逐项化简，再算加减即可．
【解析】解：原式=
=．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握分数指数幂、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义是解答本题的关键．
16．利用幂的性质计算：．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的意义即可求出答案．
【解析】解：原式=
．
【点睛】本题考查分数指数幂计算，熟练掌握分数指数幂的意义是解题的关键．
17．（1）计算：（结果表示为含幂的形式）．
（2）计算：．
【答案】（1）+；（2）．
【分析】（1）根据用同底数幂相乘及积的乘方计算即可；
（2）先计算乘方，再进行实数加减即可．
【解析】解：（1）原式＝
＝．
（2）原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、有理数的分数指数幂等知识点，熟悉运算法则是解题关键．
18．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
(1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
(2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______．
(3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．
【答案】(1)阴影部分的面积为，边长为；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，求出棱长，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解；
（2）根据的长以及A与1重合，即可求解；
（3）由题意可得，当点B第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与A相比向左移动了的长度，即可求解．
【解析】（1）解：由题意可得，魔方为正方体，其棱长为，
∴小立方体的棱长为1，
则正方形的面积为，
设正方形的边长为，则，解得
答：阴影部分的面积为，边长为；
（2）由（1）可得，
又∵A与1重合，在的左边，
∴点表示数的为
故答案为：
（3）由题意可得，当点B第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与A相比向左移动了的长度，
又∵A与1重合，
∴点B在数轴上表示的数为
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，立方根和算术平方根的应用，解题的关键是能求出正方形的边长．
19．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题：
(1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）；
(2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________；
②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．
【答案】(1)；
(2)①4，；②1；③．
【分析】（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案；
（2）①求出，进而可得答案；
②根据，，求出a，b的值，然后代入计算即可；
③估算出的取值范围，求出x，y的值，然后代入计算，根据平方根的定义求解．
【解析】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
②∵，，
∴，，
∴，，
∴；
③∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了无理数的估算，算术平方根和平方根的意义，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键．
一、单选题
1．（2018·上海·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．平方根是B．的平方根是
C．平方根等于它本身的数是1和0D．一定是正数
【答案】D
【分析】A、根据平方根的概念即可得到答案；
B、的平方根其实是9的平方根；
C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；
D、先判断出，再利用算术平方根的性质直接得到答案．
【解析】A、是负数，负数没有平方根，不符合题意；
B、，9的平方根是，不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是，不符合题意；
D、，正数的算术平方根大于0，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
2． (2023·上海闵行·二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ）
A．B．C．D．0.2022022022…
【答案】C
【分析】根据有理数，无理数的定义进行判断即可．
【解析】是整数，不是无限不循环小数，A选项不符合题意；
是分数，不是无限不循环小数，B选项不符合题意；
是无限不循环小数，C选项符合题意；
0.2022022022…是无限循环小数，D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，涉及求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
3． (2023·上海浦东新·模拟预测）无理数的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【分析】先计算出（）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出的范围即可．
【解析】解：（）2=22×（）2=4×6=24，
∵16＜24＜25，
∴4＜＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（）2是解题的关键．
4． (2023·上海奉贤·三模）点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点A表示的数一定是整数
B．点A表示的数一定是分数
C．点A表示的数一定是有理数
D．点A表示的数可能是无理数
【答案】D
【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，可得答案．
【解析】数轴上的点与实数一一对性应，故A错误；
数轴上的点与实数一一对应，故B错误；
根据互为相反数的两个数的绝对值相等，故C错误；
数轴上的点与实数一一对应，所以点A有可能是无理数，故D正确；
故选D．
5． (2023·上海金山区世界外国语学校一模）已知，下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据零指数幂定义、负整数指数幂定义、实数的乘方计算法则即立方根的定义分别判断．
【解析】解：∵a>0，
∴，，，，
故选：A．
【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握零指数幂定义、负整数指数幂定义、实数的乘方计算法则即分数指数幂的定义是解题的关键．
6． (2023·上海市青浦区教育局二模）下列说法中，错误的有（ ）
①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为；
③把237145精确到万位是240000；④对于实数，规定
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平方根、近似数及分数指数幂可进行排除选项．
【解析】解：①2能被6整除，原说法错误；
②把16开平方得16的平方根，表示为，原说法错误；
③把237145精确到万位是，原说法错误；
④对于实数，规定，当m、n不为正整数时，不成立，原说法错误；所以错误的有4个；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根、近似数及分数指数幂，熟练掌握平方根、近似数及分数指数幂是解题的关键．
二、填空题
7． (2023·上海嘉定·二模）化简：||＝_____．
【答案】##
【分析】先判断>0，再根据绝对值的意义进行求解即可．
【解析】解：∵3＞2
∴
∴>0
∴||＝
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的绝对值，根据绝对值的意义进行求解，关键是确定实数的符号．
8． (2023·上海松江·二模）计算：＝___．
【答案】2
【分析】求是多少，即求8的立方根是多少，根据立方根的定义即可求解．
【解析】∵
∴
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了立方根的概念的运用.如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(=a)，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．
9． (2023·上海松江·中考模拟）计算：__．
【答案】6．
【分析】分别计算绝对值和0次幂，再计算和即可．
【解析】解：原式＝5+1
＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质．
10．（2018·上海·模拟预测）用幂的形式表示：=________．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的定义求解即可．
【解析】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数幂的意义，分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化.
11． (2023·上海虹口·中考模拟）在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的_____侧．（填“左”、“右”）
【答案】左
【分析】根据＞2可得到2﹣＜0，判断出2﹣在数轴上的位置.
【解析】根据题意可知：2﹣＜0
∴2﹣对应的点在原点的左侧
故填：左
【点睛】本题考查二次根式简单的运算，可通过判断与大小比较即可解题.
12．（2018·上海·模拟预测）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
【答案】或
【分析】根据数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，可以得到点A表示的数，从而可以得到数轴上到点A的距离为的点所表示的数．
【解析】解：∵数轴上点到原点的距离为1，且点在原点的右侧，
∴点表示的数是1，
∴数轴上到点的距离为的点所表示的数是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查实数与数轴、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答．
三、解答题
13． (2023·上海·二模）计算：．
【答案】2﹣π．
【分析】根据题意利用算术平方根性质和去绝对值以及乘方运算先化简各式，然后再进行计算．
【解析】解：
＝3﹣（π﹣）+（﹣1）﹣
＝3﹣π+﹣1﹣
＝2﹣π．
【点睛】本题考查含乘方和算术平方根的实数运算，熟练掌握利用算术平方根性质和去绝对值以及乘方运算法则进行化简是解题的关键.
14．（2018·上海·模拟预测）利用幂的运算性质计算：
【答案】
【分析】根据幂的运算性质直接进行求解即可．
【解析】解：原式．
【点睛】本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．
1．实数的相关概念和运算．如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指数幂等知识点直接考查．
2．出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解， 结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运算理解的考查力度较．
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一 、平方根
算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作a，读作根号a，其中a是被开方数。
平方根概念：如果一个数的平方等于?，那么这个数就叫做?的平方根或二次方根，即如果?2=?，那么x叫做a的平方根。
平方根的性质与表示：
表示：正数a的平方根用±?表示， ?叫做正平方根，也称为算术平方根， −?叫做a的负平方根。
性质：一个正数有两个平方根：±? （根指数2省略）且他们互为相反数。
0有一个平方根，为0，记作0=0
负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
、
一、单选题
1．下列说发正确的的是（ ）
A．的平方根是B．4是的算术平方根
C．平方根是D．2的平方根是
2．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3B．C．1D．
3．的算术平方根是（ ）
A．5B．-5C．D．
4．估计的大小应在（ ）
A．之间B．之间C．之间D．之间
5．下列各式正确的有（ ）个
①；②；③的平方根是±2；④是的平方根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5B．﹣aC．a+1D．a2+1
7．若，则的正确结果是（ ）
A．-1B．1C．-5D．5
8．，，则的值为（ ）
A．13.11B．C．41.47D．
9．示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
10．已知：（n是自然数）．那么的值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．若，则_________；的平方根是_________．
12．如下图网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为_______．
13．__；的算术平方根是 __.
14．一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是________．
15．如图是一个计算程序，当输出值时，输入值x为_________．
16．已知x、y是实数，且，且，则＝____．
三、解答题
17．已知一个正数的两个平方根是和．
(1)求这个正数是多少？
(2)的算术平方根是多少？
18．某新建学校计划在一块面积为的正方形空地上建一个面积为的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
19．（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．则 ； ； ； ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，求的值．
二 、立方根和n次方根
1、立方根概念：如果一个数的立方等于?，即?3=?，那么x叫做?的立方根或三次方根，
表示方法：数a的立方根记作3?，读作三次根号a
立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开平方的表示：3?3=? 3?3=? 3−?=−3? （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:０的平方根和立方根都是０本身。
2、?次方根
概念：如果一个数的?次方（?是大于１的整数）等于?，这个数就叫做?的?次方根。
当?为奇数时，这个数叫做?的奇次方根。
当?为偶数时，这个数叫做?的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±??；０的偶次方根为０：?0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
、
一、单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．的立方根是 B．立方根是等于其本身的数为
C．没有立方根 D．的立方根是
2．已知a，b满足，则的立方根是（ ）
A．1B．C．D．0
3．已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．的6次方根是（ ）
A．2B．-2C．D．
5．在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（ ）
A．立方B．n次方C．开奇次方D．开偶次方
6．表示的含义是（ ）
A．a的正的n次方根B．a的n次方根
C．当时，表示a的正的n次方根D．当时，且n为奇数时，表示a的n次方根
7．下列运算中，正确的是（ ）
A．＝a﹣bB．
C．﹣＝a﹣bD．＝a+b
8．将一块体积为的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．计算___________；___________；____________
10．的算术平方根是______，的立方根是______．
11．已知，则的值是________．
12．的算术平方根是3，的立方根是2，则的算术平方根为___________．
13．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是___________．
14．如果，则________；，则 ________；如果，，则________；，则________．
15．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．现给出以下结论：①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
16．计算：_______________________．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
18．己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求的平方根．
19．已知，且，求的值．
20．已知，求的n次方根（n为大于1的整数）
三 、实数与分数指数幂
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数概念：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即?2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即?≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
分数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
（其中、为整数，）.
说明：在说明同样适用后，导出后一个负分数指数幂.
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.
、
一、单选题
1．下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（ ）
A．B．C．D．
2．在实数，，，，（每2个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．下列说法中错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数
B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0
D．负数没有立方根
4．纳米是一种长度单位，1纳米=0.000 000 001米，已知某种花粉的直径为5300纳米，这种花粉的直径用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数
B．大于2
C．面积为8的正方形边长是
D．数轴上表示的点不存在
6．根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．比较大小：_______1；_________
8．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， ，﹣0.9，5.4， ，0，﹣3.6，1.2020020002…（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
9．如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示数为1，若，则数轴上点E所表示的数为___________．
10．把写成幂的形式是_____．
11．如果，那么______．
12．已知m，n是两个连续整数，且m＜+1＜n，则m+n＝_____．
13．已知m，n分别是的整数部分和小数部分，那么的值是______．
14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
三、解答题
15．计算：．
16．利用幂的性质计算：．
17．（1）计算：（结果表示为含幂的形式）．
（2）计算：．
18．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
(1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
(2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______．
(3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．
19．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题：
(1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）；
(2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________；
②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．
一、单选题
1．（2018·上海·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．平方根是B．的平方根是
C．平方根等于它本身的数是1和0D．一定是正数
2． (2023·上海闵行·二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ）
A．B．C．D．0.2022022022…
3． (2023·上海浦东新·模拟预测）无理数的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
4． (2023·上海奉贤·三模）点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点A表示的数一定是整数
B．点A表示的数一定是分数
C．点A表示的数一定是有理数
D．点A表示的数可能是无理数
5． (2023·上海金山区世界外国语学校一模）已知，下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
6． (2023·上海市青浦区教育局二模）下列说法中，错误的有（ ）
①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为；
③把237145精确到万位是240000；④对于实数，规定
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
7． (2023·上海嘉定·二模）化简：||＝_____．
8． (2023·上海松江·二模）计算：＝___．
9． (2023·上海松江·中考模拟）计算：__．
10．（2018·上海·模拟预测）用幂的形式表示：=________．
11． (2023·上海虹口·中考模拟）在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的_____侧．（填“左”、“右”）
12．（2018·上海·模拟预测）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
三、解答题
13． (2023·上海·二模）计算：．
14．（2018·上海·模拟预测）利用幂的运算性质计算：
专题02 实数
实数及其运算是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．
1．实数的相关概念和运算．如对平方根、立方根与n次方根，实数的表示与运算，分数指数幂等知识点直接考查．
2．出题灵活多变，如实数的运算和对数轴的理解， 结合丰富多彩的问题情境，运算量一般较小，但对运算理解的考查力度较．
3．主要体现的思想方法：转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等．
一 、平方根
算术平方根概念：一般的如果一个正数x的平方等于a，即x2= a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作a，读作根号a，其中a是被开方数。
平方根概念：如果一个数的平方等于?，那么这个数就叫做?的平方根或二次方根，即如果?2=?，那么x叫做a的平方根。
平方根的性质与表示：
表示：正数a的平方根用±?表示， ?叫做正平方根，也称为算术平方根， −?叫做a的负平方根。
性质：一个正数有两个平方根：±? （根指数2省略）且他们互为相反数。
0有一个平方根，为0，记作0=0
负数没有平方根
平方根与算术平方根的区别与联系：
、
一、单选题
1．下列说发正确的的是（ ）
A．的平方根是B．4是的算术平方根
C．平方根是D．2的平方根是
【答案】C
【分析】根据平方根的定义：一个数的平方为，叫做的平方根；算术平方根的定义：一个非负数的平方为，叫做的算术平方根，逐一进行计算判断即可．
【解析】解：A、的平方根是，选项错误，不符合题意；
B、2是的算术平方根，选项错误，不符合题意；
C、平方根是，选项正确，符合题意；
D、2的平方根是，选项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考察平方根、算术平方根的定义．熟练掌握相关定义是解题的关键．注意先化简，再计算．
2．若 与是同一个正数的两个平方根，则m的值为（ ）
A．3B．C．1D．
【答案】D
【分析】根据平方根的性质列方程求解即可；
【解析】∵ 与是同一个正数的两个平方根，
∴ 与互为相反数，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根的性质及解一元一次方程，正确理解一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解决本题的关键．
3．的算术平方根是（ ）
A．5B．-5C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的性质，首先得，再通过计算，即可得到答案.
【解析】∵
∴的算术平方根是
故选：C.
【点睛】本题考查了算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握算术平方根的性质，从而完成求解.
4．估计的大小应在（ ）
A．之间B．之间C．之间D．之间
【答案】B
【分析】先把平方，再把选项中的数分别平方，即可解答．
【解析】解：∵，，
∴在之间，
故选：B．
【点睛】本题考查的是无理数的估算，解答本题的关键是熟知用“夹逼法”估算无理数是常用的估算无理数的方法．
5．下列各式正确的有（ ）个
①；②；③的平方根是±2；④是的平方根．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】根据算术平方根的性质判断①②；根据负数没有平方根判断③；根据平方根的性质判断④，即可．
【解析】解：因为，所以，故①错误；
，故②错误；
因为，负数没有平方根，故③错误；
，故④正确；
所以正确的有1个．
故选：A
【点睛】本题考查算术平方根，平方根，掌握一个正数的平方根有2个，且互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根是解题的关键．
6．下列各数中一定有平方根的是（ ）
A．a2﹣5B．﹣aC．a+1D．a2+1
【答案】D
【分析】正数的平方根有两个，0的平方根是0，负数没有平方根．题中要求这个数一定有平方根，所以这个数不论m取何值，都得是非负数．
【解析】解：A．当a＝0时，a2﹣5＝﹣5＜0，不符合题意；
B．当a＝1时，﹣a＝﹣1＜0，不符合题意；
C．当a＝﹣5时，a+1＝﹣4＜0，不符合题意；
D．不论a取何值，a2≥0，a2+1＞0，符合题意．
故选D．
【点睛】这道题主要考查对平方根的理解，做题的关键是要知道负数没有平方根．
7．若，则的正确结果是（ ）
A．-1B．1C．-5D．5
【答案】A
【分析】根据绝对值的非负性质及算术平方根的性质求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了算术平方根的性质及非负数的性质，解决本题的关键是熟练掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
8．，，则的值为（ ）
A．13.11B．C．41.47D．
【答案】C
【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案．
【解析】解：∵
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题关键是掌握被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍．
9．示意图，小宇利用两个面积为1dm2的正方形拼成了一个面积为2dm2的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是( ).
A．利用两个边长为2dm的正方形感知dm的大小
B．利用四个直角边为5dm的等腰直角三角形感知dm的大小
C．利用四个直角边分别为2dm和3dm的直角三角形以及一个边长为1dm的正方形感知dm的大小
D．利用一个边长为dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知dm的大小
【答案】D
【分析】在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等，所以我们只需要分别计算拼前，拼后的面积，看是否相等，就可以逐个排除．
【解析】解：A.不符合题意；
B.不符合题意；
C．不符合题意；
D.符合题意．
故选：D．
【点睛】这道题主要考查利用算术平方根的含义及实际应用，解题的关键是在拼图的过程中，拼前，拼后的面积相等．
10．已知：（n是自然数）．那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算 再求解 再化简 再计算即可得到答案.
【解析】解：由题意得：，
∴
，
则
∴．
故选D．
【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，算术平方根的含义，负整数指数幂的含义，幂的运算，熟知以上运算的运算法则是解题的关键.
二、填空题
11．若，则_________；的平方根是_________．
【答案】
【分析】根据绝对值，算术平方根和平方根的定义求解即可．
【解析】解：∵，
∴；
的平方根是，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了绝对值，算术平方根和平方根，熟知相关定义是解题的关键．
12．如下图网格是由25个边长为1的小正方形组成，则这个阴影正方形的边长为_______．
【答案】
【分析】先求出大正方形的面积及三角形的面积，再利用，进而可求解．
【解析】解：，，
则：，
阴影部分为正方形，
阴影正方形的边长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根和正方形的面积，熟练掌握算术平方根的定义及正方形的面积公式是解题的关键．
13．__；的算术平方根是 __.
【答案】
【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可；
【解析】解：∵
∴
∵ ，的算术平方根为
∴的算术平方根为
故答案为：；
【点睛】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的意义是解决问题的关键．
14．一个自然数的算术平方根是a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是________．
【答案】##
【分析】首先根据算术平方根的定义求出这个自然数，然后即可求出与这个自然数相邻的下一个自然数即可．
【解析】解：∵一个自然数的算术平方根为a，
∴这个自然数是．
∴与这个自然数相邻的下一个自然数是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的概念，同时要知道相邻的两个自然数相差为1．
15．如图是一个计算程序，当输出值时，输入值x为_________．
【答案】或4##4或
【分析】根据题意列出方程，解方程即可求得．
【解析】解：根据题意得：，
得，
解得或，
故答案为：4或
【点睛】本题考查了程序框图及求一个数的平方根，理解题意，列出方程是解决本题的关键．
16．已知x、y是实数，且，且，则＝____．
【答案】
【分析】利用完全平方公式解题即可．
【解析】∵，且，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，注意二次根式的非负性，能够熟练运用完全平方公式是解题关键．
三、解答题
17．已知一个正数的两个平方根是和．
(1)求这个正数是多少？
(2)的算术平方根是多少？
【答案】(1)49
(2)3
【分析】（1）依据一个正数有两个平方根，它们互为相反数即可解得即可求出；
（2）利用（1）的结果及算术平方根的定义即可求解．
【解析】（1）解：（1）和是同一个正数的平方根，则这两个数互为相反数．
即：
解得．
则这个正数是；
（2）．
答：的算术平方根是3．
【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数．
18．某新建学校计划在一块面积为的正方形空地上建一个面积为的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
【答案】该学校不能实现这个愿望．
【分析】分别求出长方形的长，正方形的边长比较即可判断．
【解析】解：长方形花坛的宽为，长为．
依题意得，
∴，
∵，
∴，
∵正方形的面积，
∴正方形的边长为16m，
∵，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，该学校不能实现这个愿望．
【点睛】本题考查算术平方根的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于基础题．
19．（1）若a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根．则 ； ； ； ．
（2）若a与b互为相反数，c与d互为倒数，求的值．
【答案】（1），0，1，（2）
【分析】（1）直接利用负整数、绝对值、倒数、平方根的定义分别分析得出答案；
（2）直接利用相反数、互为倒数的定义得出，，进而得出答案．
【解析】解：（1）∵a是最大的负整数，b是绝对值最小的数，c是倒数等于它本身的正数，d是9的负平方根，
则；；； ．
故答案为：，0，1，；
（2）∵a与b互为相反数，c与d互为倒数，
∴，，
∴
＝
＝
＝．
【点睛】此题主要考查了负整数、绝对值、倒数、平方根、相反数、互为倒数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
二 、立方根和n次方根
1、立方根概念：如果一个数的立方等于?，即?3=?，那么x叫做?的立方根或三次方根，
表示方法：数a的立方根记作3?，读作三次根号a
立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。０的立方根是０.
开立方概念：求一个数的立方根的运算。
开平方的表示：3?3=? 3?3=? 3−?=−3? （a取任何数）
这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
注意:０的平方根和立方根都是０本身。
2、?次方根
概念：如果一个数的?次方（?是大于１的整数）等于?，这个数就叫做?的?次方根。
当?为奇数时，这个数叫做?的奇次方根。
当?为偶数时，这个数叫做?的偶次方根。
性质： 正数的偶次方根有两个：±??；０的偶次方根为０：?0=0；负数没有偶次方根。
正数的奇次方根为正。０的奇次方根为０。负数的奇次方根为负。
、
一、单选题
1．下列结论正确的是（ ）
A．的立方根是 B．立方根是等于其本身的数为
C．没有立方根 D．的立方根是
【答案】D
【分析】根据立方根的概念和求一个数的立方根的方法求解并判断即可．
【解析】解：A、，，所以的立方根是，故选项A错误，不符合题意；
B、立方根是等于其本身的数为，，，故选项B错误，不符合题意；
C、，所以的立方根是，故选项C错误，不符合题意；
D、，所以的立方根是，故选项D正确，符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了立方根的概念和求一个数的立方根的方法，熟练掌握求一个数的立方根的方法是解答本题的关键．
2．已知a，b满足，则的立方根是（ ）
A．1B．C．D．0
【答案】C
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得a、b值，再根据立方根的定义求解即可．
【解析】解：∵，且，。
∴，，
解得：，，
∴，
∴的立方根是，
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、立方根，正确求得a、b值是解答的关键．
3．已知数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】直接利用平方根以及立方根、相反数的定义得出a，b的值，进而得出答案．
【解析】解：∵数a的平方根与其立方根相同，数b和其相反数相等，
∴，，
则，
故选：B．
【点晴】本题主要考查了平方根以及立方根、相反数的定义，正确得出a，b的值是解题关键．
4．的6次方根是（ ）
A．2B．-2C．D．
【答案】C
【分析】由，进而问题可求解．
【解析】解：∵，
∴的6次方根是；
故选C．
【点睛】本题主要考查偶次方根，熟练掌握偶次方根是解题的关键．
5．在实数范围内，下列运算不是总能进行的是（ ）
A．立方B．n次方C．开奇次方D．开偶次方
【答案】D
【分析】根据立方根、n次方根的意义可进行排除选项．
【解析】解：A、任意实数都可以开立方，故不符合题意；
B、当这个数为正实数时，可以开n次方，当这个数为负实数时，可以开n次方（n为奇数），当这个数为0时，都可以开n次方（n不为0），故不符合题意；
C、任何实数都可以开奇次方，故不符合题意；
D、当这个数是负实数时，则开偶次方无意义，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查立方根、n次方根，熟练掌握立方根、n次方根的意义是解题的关键．
6．表示的含义是（ ）
A．a的正的n次方根B．a的n次方根
C．当时，表示a的正的n次方根D．当时，且n为奇数时，表示a的n次方根
【答案】D
【分析】根据n次方根的意义可依此进行排除选项即可．
【解析】解：对于A、B选项当a＜0时 ，n为偶数时，无意义，
对于C，需多加一个条件，n为偶数时；
对于D选项，其说法正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查n次方根，熟练掌握n次方根的意义是解题的关键．
7．下列运算中，正确的是（ ）
A．＝a﹣bB．
C．﹣＝a﹣bD．＝a+b
【答案】B
【分析】根据公式进行求解即可．
【解析】解：A、＝|a﹣b|，故错误；
B、，故正确；
C、﹣＝|a|﹣|b|，故错误；
D、＝|a+b|，故错误；
故选：B．
【点睛】本题主要考查偶次方根的性质，熟练掌握偶次方根的性质是解题的关键．
8．将一块体积为的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据立方根的定义求出大正方体的棱长，取其一半即可；
【解析】解：（）
（）
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的定义；熟练掌握立方根的计算法则是解题的关键．
二、填空题
9．计算___________；___________；____________
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义及性质和立方根的定义及性质直接求解即可得到答案．
【解析】解：①，
；
②，算术平方根非负，
；
③，
；
故答案为：；；．
【点睛】本题考查算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根的定义及性质，立方根的定义及性质是解决问题的关键．
10．的算术平方根是______，的立方根是______．
【答案】
2
【分析】根据算术平方根、立方根的意义，即可解答．
【解析】解：解：∵，
∴的算术平方根是；
∵，，
∴的立方根是2．
故答案为：，2．
【点睛】本题主要考查了平方根与立方根，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
11．已知，则的值是________．
【答案】4
【分析】利用立方根的定义，可得，即可求解．
【解析】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握若一个数的立方等于a，则这个数称为a的立方根是解题的关键．
12．的算术平方根是3，的立方根是2，则的算术平方根为___________．
【答案】6
【分析】根据算术平方根的定义和立方根的定义，先求出a和b的值，再将a和b的值代入求解即可．
【解析】解：∵的算术平方根是3，的立方根是2，
∴，，
∴，，
∴，
∴的算数平方根为：．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根的定义，解题的关键是熟练掌握算术平方根和立方根的定义．
13．有一个数值转换器，原理如下：当输入的x为64时，输出的y是___________．
【答案】
【分析】直接根据题意列式计算即可．
【解析】解：，，
2是有理数，
，
即输出的y是，
故答案为．
【点睛】本题考查了求算术平方根和立方根即根据图片列式计算，能够根据图片正确列出算式是解题的关键．
14．如果，则________；，则 ________；如果，，则________；，则________．
【答案】 395.22 1562 0.2872
【分析】根据立方根和算术平方根的定义找出他们之间的规律即可得出答案．
【解析】解：如果，则，
，则；
如果，，则；
，则；
故答案为：①395.22，②1562；③0.2872，④．
【点睛】此题考查了立方根和算术平方根，熟练掌握立方根和算术平方根的定义是解题的关键．
15．我们可以从解方程的角度理解从有理数扩充到实数的必要性．若不是某个有理数的平方，则方程有理数范围内无解；若b不是某个有理数的立方，则方程在有理数范围无解．而在实数范围内以上方程均有解，这是扩充数的范围的一个好处．现给出以下结论：①在实数范围内有解；②在实数范围内的解不止一个；③在实数范围内有解，解介于1和2之间；④对于任意的，恒有．其中正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②
【分析】实数包括有理数和无理数，结论①②先将答案解出来，再判断，结论③将看成整体，用配方法解出，结论④将不等式化简，再判断
【解析】①方程x9=3在实数范围内有解
故结论①正确
②在实数范围内有两个解，且这两个解互为相反数
故结论②正确
③当x=±1时，，当x=±2时，
由于2<5<20
所以在实数范围内有解，解介于1和2之间及-2与-1之间
故结论③错误
④由题意：
得：
时成立
时不成立
故结论④错误
故答案为：①②．
【点睛】本题考查实数及算术平方根，正确理解乘方的意义是关键，注意结论②③中偶数次幂的解有正负两个，注意结论④要分情况讨论．
16．计算：_______________________．
【答案】
【分析】根据偶次方根的性质即可完成．
【解析】
故答案为：2．
【点睛】本题考查了偶次方根的性质，当n为偶数时， ，掌握此性质是关键．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
=5
=2．
【点睛】本题考查了实数的运算，算术平方根，立方根，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18．己知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，
(1)求a，b，c的值
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．
【解析】（1）解：∵，∴，∴；
∵，∴，∵，∴；
∵，∴；
（2）把：代入得：
，
∵，
∴的平方根是：．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．
19．已知，且，求的值．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义可得，然后通过计算可得．
【解析】解：，
，
．
【点睛】此题考查了整式的加减和绝对值的意义、立方根、算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键，并注意整体代入思想的运用．
20．已知，求的n次方根（n为大于1的整数）
【答案】1
【分析】根据分式以及根式有意义的条件计算出x与y的值，进而可计算出的值，进而可求出其n次方．
【解析】解：由题意可知：，，
∴，
当x=2时，y无意义，
∴x=-2时，y=-1，
∴，
∴1的n次方为1，
故答案为1．
【点睛】本题考查分式，根式有意义的条件，乘方运算，能够根据分式和根式有意义的条件求出x，y的值是解决本题的关键．
三 、实数与分数指数幂
无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
实数概念：有理数和无理数统称为实数
实数的分类：
1.按属性分类： 2.按符号分类
实数和数轴上的点的对应关系（重点）：
实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．
2的画法：画边长为1的正方形的对角线
在数轴上表示无理数通常有两种情况：
1.尺规可作的无理数，如
2.尺规不可作的无理数 ，只能近似地表示，如π，1.010010001……
实数大小比较的方法（常用）：1）平方法2）根号法3）求差法
实数的三个非负性及性质：
1.在实数范围内，正数和零统称为非负数。
2.非负数有三种形式
①任何一个实数a的绝对值是非负数，即|a|≥0；
②任何一个实数a的平方是非负数，即?2≥0；
③任何非负数的算术平方根是非负数，即?≥0
3.非负数具有以下性质
①非负数有最小值零；
②非负数之和仍是非负数；
③几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0
分数指数幂
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
（其中、为整数，）.
说明：在说明同样适用后，导出后一个负分数指数幂.
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.
、
一、单选题
1．下列四个数中，大于1而又小于2的无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据无理数的定义和估算无理数大小的方法求解即可．
【解析】解：A. 是有理数，不符合题意；
B. ∵，
∴，不符合题意；
C. ∵，
∴，不符合题意；
D. ∵，
∴，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了无理数的定义，无理数的估算，实数的大小比较，掌握估算无理数的方法是解题的关键．
2．在实数，，，，（每2个1之间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据无理数的定义即无理数就是无限不循环小数分别进行分析，即可得出答案．
【解析】解：无理数有，，（每2个1之间依次多一个0），共有3个；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了无理数，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．有理数和无理数统称为实数
B．实数和数轴上的点是一一对应的
C．平方根是其本身的数只有0
D．负数没有立方根
【答案】D
【分析】根据实数的定义：有理数和无理数统称为实数；实数和数轴的关系；平方根的定义：如果一个数的平方等于，即，那么这个数就是的平方根；立方根的定义：如果一个数的立方等于，即，那么这个数就是的立方根；据此判断即可；
【解析】解：A、有理数和无理数统称为实数，说法正确，不符合题意；
B、实数和数轴上的点是一一对应的，说法正确，不符合题意；
C、平方根是其本身的数只有0，说法正确，不符合题意；
D、负数的立方根还是负数，原说法错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的定义，实数与数轴的关系，平方根和立方根的定义，熟记相关定义并理解是解本题的关键．
4．纳米是一种长度单位，1纳米=0.000 000 001米，已知某种花粉的直径为5300纳米，这种花粉的直径用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先把5300纳米换算成5300×10-9米，再用科学记数法表示为5.3×10-6．
【解析】解：由题意可知：35300纳米=5300×10-9米=5.3×10-6．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5．下列说法正确的是（ ）
A．是无理数
B．大于2
C．面积为8的正方形边长是
D．数轴上表示的点不存在
【答案】C
【分析】根据立方根的定义，算术平方根的应用，数轴上点的特点逐项进行判断即可．
【解析】解：A.∵，∴是有理数，故A错误；
B.，故B错误；
C.面积为8的正方形边长是，故C正确；
D.数轴上的点与实数一一对应，所以数轴上表示的点存在，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根的应用、算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握相关的定义．
6．根式（ ，为正整数，＞1）用分数指数幂可表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据分数指数幂与乘方和开方的对应关系可得．
【解析】解：∵，
∴．
故选：D
【点睛】考核知识点:分数指数幂的意义．理解分数指数幂与乘方和开方的对应关系是关键．
二、填空题
7．比较大小：_______1；_________
【答案】 < <
【分析】实数比较大小，化简成相同的形式在比较大小.
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：＜，＜．
【点睛】两个正数的算术平方根比较大小，较大的数的算术平方根更大
8．把下列各数填在相应的横线上，﹣8，π，﹣|﹣2|， ， ，﹣0.9，5.4， ，0，﹣3.6，1.2020020002…（每两个2之间多一个0）；整数________； 负分数________；无理数________．
【答案】 ﹣8， ﹣|﹣2|， ，0； ﹣0.9，﹣3.6； π， -，1.2020020002…．
【分析】根据整数、负分数、无理数的概念判断即可．
【解析】解：整数-8，-|-2|，,0；
负分数-0.9，-3.6
无理数π，−，1.2020020002…；
【点睛】本题考查的是实数的概念，掌握实数的分类是解题的关键．
9．如图，面积为5的正方形的顶点A在数轴上，且表示数为1，若，则数轴上点E所表示的数为___________．
【答案】
【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得，结合A点所表示的数可得点E所表示的数．
【解析】解：∵正方形的面积为5，且，
∴，
∵点A表示的数是1，且点E在点A左侧，
∴点E表示的数为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数与数轴，算术平方根，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．
10．把写成幂的形式是_____．
【答案】
【分析】根据分数指数幂公式，逆推即可得到答案．
【解析】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数幂，正确理解分数指数幂的含义以及会逆向推理是解题的关键．
11．如果，那么______．
【答案】##-0.5
【分析】把原式化成分数指数幂计算即可．
【解析】解：．
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分数指数幂的计算，将根式转化为分数指数幂是求解本题的关键．
12．已知m，n是两个连续整数，且m＜+1＜n，则m+n＝_____．
【答案】5
【分析】估算确定出m与n的值，即可求出m+n的值．
【解析】解：∵1＜3＜4，
∴1＜＜2，即2＜+1＜3，
∴m＝2，n＝3，
则m+n＝2+3＝5，
故答案为5
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清无理数估算的方法是解本题的关键
13．已知m，n分别是的整数部分和小数部分，那么的值是______．
【答案】12
【分析】首先求出m和n的值，然后代入求解即可．
【解析】∵
∴，
∴的整数部分为4，的小数部分为
∴，
∴．
故答案为：12．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解答本题的关键利用“夹逼法”得出，求出m，n的值，难度一般．
14．如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为−1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是_______．
【答案】或或
【分析】先求出第一次折叠与A重合的点表示的数，然后再求两点间的距离即可；同理再求出第二次折叠与C点重合的点表示的数即可．
【解析】解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：．
与C重合的点表示的数：．
第二次折叠，折叠点表示的数为：或．
此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：
或．
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了数轴上的点和折叠问题，掌握折叠的性质是解答本题的关键．
三、解答题
15．计算：．
【答案】
【分析】先逐项化简，再算加减即可．
【解析】解：原式=
=．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握分数指数幂、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义是解答本题的关键．
16．利用幂的性质计算：．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的意义即可求出答案．
【解析】解：原式=
．
【点睛】本题考查分数指数幂计算，熟练掌握分数指数幂的意义是解题的关键．
17．（1）计算：（结果表示为含幂的形式）．
（2）计算：．
【答案】（1）+；（2）．
【分析】（1）根据用同底数幂相乘及积的乘方计算即可；
（2）先计算乘方，再进行实数加减即可．
【解析】解：（1）原式＝
＝．
（2）原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方、有理数的分数指数幂等知识点，熟悉运算法则是解题关键．
18．如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为8．
(1)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．
(2)把正方形ABCD放到数轴上．如图2．使得A与1重合，那么D在数轴上表示的数为______．
(3)在（2）的条件下，把正方形ABCD沿数轴逆时针方向滚动．当点B第一次落在数轴上时，求点B在数轴上表示的数．
【答案】(1)阴影部分的面积为，边长为；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据立方体的体积公式，求出棱长，再用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，即可求解；
（2）根据的长以及A与1重合，即可求解；
（3）由题意可得，当点B第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与A相比向左移动了的长度，即可求解．
【解析】（1）解：由题意可得，魔方为正方体，其棱长为，
∴小立方体的棱长为1，
则正方形的面积为，
设正方形的边长为，则，解得
答：阴影部分的面积为，边长为；
（2）由（1）可得，
又∵A与1重合，在的左边，
∴点表示数的为
故答案为：
（3）由题意可得，当点B第一次落在数轴上时，正方形滚动了两次，与A相比向左移动了的长度，
又∵A与1重合，
∴点B在数轴上表示的数为
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，立方根和算术平方根的应用，解题的关键是能求出正方形的边长．
19．在学习《实数》这节内容时，我们通过“逐步逼近”的方法来估算出一系列越来越接近的近似值，请回答如下问题：
(1)我们通过“逐步逼近”的方法来估算出，请用“逐步逼近”的方法估算在哪两个近似数之间（精确到0.1）；
(2)大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，可以用来表示的小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：①的整数部分是___________，小数部分是___________；
②如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
③若x是的整数部分，y是的小数部分，求的平方根．
【答案】(1)；
(2)①4，；②1；③．
【分析】（1）根据“逐步逼近”的方法，结合算术平方根的意义可得答案；
（2）①求出，进而可得答案；
②根据，，求出a，b的值，然后代入计算即可；
③估算出的取值范围，求出x，y的值，然后代入计算，根据平方根的定义求解．
【解析】（1）解：∵，，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
②∵，，
∴，，
∴，，
∴；
③∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了无理数的估算，算术平方根和平方根的意义，掌握“逐步逼近”的方法是解题的关键．
一、单选题
1．（2018·上海·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．平方根是B．的平方根是
C．平方根等于它本身的数是1和0D．一定是正数
【答案】D
【分析】A、根据平方根的概念即可得到答案；
B、的平方根其实是9的平方根；
C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；
D、先判断出，再利用算术平方根的性质直接得到答案．
【解析】A、是负数，负数没有平方根，不符合题意；
B、，9的平方根是，不符合题意；
C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是，不符合题意；
D、，正数的算术平方根大于0，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
2． (2023·上海闵行·二模）下列实数中，一定是无限不循环小数的是（ ）
A．B．C．D．0.2022022022…
【答案】C
【分析】根据有理数，无理数的定义进行判断即可．
【解析】是整数，不是无限不循环小数，A选项不符合题意；
是分数，不是无限不循环小数，B选项不符合题意；
是无限不循环小数，C选项符合题意；
0.2022022022…是无限循环小数，D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的定义，即无限不循环小数，涉及求一个数的立方根，熟练掌握知识点是解题的关键．
3． (2023·上海浦东新·模拟预测）无理数的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【分析】先计算出（）2的值为24，把24夹逼在两个相邻正整数的平方之间，再写出的范围即可．
【解析】解：（）2=22×（）2=4×6=24，
∵16＜24＜25，
∴4＜＜5．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，求出（）2是解题的关键．
4． (2023·上海奉贤·三模）点A是数轴上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点A表示的数一定是整数
B．点A表示的数一定是分数
C．点A表示的数一定是有理数
D．点A表示的数可能是无理数
【答案】D
【分析】根据数轴上的点与实数一一对应，可得答案．
【解析】数轴上的点与实数一一对性应，故A错误；
数轴上的点与实数一一对应，故B错误；
根据互为相反数的两个数的绝对值相等，故C错误；
数轴上的点与实数一一对应，所以点A有可能是无理数，故D正确；
故选D．
5． (2023·上海金山区世界外国语学校一模）已知，下列四个选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据零指数幂定义、负整数指数幂定义、实数的乘方计算法则即立方根的定义分别判断．
【解析】解：∵a>0，
∴，，，，
故选：A．
【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握零指数幂定义、负整数指数幂定义、实数的乘方计算法则即分数指数幂的定义是解题的关键．
6． (2023·上海市青浦区教育局二模）下列说法中，错误的有（ ）
①2能被6整除；②把16开平方得16的平方根，表示为；
③把237145精确到万位是240000；④对于实数，规定
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【分析】根据平方根、近似数及分数指数幂可进行排除选项．
【解析】解：①2能被6整除，原说法错误；
②把16开平方得16的平方根，表示为，原说法错误；
③把237145精确到万位是，原说法错误；
④对于实数，规定，当m、n不为正整数时，不成立，原说法错误；所以错误的有4个；
故选：D．
【点睛】本题主要考查平方根、近似数及分数指数幂，熟练掌握平方根、近似数及分数指数幂是解题的关键．
二、填空题
7． (2023·上海嘉定·二模）化简：||＝_____．
【答案】##
【分析】先判断>0，再根据绝对值的意义进行求解即可．
【解析】解：∵3＞2
∴
∴>0
∴||＝
故答案为：
【点睛】本题考查了实数的绝对值，根据绝对值的意义进行求解，关键是确定实数的符号．
8． (2023·上海松江·二模）计算：＝___．
【答案】2
【分析】求是多少，即求8的立方根是多少，根据立方根的定义即可求解．
【解析】∵
∴
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了立方根的概念的运用.如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a(=a)，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．
9． (2023·上海松江·中考模拟）计算：__．
【答案】6．
【分析】分别计算绝对值和0次幂，再计算和即可．
【解析】解：原式＝5+1
＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质．
10．（2018·上海·模拟预测）用幂的形式表示：=________．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的定义求解即可．
【解析】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了分数指数幂的意义，分数指数幂是一个数的指数为分数，正数的分数指数幂是根式的另一种表示形式，根式与分数指数幂可以进行互化.
11． (2023·上海虹口·中考模拟）在数轴上，实数2﹣对应的点在原点的_____侧．（填“左”、“右”）
【答案】左
【分析】根据＞2可得到2﹣＜0，判断出2﹣在数轴上的位置.
【解析】根据题意可知：2﹣＜0
∴2﹣对应的点在原点的左侧
故填：左
【点睛】本题考查二次根式简单的运算，可通过判断与大小比较即可解题.
12．（2018·上海·模拟预测）已知数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，数轴上到点A的距离为的点所表示的数是________．
【答案】或
【分析】根据数轴上点A到原点的距离为1，且点A在原点的右侧，可以得到点A表示的数，从而可以得到数轴上到点A的距离为的点所表示的数．
【解析】解：∵数轴上点到原点的距离为1，且点在原点的右侧，
∴点表示的数是1，
∴数轴上到点的距离为的点所表示的数是：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查实数与数轴、两点间的距离，解答本题的关键是明确题意，利用数轴的知识解答．
三、解答题
13． (2023·上海·二模）计算：．
【答案】2﹣π．
【分析】根据题意利用算术平方根性质和去绝对值以及乘方运算先化简各式，然后再进行计算．
【解析】解：
＝3﹣（π﹣）+（﹣1）﹣
＝3﹣π+﹣1﹣
＝2﹣π．
【点睛】本题考查含乘方和算术平方根的实数运算，熟练掌握利用算术平方根性质和去绝对值以及乘方运算法则进行化简是解题的关键.
14．（2018·上海·模拟预测）利用幂的运算性质计算：
【答案】
【分析】根据幂的运算性质直接进行求解即可．
【解析】解：原式．
【点睛】本题主要考查幂的运算性质，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键．
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