新疆乌鲁木齐市第十二中学2024届高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市第十二中学2024届高三上学期12月月考数学试题（Word版附解析），共21页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

总分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（8小题每题5分共40分）
1. 已知，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得结合.
【详解】因为，，
因此，.
故选：C.
2. 已知，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的除法运算求出复数z的代数形式，进而可得虚部.
【详解】，
则复数z的虚部为1.
故选：D.
3. 已知向量若向量满足，且，则＝（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设，求出，，利用向量垂直与向量平行列方程求解即可.
【详解】因为，
所以
设 ，则，
因为，且，
所以,
解得 ,
.
故选：A.
4. 已知函数在上单调,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为在上单调,当时,是单调递减函数,可得在上是单调递减函数,即可求得答案.
【详解】
又 当时,是单调递减函数
在上是单调递减函数
根据分段函数的在定义域单调递减,即要保证每段函数上单调递减,
也要保证在分界点上单调递减可得:
解得:.
故选:A.
【点睛】本题考查了根据分段函数单调性来求参数范围,解题关键是掌握在求解分段函数的单调性时,即要保证每段函数上单调,也要保证在分界点上单调,通过联立不等式组来求解参数范围,考查了分析能力和计算能力,属于中等题.
5. 已知双曲线的离心率为，椭圆的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据双曲线离心率得a,b关系，再根据离心率定义计算椭圆离心率.
【详解】由题意得，椭圆离心率为
故选：D
6. 已知，，且，均为锐角，那么（ ）
A. B. 或－1C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先确定角，接着求，，最后根据展开求值即可.
【详解】因为，均为锐角，所以，
所以，，
所以
.
故选：A.
【点睛】(1)给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．
(2)通过求所求角的某种三角函数值来求角，关键点在选取函数，常遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．
7. 已知函数，则“”是“”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】：先求函数的一阶导函数，判断函数在上单调递增函数，由此判断出命题“”是“”的分必要条件．
详解】：
因为，所以，
因此函数为上单调递增函数，从而由“”可得“”，由“”可得“”，即“”是“”的充分必要条件，选C．
【点睛】：本题考查了函数的单调性的应用，利用导数判断函数单调性，转化为命题之间的关系．
8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的值等于
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正弦定理及条件得到，于是可得，再根据平方关系可得．
【详解】由及正弦定理，得
，
整理得．
又，
所以，
由于，
所以，
所以．
故选C．
【点睛】正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时要注意公式的灵活选择和应用．另外，在三角形中特别要注意三个内角间的关系，再结合诱导公式灵活应用．
二、多选题（共4小题每题五分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子每次出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录每次出现的点数，四人根据统计结果对各自的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现6点的描述是（ ）
A. 中位数为3，众数为5B. 中位数为3，极差为3
C. 中位数为1，平均数为2D. 平均数为3，方差为2
【答案】AD
【解析】
【分析】根据数字特征的定义，依次对选项分析判断即可
【详解】对于A，由于中位数为3，众数为5，所以这5个数从小到大排列后，第3个数是3，则第4和5个为5，所以这5个数中一定没有出现6，所以A正确，
对于B，由于中位数为3，极差为3，所以这5个数可以是3，3，3，4，6，所以B错误，
对于C，由于中位数为1，平均数为2，所以这5个数可以是1，1，1，1，6，所以C错误，
对于D，由平均数为3，方差为2，可得，，若有一个数为6，取，则，，所以，所以这4个数可以是4，3，3，3或2，3，3，3，与 矛盾，所以，所以这5个数一定没有出现6点，所以D正确，
故选：AD
10. 已知正数，，满足，下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设，求得，，，然后根据对数的运算法则和基本不等式判断各选项．
【详解】设，则，，，
，，
又，所以，
，而，所以，A错；
则，B正确；
，当且仅当，即，这个等式不可能成立，因此等号不能取到，，即，C正确；
因为，
所以，即，D正确．
故选：BCD．
【点睛】本题考查对数的运算法则，考查基本不等式的应用，解题关键是由题设指数式改写为对数式，实质就是表示出变量，然后证明各个不等式．
11. 下列说法正确是（ ）
A. 若，，则；
B. 是非奇非偶函数
C. 若集合中只有一个元素，则
D. 若，且，则的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A. 利用作差法判断；B.先求得函数的定义域再判断；C.由方程只有一个根求解判断；D.根据，得到，，再利用基本不等式求解判断.
【详解】A. 因为，，所以，即，故正确；
B. 由得 ，所以 的定义域为 ，则，
又 ，所以是奇函数，故错误；
C.因为集合中只有一个元素，所以方程只有一个根，
当时，不成立，当时，，解得，故正确；
D.因为，且，所以，则，即，
所以，当且仅当，即时，等号成立，故正确；
故选：ACD
12. 如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则下列说法正确的是（ ）
A. 六面体的体积为
B. 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
C. 折后棱，所在直线异面且垂直
D. 折后棱，所直线相交
【答案】ABD
【解析】
【分析】六面体由两个全等的正四面体组成，算出每个正四面体的高为，再利用锥体的体积公式即可判断A；由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，利用等体积法求得内切球的半径，再利用球的体积公式即可判断B；利用翻折变换规律，折后、在共底的两个四面体的底面，可判断C D；
【详解】对于A，六面体由两个全等的正四面体组成，其中每个四面体的棱长为1，取的中点D，连接，且，由正四面体性质知，顶点在底面的投影在上，如图所示，
，，故四面体的高为，故六面体的体积，故A正确；
对于B，由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，六面体的每个面的面积是，连接球心与五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，且每个小棱锥的高都是球的半径，由等体积法知，解得，所以球的体积，故B正确；
对于CD，折后、在共底的两个四面体的底面，则直线与相交，故C错误，D正确；
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查求锥体的体积，内切球的半径，及翻折变换的规律，求内切球半径常用的方法是等体积法，锥体的内切球半径，即求锥体的体积及表面积，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13. 现把5个不同的小球全部分给3名同学，每名同学至少分到1个小球，则不同的分配方法共有___________种，（用数字作答）
【答案】150
【解析】
【分析】将问题分为两类，一类是一个同学分到3个小球，剩下两名同学各分到一个小球；另一类是一个同学分到1个小球，剩下两名同学各分到2个小球，进行通过排列组合中分配问题的求法得到答案.
【详解】问题分两类：第一类是一个同学分到3个小球，其余两个同学各分到1个小球，
有种分法；
第二类是一个同学分到1个小球，其余两个同学各分到2个小球，有种分法，所有共有150种分法.
故答案为：150.
14. 已知三棱台的上底面的面积是，下底面的面积是，高是，则三棱锥的体积是 ___．
【答案】
【解析】
【分析】连接、、，三棱台可分割为三棱锥，三棱锥，三棱锥，求出棱台的体积减去，再减去即可求解.
【详解】如图三棱台中，，，棱台的高，
连接、、，
则三棱台可分割为三棱锥，三棱锥，三棱锥，
由棱台体积公式可得
，
，，
所以，
故答案为：.
15. 设，函数，若在区间内恰有9个零点，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】讨论在上零点个数从而确定在上零点个数，然后结合正弦函数性质可得参数范围．
【详解】，
当时，，
的周期是，
因为，，
所以在区间上，最多有6个零点，在区间上，最多有1个零点，因此时，在区间内不可能是9个零点，
因此，的两根为，，
因为，所以，
若，则，
在上有两个零点，因此在上有7个零点，
，，因此，，所以；
当时，，在区间上只有一个零点，因此在区间上有8个零点，即在上有8个零点，
所以，，
综上，的取值范围是．
故答案：
【点睛】关键点睛：这道题的关键指出是讨论的一个实数根是否在的范围内，需要分类讨论，然后给出另外一段函数零点的个数，利用数形结合得到范围
16. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，为右支上一动点，的内切圆的圆心为，半径，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】数形结合分析可得圆与的切点为右顶点，所以，从而得解.
【详解】
根据题意得F1（﹣2，0），F2（2，0），设△AF1F2的内切圆分别与AF1，AF2切于点A1，B1，与F1F2切于点P，则|AA1|＝|AB1|，|F1A1|＝|F1P|，|F2B1|＝|F2P|，又点A在双曲线右支上，∴|F1A|﹣|F2A|＝2a=2，∴|PF1|﹣|PF2|＝2a=2，而|F1P|+|F2P|＝2c=4，设P点坐标为（x，0），则由|F1A|﹣|F2A|＝2a=2，得（x+c）﹣（c﹣x）＝2a，解得x＝a=1，圆与的切点为右顶点，所以，所以.
故答案为.
【点睛】本题考查双曲线定义及圆的切线长定理，考查了学生的数形结合的能力，属于中档题.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）
17. 在中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）证明：；
（2）若，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）将已知条件根据正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式以及诱导公式即可求证；
（2）由同角三角函数基本关系求出的值，再结合（1）中以及即可求解.
【详解】（1）因为，
根据正弦定理化边为角可得，，
即，所以，
所以
，即；
（2）因为，且，所以为锐角，
所以，所以
由（1）知可得，所以，
即，因为，所以，
又因为，可得，所以.
18. 如图，在四棱锥中，平面PAD，△PAD为等边三角形，//，，平面PBC交平面PAD直线l，E、F分别为棱PD，PB的中点．

（1）求证：∥；
（2）求平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点G，使得∥平面AEF？若存在，求的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见详解
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判定定理和性质定理分析证明；
（2）根据题意可在平面，建系，利用空间向量求面面夹角；
（3）设，求点G的坐标，根据线面平行的向量关系分析运算.
【小问1详解】
因为//，平面，平面，
所以//平面，
又因为平面，平面平面直线l，
所以∥.
【小问2详解】
取的中点，连接，
由题意可得：//，且，
则为平行四边形，可得//，
且平面PAD，则平面PAD，
由平面PAD，则，
又因为△PAD为等边三角形，则为的中点，可得，
，平面，则平面，
如图，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设平面的法向量，则，
令，则，即，
由题意可知：平面PAD的法向量，
可得，
所以平面AEF与平面PAD所成锐二面角的余弦值.
【小问3详解】
由（2）可得：，
设，，则，
可得，解得，
即，可得，
若∥平面AEF，则，
可得，解得，
所以存在点，使得∥平面AEF，此时.
19. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）设，若恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为的单调减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数的性质，结合构造新函数法进行求解即可；
（2）利用常变量分离法，结合导数的性质，结合新函数法进行求解即可；
【小问1详解】
定义域为，
令，则
所以在上单调递增，且
令，得，令，得，
所以的单调增区间为的单调减区间为；
【小问2详解】
恒成立
所以恒成立
设
则
设，则，
当时，递增，
当时，递减，
所以
所以当时，恒成立，
当时，递增，
当时，递减，
所以
由恒成立得，
所以取值范围为.
【点睛】关键点睛：利用常变量分离法，结合构造新函数法、结合导数的性质是解题的关键.
20. 已知等差数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）先根据等差数列的性质和前项和公式求出的值，进而可得公差，利用等差数列通项公式可得通项；
（2）由（1）得，根据裂项相消法可求,再利用放缩法证明.
【详解】（1）∵，∴，设公差为d，
∴，∴.
∴.
（2）由（1），得.
∴.
,∴.
21. 2022年3月“两会”在北京召开，会议吸引了全球的目光，对我国以后的社会经济发展有巨大的历史意义，遂宁市某媒体为调查市民对“两会”了解情况，进行了一次“两会”知识问卷调查（每位市民只能参加一次），随机抽取年龄在15~75岁之间的100人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如下图所示，其分组区间为：，，，，，，把年龄落在区间和内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．
（1）若“青少年人”中有15人在关注两会，根据已知条件完成下面的列联表，根据列联表，判定是否有99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会？
（2）由（1）结果，从“青少年人”关注两会和不关注两会的人数按比例抽取6人，从这6人中选3人进行专访，这3人关注两会人数为，求的分布列和期望.
附：．
【答案】（1）见解析 （2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图计算青少年人的人数，填写列联表，计算，作出判断即可；
（2）由分层抽样的性质得出关注两会2人，不关注两会4人，得出所有X的可能值，再计算相应概率，列出分布列计算数学期望.
【小问1详解】
依题意可知：“青少年人”共有人，“中老年人”共有人
完成的列联表如下：
结合列联表的数据得：
所以有超过99%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注两会.
【小问2详解】
依题意，青年人关注两会15人，不关注两会30人，抽取6人，关注两会2人，不关注两会4人，所有X的可能值为0，1，2
所以
故随机变量X的分布列为
所以
22. 已知函数.
(I) 求函数在上的最大值.
(II)如果函数的图像与轴交于两点、，且.
是的导函数，若正常数满足.
求证：.
【答案】(Ⅰ)-1； (Ⅱ)证明见解析.
【解析】
【分析】(I) 利用导数判断函数在上的的单调性，利用单调性可得函数在上的最大值；(II)如果函数的图象与轴交于两点、，且.由，两式相减化为，要证原式只需证明：，设，只需证明，利用导数研究函数的单调性，利用单调性求出最值，从而可得结果.
【详解】(Ⅰ)由得到：，
，故在有唯一的极值点，，
，，
且知，所以最大值为．
(Ⅱ)，又有两个不等的实根，
则，两式相减得到:
于是
，
要证：，只需证：
只需证：①
令，只需证：在上恒成立，
又∵
∵，则，于是由可知，
故知在上为增函数，
则，从而知，即①成立，从而原不等式成立.关注
不关注
合计
青少年人
15
中老年人
合计
50
50
100
0.05
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
关注
不关注
合计
青少年人
15
30
45
中老年人
35
20
55
合计
50
50
100
X
0
1
2
P