新疆乌鲁木齐市第六十八中学2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份新疆乌鲁木齐市第六十八中学2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
A. B. C. D.
2. 若虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知，若，则（ ）
A. 或B. C. D.
7. 角A是内角，则“”是“，且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
8. 在中，已知，则（ ）
A. 2021B. 2022C. 4042D. 4043
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
D. 若随机变量，且，则
10. （多选题）已知，则a，b满足下列关系的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数有两个极值点
B. 函数有三个零点
C. 若，则是偶函数
D. 点是函数的对称中心
12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是________．(用分数表示)
14. 已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于___________.
15. 已知关于方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.
16. 已知双曲线左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.
17. 它们的终边分别与单位圆相交于
(1)求；
(2)求的值.
18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．
（1）求证：PB∥平面AEF；
（2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积．
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.
20. 已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且的前项和为，求证.
21. 某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为的概率为0.4.亩产量为的概率为0.6，市场销售价格(单位：元/kg)与其概率的关系满足.
（1）设表示此果农某季所获得的利润，求的分布列和数学期望；
（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.
22. 已知函数．
（1）若，求函数的单调减区间；
（2）若，正实数，满足，证明：．乌鲁木齐市第六十八中学 高三1月月考
数学试题
总分150分 考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】联立中的方程组成方程组，求出解即可确定出两集合的交集
【详解】联立集合可得：，解得或
则
故选
【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2. 若是虚数单位，复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简复数，再代入，由复数的模长公式即可求出答案.
【详解】由已知， ，
.
故选：B.
3. 已知向量，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量加减法、向量垂直和平行的坐标表示依次验证各个选项即可.
【详解】对于A，，不平行，A错误；
对于B，，，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D错误.
故选：B.
4. 下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，即可得答案．
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，为幂函数，既是奇函数，又是增函数，符合题意；
对于B，，为一次函数，不是奇函数，不符合题意；
对于C，，为偶函数，不符合题意；
对于D，，为对数函数，不是奇函数，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性与奇偶性，属于基础题．
5. 已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用椭圆的性质直接对原式进行减少变量处理，得到，看成以为变量的函数的最值问题，可利用换元法求解.
【详解】，
因为∴．
设，则
∴当，即时，取最大值，此时离心率.
故选：C
6. 已知，若，则（ ）
A. 或B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦的二倍角公式得，再根据同角三角函数的关系可得，令，建立方程解之可得选项.
【详解】由，可得，
所以，
令，所以，
即，解得或又，所以，所以，
当时，，符合题意；
当时，，不符合题意，所以，
故选：B.
【点睛】易错点睛：本题考查三角函数给值求值问题，注意根据需角的范围取值.
7. 角A是的内角，则“”是“，且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数的性质分析即可.
【详解】因为角是的内角，所以，
当，根据三角函数的性质可得，，，
所以由“”能推出“，且”，
当，，可得，此时也成立，
所以由“，且”能推出“”．
故选：C．
8. 在中，已知，则（ ）
A. 2021B. 2022C. 4042D. 4043
【答案】D
【解析】
【分析】根据同角三角函数的基本关系将切化弦，再根据两角和的正弦公式及诱导公式得到，再利用正弦定理将角化边，结合余弦定理计算可得；
【详解】解：由得
所以，
故，
即，即，
故.
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得五分，部分选对的得两分，有选错的得零分.
9. 下列命题中正确的是（ ）
A. 已知一组数据7，7，8，9，5，6，8，8，则这组数据的中位数为8
B. 若随机变量服从正态分布，，则
C. 根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若样本中心点为，则
D. 若随机变量，且，则
【答案】BC
【解析】
【分析】将A的数据由小到大排列后可求该组数据的中位数，从而可判断A的正误，利用正态分布的对称性可判断B的正误，根据样本中心点必在回归直线上可判断C的正误，根据公式可求二项分布的期望和方差，从而可判断D的正误.
【详解】对于选项A，5，6，7，7，8，8，8，9中位数为7.5，所以A不正确；
对于选项B，因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
所以，所以B正确；
对于选项C，因为回归直线一定经过样本中心点，所以，
即，所以C正确；
对于选项D，因为，且，所以，即，
所以，所以D不正确．
故选：BC．
10. （多选题）已知，则a，b满足下列关系的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由已知可得，，有，依据基本不等式即可知，进而可知、、的范围.
【详解】由题意知：，，
∴，即，
∵，
∴，
，
，
故选：ABD
【点睛】本题考查了对数的运算，结合基本不等式求代数的范围，属于中档题.
11. 已知函数，则（ ）
A. 函数有两个极值点
B. 函数有三个零点
C. 若，则是偶函数
D. 点是函数的对称中心
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项：求导，分析单调性，即可得到极值点的情况；
B选项：根据单调性和零点存在性定理即可得到零点的情况；
C选项：根据奇偶性的定义判断即可；
D选项：根据对称性的性质和图象的平移即可得到对称中心.
【详解】A选项：，当或时，，当时，，所以在，上单调递增，上单调递减，所以有两个极值点，故A正确；
B选项：结合A中函数单调性，又，，所以上存在一个零点，，所以上存在一个零点，，所以上存在一个零点，所以函数有三个零点，故B正确；
C选项：，定义域为R，关于原点对称，且，所以为偶函数，故C正确；
D选项：，所以关于对称，根据的单调性可知，只有一个对称中心，的图象向左平移一个单位得到的图象，所以的对称中心是，故D错.
故选：ABC.
12. 四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】满足要求的四棱锥有三种情形，对三种情况进行讨论求出结果.
【详解】满足要求的四棱锥有如下三种情形.
（1）
如图，四条侧棱长均为，则四棱锥为正四棱锥，连接交于点，连接，
则平面，是四棱锥的高，
则，，
所以，
四棱锥的高为；
（2）
如图，有两条侧棱长为，
作平面，记，，是四棱锥的高，
于是，，
且.
解得，.
四棱锥的高为；
（3）
如图，三条侧棱（、、）长为，一条侧棱，
，，
设与交于点.记.
由等腰三角形三线合一可得：,
平面，平面，，
则平面，
因为平面，所以平面平面，
过O作，因为平面平面,
所以平面，是四棱锥的高，
则有，，.
因为，
于是，.
将前面的结果代入上式，
解得或.
显然，故.
，
在中，
由余弦定理得,
，
，
四棱锥的高为.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，则组成的三位数是奇数的概率是________．(用分数表示)
【答案】##
【解析】
【分析】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，这是排列问题，三位数是奇数，只要个位上的数字是1或3即可，这样可以求出有多少个三位数，最后根据古典概型的概率计算公式求解即可.
【详解】在1,2,3,4,5这五个数字中任取不重复的3个数字组成一个三位数，
共可组成个三位数，组在三位数是奇数的共有，因此组成的三位数是奇数的概率是.
故答案为：
14. 已知正三棱台上底面边长为2.下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是，那么这个正三棱台的体积等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】先由面得到，再分别在与求得与，顺便求得两者面积，从而在中可求得，即三棱台的高，由此利用三棱台的体积公式即可求得结果.
【详解】记分别是的中心，过作，如图，
则由正三棱台的结构特征可知面，所以面，
所以为侧棱与底面所成角的平面角，故，
在中，由正弦定理得，即，，
在中，，即，，
所以在中，，即该三棱台的高为，
所以该三棱台的体积为.
故答案为：.
.
15. 已知关于的方程在区间上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】观察方程结构特征，将它进行变形为，然后构造函数，确定函数的单调性，从而将问题转化为当时，有两个不相等的实数根，利用根的分布列出不等式组，求解即可得到答案．
【详解】解：因方程，
所以变形为，
令，
则有，
因为在上单调递增，
所以即为，
故当时，有两个不相等的实数根，
在中，则有，即，
解得，
所以实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的零点与方程根的关系，涉及了函数单调性的应用、二次函数根的分布问题，解题的关键是将已知的方程变形为，进而构造函数分析，对于学生的思维能力有较高的要求．
16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设的中点为，连接，，由题意可得，，由双曲线的定义可得，，，，，，在和中利用余弦定理表示出两个角的余弦值，即可求出的关系，从而可得双曲线C的离心率.
【详解】解：如图：设的中点为，连接，，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
由，得，
所以，
在中，，
因为，所以，
在中，，
因为，
所以，即，
整理可得，即，
所以，
所以或（舍），
所以离心率，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.
17. 它们的终边分别与单位圆相交于
(1)求；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【解析】
【分析】(1)根据三角函数的定义，求，，再利用两角和的正切公式求，结合的范围求，(2)根据同角关系求，，再根据二倍角公式求，，结合(1)由两角和的正弦公式求.
【详解】由可得：
(1)
由得
(2)由(1)得
，
故
18. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，E为CD的中点连接AE交BD于G，点F在侧棱PD上，且DFPD．
（1）求证：PB∥平面AEF；
（2）若，求三棱锥E﹣PAD的体积．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法证明平面；
（2）求出，，由，求出，三棱锥的体积，由此能求出结果．
【详解】（1）证明：四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，与交于点，平面，
为的中点连接交于，点在侧棱上，且，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，平面，
平面；
（2）解：，，
，，
由，解得，，
三棱锥的体积：
．
【点睛】本题主要考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
19. 已知函数.
（1）当时，求函数的单调增区间；
（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1），对a分类讨论以确定函数的单调增区间；（2）不等式对任意成立等价于对任意，有成立.设，，则只要即可.
【详解】（1）由题意得，函数的定义域为.
.
若，则当或时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减.若，则当时，，此时单调递减；当时，即，此时单调递增.
综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.
（2）不等式对任意成立等价于对任意，有成立.
设，，则只要即可.
.
令，得；令，得.
所以函数在是哪个单调递减，在上单调递增.
所以的最大值为与中的较大者.
设，
则，
所以上单调递增，所以，所以.
从而.所以，即.
设，则，
所以在上单调递增.
又，所以的解为.
因为，所以正实数的取值范围为.
【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
20. 已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，且的前项和为，求证.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组，解出和即可求得通项公式；
（2）化简可得，由裂项相消法可求出，进而求证.
【详解】（1）是和的等比中项，
，即，
，，
则可解得，，
∴；
（2），
，
，.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
21. 某果农在其承包的100亩果园中种植一种原生态水果(每年种植一季)，每亩的种植成本为5000元，由于受天气和市场供求关系的影响，此水果的亩产量和销售价格均具有随机性，且互不影响.根据近几年的数据得知，每季由产量为的概率为0.4.亩产量为的概率为0.6，市场销售价格(单位：元/kg)与其概率的关系满足.
（1）设表示此果农某季所获得的利润，求的分布列和数学期望；
（2）求5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.
【答案】（1）答案见解析；（2）0.2592.
【解析】
【分析】（1）根据题意先求出利润的所有可能取值，再求出对应的概率，列出分布列，得出期望.
(2)由（1）得出第年利润高于100万元的概率，从而可得出5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率.
【详解】解：(1)设事件“此水果的亩产量为”，事件“此水果的市场销售价格为”.
由题知，，
因为利润=产量×市场销售价格-成本.所以的所有可能取值为
.
.
.
.
∴，
，
，
.
所以的分布列为
∴.
(2)设事件“第年利润高于100万元”()
由题知，，，，，，相互独立，由(1)知，
5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概率为
所以5年中恰有4年此果农的利润高于100万元的概宰为0.2592.
22. 已知函数．
（1）若，求函数的单调减区间；
（2）若，正实数，满足，证明：．
【答案】（1）单调递减区间为；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由，求出的值，从而得出的解析式，得出定义域并进行求导，利用导数研究函数的单调性，即可得出的单调减区间；
（2）当时，，则，令，利用导数研究函数的单调性和最值，从而得出，进而可得，解不等式即可得出证明.
【小问1详解】
解：因为，所以，解得：，
所以，的定义域为，
，
令，得，
所以的单调递减区间为．
【小问2详解】
证明：当时，，
所以
，
令，则，
所以时，，单调递增，
时，，单调递减，
所以，
所以，
即，
因为，是正实数，所以．
【点睛】思路点睛：解决单调区间问题及不等式问题注意两个转化：
（1）利用导数解决此类单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；
（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理，一般需要通过构造新函数解决导数问题．500000
1000000
1100000
1900000
0.12
0.28
0.18
042