2024学年四川省成都市武侯区九年级上学期一诊数学模拟试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟．
2．考生使用答题卡作答．
3．在作答前，考生务必将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回．
4．选择题部分请使用2B铅笔填涂；非选择题部分请使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（ ）
A. 圆柱B. 正方体C. 球D. 圆锥
【答案】D
【解析】
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．
【详解】解：根据主视图和左视图为三角形判断出是锥体，根据俯视图是圆形和圆心可判断出这个几何体应该是圆锥，
故选：D．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体．
2. 若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程，
∴是含有的二次项，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
3. 已知四条线段a，b，c，d成比例，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，利用成比例线段的定义得到，然后根据比例的性质对各选项进行判断．熟练掌握成比例线段的定义是解决问题的关键．
【详解】解：∵四条线段，，，成比例，
∴，即：．
故选：B．
4. 若M表示平行四边形，N表示矩形，P表示菱形，Q表示正方形，它们之间的关系用下列图形来表示，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义，熟练掌握这些多边形的定义与性质是解答此题的关键．根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的定义进行解答即可．
【详解】解：∵四个边都相等的矩形是正方形，有一个角是直角的菱形是正方形，
∴正方形应是N的一部分，也是P的一部分，
∵矩形、正方形、菱形都属于平行四边形，
∴它们之间的关系如图：
．
故选：D．
5. 若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
∴，
解得：，
故选：D．
6. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，，，，已知矩形与矩形位似，位似中心是原点，且矩形的面积等于矩形面积的，则点的坐标为（ ）
A. B. 或
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据位似图形的性质可得矩形与矩形位似比为，即可求解．
【详解】解：矩形与矩形位似，矩形的面积等于矩形面积的，
矩形与矩形位似比为，
位似中心是原点，，
点的坐标为，或，，即或，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．
7. 王丽同学在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则该试验可能是（ ）
A. 关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验
B. 关于“50个同学中，有2个同学生日相同”的试验
C. 关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验
D. 关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
【详解】解：A．关于“从装有2张红桃和1张黑桃的扑克牌盒子中，随机摸出一张（这些扑克牌除花色外都相同），这张扑克牌是黑桃”的试验的频率约为，符合题意；
B．关于“50个同学中，有2个同学同月份生日”的试验的频率为1，不符合题意；
C．关于“抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上”的试验的频率为，不符合题意；
D．关于“掷一枚质地均匀的正方体骰子，出现的点数是1”的试验的频率为，不符合题意；
故选：A．
8. 已知反比例函数的图象如图所示，关于下列说法：①常数；②y的值随x值的增大而减小；③若点A为x轴上一点，点B为反比例函数图象上一点，则；④若点在反比例函数的图象上，则点也在该反比例函数的图象上．其中说法正确的是（ ）
A. ①②③B. ③④C. ①④D. ②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
根据反比例函数的图象和性质逐一判断即可．
【详解】反比例函数的图象在第一、三象限，
，故①说法正确；
反比例函数的增减性与所处象限有关，
②说法错误；
与轴不一定垂直，
，故③说法错误；
点在反比例函数的图象上，
，
点也在该反比例函数的图象上，故④说法正确；
故选：C．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9. 将方程化成一元二次方程的一般形式为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【详解】解：，
去括号、移项，得．
故答案为：．
10. 一个口袋中装有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有69次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的数量是 _____．
【答案】7
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率以及用样本估计总体，解答本题的关键要明确用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
【详解】解：估计这个口袋中红球的数量为（个），
故答案为：7．
11. 如图，小强自制了一个小孔成像装置，其中纸筒的长度为15cm．他准备了一支长为20cm的蜡烛，想要得到高度为5cm的像．蜡烛应放在距离纸筒 _____cm的地方．
【答案】60
【解析】
【分析】先根据题意得出相似三角形，再利用三角形相似的性质得到相似比，然后根据比例性质计算．
【详解】解：如图，AB=20cm，OF=15cm，CD=5cm，
∵AB∥CD，EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴△OAB∽△ODC，
∴，即，
解得OE=60cm．
答：蜡烛应放在距离纸筒60cm的地方．
故答案为：60．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
12. 在平面直角坐标系中，一次函数，的图象与反比例函数的图象如图所示，则当时，自变量x的取值范围是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是反比例函数的性质，一次函数及反比例函数的图象，直接根据函数图象得出结论即可．能利用数形结合直接求解是解题的关键．
【详解】当时，一次函数图象在反比例函数图象上方，反比例函数图象在一次函数的图象上方，
由函数图象可知，此时，
即：当时，自变量x的取值范围是，
故答案为：．
13. 如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是 _____．
【答案】菱形
【解析】
【分析】此题考查了剪纸问题以及正方形的性质，利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进行解答．
【详解】解：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，
故将①展开后得到的平面图形是菱形．
故答案为：菱形．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法．
（1）利用配方法解答此方程；
（2）先移项，然后提公因式，即可解答此方程．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，；
【小问2详解】
，
，
，
∴或，
解得，．
15. 如图，在正方形中，延长至点E，使得，连接，，交于点F．
（1）试探究的形状；
（2）求的度数．
【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定及性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，掌握正方形的性质是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可得，进而得，即可解决问题；
（2）利用正方形性质及三角形外角定义求出，然后根据直角三角形两个锐角互余即可解决问题．
【小问1详解】
解：是等腰三角形，理由如下：
∵四边形是正方形，
∴，，
则，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
16. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，“太空教师”景海鹏、朱杨柱、桂海潮为广大青少年带来一场精彩的太空科普课，航天员们演示了“球形火焰”“奇妙乒乓球”“动量守恒”和“又见陀螺”四个实验．本次授课活动分别在北京、内蒙古阿拉善盟、陕西延安、安徽桐城及浙江宁波设置了5个地面课堂．
（1）若航天员们随机连线一个地面课堂，求北京地面课堂被连线的概率；（请直接写出结果，不必写求解过程）
（2）某班组织同学们收看了本次太空科普课，并随机对李明和张敏两位同学进行了关于“你最感兴趣的实验”的采访，若将以上四个实验分别记为，，，，请利用画树状图或列表的方法，求他们两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查了列表法或树状图法求概率，理解概率所求情况数与总情况数之比是解决问题的关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列出表格，共有16种等可能结果，其中李明和张敏抽到两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：航天员们随机连线一个地面课堂有5种可能，北京地面课堂被连线1种可能，
∴北京地面课堂被连线的概率为；
【小问2详解】
列表如下：
共有16种等可能的结果，其中李明和张敏抽到两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的结果有4种，
∴两人最感兴趣的实验恰好是同一个实验的概率为．
17. 如图，在中，D，E是边上的两点，连接，，且满足，平分．

（1）求证：；
（2）若，，且，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由，得，因为，所以，则，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明；
（2）由相似三角形的性质得，则，，求得，再根据勾股定理得出，即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，，
，
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、勾股定理，推导出，进而证明是解题的关键．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与y轴正半轴，x轴分别相交于C，D两点．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）求证：；
（3）若点P是位于点C上方的y轴上的动点，过P，A两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点E，连接．当，且的面积为18时，求点E的坐标．
【答案】（1），反比例函数解析式为
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中求得a，即可求出A点坐标；把点A坐标代入反比例函数式中求得m，即可求得反比例函数解析式；
（2）由一次函数解析式可求得点C、D的坐标，联立一次函数与反比例函数解析式可求得点B的坐标，分别计算即可证明；
（3）由已知及（2）的结论得C点是的中点，则可求得k的值，进而求得点C的坐标；连接，易得；设点，则可求得直线解析式，求得点P的坐标，由建立方程即可求得t的值，最后求得点E的坐标．
【小问1详解】
解：把点A的坐标代入一次函数解析式中，
得：，
即A点坐标为；
把点A坐标代入反比例函数式中，
得：，
∴反比例函数解析式为；
【小问2详解】
证明：在一次函数解析式中，令，得；令，得；
点C、D的坐标为、，
联立一次函数与反比例函数解析式，即，
消去y整理得：，
解得：，
当时，，
∴点B的坐标为；
∵，，
∴；
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∴C点是的中点，且C、D为线段的三等分点，
由A、C、D三点坐标得：，解得：，
∴点C的坐标为；
如图，连接，
∵C、D为线段的三等分点，，
∴；
设点，设直线解析式为，
把A、E两个点坐标分别代入得：，解得：，
即直线解析式为，
令，得
∴点P的坐标为，
∵，
∴，
解得：，
∴点E的坐标为．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等底等高三角形面积相等等知识，有一定的综合性．第（3）小题中把的面积转化为求出的面积是解此问的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19. 已知，则代数式的值为 _____．
【答案】##0.75
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质解答即可．解题的关键是掌握比例的性质．
【详解】解：因为，
可得：，，
把，代入，
可得：，
故答案为：．
20. 已知方程的一个根是，则另一个根是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程中根与系数的关系，根据一元二次方程中，两根之积等于来进行解答．解题的关键是对整式进行正确地计算．
【详解】解：设另一个根是．
则，
，
，
．
故答案：．
21. 在一次趣味运动会中，某数学项目小组利用黄金分割比设计了一个掷飞镖的游戏．如图，在 “靶”中，点M，N分别是线段的两个黄金分割点，我们把的内部称为“黄金区域”（图中阴影部分）．游戏规定：投掷的飞镖落在“黄金区域”即为获胜．假设投掷的飞镖都能落在“靶”内，现小明随机向该“靶”投掷一枚飞镖，则小明获胜的概率是 _____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，概率公式，先根据黄金分割的定义可得，，从而利用线段的和差关系可得，进而可得，然后根据小明获胜的概率，进行计算即可解答．准确熟练地进行计算是解题的关键．
【详解】解：∵点，分别是线段的两个黄金分割点，
∴，，
∴，
∴，
∴小明获胜的概率，
故答案为：．
22. 如图，在中，，，对角线与相交于点O，过点O作交的延长线于点E，交于点F．若，则对角线的长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】过作，由平行四边形的性质推出，，，，，由，得到，因此，，得到是的中位线，于是，由，推出，求出，，得到，，令令，，由勾股定理得到，求出的值，得到，由勾股定理求出，即可得到．
【详解】解：过作，
∵四边形平行四边形，
∴，，，，，
∵，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，，
∴，，
∵，
∴令，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：（舍去负值），
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，三角形中位线定理等知识，关键是由以上知识点列出关于的方程．
23. 对于平面直角坐标系中的图形M和直线m，给出如下定义：若图形M上有点到直线m的距离为d，那么称这个点为图形M到直线m的“d距点”．如图，双曲线C：和直线：，若图形C到直线l的“距点”只有2个，则n的取值范围是 _____．
【答案】##
【解析】
【分析】由直线：可知是等腰直角三角形，则，设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，作轴交于，则，，则是等腰直角三角形，先找图形到直线的“距点”只有1个时，即只有1个解，亦即：或只有1个解，分两种情况来讨论可得当，时，为图形到直线的“距点”作出当，时的草图，通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，再根据这两个临界点求解即可．
【详解】解：令直线：与轴，轴分别交于点，点，
对于直线：，当时，，当时，，
∴，，则，
∴是等腰直角三角形，则，
设点为图形到直线的“距点”，作交于，则，
作轴交于，则，，
则是等腰直角三角形，
∴，则，
即：，
先找图形到直线的“距点”只有1个时，
即：只有1个解，
亦即：或只有1个解，
∵，则，
∴，
若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
若，即，
则，解得：，
此时，，解得，即为图形到直线的“距点”
作出当，时的草图，如下：
通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为，
∴当图形到直线的“距点”只有1个，当图形到直线的“距点”只有3个，
则当图形到直线的“距点”只有2个时，的取值范围，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解决问题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24. 《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件．
（1）填空：小东想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的边长为，则另一个正方形配件的边长为（请用含x的代数式表示）；
（2）在（1）的基础上，若小东想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于，请问小东的想法能否实现？为什么？
【答案】（1）
（2）小东的想法不能实现，理由见解答．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，用含的代数式表示出另一个正方形配件的边长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
（1）利用另一个正方形配件的边长（两段铁丝的总长其中一个正方形配件的周长），即可用含的代数式表示出另一个正方形配件的边长；
（2）假设小东的想法能实现，根据两个正方形配件的面积之和等于，可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即小东的想法不能实现．
【小问1详解】
两段铁丝的总长度为，且做成的一个正方形配件的边长为，
另一个正方形配件的边长为．
故答案为：；
【小问2详解】
小东的想法不能实现，理由如下：
假设小东的想法能实现，根据题意得：，
整理得：，
，
原方程没有实数根，
假设不成立，即小东的想法不能实现．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点C．
（1）当时．
（ⅰ）分别求A，B两点的坐标；
（ⅱ）P为x轴上一动点，当时，求点P的坐标；
（2）取点，连接，当时，求k的值．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）点P的坐标为或
（2）
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）联立一次函数与反比例函数解析式，解方程组即可；
（ⅱ）由题意可证明，得；设点，即可求得x的值，从而求解；
（2）证明，由相似性质即可求解．
【小问1详解】
解：（ⅰ）当时，直线解析式为，反比例函数解析式为，
解方程组：，解得或，
∴；
（ⅱ）如图，对于，令，得，
∴，
∴，；
∵，，
∴，
∴，
∴；
设点，则，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为或；
【小问2详解】
解：联立方程组： ，消去y得，
∴，；
设，则，
∴；
如图，过A作轴于点F，过B作轴于点E，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即,
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查了反比例函数的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根与系数的关系等知识，证明三角形相似是关键．
26. 如图，在菱形ABCD中，，E为BC边上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转得到线段FE，连接AC，AF，AF交CD边于点H，设，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接CF，当时，探究得出y的值为1，请写出证明过程；
（3）结合（2）探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为．请根据该关系式，解决下列问题：连接EH，若，当为等腰三角形时，求BE的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似证明．
（2）连接交于，过作的平行线交于．等腰三角形中，顶角，底角，得到，证明，得到，在中，，，得到，，，，可得，证明，可得，．
（3）当为等腰三角形时有两种可能，①，②，可求x的两个值．
【小问1详解】
证明：∵旋转，
∴，，
又，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
证明：连接交于，过作的平行线交于．
在菱形中，，，，，互相垂直平分，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，，
∴．
∴，
∴；
【小问3详解】
解：当为等腰三角形时有两种可能，
①中，，
∵，
∵，
∴．
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
②，，
∴，
，
综上所述，为或．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，图形的旋转，菱形的性质，等腰三角形的性质数形结合，关键是添加辅助线构造直角三角形．
李明
张敏