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四川省成都市武侯区成都西川中学2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（原卷版+解析版）
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注意事项：
1．本试卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟．
2．请使用答题卡作答．
3．在作答前，务必将自己的姓名、学号、班级涂写在试题卷和答题卡规定的地方．考试结束后，监考员仅将答题卡收回．
4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效．
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列实数中：，，，，，无理数的个数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数．解题的关键是掌握无理数的定义．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：，是有理数，是分数，是有理数，是小数，是有理数，
所以无理数有：，两个，
故答案为：A.
2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项错误，不符合题意；
B．，故B选项错误，不符合题意；
C．，故C选项错误，不符合题意；
D．，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
4. 能判断是直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定等知识，分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
B. ∵，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
C. 设，则，∵，∴是直角三角形，故原选项符合题意；
D. ∵，，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意．
故选：C
5. 函数与的图象交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
先把代入求出a的值，然后直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．
【详解】解：∵函数与的图象交点坐标为，
把代入，得，
即图象交点坐标为，
∴方程组的解为，
故答案为：B．
6. 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．
由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
7. 2023年第64届国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO）在日本举行，中国代表队总成绩位列世界团体总分榜首，创造了代表队连续五届夺得团体总冠军的辉煌纪录．中国代表队近七届竞赛的金牌数（单位：枚）如下表所示．关于金牌数这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 极差为1B. 众数为6C. 中位数为4D. 平均数为5
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查极差，众数、中位数及平均数,解题的关键是掌握众数、中位数及平均数的定义．
根据方差、众数、中位数及平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为4，4，4，5，6，6，6，
∴这组数据的众数是4和6，
中位数是5，
平均数为（枚），
极差为（枚），
故答案为：D．
8. 如图，一次函数图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 该函数的表达式为
B. 点不在该函数图象上
C. 点，在图象上，若，则
D. 将图象向上平移1个单位得到直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键．
先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项．
【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意；
B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意．
C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意．
D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意．
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上）
9. 在平面直角坐标系中，位于第四象限且到x轴距离为2，到y轴距离为4点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标特点是解题关键．
直接利用点的坐标特点进而分析即可解答．
【详解】解：∵位于第四象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，
∴该点的坐标为：．
故答案为：．
10. 比较大小：______4.5（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较，正确运用适当的方法是解决本题的关键．
根据“两个正数相比，平方越大数越大”进行比较即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
11. 如图，在中，，，，以斜边为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理；勾股定理求得，进而勾股定理求得等腰三角形的直角边长，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴
∵以斜边为底作等腰直角三角形，如图所示，
∴
∴，
则，
∴该等腰直角三角形的面积为，
故答案为：．
12. 已知实数x，y满足，那么______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答；
【详解】解∶ 足，
①②得：，
故答案为：7．
13. 如图，在中，现按以下步骤作图：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D；分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线交于点E．若，，，则的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图作垂线、勾股定理等知识点，通过尺规作图得到是解题的关键．
由尺规作图可得，设，则，然后运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由尺规作图可得，
设，则，
由勾股定理可得：，，
∴，解得：，
∴的长为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共5个题，共48分．解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，
（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
整理得，
得，
解得
将代入②得，
解得
∴方程组解为．
15. 冬至是二十四节气中第22个节气，也是中国民间的传统节日，古人称冬至为“亚岁”．为弘扬中国传统节日，某校组织了一次“包饺子迎冬至”的劳动技能比赛，比赛成绩分为以下五个等级：A．100分，B．90分，C．80分，D．70分，E．60分．比赛结束后，随机抽取了部分选手的成绩，整理并绘制了不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次共抽取了______名选手的成绩，扇形统计图中B所对圆心角的度数为______；
（2）抽取的选手成绩中，众数是______分，中位数是______分；
（3）若本次比赛共有100人参加，请估计有多少人的成绩高于80分？
【答案】（1）40，；
（2）90，90； （3）．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，掌握中位数、众数的定义和用样本估计总体的计算方法是解决问题的前提．
（1）用C等级的人数除以它所对应的百分数即可求出抽取的总人数；用乘以B所占的百分比即可求出圆心角度数；
（2）根据中位数、众数的定义进行计算即可；
（3）求出样本中A、B等级的人数占调查人数的几分之几，再进行计算即可．
【小问1详解】
解：本次共抽取了：（名），
扇形统计图中B所对圆心角的度数为，
故答案为：40，；
【小问2详解】
解：∵成绩为90分的有16人，人数最多，
∴抽取的选手成绩中，众数是90分；
将这是40个数据排序，中间的两个数的90，所以中位数为90分，
故答案为：90，90；
【小问3详解】
解：抽取的40人中，成绩高于80分的有人，
因此100人参加，成绩高于80分的有
答：100人参加，估计成绩高于80分的有人．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）将点B向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到点，请在图中画出点，并写出的坐标______；
（2）的面积为______；
（3）点P为y轴上一点，连接，是否存在这样的点P，使得的值最小？若存在，请在图中画出满足条件的点P，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）作图见解析，点P的坐标为
【解析】
【分析】（1）先根据点的平移法则确定点的位置，然后直接读出点的坐标即可；
（2）采用割补法求出的面积即可；
（3）先作点A关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为点P；然后运用待定系数法求得直线的解析式，进而求得点P的坐标．
【小问1详解】
解：如图：点即为所求，点的坐标为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：的面积为．
故答案为：．
【小问3详解】
解：如图：作点A关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为点P
所以，
设直线的解析式为，
由题意可得：，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点P的坐标为．
17. 如图，在中，，，，．
（1）请判断的形状，并证明；
（2）过点B作于点E，交于点F，求和的长．
【答案】（1）等腰三角形，证明过程见详解；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，熟知相关定理是正确解决本题的关键．
（1）用勾股定理先求出的长，再用勾股定理求出的长即可证明结论；
（2）用等积法求出，作于H，先证明设，得，设，则，用勾股定理即可求出．
【小问1详解】
是等腰三角形．
证明：中，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：，即，
，
作于H，
是等腰三角形，且，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求点A的坐标及b的值；
（2）点P为直线上一动点，连接，若的面积为4，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，取位于第二象限的P点，以点P为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接．点Q是直线上一点，连接，若，求满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题是一次函数与图形综合问题，考查了求一次函数，一次函数的交点，全等三角形的判定和性质，作出对应的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）将代入，即可解答；再将点A的坐标代入，即可得到的值；
（2）分类讨论，分点P在A点下方和A点上方，设，根据的面积为4，列出方程，即可解答；
（3）作出图形，过点做轴的平行线，分别过点做垂线段，交于点，证明，求得点的坐标，再利用勾股定理求得的长度，在轴上点B下方找一点，使得，过点做轴的垂线段，交的延长线于点，构造全等三角形，求得点的坐标，再求得直线的直线解析式，点为直线和直线的交点，即可解答．
【小问1详解】
解：将代入，
可得，解得，
；
把代入，
可得，解得；
【小问2详解】
解：把代入，可得，
，
设，
当点P在A点下方时，如图，过点做轴的平行线，交的图象于点，
可得点的纵坐标为，把代入，可解得，
，
，
根据，可得方程，
解得，
∴
；
当点P在A点上方时，如图，设的图象交轴于点，
将代入，可得，，
，
根据，可得方程，
解得，
∴
，
综上所述，点P的坐标为或
【小问3详解】
解：如图，作出图形，过点做轴的平行线，分别过点做垂线段，交于点，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴，
当时，可得，解得，
，
根据勾股定理可得两点之间的距离，
，
在轴上点B下方找一点，使得，过点做轴的垂线段，交的延长线于点，
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入，
可得，
解得，
直线的解析式为，
是直线与直线的交点，
可联立方程，解得，
．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上）
19. 已知，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解、分母有理化、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键．
由分母有理化可得，然后再对因式分解，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在x轴上方作等边三角形，作点A关于直线的对称点C，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称及等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练运用轴对称的性质及等边三角形的性质是正确解决本题的关键．
连接，作于D，根据轴对称及直角三角形的性质即可求出的长，进而得点C的坐标．
【详解】
解：连接，作于D，
，
是等边三角形，点A的坐标为，
，
，
，
，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
21. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，我们称点P为“倍差点”．若点A既是倍差点，又是倍差点，则点A到坐标原点的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查新定义、坐标系中点坐标特征等知识，解题的关键是理解“倍差点”含义．
根据题意建立方程组，解出再用勾股定理求距离即可．
【详解】解：根据题意，
点A既是倍差点，又是倍差点，
得方程组，
解得，
，
到原点的距离为，
故答案为：．
22. 如图，在长方形中，，，点E为上一点，，点F为长方形边上一动点，将沿直线EF翻折，当点A的对应点恰好落在边上时，折痕的长度为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质等知识，熟知相关定理，根据题意画出图形并添加合适辅助线是解题关键．作，垂足为G．先证明，得到，根据勾股定理求出，再证明四边形为矩形，得到，进而得到，得到为线段的垂直平分线，即可求出．
【详解】解：如图，作，垂足为G．
∵四边形为矩形，
∴，，
∵直线EF翻折得到，且点在边上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
故答案为：4
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域（不含边界）为W．当时，区域W内的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为______个；当区域W内有6个整点时，m的取值范围是______．
【答案】 ①. 4 ②. 或
【解析】
【分析】本题为新定义问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题等知识，理解题意，分类讨论是解题关键．当时，根据题意画出图形，即可确定区域W内的整点个数；分和两种情况，分别根据区域W内有6个整点确定界点，即可求解．
【详解】解：如图1，当时，区域W内的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为4个；
当时，如图2，∵点B坐标为，点C坐标为，
∴直线解析式为，
当时，；
如图3，∵点A坐标为，点D坐标为，
∴直线解析式为，
当时，；
∴当时，区域W内有6个整点时，m的取值范围是；
当时，如图4，∵点B坐标为，点E坐标为，
∴直线解析式为，
当时，；
如图5，点A坐标为，点F坐标为，
∴直线解析式为，
当时，；
∴当时，区域W内有6个整点时，m的取值范围是；
综上所述：当区域W内有6个整点时，m的取值范围是或．
故答案为：4，或
二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上）
24. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位．
（1）求A，B两种车型各有多少个座位？
（2）若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案．
【答案】（1）A型车有45个座位，B型车有60个座位．
（2）共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
（1）设A型车有x个座位，B型车有y个座位，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，根据题意可得：，则有：，然后列举m确定n即可解答．
【小问1详解】
解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位，
根据题意得：，解得：．
答：A型车有45个座位，B型车有60个座位．
【小问2详解】
解：设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，
根据题意可得：，则有：
当时，；
当时，．
所以，共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆．
25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P．
（1）如图，当时，求点P的坐标；
（2）点Q是y轴正半轴上一点，且，连接．
ⅰ）当线段的长为8时，求a的值；
ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）ⅰ）；ⅱ）直线经过定点．
【解析】
【分析】（1）作于点C，证明，进而即可求得点P的坐标；
（2）ⅰ）作于点C，证明，再利用勾股定理求得，利用线段和差关系列方程进而即可求得a的值；
ⅱ）方法同上，求得点P的坐标，求出直线的表达式即可求出定点．
【小问1详解】
解：作于点C，
，点P在直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P的坐标为；
【小问2详解】
解：ⅰ）如图所示，
作于点N，
，点P在直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P的坐标为，
中，，
，
，即，
，
即a的值为；
ⅱ）直线经过定点．
理由：
点P的坐标为，，
设直线为，
将，代入，
得，
解得，
，即，
当时，，，
此时无论a为何正数，直线必过点．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-几何问题，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法，题目综合性比较强，有一定的难度．
26. 在和中，点D在边上，，．
（1）若．
ⅰ）如图1，当时，连接，证明：；
ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长；
（2）如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长．
【答案】（1）ⅰ）证明过程见详解；ⅱ）；
（2）
【解析】
【分析】（1）ⅰ）用证明，进而证得是直角三角形，即可得结论；
ⅱ）连接，作交的延长线于点G，用证明，得，都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长至N，使，连接，交延长线于点M，连接，
作于P，用证明，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
【小问1详解】
ⅰ）证明：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G，
，，，
，都是等边三角形，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即线段的长为．
【小问2详解】
解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接，
作于P，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
中，，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，，
是线段的垂直平分线，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得，，
所以线段的长为．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
届数
58
59
60
61
62
63
64
金牌数
4
4
5
4
6
6
6
注意事项：
1．本试卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分，考试时间120分钟．
2．请使用答题卡作答．
3．在作答前，务必将自己的姓名、学号、班级涂写在试题卷和答题卡规定的地方．考试结束后，监考员仅将答题卡收回．
4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题均无效．
6．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 下列实数中：，，，，，无理数的个数有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无限不循环小数为无理数．解题的关键是掌握无理数的定义．其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数．分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．
【详解】解：，是有理数，是分数，是有理数，是小数，是有理数，
所以无理数有：，两个，
故答案为：A.
2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为，
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算等知识点，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
根据二次根式性质、二次根式的除法、二次根式的混合运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A．，故A选项错误，不符合题意；
B．，故B选项错误，不符合题意；
C．，故C选项错误，不符合题意；
D．，故D选项正确，符合题意．
故选：D．
4. 能判断是直角三角形的是（ ）
A. ，，B.
C. D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的判定等知识，分别根据勾股定理逆定理，三角形内角和定理等知识逐项判断即可求解．
【详解】解：A. ∵，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
B. ∵，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意；
C. 设，则，∵，∴是直角三角形，故原选项符合题意；
D. ∵，，∴，∴不是直角三角形，故原选项不合题意．
故选：C
5. 函数与的图象交点坐标为，则关于x，y的方程组的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
先把代入求出a的值，然后直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案．
【详解】解：∵函数与的图象交点坐标为，
把代入，得，
即图象交点坐标为，
∴方程组的解为，
故答案为：B．
6. 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架，我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上，并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键．
由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】解：由题意可得：，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
7. 2023年第64届国际数学奥林匹克竞赛（简称IMO）在日本举行，中国代表队总成绩位列世界团体总分榜首，创造了代表队连续五届夺得团体总冠军的辉煌纪录．中国代表队近七届竞赛的金牌数（单位：枚）如下表所示．关于金牌数这组数据，下列说法正确的是（ ）
A. 极差为1B. 众数为6C. 中位数为4D. 平均数为5
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查极差，众数、中位数及平均数,解题的关键是掌握众数、中位数及平均数的定义．
根据方差、众数、中位数及平均数的定义列式计算即可．
【详解】解：将这组数据重新排列为4，4，4，5，6，6，6，
∴这组数据的众数是4和6，
中位数是5，
平均数为（枚），
极差为（枚），
故答案为：D．
8. 如图，一次函数图像交y轴于点，交x轴于点，则下列说法正确的是（ ）
A. 该函数的表达式为
B. 点不在该函数图象上
C. 点，在图象上，若，则
D. 将图象向上平移1个单位得到直线
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数的平移等知识点，掌握一次函数图像的性质成为解题的关键．
先运用待定系数法求得函数解析式即可判断A选项，将代入解析式即可判断B选项；根据一次函数增减性即可判断C选项；根据一次函数的平移规律可判断D选项．
【详解】解：A．由题意可得：，解得，即函数解析式为，故A选项不符合题意；
B．当时，，即点在该函数图像上，故B选项不符合题意．
C．在中，y随x的增大而增大，则当时，，故C选项不符合题意．
D． 图像向上平移1个单位得到直线，故D选项符合题意．
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上）
9. 在平面直角坐标系中，位于第四象限且到x轴距离为2，到y轴距离为4点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点的坐标，正确把握点的坐标特点是解题关键．
直接利用点的坐标特点进而分析即可解答．
【详解】解：∵位于第四象限，到x轴的距离是2，到y轴的距离是4，
∴该点的坐标为：．
故答案为：．
10. 比较大小：______4.5（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较，正确运用适当的方法是解决本题的关键．
根据“两个正数相比，平方越大数越大”进行比较即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：．
11. 如图，在中，，，，以斜边为底作等腰直角三角形，则该等腰直角三角形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理；勾股定理求得，进而勾股定理求得等腰三角形的直角边长，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解：∵在中，，，，
∴
∵以斜边为底作等腰直角三角形，如图所示，
∴
∴，
则，
∴该等腰直角三角形的面积为，
故答案为：．
12. 已知实数x，y满足，那么______．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．
利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答；
【详解】解∶ 足，
①②得：，
故答案为：7．
13. 如图，在中，现按以下步骤作图：以点A为圆心，长为半径作弧，交于点D；分别以点C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M，作射线交于点E．若，，，则的长为______．
【答案】5
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图作垂线、勾股定理等知识点，通过尺规作图得到是解题的关键．
由尺规作图可得，设，则，然后运用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：由尺规作图可得，
设，则，
由勾股定理可得：，，
∴，解得：，
∴的长为5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共5个题，共48分．解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，解二元一次方程组，
（1）根据二次根式的混合运算法则求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
整理得，
得，
解得
将代入②得，
解得
∴方程组解为．
15. 冬至是二十四节气中第22个节气，也是中国民间的传统节日，古人称冬至为“亚岁”．为弘扬中国传统节日，某校组织了一次“包饺子迎冬至”的劳动技能比赛，比赛成绩分为以下五个等级：A．100分，B．90分，C．80分，D．70分，E．60分．比赛结束后，随机抽取了部分选手的成绩，整理并绘制了不完整的统计图．
请根据统计图解答下列问题：
（1）本次共抽取了______名选手的成绩，扇形统计图中B所对圆心角的度数为______；
（2）抽取的选手成绩中，众数是______分，中位数是______分；
（3）若本次比赛共有100人参加，请估计有多少人的成绩高于80分？
【答案】（1）40，；
（2）90，90； （3）．
【解析】
【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，掌握中位数、众数的定义和用样本估计总体的计算方法是解决问题的前提．
（1）用C等级的人数除以它所对应的百分数即可求出抽取的总人数；用乘以B所占的百分比即可求出圆心角度数；
（2）根据中位数、众数的定义进行计算即可；
（3）求出样本中A、B等级的人数占调查人数的几分之几，再进行计算即可．
【小问1详解】
解：本次共抽取了：（名），
扇形统计图中B所对圆心角的度数为，
故答案为：40，；
【小问2详解】
解：∵成绩为90分的有16人，人数最多，
∴抽取的选手成绩中，众数是90分；
将这是40个数据排序，中间的两个数的90，所以中位数为90分，
故答案为：90，90；
【小问3详解】
解：抽取的40人中，成绩高于80分的有人，
因此100人参加，成绩高于80分的有
答：100人参加，估计成绩高于80分的有人．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点，，．
（1）将点B向右平移4个单位，再向下平移3个单位得到点，请在图中画出点，并写出的坐标______；
（2）的面积为______；
（3）点P为y轴上一点，连接，是否存在这样的点P，使得的值最小？若存在，请在图中画出满足条件的点P，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）作图见解析，点P的坐标为
【解析】
【分析】（1）先根据点的平移法则确定点的位置，然后直接读出点的坐标即可；
（2）采用割补法求出的面积即可；
（3）先作点A关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为点P；然后运用待定系数法求得直线的解析式，进而求得点P的坐标．
【小问1详解】
解：如图：点即为所求，点的坐标为．
故答案为：．
【小问2详解】
解：的面积为．
故答案为：．
【小问3详解】
解：如图：作点A关于y轴的对称点，连接，与y轴的交点即为点P
所以，
设直线的解析式为，
由题意可得：，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点P的坐标为．
17. 如图，在中，，，，．
（1）请判断的形状，并证明；
（2）过点B作于点E，交于点F，求和的长．
【答案】（1）等腰三角形，证明过程见详解；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，熟知相关定理是正确解决本题的关键．
（1）用勾股定理先求出的长，再用勾股定理求出的长即可证明结论；
（2）用等积法求出，作于H，先证明设，得，设，则，用勾股定理即可求出．
【小问1详解】
是等腰三角形．
证明：中，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
是等腰三角形；
【小问2详解】
解：，即，
，
作于H，
是等腰三角形，且，
平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即．
18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与一次函数的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求点A的坐标及b的值；
（2）点P为直线上一动点，连接，若的面积为4，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，取位于第二象限的P点，以点P为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接．点Q是直线上一点，连接，若，求满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）；
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题是一次函数与图形综合问题，考查了求一次函数，一次函数的交点，全等三角形的判定和性质，作出对应的辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
（1）将代入，即可解答；再将点A的坐标代入，即可得到的值；
（2）分类讨论，分点P在A点下方和A点上方，设，根据的面积为4，列出方程，即可解答；
（3）作出图形，过点做轴的平行线，分别过点做垂线段，交于点，证明，求得点的坐标，再利用勾股定理求得的长度，在轴上点B下方找一点，使得，过点做轴的垂线段，交的延长线于点，构造全等三角形，求得点的坐标，再求得直线的直线解析式，点为直线和直线的交点，即可解答．
【小问1详解】
解：将代入，
可得，解得，
；
把代入，
可得，解得；
【小问2详解】
解：把代入，可得，
，
设，
当点P在A点下方时，如图，过点做轴的平行线，交的图象于点，
可得点的纵坐标为，把代入，可解得，
，
，
根据，可得方程，
解得，
∴
；
当点P在A点上方时，如图，设的图象交轴于点，
将代入，可得，，
，
根据，可得方程，
解得，
∴
，
综上所述，点P的坐标为或
【小问3详解】
解：如图，作出图形，过点做轴的平行线，分别过点做垂线段，交于点，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴，
当时，可得，解得，
，
根据勾股定理可得两点之间的距离，
，
在轴上点B下方找一点，使得，过点做轴的垂线段，交的延长线于点，
，，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
把，代入，
可得，
解得，
直线的解析式为，
是直线与直线的交点，
可联立方程，解得，
．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上）
19. 已知，则代数式的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解、分母有理化、代数式求值等知识点，根据分母有理化化简成为解题的关键．
由分母有理化可得，然后再对因式分解，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：．
20. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以为边在x轴上方作等边三角形，作点A关于直线的对称点C，则点C的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称及等边三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，熟练运用轴对称的性质及等边三角形的性质是正确解决本题的关键．
连接，作于D，根据轴对称及直角三角形的性质即可求出的长，进而得点C的坐标．
【详解】
解：连接，作于D，
，
是等边三角形，点A的坐标为，
，
，
，
，
∴点C的坐标为，
故答案为：．
21. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，我们称点P为“倍差点”．若点A既是倍差点，又是倍差点，则点A到坐标原点的距离为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查新定义、坐标系中点坐标特征等知识，解题的关键是理解“倍差点”含义．
根据题意建立方程组，解出再用勾股定理求距离即可．
【详解】解：根据题意，
点A既是倍差点，又是倍差点，
得方程组，
解得，
，
到原点的距离为，
故答案为：．
22. 如图，在长方形中，，，点E为上一点，，点F为长方形边上一动点，将沿直线EF翻折，当点A的对应点恰好落在边上时，折痕的长度为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质等知识，熟知相关定理，根据题意画出图形并添加合适辅助线是解题关键．作，垂足为G．先证明，得到，根据勾股定理求出，再证明四边形为矩形，得到，进而得到，得到为线段的垂直平分线，即可求出．
【详解】解：如图，作，垂足为G．
∵四边形为矩形，
∴，，
∵直线EF翻折得到，且点在边上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为线段的垂直平分线，
∴．
故答案为：4
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一动点，现连接．记线段所围成的封闭区域（不含边界）为W．当时，区域W内的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为______个；当区域W内有6个整点时，m的取值范围是______．
【答案】 ①. 4 ②. 或
【解析】
【分析】本题为新定义问题，考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题等知识，理解题意，分类讨论是解题关键．当时，根据题意画出图形，即可确定区域W内的整点个数；分和两种情况，分别根据区域W内有6个整点确定界点，即可求解．
【详解】解：如图1，当时，区域W内的整点（横、纵坐标均为整数的点）个数为4个；
当时，如图2，∵点B坐标为，点C坐标为，
∴直线解析式为，
当时，；
如图3，∵点A坐标为，点D坐标为，
∴直线解析式为，
当时，；
∴当时，区域W内有6个整点时，m的取值范围是；
当时，如图4，∵点B坐标为，点E坐标为，
∴直线解析式为，
当时，；
如图5，点A坐标为，点F坐标为，
∴直线解析式为，
当时，；
∴当时，区域W内有6个整点时，m的取值范围是；
综上所述：当区域W内有6个整点时，m的取值范围是或．
故答案为：4，或
二、解答题（本大题共3个小题，共30分．解答过程写在答题卡上）
24. “沉睡数千年，一醒惊天下”，三星堆遗址出土的文物再现了古蜀文明的辉煌景象．某校组织师生共480人开展三星堆博物馆研学活动．该校计划向运输公司租用A，B两种车型接送师生往返，若租用A型车3辆，B型车6辆，则空余15个座位；若租用A型车5辆，B型车4辆，则还有15人没有座位．
（1）求A，B两种车型各有多少个座位？
（2）若要求租用的每辆客车都坐满，那么共有多少种租车方案？并列出所有的租车方案．
【答案】（1）A型车有45个座位，B型车有60个座位．
（2）共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．
（1）设A型车有x个座位，B型车有y个座位，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，根据题意可得：，则有：，然后列举m确定n即可解答．
【小问1详解】
解：设A型车有x个座位，B型车有y个座位，
根据题意得：，解得：．
答：A型车有45个座位，B型车有60个座位．
【小问2详解】
解：设租用A，B两种车型分的辆数分别为m和n，
根据题意可得：，则有：
当时，；
当时，．
所以，共有2种租车方案；分别是租用A型车4辆，B型车5辆；租用A型车8辆，B型车2辆．
25. 在平面直角坐标系中，直线与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，过点B作垂线交直线于点P．
（1）如图，当时，求点P的坐标；
（2）点Q是y轴正半轴上一点，且，连接．
ⅰ）当线段的长为8时，求a的值；
ⅱ）试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）ⅰ）；ⅱ）直线经过定点．
【解析】
【分析】（1）作于点C，证明，进而即可求得点P的坐标；
（2）ⅰ）作于点C，证明，再利用勾股定理求得，利用线段和差关系列方程进而即可求得a的值；
ⅱ）方法同上，求得点P的坐标，求出直线的表达式即可求出定点．
【小问1详解】
解：作于点C，
，点P在直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P的坐标为；
【小问2详解】
解：ⅰ）如图所示，
作于点N，
，点P在直线上，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点P的坐标为，
中，，
，
，即，
，
即a的值为；
ⅱ）直线经过定点．
理由：
点P的坐标为，，
设直线为，
将，代入，
得，
解得，
，即，
当时，，，
此时无论a为何正数，直线必过点．
【点睛】本题考查了一次函数的实际应用-几何问题，涉及全等三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质，待定系数法，题目综合性比较强，有一定的难度．
26. 在和中，点D在边上，，．
（1）若．
ⅰ）如图1，当时，连接，证明：；
ⅱ）如图2，当时，过点A作的垂线，交边于点F，若，，求线段的长；
（2）如图3，已知，作的角平分线交边于点H，若，，当时，求线段的长．
【答案】（1）ⅰ）证明过程见详解；ⅱ）；
（2）
【解析】
【分析】（1）ⅰ）用证明，进而证得是直角三角形，即可得结论；
ⅱ）连接，作交的延长线于点G，用证明，得，都是等边三角形，再利用等边三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
（2）延长至N，使，连接，交延长线于点M，连接，
作于P，用证明，再利用等腰三角形的性质及勾股定理建立方程即可求解；
【小问1详解】
ⅰ）证明：，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
；
ⅱ）解：连接，作交的延长线于点G，
，，，
，都是等边三角形，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即线段的长为．
【小问2详解】
解：延长至N，使，连接，交的延长线于点M，连接，
作于P，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
中，，，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
是的角平分线，，
是线段的垂直平分线，
，
设，则，，
在中，，
即，
解得，，
所以线段的长为．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、以及线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
届数
58
59
60
61
62
63
64
金牌数
4
4
5
4
6
6
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