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北师大版八年级下册4 角平分线教学ppt课件
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这是一份北师大版八年级下册4 角平分线教学ppt课件，共23页。PPT课件主要包含了情景导入，探索新知，典例精练，课堂练习，课堂小结，布置作业，谢谢聆听等内容，欢迎下载使用。
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等
结合我们前面学习的定理的证明方法， 你能写出这个性质的证明过程吗？
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC= ∠BOC
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OP 是∠AOB的平分线，
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
应用:常用来证明两条线段相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个结论正确吗？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
应用：常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线
角平分线性质与判定定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
OP 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
PD⊥OA,PE⊥OB， PD=PE.
例1 ：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
知识点一：角平分线的性质
知识点二：角平分线的判定
例2：如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．求证：OC平分∠MON；
证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BEC中， AC=AC，AD＝BE ∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL）， ∴CD＝CE， ∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴OC平分∠MON
1．如图，P为∠AOB平分线上的点，PD⊥OA于D，PD＝3cm，则点P到OB的距离为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（ ） A．80 B．40 C．20 D．10
3．如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE＝1cm，BC＝4cm，则△BEC的面积是（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
4．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝4：3，则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）
A．4：3B．16：9C．2：D．9：4
5．如图，点P是∠AOB内一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PD＝PC，点E在OA上，∠AOB＝50°，∠OPE＝30°．则∠PEC的度数是（ ）
A．50°B．55°C．45°D．60°
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BE的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．
9. 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
完成课本P29习题1.9中第1、2、3、4题
严格性之于数学家，犹如道德之于人.
如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为1︰20000）
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等
结合我们前面学习的定理的证明方法， 你能写出这个性质的证明过程吗？
已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别为D，E.求证：PD=PE.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
∵OC平分∠AOB，∴∠AOC= ∠BOC
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OP 是∠AOB的平分线，
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
应用:常用来证明两条线段相等
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
思考：交换角的平分线性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个结论正确吗？
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
思考：这个结论正确吗？
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知 ），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）.
命题：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上
判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
应用：常用来证明点在直线上（或直线经过某一点）
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线
角平分线性质与判定定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
OP 平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB
PD⊥OA,PE⊥OB， PD=PE.
例1 ：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
知识点一：角平分线的性质
知识点二：角平分线的判定
例2：如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．求证：OC平分∠MON；
证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， 在Rt△ADC和Rt△BEC中， AC=AC，AD＝BE ∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL）， ∴CD＝CE， ∵CD⊥OM，CE⊥ON， ∴OC平分∠MON
1．如图，P为∠AOB平分线上的点，PD⊥OA于D，PD＝3cm，则点P到OB的距离为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（ ） A．80 B．40 C．20 D．10
3．如图，△ABC中，BD是AC边的高线，CE平分∠ACB，DE＝1cm，BC＝4cm，则△BEC的面积是（ ）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．4cm2
4．如图，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC＝4：3，则△ABD与△ACD的面积之比为（ ）
A．4：3B．16：9C．2：D．9：4
5．如图，点P是∠AOB内一点，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，且PD＝PC，点E在OA上，∠AOB＝50°，∠OPE＝30°．则∠PEC的度数是（ ）
A．50°B．55°C．45°D．60°
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE＝4，BC＝9，则BE的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
7．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长．
9. 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
一个点：角平分线上的点；二距离：点到角两边的距离；两相等：两条垂线段相等
过角平分线上一点向两边作垂线段
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
完成课本P29习题1.9中第1、2、3、4题
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