新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.5正态分布教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.5　正态分布自然界与工程技术中的随机变量是最常见的．诸如，机械加工中零件的几何尺寸(直径、长度、宽度、高度)、强度、质量、使用寿命这些变量都不具备离散型随机变量的特点．它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，这种变量如何构建适当的概率模型刻画随机变量的分布？知识点1　正态曲线(1)连续型随机变量大量问题中的随机变量不是离散型的，它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类随机变量为连续型随机变量．(2)正态曲线的定义我们称f (x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线．(3)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交．②曲线与x轴之间的面积为1．③曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．④曲线在x＝μ处达到峰值．⑤当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．知识点2　正态分布(1)定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f (x)＝，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布．(2)若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2．(3)正态分布的特征①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图1．②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图2．(4)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．知识点3　正态总体在三个特殊区间内取值的概率及3σ原则(1)三个特殊区间内取值的概率若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．(2)3σ原则在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则．对于正态分布X～N(μ，σ2)而言，随机变量X在[μ－3σ，μ＋3σ]之外取值几乎不可能发生，它在产品检查、质量检验中起着重要的作用．1．(多选)以下关于正态密度曲线的说法中正确的有(　　)A．曲线都在x轴的上方，左右两侧与x轴无限接近，最终可与x轴相交B．曲线关于直线x＝μ对称C．曲线呈现“中间高，两边低”的钟形形状D．曲线与x轴之间的面积为1BCD　[A中正态密度曲线与x轴永远不相交，A错，其余均正确．]2．(多选)已知三个正态密度函数φi(x)＝(x∈R，i＝1，2，3)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)A．σ1＝σ2 B．μ1>μ3C．μ1＝μ2 D．σ2<σ3AD　[根据正态曲线关于直线x＝μ对称，且μ越大，图象越靠右，可知μ1<μ2＝μ3，故B、C错误；因为σ越小，数据越集中，图象越瘦高，所以σ1＝σ2<σ3，故A、D正确．]3．若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(X≤μ)＝________．　[由于随机变量X～N(μ，σ2)，其正态密度曲线关于直线x＝μ对称，故P(X≤μ)＝．] 类型1　正态曲线及性质【例1】　(1)如图是一个正态曲线，总体随机变量的均值μ＝________，方差σ2＝________；(2)某正态密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为，则总体落入区间[0，2]内的概率为________________．(1)20　2　(2)0.477 25　[(1)从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是，所以μ＝20，＝，解得σ＝，因此总体随机变量的均值μ＝20，方差σ2＝()2＝2．(2)正态密度函数是f (x)＝，x∈(－∞，＋∞)．若它是偶函数，则μ＝0．∵f (x)的最大值为f (μ)＝＝，∴σ＝1，∴P(0≤X≤2)＝P(－2≤X≤2)＝P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈×0.954 5＝0.477 25．]　利用正态曲线的性质求参数μ，σ(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ．(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象求σ．[跟进训练]1．某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩X(单位：分)服从正态分布，其正态密度函数为f (x)＝，则下列说法不正确的是(　　)A．这次考试的数学平均成绩为80分B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同D．这次考试的数学成绩的标准差为10B　[由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确．因为函数图象关于直线x＝80对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同；分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确．] 类型2　服从正态分布的随机变量的概率【例2】　(1)已知随机变量X～N(5，1)，且P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，求P(6≤X≤7)．(2)设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(Xc＋1)＝P(Xμ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5，0.997 3求解．[跟进训练]2．设ξ～N(1，22)，试求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)；(3)P(ξ≥5)．[解]　因为ξ～N(1，22)，所以μ＝1，σ＝2．(1)P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 7．(2)因为P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，所以P(3≤ξ≤5)＝[P(－3≤ξ≤5)－P(－1≤ξ≤3)]＝[P(1－4≤ξ≤1＋4)－P(1－2≤ξ≤1＋2)]＝[P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)]≈(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9．(3)P(ξ≥5)＝P(ξ≤－3)＝[1－P(－3≤ξ≤5)]＝[1－P(1－4≤ξ≤1＋4)]＝[1－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)]≈(1－0.954 5)＝0.022 75． 类型3　正态分布的实际应用【例3】　(源自湘教版教材)在某次数学考试中，假设考生的成绩ξ服从正态分布ξ～N(90，100)．(1)求考试成绩ξ位于区间(70，110)上的概率；(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80，100)间的考生大约有多少人． [解]　因为ξ～N(90，100)，所以μ＝90，σ＝＝10．(1)由正态分布的性质可知，考生成绩在μ－2σ＝90－2×10＝70和μ＋2σ＝90＋2×10＝110之间的概率约为0.954 5．(2)由正态分布的性质可知，考生成绩在μ－σ＝80和μ＋σ＝100之间的概率是0.682 7．又因为一共有2 000名学生参加考试，因此考试成绩在(80，100)间的考生大约有2 000×0.682 7≈1 365(人)．　解答正态分布的实际应用题，其关键是转化，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．同时应熟练掌握正态分布在[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．[跟进训练]3．某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？[解]　由于外直径X～N(4，0.52)，则X在[4－3×0.5，4＋3×0.5]之内取值的概率为0.997 3，在[2.5，5.5]之外取值的概率为0.002 7，而5.7∉[2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为这批零件是不合格的．1．如图是正态分布(σ1，σ2，σ3>0)对应的曲线，则σ1，σ2，σ3的大小关系是(　　)A．σ1>σ2>σ3 B．σ3>σ2>σ1C．σ1>σ3>σ2 D．σ2>σ1>σ3A　[由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ越小，故有σ1>σ2>σ3．]2．设随机变量X～N(2，σ2)，若P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，则实数a＝(　　)A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．4C　[因为P(X≤1－a)＋P(X≤1＋2a)＝1，所以P(X≤1＋2a)＝1－P(X≤1－a)＝P(X>1－a)．因为X～N(2，σ2)，所以1＋2a＋1－a＝2×2，所以a＝2．]3．某种零件的尺寸X(单位：cm)服从正态分布N(3，1)，则不属于区间[1，5]这个尺寸范围的零件数约占总数的________．4.55%　[属于区间[μ－2σ，μ＋2σ]，即区间[1，5]的取值概率约为95.45%，故不属于区间[1，5]这个尺寸范围的零件数约占总数的1－95.45%＝4.55%．]4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100，σ2)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________．10　[由题意知，P(ξ>110)＝＝0.2，故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出三个常用的概率值吗？[提示]　P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7．P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5．P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3．2．正态密度曲线有哪些特征？[提示]　(1)集中性：正态曲线的高峰位于正中央．(2)对称性：正态曲线关于x＝μ对称且不与x轴相交．(3)均匀变动性：正态曲线由峰值开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降．课时分层作业(十八)　正态分布一、选择题1．(2021·新高考Ⅱ卷)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2)，则下列结论中不正确的是(　　)A．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大B．σ越小，该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5C．σ越小，该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等D．σ越小，该物理量一次测量结果落在(9.9，10.2)内的概率与落在(10，10.3)内的概率相等D　[对于A，σ越小，正态分布的图象越瘦长，总体分布越集中在对称轴附近，故A正确．对于B，C，由于正态分布图象的对称轴为μ＝10，显然B，C正确．D显然错误．故选D．]2．设随机变量X～N(μ，9)，若P(X<1)＝P(X>7)，则(　　)A．E(X)＝4，D(X)＝9B．E(X)＝3，D(X)＝3C．E(X)＝4，D(X)＝3D．E(X)＝3，D(X)＝9A　[∵随机变量X～N(μ，9)，且P(X<1)＝P(X>7)，∴σ2＝9，μ＝＝4，∴E(X)＝4，D(X)＝9．故选A．]3．设随机变量X～N(μ，σ2)，若P(X≤1)＝0.3，P(1190)＝1－P(z≤190)＝0.1，P(z≥200)＝P(z≤160)＝0.04，所以P(190190)－P(z≥200)＝0.1－0.04＝0.06．]5．(多选)若随机变量X，Y的正态密度函数分别为f(x)＝，g(x)＝，f(x)，g(x)的图象如图所示(σ1>0，σ2>0)，则下列结论正确的是(　　)A．P(X>1)＝PB．σ1<σ2C．P(X>2)＝0.158 65D．P(0.7≤Y≤1.3)＝0.042 8AC　[由解析式可得，μ1＝1，σ1＝1，μ2＝－0.5，σ2＝0.6，故A选项正确，B选项错误；P(X>2)＝[1－P(02.5)＝________．0.14　[由题意可知，P(X>2)＝0.5，故P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2105)≈＝0.158 65，∴本次考试数学成绩大于105分的大约有100 000×0.158 65＝15 865(人)．]三、解答题9．有一种精密零件，其尺寸X(单位：mm)服从正态分布N(20，4)，若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？[解]　(1)∵X～N(20，4)，∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，故尺寸在18～22 mm间的零件所占的百分比大约是68.27%．(2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在24～26 mm间的零件所占的百分比大约是＝2.14%，∴这批零件中不合格的零件大约有5 000×2.14%＝107(个)．10．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，P(ξ≤6)＝0.84，则P(ξ≤0)＝(　　)A．0.16 B．0.34C．0.66 D．0.84A　[由题意得随机变量ξ的样本均值为3，所以P(ξ≤0)＝P(ξ≥6)，又P(ξ≤6)＝0.84，所以P(ξ≥6)＝1－P(ξ≤6)＝1－0.84＝0.16，所以P(ξ≤0)＝0.16．]11．甲、乙两类产品的质量(单位：kg)分别服从正态分布，其正态密度曲线如图所示，则下列说法正确的是(　　)A．甲类产品的平均质量小于乙类产品的平均质量B．乙类产品的质量比甲类产品的质量更集中于平均值左右C．甲类产品的平均质量为1 kgD．乙类产品的质量的方差为2A　[由题图可知，甲类产品的平均质量为μ1＝0.5 kg，乙类产品的平均质量为μ2＝1 kg，甲类产品质量的方差明显小于乙类产品质量的方差．故甲类产品的质量比乙类产品的质量更集中于平均值左右，故A正确，B、C错误；由正态密度函数的解析式f (x)＝，可知当x＝μ时，f (x)取得最大值，∴＝4，∴σ＝，∴σ2＝≠2，故D错误．故选A．]12．(多选)若随机变量ξ～N(0，2)，φ(x)＝P(ξ≤x)，其中x>0，则下列等式成立的有(　　)A．φ(－x)＝1－φ(x)B．φ(2x)＝2φ(x)C．P(|ξ|x)＝2－2φ(x)ACD　[因为ξ～N(0，2)，所以其正态曲线关于直线x＝0对称，因为φ(x)＝P(ξ≤x)，x>0，所以φ(－x)＝P(ξ≤－x)＝1－φ(x)，A正确；因为φ(2x)＝P(ξ≤2x)，2φ(x)＝2P(ξ≤x)，所以φ(2x)＝2φ(x)不一定成立，B不正确；因为P(|ξ|x)＝P(ξ>x或ξ<－x)＝1－φ(x)＋φ(－x)＝2－2φ(x)，D正确．]13．设随机变量ξ服从正态分布N(φ，σ2)，且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ＝_____________．4　[因为方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，由Δ＝16－4ξ<0，得ξ>4，即P(ξ>4)＝＝1－P(ξ≤4)，故P(ξ≤4)＝，所以μ＝4．]14．某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168，16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm和184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160，164)，第2组[164，168)，…，第6组[180，184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试估计该校高三年级男生的平均身高；(2)求这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数；(3)在这50名身高在172 cm以上(含172 cm)的男生中任意抽取2人，将该2人身高纳入全市排名(从高到低)，能进入全市前135名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．[解]　(1)由频率分布直方图可知，该校高三年级男生的平均身高约为(162×0.05＋166×0.07＋170×0.08＋174×0.02＋178×0.02＋182×0.01)×4＝168.72(cm)．(2)由频率分布直方图知，后3组的频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm以上(含172 cm)的人数为10．(3)全市100 000名男生的身高X服从正态分布N(168，16)，则P(168－3×4≤X≤168＋3×4)＝P(156≤X≤180)≈0.997 3．由正态曲线的对称性可知，P(X≥180)≈＝0.001 35，且0.001 35×100 000＝135，故全市约前135名男生的身高在180 cm及以上．这50人中身高在180 cm及以上的人数为50×0.01×4＝2．随机变量ξ的可能取值为0，1，2，则P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，故E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．15．已知某训练营新兵50 m步枪射击个人平均成绩X(单位：环)服从正态分布N(μ，σ2)，从中随机抽取100名新兵的个人平均成绩，得到如下的频数分布表：(1)求μ和σ2的值(用样本的均值和方差代替总体的均值和方差)；(2)从这个训练营随机抽取1名新兵，求此新兵的50 m 步枪射击个人平均成绩在区间[7.9，8.8]的概率．参考数据：≈0.9．[解]　(1)由题意，得随机抽取的100名新兵的个人平均成绩的分布列为(用频率估计概率)：E(X)＝4×0.01＋5×0.02＋6×0.26＋7×0.40＋8×0.29＋9×0.02＝7，方差D(X)＝(4－7)2×0.01＋(5－7)2×0.02＋(6－7)2×0.26＋(7－7)2×0.40＋(8－7)2×0.29＋(9－7)2×0.02＝0.8．用样本的均值和方差代替总体的均值和方差，得μ＝7，σ2＝0.8．(2)由(1)知X～N(7，0.8)，因为≈0.9，所以σ≈0.9，因为P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，所以P(7.9≤X≤8.8)＝×[P(5.2≤X≤8.8)－P(6.1≤X≤7.9]≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9，即从这个训练营随机抽取1名新兵，此新兵的50 m步枪射击个人平均成绩在区间[7.9，8.8]的概率约为0.135 9．学习任务1．利用实际问题的直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义．(直观想象)2．了解变量落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]的概率大小．(数学运算)3．会用正态分布去解决实际问题．(逻辑推理)X456789频数122640292X456789P0.010.020.260.400.290.02