新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.4二项分布与超几何分布7.4.2超几何分布教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.4.2　超几何分布已知在8件产品中有3件次品，现从8件产品中任取3件产品，用X表示取到的次品数，X可取哪些值？P(X＝2)的值呢？如何求P(X＝k)?知识点1　超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r．其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，N——总体中的个体总数，M——总体中的特殊个体总数(如次品总数)，n——样本量，k——样本中的特殊个体数(如次品数)．什么样的概率问题适合超几何分布？[提示]　在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“阳性，阴性”等．知识点2　服从超几何分布的随机变量的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数．令p＝，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，则E(X)＝＝np．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)超几何分布是不放回抽样． (　　)(2)超几何分布的总体是只有两类物品． (　　)(3)超几何分布与二项分布没有任何联系． (　　)[答案]　(1)√　(2)√　(3)×2．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________．　[P(X＝3)＝＝．]3．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的数学期望为______________________．0.3　[因为次品数服从超几何分布，所以E(X)＝3×＝0.3．] 类型1　超几何分布　超几何分布的判断【例1】　下列问题中，哪些属于超几何分布问题？说明理由．(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的颗数记为X，求X的分布列；(3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个，任取3个球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列；(4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列；(5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的台数记为X，求X的分布列．[解]　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题．(3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，是超几何分布．(5)中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题．　判断一个随机变量是否服从超几何分布的方法(1)总体是否可分为两类明确的对象．(2)是否为不放回抽样．(3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数．　超几何分布的概率【例2】　从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随机摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率．[解]　设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有恰好摸出两个红球、三个白球一种可能情况，那么恰好得7分的概率为P(X＝2)＝＝．　(1)解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布．(2)注意公式中M，N，n的含义．[跟进训练]1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10．现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是______________．(填序号)④　[依据超几何分布的数学模型及计数公式，知①②③中的变量不服从超几何分布，④中的变量服从超几何分布．]2．袋中有大小、质地相同的4个红球和3个黑球，一次性从袋中取出4个球，取到1个红球得1分，取到1个黑球得3分．设得分为随机变量X．则P(X≤7)＝________．　[取出的4个球中红球的个数可能为4，3，2，1个，黑球相应个数为0，1，2，3个，其分值为X＝4，6，8，10，P(X≤7)＝P(X＝4)＋P(X＝6)＝＝．] 类型2　超几何分布的分布列【例3】　箱中装有4个白球和m个黑球．规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等．记随机变量X为取出的3个球的得分之和．(1)若P(X＝6)＝，求m的值；(2)当m＝3时，求X的分布列．[解]　(1)由题意得，只有当取出的3个球都是白球时，随机变量X＝6，所以P(X＝6)＝＝，即＝10，所以m＝1．(2)由题意得，当m＝3时，X的可能取值为3，4，5，6．P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，所以X的分布列为　求超几何分布的分布列的步骤[跟进训练]3．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动．(1)求所选3人中恰有1名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数X的分布列．[解]　(1)所选3人中恰有1名男生的概率P＝＝．(2)X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝．∴X的分布列为 类型3　超几何分布的均值【例4】　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每名同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值．[解]　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)＝＝．所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为．(2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N＝10，M＝4，n＝3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3．P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3．所以X的分布列为所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.2(或E(X)＝＝1.2)．　求超几何分布均值的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值．(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率．(3)利用均值公式求解．[跟进训练]4．从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的均值．[解]　(1)由题知ξ的可能取值为0，1，2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的分布列为(2)由(1)可得E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．1．(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　)A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数XB．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为XC．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为XD．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数ACD　[由超几何分布的定义可知仅B项是超几何分布，故选ACD．]2．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．B　[由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝＝．]3．盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝____________________．　[E(ξ)＝＝．]4．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．　[从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A，则P(A)＝＝．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．在产品抽样检验中，若抽到的次品数服从超几何分布，则抽样有何特点？[提示]　抽样方法为不放回抽样．2．超几何分布的均值公式：E(X)＝np，与二项分布的均值公式一样吗？[提示]　不一样．在二项分布中，n为伯努利试验重复的次数，p为成功概率；在超几何分布中，n是抽取的产品件数，p是N件产品的次品率．课时分层作业(十七)　超几何分布一、选择题1．一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是(　　)A．P(06)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝＝．]二、填空题6．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)＝______，随机变量X的均值E(X)＝______．　[X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＝＝，E(X)＝＝．]7．数学教师从6道习题中随机抽3道让同学解答，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是________．　[设X表示解答正确的题的个数，由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＝．]8．生产方提供一批产品，共50箱，其中有2箱不合格产品．采购方接收该批产品的准则如下：从该批产品中任取5箱进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品．则该批产品被接收的概率为_____________________．(结果用最简分数表示)　[设进行检测的5箱产品中不合格产品有X箱，则X服从超几何分布，∴该批产品被接收的概率为P(X≤1)＝＝．]三、解答题9．厂家在产品出厂前需对产品进行检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品进行检验，以决定是否接收这批产品．(1)若厂家库房中(视为数量足够多)的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；(2)若厂家发给商家20件产品，其中有4件不合格，按合同规定，商家从这20件产品中任取2件进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数X的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．[解]　(1)记“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”为事件A，则事件A包含“恰有2件是合格品”和“3件都是合格品”两个基本事件，∴P(A)＝×0.72×0.3＋0.73＝0.784．(2)X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴X的分布列为∵只有2件都合格时才接收这批产品，∴商家拒收这批产品的概率为＝．10．某班级有男生32人、女生20人，现选举4名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育委员．男生当选的人数记为X，则X的数学期望为(　　)A．C　[依条件知X服从超几何分布，其中N＝52，M＝32，n＝4，故E(X)＝＝＝．]11．根据现行国家标准，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．工作人员从某自然保护区2022年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示：从这10天的数据中任取3天数据．记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是(　　)A．A　[依据条件，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，故E(X)＝＝＝．]12．袋中有4个红球，m个黄球，n个绿球．现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ．若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则m－n＝________．1　[由题意得P(ξ＝2)＝＝＝，所以＝36，所以m＋n＋4＝9．因为P(一红一黄)＝＝＝＝，所以m＝3，所以n＝2，所以m－n＝1．]13．某校为了解高三学生身体素质情况，从某项体育测试成绩中随机抽取n个学生成绩进行分析，得到成绩频率分布直方图(如图所示)，已知成绩在[90，100]的学生人数为8，且有4个女生的成绩在[50，60)中，则n＝______；现从成绩在[50，60)的样本中随机抽取2名学生，记所抽取学生中女生的人数为ξ，则ξ的数学期望是________．50　　[依题意0.016×10n＝8，则n＝50．成绩在[50，60)的人数为0.012×10×50＝6，其中4个为女生，2个为男生．ξ的可能取值为0，1，2．P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，故E(ξ)＝0××1＋2×＝．]14．(2023·北京八中期末)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求：(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的期望．[解]　(1)设事件A为“选派的3人中恰有2人会法语”，则P(A)＝＝．(2)依题意知，X的可能取值为0，1，2，3，且X服从超几何分布，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，∴X的分布列为∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝．15．某市在城市总体规划中提出若干年后实现“15分钟社区生活圈”全覆盖的目标，从教育与文化、医疗与养老、交通与购物、休闲与健身4个方面构建“15分钟社区生活圈”指标体系，并依据“15分钟社区生活圈”指数高低将小区划分为：优质小区(指数为0.6～1)、良好小区(指数为0.4～0.6)、中等小区(指数为0.2～0.4)以及待改进小区(指数为0～0.2)4个等级．下面是三个小区4个方面指标的调查数据：注：每个小区“15分钟社区生活圈”指数T＝w1T1＋w2T2＋w3T3＋w4T4，其中w1，w2，w3，w4为该小区四个方面的权重，T1，T2，T3，T4为该小区四个方面的指标值(小区每一个方面的指标值为0～1之间的一个数值)．现有100个小区的“15分钟社区生活圈”指数数据，整理得到如下频数分布表：(1)分别判断A，B，C三个小区是否为优质小区，并说明理由；(2)对这100个小区按照优质小区、良好小区、中等小区和待改进小区进行分层随机抽样，抽取10个小区进行调查，若在抽取的10个小区中再随机地选取2个小区做深入调查，记这2个小区中优质小区的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．[解]　(1)A小区的指数T＝0.7×0.2＋0.7×0.2＋0.5×0.32＋0.5×0.28＝0.58，0.58<0.60，所以A小区不是优质小区．B小区的指数T＝0.9×0.2＋0.6×0.2＋0.7×0.32＋0.6×0.28＝0.692，0.692>0.60，所以B小区是优质小区．C小区的指数T＝0.1×0.2＋0.3×0.2＋0.2×0.32＋0.1×0.28＝0.172，0.172<0.60，所以C小区不是优质小区．(2)依题意，抽取10个小区中，共有优质小区10×＝4(个)，其他小区10－4＝6(个)．依题意ξ的所有可能取值为0，1，2．P(ξ＝0)＝＝＝，P(ξ＝1)＝＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，则ξ的分布列为期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．学习任务1．理解超几何分布的概念及特征，能够判断随机变量是否服从超几何分布．(数学抽象)2．会利用公式求服从超几何分布的随机变量的概率、均值．(数学运算)3．能用超几何分布的概率模型解决实际问题．(数据分析、数学运算)X3456PX0123PX0123Pξ012PX012PPM2.5日均值(微克/立方米)(25，35](35，45](45，55](55，65](65，75](75，85]频数311113X0123P权重A小区B小区C小区教育与文化(0.20)0.70.90.1医疗与养老(0.20)0.70.60.3交通与购物(0.32)0.50.70.2休闲与健身(0.28)0.50.60.1分组[0，0.2)[0.2，0.4)[0.4，0.6)[0.6，0.8)[0.8，1]频数1020303010ξ012P