新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.1离散型随机变量的均值教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.3　离散型随机变量的数字特征7.3.1　离散型随机变量的均值已知在10件产品中有2件不合格品，从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数．我们可求得X的分布列如下表：现在我们关心的是，取3件该产品时，平均会取到几件不合格品？那么，怎样的一个数能够“代表”这个随机变量取值的平均水平呢？知识点1　离散型随机变量的均值(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列如表所示，则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(3)性质：如果X和Y都是随机变量，且Y＝aX＋b(a≠0)，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b． 均值是随机变量的一个重要特征数，反映或刻画的是随机变量取值的平均水平，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的平均数．(1)离散型随机变量的均值与分布列有什么区别？(2)随机变量的均值与样本平均值有什么关系？[提示]　(1)离散型随机变量的分布列和均值虽然都是从整体和全局上刻画随机变量的，但二者有所不同．分布列只给了随机变量取所有可能值的概率，而均值却反映了随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．知识点2　两点分布的均值若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化． (　　)(2)随机变量的均值反映样本的平均水平． (　　)(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4． (　　)(4)随机变量X的均值E(X)＝． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．已知X的分布列为则X的均值为________．　[E(X)＝－1×＋0×＋1×＋2×＝．]3．设X的分布列为Y＝2X＋5，则E(Y)＝________．　[E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝＝．所以E(Y)＝E(2X＋5)＝2E(X)＋5＝2×＋5＝．] 类型1　求离散型随机变量的均值【例1】　(源自北师大版教材)一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则取出的红球个数的均值是多少？[解]　设X表示取出红球的个数，则X的取值为0，1，2．P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝＝；P(X＝2)＝＝．故X的分布列为根据均值的定义，可知E(X)＝0×＋1×＋2×＝．　求离散型随机变量X的均值的步骤(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．(2)求出X取每个值的概率．(3)写出X的分布列(有时也可省略)．(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．[跟进训练]1．端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X表示取到豆沙粽的个数，求X的分布列与均值．[解]　(1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝＝．(2)X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，所以X的分布列为所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝． 类型2　离散型随机变量均值的性质【例2】　已知随机变量X的分布列为若Y＝－2X，则E(Y)＝________．　[由随机变量分布列的性质，得＋m＋＝1，解得m＝，故E(X)＝－2×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－．由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)＝－2×＝．][母题探究]1．本例条件不变，若Y＝2X－3，则E(Y)＝________．－　[由本例知E(X)＝－，则E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－．]2．本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，则a的值为________．15　[E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，解得a＝15．]　关于离散型随机变量均值性质的应用若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为实数，要求E(ξ)，一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(ξ)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b求出E(ξ)．[跟进训练]2．已知随机变量X的分布列是则E(2X＋a)＝(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．C　[因为＋a＝1，所以a＝，所以E(X)＝＝，所以E(2X＋a)＝2E(X)＋＝＝．] 类型3　离散型随机变量均值的实际应用【例3】　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X．(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？[解]　(1)X的所有可能取值有6，2，1，－2．P(X＝6)＝＝0.63，P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，P(X＝－2)＝＝0.02．故X的分布列为(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34．(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)．依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%．　解答应用类问题时，首先把问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应概率．[跟进训练]3．(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．[解]　(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A，B，C，所以甲学校获得冠军的概率为P＝P(ABC)＋P()＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.16＋0.16＋0.24＋0.04＝0.6．(2)依题意知，X的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06．即X的分布列为期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．1．(多选)下列说法正确的是(　　)A．随机变量X的均值就是数学期望，简称期望B．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数C．均值综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平D．随机变量的均值就是样本的均值均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平，故A、B、C正确．随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动，随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小．因此常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值，故D错误．]2．若随机变量X的分布列为则其数学期望E(X)等于(　　)A．1　 　B．　 　C．4.5　 　D．2.65D　[E(X)＝1×0.55＋4×0.3＋6×0.15＝2.65．]3．已知随机变量X的分布列为若η＝aX＋3，E(η)＝，则a＝(　　)A．3　　　B．2　　　C．1　　　D．－2B　[由分布列的性质，得＋m＝1，解得m＝，所以E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，则E(η)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝，即－a＋3＝，得a＝2．]4．已知小伟投篮命中率p＝0.6，则小伟投篮一次命中次数X的均值为________．0.6　[法一：由投篮命中率p＝0.6，可得投篮一次，命中次数X的分布列为所以E(X)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6．法二：由题意，命中次数X服从两点分布，所以E(X)＝p＝0.6．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．你能写出离散型随机变量的均值公式吗？[提示]　E(X)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＋…＋xnpn．2．两点分布的均值是什么？[提示]　E(X)＝p．3．离散型随机变量的均值有哪些性质？[提示]　E(aX＋b)＝aE(X)＋b．课时分层作业(十四)　离散型随机变量的均值一、选择题1．已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝(　　)A． B．1C． D．2B　[由＋m＋＝1，得m＝，所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1．]2．若随机变量X的概率分布列如表：则E(5X＋2 023)等于(　　)A．2 035　　B．12　　　C．2.4　 　D．15.2A　[据题意，得E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，所以E(5X＋2 023)＝5E(X)＋2 023＝5×2.4＋2 023＝2 035．]3．不透明的口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的期望为(　　)A． B．C．2 D．D　[由题意知X＝2，3．所以P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝2×＋3×＝．]4．(多选)已知0≤a≤，随机变量ξ的分布列如图所示，则当a增大时，ξ的期望E(ξ)的变化情况是(　　)A．E(ξ)增大B．E(ξ)减小C．E(ξ)的最大值为D．E(ξ)的最小值为BC　[由题意可知⇒E(ξ)＝－－a＝－a，所以当a增大时，ξ的期望E(ξ)减小，E(ξ)的最大值为．]5．掷一枚质地均匀的正四面体骰子(四面点数分别为1，2，3，4)，则底面掷出点数的数学期望为 (　　)A．2 B．2.5C．3 D．3.5B　[设掷一枚质地均匀的正四面体骰子，底面掷出的点数为X，则X的可能取值为1，2，3，4，且底面掷出每种点数的概率均为，则底面掷出点数X的数学期望E(X)＝(1＋2＋3＋4)×＝2.5，故选B．]二、填空题6．离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，则E(X)＝________．　[因为离散型随机变量X的分布列为P(X＝n)＝na，n＝1，2，3，所以a＋2a＋3a＝1，解得a＝，所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝．]7．某彩票3D游戏(以下简称3D)，是以一个3位自然数(如：0记作000)为投注号码的彩票．投注者从000～999这些3位自然数中选择一个进行投注，每注2元，如果与官方公布的三位数相同，则视为中奖，获得奖金1 000元，反之则获得奖金0元．某人随机投了一注，他获得奖金的期望是________元．1　[由题意，此人中奖的概率为，不中奖的概率为，所以此人随机投注一次，他获得奖金的期望为：1 000×＋0×＝1(元)．]8．某同学在上学路上要经过两个红绿灯十字路口，已知他在第一个十字路口遇到红灯的概率为，若他在第一个十字路口遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为；若他在第一个十字路口没遇到红灯，则在第二个十字路口遇到红灯的概率为．记他在上学路上遇到红灯的次数为ξ，则P(ξ＝0)＝________，ξ的数学期望为________．　1　[由题意可知，ξ的可能取值为0，1，2．P(ξ＝0)＝＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝，所以ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝1．]三、解答题9．体育课排球发球项目考试的规则是：每名学生最多发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p，发球次数为X，若X的均值E(X)>1.75，求p的取值范围．[解]　由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈．10．(多选)设p为非负实数，随机变量X的分布列为则下列说法正确的是(　　)A．p∈B．E(X)最大值为C．p∈D．E(X)最大值为AB　[由题表可得从而得p∈，期望值E(X)＝0×＋1×p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E(X)最大值＝．]11．(2023·广东惠州联考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{－3，－2，－1，0，1，2，3}．若记“|a－b|的取值”为随机变量ξ，则ξ的数学期望E(ξ)为(　　)A． B．C． D．A　[由于对称轴在y轴左侧，故－<0，故a，b同号，故符合条件的抛物线有＝126(条)．易知ξ的可能取值为0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝．故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝．故选A．]12．甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品，两人的日产量相等，每天出废品的情况如表所示：则下列结论正确的是(　　)A．甲生产的产品质量比乙生产的产品质量好一些B．乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些C．两人生产的产品质量一样好D．无法判断谁生产的产品质量好一些B　[由题知，甲生产的废品数的期望是0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1，乙生产的废品数的期望是0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＋3×0＝0.9，因为甲生产的废品数的期望大于乙生产的废品数的期望，所以乙生产的产品质量比甲生产的产品质量好一些． 故选B．]13．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i(i＝1，2)个球放在甲盒中，放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为ξi(i＝1，2)，则E(ξ1)＋E(ξ2)的值为________．　[甲盒中含有红球的个数ξ1的取值为1，2，则P(ξ1＝1)＝＝，P(ξ1＝2)＝＝，则E(ξ1)＝1×＋2×＝；甲盒中含有红球的个数ξ2的取值为1，2，3，则P(ξ2＝1)＝＝，P(ξ2＝2)＝＝，P(ξ2＝3)＝＝，则E(ξ2)＝1×＋2×＋3×＝．∴E(ξ1)＋E(ξ2)＝＝．]14．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．(1)求设备在一天的运转中，部件1，2至少有1个需要调整的概率；(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．[解]　设“部件1需要调整”为事件A，“部件2需要调整”为事件B，“部件3需要调整”为事件C．(1)由题意可知，P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，P(C)＝0.3．部件1，2中至少有1个需要调整的概率P＝1－[1－P(A)][1－P(B)]＝1－0.9×0.8＝1－0.72＝0.28．(2)由题意可知X的可能取值为0，1，2，3, 且P(X＝0)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.1)×(1－0.2)×(1－0.3)＝0.504，P(X＝1)＝P(A)[1－P(B)][1－P(C)]＋[1－P(A)]·P(B)·[1－P(C)]＋[1－P(A)][1－P(B)]P(C)＝0.1×0.8×0.7＋0.9×0.2×0.7＋0.9×0.8×0.3＝0.398，P(X＝2)＝P(A)P(B)[1－P(C)]＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋[1－P(A)]P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.3＝0.092，P(X＝3)＝P(A)P(B)P(C)＝0.1×0.2×0.3＝0.006．故X的分布列为所以E(X)＝0.504×0＋0.398×1＋0.092×2＋0.006×3＝0.6．15．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；(2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与均值．[解]　(1)所种作物总株数N＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12．从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有＝36(种)，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8(种)．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为P＝＝．(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y的分布列．因为P(Y＝51)＝P(X＝1)，P(Y＝48)＝P(X＝2)，P(Y＝45)＝P(X＝3)，P(Y＝42)＝P(X＝4)，所以只需求出P(X＝k)(k＝1，2，3，4)即可．记nk为其“相近”作物恰有k株的作物株数(k＝1，2，3，4)，则n1＝2，n2＝4，n3＝6，n4＝3．由P(X＝k)＝，得P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝．故所求Y的分布列为因此所求年收获量Y的均值为E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝46(kg)．学习任务1．理解离散型随机变量的均值的意义与性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(数学抽象、数学运算)2．掌握两点分布的均值．(数学运算)3．会用离散型随机变量的均值解决一些实际问题．(数学建模、数据分析)X012PXx1x2…xnPp1p2…pnX－1012PX1234PX012PX012PX－2－1012PmX123PaX621－2P0.630.250.10.02X0102030P0.160.440.340.06X146P0.550.30.15X－101PmX01P0.40.6X0123PmX024P0.30.20.5ξ－101PabX012P－pp工人甲乙废品数01230123概率0.40.30.20.10.30.50.20X0123P0.5040.3980.0920.006X1234Y51484542Y51484542P