2023年江苏省盐城市盐都区康居路初中教育集团中考数学二模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用倒数的定义，即若两个不为零的数的积为1，则这两个数互为倒数，即可一一判定．
【详解】解：的倒数为．
故选C．
【点睛】此题主要考查了倒数的定义，熟练掌握和运用倒数的求法是解决本题的关键．
2. 化简 所得的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先计算积的乘方运算，再计算单项式乘以单项式即可．
【详解】解：，
故选A
【点睛】本题考查的是单项式乘以单项式，积的乘方运算，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键．
3. 如图，原木旋转陀螺是一种传统益智玩具，是圆锥与圆柱的组合体，则它的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据从组合体正上方看到的平面图形即可得到答案．
【详解】解：由题意得组合体的俯视图是：
，
故选：D．
【点睛】此题考查了三视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．
4. 为了帮助本市一名患病的高中生，某班15名同学积极捐款，他们捐款数额如表：
关于这15名同学所捐款的数额，下列说法正确的是（ ）
A. 众数是100B. 平均数是37C. 极差是20D. 中位数是20
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查极差，众数，平均数，中位数；根据众数和中位数、极差及加权平均数的定义求解即可．解题的关键是掌握众数和中位数、极差及平均数的定义．
【详解】解：这组数据的众数是20，平均数为，极差为，中位数是20，
故选：D．
5. 我国党的二十大报告指出从2020年到2035年基本实现社会主义现代化，从2035年到本世纪中叶把我国建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2021年我国 约为115万亿元，如果以后每年按相同的增长率增长，2023年我国 约达135万亿元，将增长率记作 x ，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用2023年我国的年我国的×（1+我国每年的增长率），即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6. 如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴的垂线，垂足为点B，点C在y轴上，且则k的值为（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．连接，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，便可求得结果．
【详解】解：连接，如图，
轴，
，
，
，
，
．
故选：C．
7. 如图，将平行四边形折叠，使点C落在边上的点处，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解答本题的关键．
根据平行线的性质求出的度数，根据折叠的性质求出的度数，利用三角形内角和求出；
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
根据折叠可得，
故选：B．
8. 我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这块田的面积是（ ）
A. 60平方步B. 90平方步C. 120平方步D. 240平方步
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积公式，即进行计算即可．
【详解】解：由题意可知，扇形的弧长为30步，所在圆直径为16步，
所以扇形的面积为（平方步），
故选C．
二、填空题（本大题共有8小题，每小题8分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于零，列不等式求解即可．
【详解】解：由题意，得，
解得：．
故答案为：．
10. 因式分解：_________．
【答案】##
【解析】
【分析】先提取公因式2，再利用完全平方公式继续分解即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11. 化学元素钌（）是除铁（）、钻（）镍（）以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钌（）的原子半径为，用科学记数法表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：由题意，用科学记数法表示为：，
故答案为：．
12. “盐城马拉松”的赛事共有三项，“马拉松” 、“半程马拉松”和“迷你健身跑”．乐乐参加了志 愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查：
请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为 __________ ．（精确到 0.01）
【答案】
【解析】
【分析】观察表格，参加“半程马拉松”人数的频率在左右波动，利用频率估算概率即可．
【详解】解：由表格可知：参加“半程马拉松”人数的频率在左右波动，
∴本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为；
故答案为：
【点睛】本题考查利用频率估算概率．熟练掌握概率是频率的稳定值，是解题的关键．
13. 正n边形每个内角的度数都是其相邻外角度数的5倍，则________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，先根据正n边形每个内角的度数都是其外角度数的5倍，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，进而利用外角和求出n．
【详解】解：设多边形的每个外角为n，则其内角为，根据题意，得
，
解得：，
所以
即这个多边形的边数为12边．
故答案为：12．
14. 如图是某高铁站扶梯的示意图，扶梯AB的坡度．李老师乘扶梯从底端A以的速度用时到达顶端B，则李老师上升的垂直高度为_________．
【答案】
【解析】
【分析】设，根据坡度的概念得到，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：设，
∵扶梯的坡度，
∴，
由题意得：，
由勾股定理得：，即，
解得：（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
15. 关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是_____．
【答案】且
【解析】
【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．
【详解】去分母得：，
解得：，
，
解得：，
当时，不合题意，
故且．
故答案为且．
【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．
16. 如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，当为________时，最大．
【答案】
【解析】
【分析】在中，，则，当增加时，也增加，因为，要使取最大值，所以取最小值，然后证明，利用二次函数求得的最小值即可，
本题考查二次函的最值、三角形相似的判定和性质、正切函数的性质，解题的关键是：灵活运用转化的思想，列出关系式．
【详解】解：设，，
∵矩形中，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得：y＝，
∵，
∴当时，取最小值，
∵中，，
∴，
∴要使取最大值，应取最小值，
∴，即：，
故答案为：．
三、解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】根据立方根、特殊角的三角函数值、零次幂的性质化简，再合并即可求解．
【详解】解：
【点睛】此题主要考查了立方根，零次幂、特殊角的三角函数值，正确计算是解题关键．
18. 解不等式组．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可，
本题考查了解不等式组，解题的关键是：熟练掌握不等式组的解法．
【详解】解： ，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
19. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】，
【解析】
【分析】先计算整式的乘法运算，再合并同类项，得到化简后的结果，再把化为，再整体代入计算即可．
【详解】解：
，
，
原式．
【点睛】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值，掌握完全平方公式与平方差公式的应用是解本题的关键．
20. 已知△ABC为钝角三角形，其中∠A＞90°，有下列条件：①AB=10；②AC=；③tan∠B=；④tan∠C=；
（1）你认为从中至少选择 个条件，可以求出BC边的长；
（2）你选择的条件是 （直接填写序号），并写出求BC的解答过程．
【答案】（1）3 （2）①②③（任选三个即可），BC=20
【解析】
【分析】（1）根据解直角三角形的条件即可解答；
（2）由题意可得BC2＞AB2+AC2，如图：做BD垂直CA的延长线于D，再根据勾股定理求得AD、BD的长，最后再利用分类讨论的思想求得BC的长即可．
【小问1详解】
解：根据解直角三角形的条件再结合题意可得，至少满足题干的三个条件，方可求得BC的长
故答案为3；
【小问2详解】
解：选①②③，BC=20，理由如下：
∵在钝角三角形ABC中,∠A＞90°
∴BC2＞AB2+AC2
如图：做BD垂直CA的延长线于D
∵tan∠C=
∴,即CD=2BD
∴AD=CD-AC=2BD-6
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：BD2+AD2=AB2
∴BD2+（2BD-6）2=102，解得：
在Rt△BCD中，tan∠C=，则BC2=BD2+CD2=5BD2
当时,BC=20
此时，AB2+AC2=102+()2=100+180=280＜400= BC2
当时,解得BC=4
此时，AB=10＞BC,AC=＞4，与题设矛盾
综上，BC=20．
【点睛】本题主要考查了运用勾股定理、三角函数解直角三角形等知识点，灵活运用勾股定理解直角三角形成为解答本题的关键．
21. 如图，在四边形中，，对角线，交于点O，以为边作矩形，连接，交于点F．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查的是矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握矩形，菱形与平行四边形的关系是解题的关键．
（1）根据四边形是矩形，得到，可得，根据判定四边形是平行四边形，然后根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，判断出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质求出、，再根据菱形的面积公式列式计算即可得解．
【小问1详解】
证明：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为：．
22. 为喜迎中国共产党第二十次全国代表大会的召开，红星中学举行党史知识竞赛．团委随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标、良好、优秀、优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是 ，圆心角β＝ 度；
（2）补全条形统计图；
（3）已知红星中学共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（4）若在这次竞赛中有A，B，C，D四人成绩均为满分，现从中抽取2人代表学校参加县级比赛．请用列表或画树状图的方法求出恰好抽到A，C两人同时参赛的概率．
【答案】（1）50，144；
（2）见解析 （3）480
（4）
【解析】
【分析】（1）由成绩良好的学生人数除以所占百分比得出本次调查的样本容量，即可解决问题；
（2）求出成绩优秀的人数，即可解决问题；
（3）由红星中学共有学生人数乘以此次竞赛该校获优异等级的学生人数所占的比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
（1）本次调查的样本容量是：
10÷20%=50，
则圆心角β=360°×= 144°，
故答案为：50，144；
【小问2详解】
成绩优秀的人数为：
50-2-10-20=18(人)，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
1200×（人）
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480人；
【小问4详解】
画树状图如下，
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A，C两人同时参赛的结果有2种，恰好抽到A，C两人同时参赛的概率为
【点睛】此题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图等知识．正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23 某文具店准备购甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：
已知花费400元购进甲水笔的数量和花费800元购进乙水笔的数量相等．
（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元？
（2）若该文具店准备购进这两种水笔共300支，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不少于乙种水笔数量的4倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元？
【答案】（1）甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元
（2）购进甲种水笔240支，乙种水笔60支时，能使利润最大，最大利润是660元
【解析】
【分析】（1）根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设利润为w元，甲种水笔购进支，则乙种水笔购进支，得出利润，根据一次函数性质得出w随x的增大而减小，根据购进甲种水笔的数量不少于乙种水笔数量的4倍，得出，求出，得出当时，取得最大值，最大值为元．
【小问1详解】
解：由题意可得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为5元、10元；
小问2详解】
解：设利润为w元，甲种水笔购进支，则乙种水笔购进支，
利润，
∵，
∴w随x的增大而减小，
购进甲种水笔的数量不少于乙种水笔数量的4倍，
∴，
解得，，
为整数，
当时，取得最大值，最大值为（元），
此时，，
答：该文具店购进甲种水笔240支，乙种水笔60支时，能使利润最大，最大利润是660元．
【点睛】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式以及一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程和函数关系式．
24. 如图，是的直径，是的切线，交于点C．

（1）用无刻度的直尺和圆规在边上作点D，使；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）条件下，若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1），过点C作即可.根据题意可知，，可得出；
（2），先根据切线长定理证明，进而求出的度数，然后解直角三角形求出半径，用的面积减去扇形的面积即可．
【小问1详解】
如图，点D即为所求；
【小问2详解】
∵，是⊙O的切线，
∴.
∵，
∴，
∴，.
∵，
∴，，
∴，
∴S△OBP＝，
S扇BOC＝，
．
【点睛】本题主要考查了作图﹣复杂作图，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25. 盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长米，另一边长加长米，可得与之间的函数关系式．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下：
（1）如图2，在平面直角坐标系中，请用描点法画出的图象，并完成如下问题：
①函数的图象可由函数的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位得到，其对称中心坐标为 ；
②根据该函数图象指出，当在什么范围内变化时，？
（2）若要使面积扩大两倍后的这块布料周长最小，请你帮助该校“数学兴趣小组”设计出符合要求的扩大方案．
【答案】（1）图像见解析；①3，2，；②；
（2），
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的图象及性质，
（1）用描点法画出图象即可．
①根据函数图象的平移规律即可解答；
②先求出时，取值，然后结合函数图象即可解答．
（2）写出周长的表达式，并将其中的用表示出来，再利用，当时，取最小值，从而求出和的值．
灵活运用反比例函数的性质解决问题是关键．
【小问1详解】
解：画出的图象如图所示：
①函数的图象可由函数的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，其对称中心坐标为．
故答案为：3，2，．
②当时，有，即．
由图象可得：当时，．
【小问2详解】
面积扩大两倍后的这块布料周长．
当时，即当，时，取最小值．
26. 【回归课本】我们曾学习过一个基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
【初步体验】
（1）.如图1，在中，点D在上，．若，，，则 ， ；
（2）.已知，如图1，在中，且．
求证：．
证明：过点E作的平行线交于点F．
………………
请依据相似三角形的定义（如果两个三角形各角分别相等，且各边对应成比例，那么这两个三角形相似）和上面的基本事实，补充上面的证明过程；
【深入探究】
（3）.如图2，如果一条直线与的三边或其延长线交于D、F、E点，那是否为定值？若是；若不是，请说明理由；
（4）.如图3，在中，D为的中点，，则 ．
【答案】（1）3，；（2）见解析（3）是，定值为1；（4）
【解析】
【分析】（1）根据平行线分线段成比例，直接代入即可；
（2）过点E作的平行线交于点F，利用平行线的性质得，，，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论；
（3）作，交于G，利用平行线分线段成比例定理得，，代入计算即可；
（4）过点D作，交于Q，交于P，首先得出，再根据点D为的中点，，得，，分别表示出，与的关系即可．本题是相似形综合题，主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，作平行线利用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
【详解】(1)∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3，；
(2)过点E作的平行线交于点F，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴；
(3)为定值，
作，交于G，
∴，，
∴，
∴为定值；
(4)过点D作，交于Q，交于点P，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵点D为的中点，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
27. 在平面直角坐标系 中，二次函数的图像经过，两点.
（1）当时，求线段的长及 h 的值；
（2）若点也在二次函数图像上，且，
①求二次函数图像与x 轴的另外一个交点的横坐标 （用 h 表示） 以及 h 的取值范围；
②若，求的面积；
③过点作 y 轴的垂线,与抛物线相交于 、两点 （P 、Q 不重合） ，与直线交于点 ,是否存在一个 a 的值，使得恒为定值？若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由
【答案】（1），
（2）①二次函数的图像与x轴的另一个交点的横坐标为，；②；③存在一个a的值，使得恒为定值，，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得，轴，则，再由抛物线的对称性可得；
（2）①当时，，整理得，根据根与系数的关系可得二次函数的图像与x轴的另一个交点的横坐标为，又由，，可求；
②将代入，可得，将、代入，确定点、，用待定系数法求直线的解析式为，则，所以，则；
③由对称性可得，又由、，求出直线的解析式为，当时，，所以，当时，即时，为定值．
【小问1详解】
解：当时，轴，
∴，
∴抛物线的对称轴为直线；
【小问2详解】
解：①当时，，
整理得，，
设抛物线与x轴的交点的横坐标为，
∴，
∴，
∴二次函数的图像与x轴的另一个交点的横坐标为，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
将代入，
∴，
∴，
将、代入，
∴，
解得，
∴、，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴；
③存在一个a的值，使得恒为定值，理由如下：
由对称性可得，，
∵、，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
当时，即时，为定值．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，用待定系数法求函数解析式是解题的关键．捐款的数额（单位：元）
5
10
20
50
100
人数（单位：人）
2
4
5
3
1
调查人数
20
50
100
200
500
2000
参加人数
7
20
39
83
209
822
频率
0350
0.400
0.390
0.415
0.418
0.411
甲水笔
乙水笔
每支进价（元）
每支利润（元）
2
3