2024年高考第二次模拟考试卷：数学（全国卷）（理科）（参考答案）

这是一份2024年高考第二次模拟考试卷：数学（全国卷）（理科）（参考答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
【详解】（1）设等差数列的公差为，
又，则，，
因为成等比数列，所以，
即，
得，
又因为是公差不为零的等差数列，所以，
即分
（2）由（1）知
，
分
18．（12分）
【详解】（1）因为，且，
可得，，
又因为，可得，
所以，则，
因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
又因为平面，所以；分
（2）因为平面，且平面，所以，
如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，
可得，，，，
所以，．分
设平面的法向量为，则，
令，可得，所以，分
假设存在点，使得与平面所成角为，
设，（其中），则，，
所以，
整理得，解得或（舍去），
所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时．分

19．（12分）
【详解】（1）由题设得，，
所以
分
（2）（ⅰ）由题设得：
，
,
所以．分
（ⅱ）由（ⅰ）得，
所以第天元件，正常工作的概率均为．
为使第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作，
因此所求概率为．分
20．（12分）
【详解】（1）设直线的方程为，与联立得，
由得，
设，则，
所以，
由题意知，
因为，
所以，
所以，故
即点C的坐标为，代入抛物线E的方程得：，解得，
满足条件，
所以直线的方程为．分
（2）证明：设直线的方程为，与联立得，
，所以，
所以．
由（1）知，所以，
即点A的坐标为．
又点A在抛物线上，所以，所以，
又，所以，所以点A的横坐标，
同理可证，B，C两点的横坐标也小于2．
所以三个顶点的横坐标均小于2．分
21．（12分）
【详解】（1）由题可知函数的定义域为，
，令，得，
由x，，列表如下
，
因为恒成立，
所以，．
令，则，
由x，，列表如下
．
又，，
，，
，故a的取值集合为．分
（2）由（1）可知，当时，，
即，，
（当时，“”成立），
令，
，则，，
由累加法可知
累加可得，
即，
令，，
恒成立，
在区间上单调递减，
，
，
，
分
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）
【详解】（1）由曲线的参数方程为（为参数），得，
，，即（为焦点在轴上的椭圆）分
（2）设直线的倾斜角为，直线过点
直线的参数方程为（为参数），
将直线的参数方程代入，可得，
，
设，两点所对的参数为，，
曲线与轴交于两点，
在曲线的内部，一正一负，
，而，，
，，，
解得，为直线的倾斜角，，
，，或，
直线的倾斜角为或分
选修4-5：不等式选讲
23．（10分）
【详解】（1）不等式可化为或，
由，可得，解得或；
由，可得，解得，
所以不等式的解集为．分
（2）由题意，知，
当时，，
因在上单调递减，则；
当时，，
因在上单调递增，在上单调递减，故在无最小值，但是；
当时，，
因在上单调递增，则.
综上，当时，函数取得最小值2，即，所以，
因，所以，当且仅当时等号成立，
故．分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
D
A
B
A
B
C
B
D
D
B
x
a
0
递减
极小值
递增
x
1
0
递增
极大值
递减