江苏省南京市秦淮外国语学校2022-2023学年七年级下学期质检数学试卷（5月份）+

这是一份江苏省南京市秦淮外国语学校2022-2023学年七年级下学期质检数学试卷（5月份）+，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.大庆市2020年GDP超过了2800亿元，2800亿用科学记数法表示为( )
A. 2.8×103B. 28×1011C. 2.8×1012D. 2.8×1011
2.下列各组数中，互为相反数的是( )
A. (-2)-3与23B. (-2)-2与2-2C. 33与(-13)3D. (-3)-3与(13)3
3.如果x=1y=-2是关于x和y的二元一次方程ax+y=1的解，那么a的值是
( )
A. -3B. -1C. 1D. 3
4.一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
5.已知关于x的不等式(1-a)x>a-1的解集为x<-1，则a的取值范围是( )
A. a>0B. a>1C. a<0D. a<1
6.△ABC中，∠C=50°，∠B=30°，AE平分∠BAC，点F为AE上一点，FD⊥BC于点D，则∠EFD的度数为( )
A. 5°
B. 10°
C. 12°
D. 20°
7.将一副学生用的三角板按如图所示的位置放置，若AE/​/BC，则∠DAF的度数是( )
A. 10°
B. 15°
C. 30°
D. 45°
8.如图，线段AD，BC相交于点O，连接AB，CD，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，则∠P，∠B，∠D满足的关系式是( )
A. ∠P=∠B+∠D
B. ∠P=∠D-∠B
C. ∠P=12(∠D-∠B)
D. ∠P=12(∠B+∠D)
9.如图，△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，∠DCE=∠DEC，点F在AC上，点G在DE的延长线上，∠DFG=∠DGF.若∠EFG=37°，则∠CDF度数为( )
A. 53°
B. 73°
C. 74°
D. 80°
10.如图，AB/​/CD，P为AB上方一点，H、G分别为AB、CD上的点，∠PHB、∠PGD的角平分线交于点E，∠PGC的角平分线与EH的延长线交于点P，下列结论：
①EG⊥FG；
②∠P+∠PHB=∠PGD；
③∠P=2∠E；
④若∠AHP-∠PGC=∠F，则∠F=60°．
其中正确的结论有个．( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
11.如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画______个三角形．
12.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角的度数分别______．
13.已知实数a，b满足a2+b2=3+ab，则(2a-3b)2+(a+2b)(a-2b)的最大值为______．
14.若(n-3)n的值为1，则n的值为______．
15.将一张长方形纸片ABCD按如图所示方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B'、D'，若∠B'AD'=8°，则∠EAF的度数为______．
16.如图，在△ABC中，AG=BG，BD=DE=EC，CF=4AF，若四边形DEFG的面积为28，则△ABC的面积为______．
17.如图，在四边形纸片ABCD中，AB/​/CD，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在A'、D'处，且A'D'经过点B，FD'交BC于点G，连结EG，若EG平分∠BEF，EG//A'D'，∠A+∠DFE=130°，则∠CFE的度数是______．
18.如图，在△ABC中，BD、BE分别是高和角平分线，点F在CA的延长线上，FH⊥BE交BD于G，交BC于H，下列结论：①∠DBE=∠F；②2∠BEF=∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC-∠C)；④∠BGH=∠ABE+∠C.其中正确的是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
如图，在8×8的正方形网格中，请用无刻度的直尺，按下列要求作图．
(1)在图1中，过点D作AC的平行线DE；
(2)在图2中，在AB上取一点F，使∠AFD=45°．
20.(本小题8分)
(1)解不等式组：3(2-x)<2+xx2≥2x-13；
(2)x2-y-13=14x-y=8.．
21.(本小题6分)
分解因式
(1)9a2(2x-y)+(y-2x)；
(2)(y2-y)2+14(y-y2)+24．
22.(本小题5分)
先化简，再求值．
[(a-2b)2+(a-2b)(2b+a)-2a(2a-b)]÷2a，其中a=12，b=-2．
23.(本小题8分)
随着人们大量选择网上购物，人工分拣速度是影响快递时效性的最重要因素，某快递公司采用了机器人分拣的方式来提高工作效率，该公司采用A、B两种型号机器人，若A型机器人工作2小时，B型机器人工作4小时，一共可以分拣700件包裹；若A型机器人工作3小时，B型机器人工作2小时，一共可以分拣650件包裹．
(1)求A型、B型两个机器人每小时各分拣多少件包裹．
(2)“618”期间，快递公司的业务量猛增，要让A型、B型机器人每天分拣包裹的总量不低于2250件，它们每天至少要一起工作多少小时？
24.(本小题8分)
已知：如图，点D是△ABC内一点．
求证：
(1)BD+CD(2)AD+BD+CD25.(本小题10分)
定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”.例如：在△ABC中，∠A=70°，∠B=35°，则∠A与∠B互为“开心角”，△ABC为“开心三角形”．
【理解】
(1)若△ABC为开心三角形，∠A=144°，则这个三角形中最小的内角为______°；
(2)若△ABC为开心三角形，∠A=70°，则这个三角形中最小的内角为______°；
(3)已知∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定∠A的取值范围，并说明理由；
【应用】
如图，AD平分△ABC的内角∠BAC，交BC于点E，CD平分△ABC的外角∠BCF，延长BA和DC交于点P，已知∠P=30°，若∠BAE是开心△ABE中的一个开心角，设∠BAE=∠α，求∠α的度数．
26.(本小题13分)
(1)光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有∠1=∠2，∠3=∠4，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由；
(2)光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，如图2有一口井，已知入射光线a与水平线OC的夹角为40°，现放置平面镜MN，可使反射光线b正好垂直照射到井底，则MN与水平线的夹角∠MOC的度数= ______°.
(3)如图3，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD.∠BAF=110°，∠DCF=80°，射线AB绕A点以2度/秒顺时针转动，同时射线CD绕C点以3度/秒的速度逆时针转动，设时间为t，在射线AB转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得CD与AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间t．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：2800亿=280000000000=2.8×1011．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
2.【答案】D
【解析】解：A.(-2)-3=-18与23=8，两数不是相反数，故此选项不合题意；
B.(-2)-2=14与2-2=14，两数不是相反数，故此选项不合题意；
C.33=27与(-13)3=-127，两数不是相反数，故此选项不合题意；
D.(-3)-3=-127与(13)3=127，两数是互为相反数，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用负整数指数幂的性质以及相反数的定义、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及相反数的定义、有理数的乘方运算，正确化简各数是解题关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵x=1y=-2是关于x和y的二元一次方程ax+y=1的解，
∴a-2=1，
解得：a=3．
故选：D．
把x=1y=-2代入二元一次方程ax+y=1即可求a的值．
本题考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解与二元一次方程的关系是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5-2即3∵a为整数，
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为6+2+5=13．
故选：D．
先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5.【答案】B
【解析】解：∵关于x的不等式(1-a)x>a-1的解集为x<-1，
∴1-a<0，
解得：a>1．
故选：B．
根据不等式的性质，即可求解．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
6.【答案】B
【解析】解：因为∠C=50°，∠B=30°，
所以∠BAC=180°-∠C-∠B=180°-50°-30°=100°，
因为AE是∠BAC的平分线，
所以∠BAE=50°，
所以∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-30°-50°=100°，
又因为∠AEB+∠FED=180°，
所以∠FED=80°，
又因为DF⊥BC，
所以∠FDE=90°，即∠FED+∠EFD=90°，
所以∠EFD=90°-80°=10°，
故选：B．
根据三角形的内角和为180°即可得出结论．
本题主要考查三角形的内角和定理，牢记三角形的内角和等于180°．
7.【答案】B
【解析】解：∵AB/​/CD，
∠EAC=∠ACB=30°，
∵∠DAE=45°，
∴∠DAF=∠DAE-∠EAC=45°-30°=15°．
故选：B．
由平行线的性质可得∠EAC=∠ACB=30°，由三角形内角和定理可求解．
本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，
因为∠BAD和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，
所以∠1=∠2，∠3=∠4，
因为∠BEP=180°-∠ABE=∠1+∠B=180°-∠CEP=∠3+∠P，∠PFD=180°-∠AFP=∠2+∠P=180°-∠CFD=∠4+∠D，
所以∠B-∠P=∠P-∠D，
即∠P=12(∠B+∠D)．
故选：D．
根据角平分线的定义得到∠1=∠2，∠3=∠4，再根据三角形内角和定理得到∠1+∠B=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠D，两等式相减即可求解．
本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.也考查了角平分线的定义，解题的关键是理解“8字形”中角的关系．
9.【答案】C
【解析】解：设∠DCE=∠DEC=x，
∴∠FEG=x，
∵∠EFG=37°，
∴∠DGF=180°-∠FEG-∠EFG=143°-x，
∴∠DFG=∠DGF=143°-x，
∴∠DFC=∠DFG-EFG=106°-x，
∴∠CDF=180°-∠DFC-∠DCE
=180°-(106°-x)-x
=74°，
故选：C．
可设∠DCE=∠DEC=x，依次表示出∠DFG、∠DGF、∠DFC，在△DFC中利用内角和即可求出结果．
本题考查三角形顶角和定理，利用设元法表示出其中各个角度是解题关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，
∴∠PGF=12∠PGC，∠PGE=12∠PGD，
∴∠EGF=∠PGF+∠PGE=12(∠PGC+∠PGD)=12×180°=90°，
即EG⊥FG，故①正确；
设PG与AB交于M，GE于AB交于N，
∵AB/​/CD，
∴∠PMB=∠PGD，
∵∠PMB=∠P+∠PHM，
∴∠P+∠PHB=∠PGD，故②正确；
∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，
∴∠PHB=2∠EHB，∠PGD=2∠EGD，
∵AB/​/CD，
∴∠PMB=∠PGD，∠ENB=∠EGD，
∴∠PMB=2∠ENB，
∵∠PMB=∠P+∠PHB，∠ENB=∠E+∠EHB，
∴∠P=2∠E，故③正确；
∵∠AHP-∠PMC=∠P，∠PMC=∠PGC，
∠AHP-∠PGC=∠F，
∴∠P=∠F，
∵∠FGE=90°，
∴∠E+∠F=90°，
∴∠E+∠P=90°，
∵∠P=2∠E，
∴3∠E=90，
解得∠E=30°，
∴∠F=∠P=60°，故④正确．
综上，正确答案有4个，
故选：D．
由角平分线的定义及平行线的性质可求解∠EGF=90°，即可判定①；设PG与AB交于M，GE于AB交于N，由平行线的性质可得∠PMB=∠PGD，结合三角形外角的性质可性质②；由角平分线的定义可得∠PHB=2∠EHB，∠PGD=2∠EGD，结合平行线的性质可得∠PMB=2∠ENB，再利用三角形外角的性质可证明③；由三角形外角的性质可得∠P=∠F，根据直角三角形的性质及③的结论可求解∠F的度数，即可判定④．
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，灵活运用性质解决问题是解题的关键．
11.【答案】10
【解析】解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形，
故答案为：10．
根据题意画出图形即可得到结论．
本题考查了三角形，正确的画出图形是解题的关键．
12.【答案】10°、10°或42°、138°
【解析】解：设一个角为 x 度，则另一个角为(4x-30)度，
∵如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补
∴4x-30=x 或4x-30+x=180，
解得：x=10或 x=42，
当 x=42时，4x-30=138，
即这两个角是10°、10°或42°、138°，
故答案为：10°、10°或42°、138°．
如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．设一个角为 x 度．则另一个角为(4 x-30)度．依据上面的性质得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了平行线的性质的应用，能根据题意得出两个方程是解此题的关键，注意：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
13.【答案】36
【解析】【分析】
本题考查了偶次方的非负性以及整式的化简求值，正确变形代数式是解题的关键．由a2+b2=3+ab得到ab=a2+b2-3，(2a-3b)2+(a+2b)(a-2b)计算得到5a2+5b2-12ab，即可得到5a2+5b2-12(a2+b2-3)=-7(a2+b2)+36，因为a2+b2≥0，所以-7(a2+b2)的最大值为0，即可得到(2a-3b)2+(a+2b)(a-2b)的最大值．
【解答】
解：∵a2+b2=3+ab，
∴ab=a2+b2-3，
则(2a-3b)2+(a+2b)(a-2b)
=4a2+9b2-12ab+a2-4b2
=5a2+5b2-12ab
=5a2+5b2-12(a2+b2-3)
=5a2+5b2-12a2-12b2+36
=-7a2-7b2+36
=-7(a2+b2)+36，
∵a2+b2≥0，
∴-7(a2+b2)的最大值为0，
∴(2a-3b)2+(a+2b)(a-2b)的最大值为36．
故答案为：36．
14.【答案】0或2或4
【解析】解：∵(n-3)n的值为1，
∴当n=0时，
原式=(n-3)0=1，
当n-3=1时，
解得：n=4，
原式=(4-3)4=1，
当n-3=-1时，
解得：n=2，
原式=(n-3)=(-1)2=1，
综上所述：n=0或2或4；
故答案为：0或2或4．
直接利用零指数幂的性质结合有理数的乘方运算法则分析得出答案．
此题主要考查了零指数幂的性质以及有理数的乘方，正确分类讨论是解题关键．
15.【答案】41°
【解析】解：∵∠B'AD'=8°，
∴2∠EAF=90°-8°=82°，
∴∠EAF=41°．
故答案为：41°．
利用角的和差计算即可．
本题考查了角的计算，解题的关键是掌握角的和差计算．
16.【答案】60
【解析】解：连接EG，CG，
∵BD=DE=EC，
∴BD=13BC，
∵AG=BG=12AB，
∴S△BDG=13S△BCG=13×12S△ABC=16S△ABC，
同理S△ECF=13×45S△ABC=415S△ABC，S△AFG=15×12S△ABC=110S△ABC，
∴S四边形DEFG=S△ABC-S△BDG-S△CEF-S△AGF=715S△ABC=28，
∴S△ABC=60．
故答案为：60．
连接EG，CG，由于BD=DE=EC，得到BD=13BC，由AG=BG=12AB，于是得到S△BDG=13×12S△ABC=16S△ABC，同理S△ECF=13×45S△ABC=415S△ABC，S△AFG=15×12S△ABC=110S△ABC，然后根据面积的和差即可得到结论．
本题考查了三角形的面积，知道同高三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．
17.【答案】128°
【解析】【分析】
本题考查平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质，折叠的性质是解题的关键．设∠BEG=α，则∠DFE=∠FEB=2α，由折叠可得∠A'+2α=130°，再由EG//A'D'，可得∠A'+∠A'EB+α=180°，求出∠A'EB=50°+α，根据∠A'EB+2α+2α=180°，能求出α=26°，再求∠CFE即可．
【解答】
解：设∠BEG=α，则∠FEB=2α，
∵AB/​/CD，
∴∠DFE=∠FEB=2α，
由折叠可知，∠A=∠A'，
∵∠A+∠DFE=130°，
∴∠A'+2α=130°，
∵EG//A'D'，
∴∠A'+∠A'EB+α=180°，
∴∠A'EB=50°+α，
∵∠AEF+2α=180°，
∴∠A'EB+2α+2α=180°，
∴α=26°，
∴∠DFE=52°，
∴∠CFE=128°．
18.【答案】①②③④
【解析】解：①∵BD⊥FD，
∴∠FGD+∠F=90°，
∵FH⊥BE，
∴∠BGH+∠DBE=90°，
∵∠FGD=∠BGH，
∴∠DBE=∠F，
①正确；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∠BEF=∠CBE+∠C，
∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，
∠BAF=∠ABC+∠C，
∴2∠BEF=∠BAF+∠C，
②正确；
③∠ABD=90°-∠BAC，
∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，
∵∠CBD=90°-∠C，
∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，
由①得，∠DBE=∠F，
∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，
∴∠F=12(∠BAC-∠C)；
③正确；
④∵∠AEB=∠EBC+∠C，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE+∠C，
∵BD⊥FC，FH⊥BE，
∴∠FGD=∠FEB，
∴∠BGH=∠ABE+∠C，
④正确，
故答案为：①②③④．
①根据BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，证明结论正确；
②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确；
③证明∠DBE=∠BAC-∠C，根据①的结论，证明结论正确；
④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确．
本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1所示．
(2)如图2所示．

【解析】(1)取格点E，连接DE，所在的直线即为所求．
(2)利用网格构造等腰直角三角形DQF，根据等腰直角三角形的性质可得∠AFD=45°，据此作图即可．
本题考查作图-应用与设计作图、平行线的判定、等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
20.【答案】解：(1)解不等式3(2-x)<2+x，得x>1，
解不等式x2≥2x-13，得x≤2，
∴不等式组的解集为1(2)方程组整理得3x-2y=4①4x-y=8②，
②×2得：8x-2y=16③，
由③-①式得：5x=12，
解得x=125，
将x=125代入②式得125×4-y=8，
解得y=85，
∴方程组得解为x=125y=85．
【解析】(1)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
(2)利用加减消元求解即可．
本题考查的是二元一次方程组的解法，一元一次不等式组的解法，掌握“方程组与不等式组的解法步骤”是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)9a2(2x-y)+(y-2x)
=9a2(2x-y)-(2x-y)
=(9a2-1)(2x-y)
=(2x-y)(3a+1)(3a-1)；
(2)(y2-y)2+14(y-y2)+24
=(y2-y)2-14(y2-y)+24
=(y2-y-2)(y2-y-12)
=(y-2)(y+1)(y-4)(y+3)．
【解析】(1)首先提取公因式(2x-y)，进而利用平方差公式分解因式即可；
(2)首先将y2-y作为整体，十字相乘法；其次再进行十字相乘法．
本题考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法是解答本题的关键．
22.【答案】解：原式=[a2-4ab+4b2+a2-4b2-(4a2-2ab)]÷2a=
(a2-4ab+4b2+a2-4b2-4a2+2ab)÷2a
=(2a2-4ab-4a2+2ab)÷2a
=(-2a2-2ab)÷2a
=-a-b，
当a=12，b=-2时，原式=-12-(-2)=32．
【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，算除法，最后代入求出答案即可
本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
23.【答案】解：(1)设A型机器人每小时分拣x件包裹，B型机器人每小时分拣y件包裹，
由题意得：2x+4y=7003x+2y=650，
解得：x=150y=100，
答：A型机器人每小时分拣150件包裹，B型机器人每小时分拣100件包裹；
(2)设A型、B型机器人每天要一起工作m小时，
由题意得：150m+100m≥2250，
解得：m≥9，
答：A型、B型机器人每天至少要一起工作9小时．
【解析】(1)设A型机器人每小时分拣x件包裹，B型机器人每小时分拣y件包裹，由题意：若A型机器人工作2小时，B型机器人工作4小时，一共可以分拣700件包裹；若A型机器人工作3小时，B型机器人工作2小时，一共可以分拣650件包裹．列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设A型、B型机器人每天要一起工作m小时，由题意：让A型、B型机器人每天分拣包裹的总量不低于2250件，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题是二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】证明：(1)延长BD交AC于E，
在△ABE中，有AB+AE>BE，
在△EDC中，有ED+EC>CD，
∴AB+AE+ED+EC>BE+CD，
∵AE+EC=AC，BE=BD+DE，
∴AB+AC+ED>BD+DE+CD，
∴AB+AC>BD+CD；
(2)由(1)同理可得：
AB+BC>AD+CD，
BC+AC>BD+AD，
AB+AC>BD+CD，
∴2(AB+BC+AC)>2(AD+BD+CD)，
∴AB+BC+AC>AD+BD+CD．
【解析】(1)根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题；
(2)根据三角形的三边关系以及不等式的性质即可解决问题．
考查了三角形的三边关系，不等式的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
25.【答案】12 35或1103
【解析】解：(1)设最小角为α，
∵△ABC为开心三角形，∠A=144°，
∴α+2α=180°-144°=36°，
∴α=12°，
故答案为：12；
(2)当∠A是“开心角”，则最小角为35°；
当∠A不是“开心角”，设最小角为α，
∴α+2α=180°-70°=110°，
∴α=(1103)°，
故答案为：35或1103；
(3)∠A是开心△ABC中最小的内角，并且是其中的一个开心角，
∴另一个开心角是2∠A，
∴第三个内角是180°-3∠A，
∵∠A是最小内角，
∴∠A≤180°-3∠A，
∴∠A≤45°；
【应用】
∵AD平分△ABC的内角∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=∠α，
∴∠PAC=180°-∠α，
设∠PCA=x，
∵CD平分△ABC的外角∠BCF，
∴∠BCD=∠CDF=x，
∴∠ACB=180°-2x，
∵∠P=30°，
∴180°-2∠α+x=150°，
∴x=2∠α-30°，
∴∠AEB=∠α+180°-2x=240°-3∠α，
∴∠ABE=180°-∠α-(240°-3∠α)=2∠α-60°，
①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，
∠BAE=12∠ABE或∠BAE=2∠ABE，
∴∠α=12(2∠α-60°)或∠α=2(2∠α-60°)，
解得∠α=40°；
②当∠BAE与∠AEB互为开心角，
∠BAE=12∠AEB或∠BAE=2∠AEB，
∴∠α=12(240°-3∠α)或∠α=2(240°-3∠α)，
解得∠α=48°或∠α=(4807)°；
综上所述：40°或48°或(4807)°．
(1)设最小角为α，由题意可得α+2α==36°，求出α即为所求；
(2)当∠A是“开心角”，则最小角为35°；当∠A不是“开心角”，设最小角为α，α+2α=110°，α=(1103)°；
(3)三角形另一个开心角是2∠A，第三个内角是180°-3∠A，再由∠A≤180°-3∠A，可得∠A≤45°；
【应用】由题意可得∠PAC=180°-∠α，设∠PCA=x，则x=2∠α-30°，∠AEB=240°-3∠α，∠ABE=2∠α-60°，分两种情况讨论：①当∠BAE与∠ABE互为开心角时，∠BAE=12∠ABE或∠BAE=2∠ABE，求得∠α=40°；②当∠BAE与∠AEB互为开心角，∠BAE=12∠AEB或∠BAE=2∠AEB，求得∠α=48°或∠α=(4807)°．
本题考查三角形的内角和定理，三角形的内角平分线和外角平分线，理解定义，熟练掌握三角形内角和定理，三角形角平分线的性质，分类讨论是解题的关键．
26.【答案】65
【解析】解：(1)如图，延长入射光线a，与直线相交得到∠5和∠6，
证明：∵∠1=∠2，
∴m/​/n，
∴∠3=∠5，
∵∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠4=∠6，
∴a/​/b；
(2)∵入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，
∴∠MOA=∠NOB，
∵∠AOC=40°，∠BOC=90°，
∴∠MOA+∠AOC+∠BOC+∠NOB=180°，
∴∠MOA=25°，
∴∠MOC=25°+40°=65°，
故答案为：65°；
(3)如图：
110°-2°t=180°-(80°-3°t)，
解得t=2；
∠FCD1=∠DCD1-∠DCF=3t-80°，
∠FAB1=∠FAB-∠BAB1=110°-2t，
∵当AB1//CD1时，
∴∠FCD1=∠FAB1，
∴3t-80°=110°-2t，
∴t=38，
∠ECD2=∠DCF+180°-3t=260°-3t，
∠FAB2=2t-∠BAF=2t-110°，
∵AB2//CD2，
∴∠ECD2=∠FAB2，
∴260°-3t=2t-110°，
∴t=74，
∠EAB3=110°+180°-2t=290°-2t，
∠ECD3=3t-80°-180°=3t-260°，
∵AB3//CD3，
∴∠ECD3=∠EAB3，
∴290°-2t=3t-260°，
∴t=110，
∠FAB4=360°-2t+110°=470°-2t，
∠ECD4=3t-360°+180°-80°=3t-260°，
∵AB4//CD4，
∴∠ECD4=∠FAB4，
∴470°-2t=3t-260°，
∴t=146．
(1)根据∠1=∠2，可以得到两条直线平行，通过平行，可以得到对应的角相等，通过角相等，可以得到新的平行；
(2)根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，可以得到入射光线与镜面的夹角+反射光线与镜面的夹角+40°+90°=180°，从而求出夹角，然后求出对应的角；
(3)通过两条直线平行，得到对应的内错角或同位角相等，通过旋转角，得到对应的角的度数用t来表示，然后求出t值．
本题考查平行线的性质和判定，考查了一元一次方程的应用等，通过讨论得到不同的平行关系，对应的角度．