广东省广州市天河区骏景中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东省广州市天河区骏景中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共20页。

1．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写学校、班级、姓名、座位号、考生号；再用2B铅笔把考号对应的数字涂黑.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.
3．非选择题答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带.不按以上要求作答的答案无效.
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）
1. 下列图形中，既是中心对称又是轴对称的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．更多免费优质滋元可 家 威杏 MXSJ663 2. 抛物线的顶点是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点坐标是（h，k）即可解答．
【详解】解：抛物线的顶点是（﹣3，0），
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标是（h，k）解答的关键．
3. 用配方法解方程，配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程中的配方法，熟练掌握解一元二次方程中的配方法的步骤是解题的关键．
【详解】解：∵，
移项得：，
配方法，方程左右同加得：，
∴，
故选：D．
4. 抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】与轴的交点坐标即令．
【详解】令得，
，
抛物线与轴的交点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
5. 关于二次函数，下列说法中正确的是（ ）
A. 图象的开口向上B. 当时，随的增大而增大
C. 图象的顶点坐标是D. 当时，有最小值是5
【答案】C
【解析】
【分析】通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标以及增减性即可求解．
【详解】解：二次函数中，
，函数图象开口向下，A错误；
函数图象的顶点坐标是，当时，函数有最大值，最大值是5，C正确，D错误；
函数图象的对称轴为，时y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小，B错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6. 已知关于的方程的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰的两条边长，则的周长为（ ）．
A. 8B. 10C. 8或10D. 6或10
【答案】B
【解析】
【分析】先求得方程的两个根，再根据等腰三角形的条件判断即可．
【详解】∵关于的方程的一个根，
∴，
∴，
∴方程变形为，
解得，
∵方程的两个根恰好是等腰的两条边长，
∴其三边可能是2，2，4或4，4，2，
∵2+2=4，故三角形不存在，
故三角形的周长为10，
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的解法，等腰三角形的分类，熟练解一元二次方程是解题的关键．
7. 用一段米长的铁丝在平地上围成一个长方形，求长方形的面积（平方米）和长方形的一边的长（米）的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据长方形的面积公式即可进行求解．
【详解】长方形的长为x米，那么宽为，根据题意得
x•=y,
即：
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二次函数解析式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系．
8. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，即可求出结果．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，
解得：且，
故选：B．
【点睛】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根和判别式的关系是解题的关键．
9. 已知a、b、m、n为互不相等的实数，且，，则的值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系，先把已知条件变形得到，，则可把a，b是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，从而得到答案．
【详解】∵，，
∴，，
∵a、b、m、n为互不相等的实数，
∴a，b是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴
故选：A．
10. 如图，已知二次函数（）的图像如图所示，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数图象经过原点，得到c=0，即可判断①正确；根据图象得到当x=1时，y＜0，故②不正确；根据抛物线开口和对称轴得到a＜0，b＜0，b=3a，即可得到③正确；根据抛物线与x轴有两个交点得到，得到④正确，问题得解．
【详解】解：∵二次函数图象经过原点，∴c=0，∴abc=0，∴①正确；
∵x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确；
∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是，∴，b＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b＜0，∴a＞b，∴③正确；
∵二次函数图象与x轴有两个交点，∴△＞0，∴，，∴④正确；
故选：C
【点睛】本题考查了根据二次函数图象判断式子的符号，熟知二次函数的性质，并结合图象灵活应用是解题关键
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11. 二次函数经过点，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查求二次函数解析式中的系数，能够熟练掌握待定系数法是解决本题的关键．
【详解】解：将代入中得：，
解得：，
故答案为：．
12. 已知点的坐标是，则该点关于原点对称的点的坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，明白“若两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反”是解题的关键．
【详解】解：∵点的坐标是，
∴该点关于原点对称的点的坐标是，
故答案为：．
13. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【详解】解：∵将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，
∴得到的抛物线解析式为，即，
故答案为：．
14. 如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β＝___．
【答案】4
【解析】
【分析】根据一元二次方程的解结合根与系数的关系可得出，将其代入即可得出结论．
【详解】解：关于x的一元二次方程x2+3x﹣7＝0的两根分别为α，β，
，
，
故答案：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，牢记两根之和等于是解题关键．
15. 如图，四边形中，，若，则四边形的面积最大值为___________．
【答案】18
【解析】
【分析】设，，根据题意表示四边形的面积，根据二次函数的性质作答即可．
【详解】解：如图，设、交于点M
设
四边形的面积，
即四边形面积
当时，四边形的面积最大，最大为18．
故答案：18．
【点睛】本题考查了二次函数的性质与最值问题、四边形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．
16. 二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标在和0之间（不包括和0），则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题．根据抛物线与x轴有两个交点，得到对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据交点的横坐标在在和0之间（不包括和0），得到到和时的函数值的符号相同，列出不等式进行求解即可．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点，
∴有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∵两个交点的横坐标在和0之间（不包括和0），
∴和的函数值的符号相同，
∵当时，，
∴当时，，
∴；
∴；
故答案为：．
三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出详细过程或计算步骤）
17. 解方程：．
【答案】．
【解析】
【分析】利用配方法解方程即可．
【详解】解：移项，得
，
∴，
∴，
两边开平方，得
，
∴．
【点睛】本题考查用配方法解一元二次方程，解答关键是根据方程特征选择适当方法解方程．
18. 如图，将绕点C按逆时针方向旋转后得到，若，，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查旋转变换，三角形的内角和，先由旋转的性质得到，再根据三角形内角和计算即可．
【详解】解：∵绕点C按逆时针方向旋转后得到，
∴，，
∵
∴
∴.
19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，△ABC各顶点都在格点上，点A，C的坐标分别为（-1，2）、（0，-1），结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）求AC的长；
（2）将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°，画出旋转后的△A1B1C，直接写出A点对应点A1的坐标．
【答案】（1）；（2）作图见解析，A1（-3，-2）
【解析】
【分析】（1）结合题意，根据勾股定理的性质计算，即可得到答案；
（2）根据旋转性质，结合题意，分别作出A，B的对应点A1，B1，即可解决问题．
【详解】（1）结合题意得：AC＝＝．
（2）结合题意，得，
∴，即
△A1B1C作图如下：
．
【点睛】本题考查了勾股定理、直角坐标系、旋转的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、直角坐标系、旋转的性质，从而完成求解．
20. “绿水青山就是金山银山”，为加快城乡绿化建设，某市2018年绿化面积约1000万平方米，预计2020年绿化面积约为1210万平方米．假设每年绿化面积的平均增长率相同．
（1）求每年绿化面积的平均增长率；
（2）若2021年的绿化面积继续保持相同的增长率，那么2021年的绿化面积是多少？
【答案】（1）10%；（2）1331万平方米．
【解析】
【分析】（1）先设每年小区绿化面积的增长率为x，根据2018年的绿化面积×（1+增长率）2＝2020年的绿化面积，列出方程求解即可；
（2）根据（1）得出的增长率列出算式，进行计算即可．
【详解】解：（1）设每年绿化面积的平均增长率为x．可列方程：
1000（1+x）2＝1210．
解方程，得x1＝0.1 x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．
所以每年绿化面积的平均增长率为10%．
（2）1210×（1+10%）＝1331（万平方米）．
答：2021年的绿化面积是1331万平方米．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，增长率问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
21. 如图，抛物线与x轴交于和两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）过点A的直线与抛物线在第一象限交于点D，若点D的纵坐标为5，请直接写出当时，x的取值范围是________．
【答案】（1）；
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点D的坐标，再根据图象即可求得．
【小问1详解】
解：把和代入，
得，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当时，则，
解得，
∵点D在第一象限，
∴，
当或时，直线在抛物线的下方，
∴当时，x的取值范围是或．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及函数与不等式的关系，数形结合是解题关键．
22. 已知关于方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若是方程的一个根，求方程的另一个根．
【答案】（1）；（2）或
【解析】
【分析】（1）根据有两个实数根,得到不等式△≥0，计算即可；
（2）确定m的值，得到符合题意的一元二次方程，解得即可．
【详解】解：（1）∵关于的方程有两个实数根，
∴△ ，
解得：．
（2）是方程的一个根，
∴，
∴，
此时原方程为或.
解得：，或，．
∴方程的另一个根为或．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程解的运用，方程的解法，熟练掌握根的判别式，灵活解一元二次方程是解题的关键．
23. 已知抛物线，直线的对称轴与交于点，点与的顶点的距离是4
（1）求的解析式；
（2）若随着的增大而增大，且与都经过轴上的同一点，求的解析式．
【答案】（1）或；（2）或．
【解析】
【分析】（1）利用二次函数的对称轴公式求出m，再利用两点间的距离公式求出n；
（2）根据一次函数的性质求出k大于0，注意分类讨论解决问题，用待定系数法求一次函数的表达式．
【详解】解：（1） 的对称轴与 的交点为 ，
的对称轴为，
，
，
顶点坐标为，
，
∴
，
∴或；
（2）①当时，与轴交点为，
随的增大而增大，
，
ⅰ．当经过点 时，
则有， 解得，
∴（不符，舍去）；
ⅱ．当经过点 时，
则有 ，，
；
②当时，
令 则，
则，
与 轴交于点 ，
ⅰ．当经过点 时，则有 ，，
∴（不符，舍去）；
ⅱ．当经过点 时， 则有 ，，
，
综上所述，或．
【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、两点间的的距离、待定系数法求一次函数表达式等，在解决（2）小题时进行分类讨论是关键．
24. 如图，在正方形中，E、F分别是边、上的两点，且，、分别交正方形的对角线于G、H两点，将绕点A顺时针旋转90°后，得到，连接．

（1）求证：平分；
（2）求证：；
（3）试试探索、 、三条线段间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）、、三条线段间的数量关系为．理由见解析
【解析】
【分析】（1）将绕点A顺时针旋转90°得到，此时与重合，由旋转可得：，证明，得出，进而得出结论；
（2）将绕点A顺时针旋转90°得到，此时与重合，得出，因此，点Q，B，F在同一条直线上，证明，得出，进而得出结论；
（3）在正方形中，，，把绕点A逆时针旋转90°得到，连接．得出，证明，进而证明，得出，进而根据勾股定理得出结论．
【小问1详解】
证明：将绕点A顺时针旋转90°得到，此时与重合，由旋转可得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴平分；
【小问2详解】
解：∵将绕点A顺时针旋转90°得到，此时与重合，
∴，，，
∴，
因此，点Q，B，F在同一条直线上，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：、 、三条线段间的数量关系为．
如图，在正方形中，，，
∴．
把绕点A逆时针旋转90°得到．
连接．

∴，
∴，，，．
∴，
即．
∵，
∴，
∴，
即，
∴．
在和中，．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
25. 已知二次函数的图象开口向上，且经过点，．
（1）求b的值（用含a的代数式表示）；
（2）若二次函数在时，y的最大值为2，求a的值：
（3）将线段向右平移2个单位得到线段．若线段与抛物线仅有一个交点，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）把，代入抛物线的解析式，构建方程组，可得结论．
（2）由题意得，可知其对称轴为，进而可知当时，随的增大而增大，可得当时，有最大值2，代入建立方程即可求解．
（3）先写出平移后，得坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，若线段与抛物线仅有一个交点，即方程在的范围内仅有一个根，只需当对应的函数值小于或等于0，且对应的函数值大于或等于，列出不等式组即可，再考虑当方程有等根时，根据求得的值，再求出交点的横坐标进行判断即可．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象开口向上，经过点，，
∴，，
∴．
【小问2详解】
∵二次函数，，在时，y的最大值为2，
则其对称轴为：，
∴当时，随的增大而增大，
则时，有最大值2，
即，得．
∴．
【小问3详解】
∵线段向右平移2个单位得到线段，
∴，，
设的解析式为，
则：，解得：，
∴直线的解析式为，
∵抛物线在的范围内仅有一个交点，
∴即方程在的范围内仅有一个根，
整理得在的范围内只有一个解，
即抛物线在的范围内与x轴只有一个交点，

观察图象可知，时，，时，，
∴，
解得，，
∴．
当方程有等根时，，
∴，
∴，
解得或0（舍弃），
当时，交点的横坐标为1，不符合题意，舍弃．
综上，的取值范围为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，二次函数的最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，把问题转化为方程或不等式组解决，属于中考压轴题．