2023年浙江省杭州市临安区锦城四中中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年浙江省杭州市临安区锦城四中中考数学三模试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2023年2月26日，杭州某区最高气温为12℃，最低气温为−1℃，那么这天的最高气温比最低气温高( )
A. 11℃B. −11℃C. 13℃D. −13℃
2.据统计，2022年北京冬奥会人工造雪面积达到125000平方米，数125000用科学记数法表示应为( )
A. 1.25×105B. 1.25×104C. 1.25×103D. 1.25×102
3.点A为直线BC外一点，AC⊥BC于点C，AC=6.点P是直线BC上的动点，则线段AP长可能是( )
A. 1B. 3C. 5D. 7
4.下列计算正确的是( )
A. a2+2a2=3a4B. d6÷a3=a2C. (a2)3=a5D. (ab)2=a2b2
5.如图，已知AB/​/CD，∠BFC=126°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCD的度数为( )
A. 22°
B. 26°
C. 27°
D. 36°
6.若a<0，b>0，则b、b+a、b−a、ab中最大的一个数是( )
A. bB. b+aC. b−aD. ab
7.某公司本月信誉评分为96分，比上个月的信誉评分提高了20%.设该公司上个月的信誉评分为x.则( )
A. 20%x=96B. (1−20%)x=96
C. (1+20%)x=96D. 96×(1+20%)=x
8.如图，正九边形外接圆的半径是R，则这个正九边形的边长为( )
A. Rsin20°
B. Rsin40°
C. 2Rsin20°
D. 2Rsin40°
9.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=108°，点P在BC边上，若AP是∠BAC的三等分线，则BP的长度为( )
A. 5−1或5
B. 5+1或 5−1
C. 5−1或2
D. 5+1或2
10.已知，二次函数y=x2+2x+c的图象与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)(x1A. 当n>0时，m0时，m>x2
C. 当n<0时，m<0D. 当n<0时，x1二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.因式分解：4m2−16=______．
12.一个不透明的布袋里装有8个只有颜色不同的小球，其中3个白球，1个红球，4个黄球，从布袋里任意摸出一个球是黄球的概率为______．
13.若(a+b)2=7，ab=2，则a2+b2= ．
14.用半径为10cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为______cm．
15.如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，连接OB，AB.如果∠OBA=20°，那么∠P的度数为__________．
16.如图，将矩形纸片ABCD折叠，折痕为MN，点M，N分别在边AD，BC上，点C，D的对应点分别在E，F，且点F在矩形内部，MF的延长线交BC与点G，EF交边BC于点H，EN=2，AB=4，当点H为GN的中点时，MD的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
先化简，再求值：
x2−1x+2÷(1−1x+2)，其中x=−3．
18.(本小题8分)
某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题：
(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中m的值为______．
(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数．
(Ⅲ)根据样本数据，估计该校学生一周的课外阅读时间大于6h的学生人数．
19.(本小题8分)
如图，AB=AC，CE/​/AB，D是AC上的一点，且AD=CE．
(1)求证：△ABD≌△CAE．
(2)若∠ABD=25°，∠CBD=40°，求∠BAE的度数．
20.(本小题10分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于A(a,2)，B(1,3)．
(1)求这两个函数的表达式；
(2)若点P(h,y1)在一次函数的图象上，点Q(h,y2)在反比例函数的图象上，且y1>y2，求h的取值范围．
21.(本小题10分)
如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)若AC=4，AD=2，cs∠ACB=45，求BC的长．
22.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax2−(2a−2)x−3a−1，实数a≠0．
(1)若二次函数图象经过点(−2,−10)，求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
(2)若二次函数图象上始终存在两个不同点，这两个点关于原点对称，求a的取值范围；
(3)若a>0，设点M(m,y1)，N(n,y2)是二次函数图象上两个不同点，且m+n+2=0，求证：y1+y2>−6．
23.(本小题12分)
如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，AC为直径，E为AD一动点，连结BE交AC于点G，交AD于点F，连结DE．
(1)设∠E为α，请用α表示∠BAC的度数．
(2)当BE⊥AD时，
①求证：DE=BG．
②当tan∠ABE=34，BG=5时，求半径的长．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：12−(−1)
=12+1
=13(°C)，
故选：C．
由题意列出算式，并运用有理数减法法则进行计算．
此题考查了运用有理数减法解决实际问题的能力，关键是能准确列式、计算．
2.【答案】A
【解析】解：125000=1.25×105．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】D
【解析】解：∵AC⊥BC，
∴AP≥AC，
即AP≥6．
故选：D．
利用垂线段最短得到AP≥AC，然后对各选项进行判断．
本题考查了垂线段最短：垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．
4.【答案】D
【解析】解：A、a2+2a2=3a2，原计算错误，不符合题意；
B、d6÷a3，底数不同不能计算，不符合题意；
C、(a2)3=a6，原计算错误，不符合题意；
D、(ab)2=a2b2，正确，符合题意．
故选：D．
根据整式相关的运算法则逐项分析判断即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AB/​/CD，∠BFC=126°，
∴∠DCF=180°−∠BFC=54°，
由作图得：BC平分∠FCD，
∴∠BCD=12∠DCF=27°，
故选：C．
先根据平行线的性质求出∠DCF，再根据角平分线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握平行线的性质是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：因为a<0所以b+ab>0，ab<0，
所以b、b+a、b−a、ab中最大的一个数是b−a，
故选：C．
根据有理数的概念与运算法则进行比较、辨别．
此题考查了运用有理数的概念与运算法则进行大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
7.【答案】C
【解析】解：设该公司上个月的信誉评分为x，根据题意得，
(1+20%)x=96．
故选：C．
设该公司上个月的信誉评分为x，等量关系是：上月信誉评分×(1+20%)=本月信誉评分，依此列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，理解题意找到等量关系是解决本题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图所示，
过O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=12AB，
∵此多边形是正九边形，
∴∠AOB=360°9=40°，
∴∠AOC=40°2=20°，
在Rt△AOC中，AC=OAsin∠AOC=R×sin20°，
∴AB=2AC=2Rsin20°．
故选：C．
过O作OC⊥AB于点C，则AC=BC=12AB，解直角三角形即可得到结论．
本题考查的是解直角三角形的应用及正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC=2，∠BAC=108°，
∴∠B=∠C=36°，
∵AP是∠BAC的三等分线，
∴∠BAP=36°，∠CAP=72°，
∴∠CPA=72°，
∴AC=PC=2，
在△BAP与△BCA中，
∠B=∠B∠BAP=∠C，
∴△BAP∽△BCA，
∴BABC=BPBA，
∴22+BP=BP2，
∴BP2+2BP−4=0，
∴BP= 5−1或2．
故选C．
根据已知条件得出∠B=∠C=36°，再根据AP是∠BAC的三等分线，求出∠BAP的度数与AC=PC=2，再根据AA证出△BAP∽△BCA，BABC=BPBA，从而得出BABC=BPBA，最后代值计算即可得出答案．
此题考查了等腰三角形的性质以及黄金分割，掌握相似三角形的判断以及等腰三角形的性质是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵y=x2+2x+c的图象开口向上，
由题意可知，当x>x2或x0；
当x1故当n>0时，mx2，A、B都错；
当n<0时，x1故选：D．
根据抛物线开口方向及与x轴交点判断m的取值范围与n的关系，从而求解．
本题考查二次函数图象的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】4(m+2)(m−2)
【解析】解：4m2−16，
=4(m2−4)，
=4(m+2)(m−2)．
此题应先提公因式4，再利用平方差公式继续分解．平方差公式：a2−b2=(a+b)(a−b)．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】12
【解析】解：∵从布袋里任意摸出1个球有8种等可能结果，其中是黄球的有4种结果，
∴是红球的概率是48=12，
故答案为：12．
根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13.【答案】3
【解析】解：∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴a2+b2=(a+b)2−2ab=7−4=3．
故答案为：3．
根据完全平方公式进行变形可得答案．
本题考查乘法公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题关键．
14.【答案】103
【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得
2πr=120π×10180，
解得r=103cm．
故选：103．
圆锥的底面圆半径为r，根据圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．
本题考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图为扇形，计算要体现两个转化：1、圆锥的母线长为扇形的半径，2、圆锥的底面圆周长为扇形的弧长．
15.【答案】40°
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别为A，B，
∴PA=PB，OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
∴∠PBA=∠PBO−∠OBA=90°−20°=70°，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=70°，
∴∠P=180°−70°−70°=40°．
故答案为：40°．
利用切线长定理和切线的性质得到PA=PB，OB⊥PB，则∠PBO=90°，所以∠PBA=70°，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求∠P的度数．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理．
16.【答案】4 2−2
【解析】解：如图，过点G作GQ⊥AD于点Q，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，AB=CD=4，AD//BC，
∴AB=QG=4，
∵四边形NCDM折叠得到四边形NEFM，
∴∠MFE=∠E=90°，CD=EF=4，
∴MG//NE，
∴△FGH∽△ENH，
∴GHNH=FGEN=FHEH，
∵点H是GN的中点，
∴GH=NH，FH=EH，
∵EN=2，
∴FG=EN=2，FH=EH=2，
∴△ENH和△FGH是等腰直角三角形，
∴∠AMG和∠MGC=45°，
∴△GQM是等腰直角三角形，
∴GM= 2QG=4 2，
∴MF=GM−FG=4 2−2．
故答案为：4 2−2．
如图，过点G作GQ⊥AD于点Q，先证明△ENH和△FGH是等腰直角三角形，求出FG，再证明△GQM是等腰直角三角形，进而求出GM，再根据MF=GM−FG求出MF即可．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
17.【答案】解：原式=(x+1)(x−1)x+2÷x+2−1x+2
=(x+1)(x−1)x+2⋅x+2x+1
=x−1，
当x=−3时，
原式=−3−1=−4．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
18.【答案】解：(1)40，25；
(2)∵这组样本数据中，5出现了12次，出现次数最多，
∴这组数据的众数为5；
∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6，有6+62=6，
∴这组数据的中位数是6；
由条形统计图可得x−=4×6+5×12+6×10+7×8+8×440=5.8
∴这组数据的平均数是5.8．
答：本次调查获取的样本数据的众数是5，中位数是6，平均数是5.8．
(3)8+440×1200=360(人)．
答：估计该校一周的课外阅读时间大于6h的学生人数约为360人．
【解析】【分析】本题考查的是扇形统计图与条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
(1)根据阅读时间为4h的人数及所占百分比可得，将时间为6小时人数除以总人数可得；
(2)根据众数、中位数、加权平均数的定义计算可得；
(3)将样本中课外阅读时间大于6h的学生人数所占比例乘以总人数1200可得．
【解答】解：(1)本次接受随机抽样调查的学生人数为：60.15=40(人)，图①中m的值为1040×100=25；
故答案为：40，25；
(2)见答案；
(3)见答案．
19.【答案】(1)证明：∵CE/​/AB，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
AB=CA∠BAD=∠ACEAD=CE，
∴△ABD≌△CAE(SAS)．
(2)解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠ABD=∠CAE=25°，
∵∠CBD=40°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=25°+40°=65°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠BAC=180°−2×65°=50°，
∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=50°+25°=75°，
∴∠BAE的度数是75°．
【解析】(1)由CE/​/AB，得∠BAD=∠ACE，而AB=CA，AD=CE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABD≌△CAE；
(2)由∠ABD=∠CAE=25°，∠CBD=40°，得∠ACB=∠ABC=∠ABD+∠CBD=65°，则∠BAC=50°，所以∠BAE=∠BAC+∠CAE=75°．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠BAD=∠ACE及△ABD≌△CAE是解题的关键．
20.【答案】解：(1)把B(1,3)代入y=mx(m≠0)得m=1×3=3，
∴反比例函数解析式为y=3x，
把A(a,2)代入y=3x得2a=3，
解得a=32，则A(32,2)，
把A(32,2)，B(1,3)代入y=kx+b得32k+b=2k+b=3，
解得k=−2b=5，
∴一次函数解析式为y=−2x+5；
(2)由图象可知，当y1>y2，h的取值范围是h<0或1【解析】(1)先把B点坐标代入y=mx(m≠0)求出m得到反比例函数解析式，再通过反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)利用函数图象，写出反比例函数在一次函数下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
21.【答案】(1)证明：∵AC⊥BD，BD⊥DE，
∴AC/​/DE，
∵AD/​/BC，
∴AD/​/CE，
又∵AC/​/DE，
∴四边形ACED是平行四边形；
(2)解：∵AC/​/DE，
∴∠ACB=∠DEB，
∴cs∠ACB=cs∠DEB=DEBE=45，
∵四边形ACED是平行四边形，
∴DE=AC=4，CE=AD=2，
∴BE=5，
∴BC=BE−CE=3，
故BC的长为3．
【解析】(1)根据平行线的判定定理得到AC/​/DE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)根据平行线的性质得到∠ACB=∠DEB，根据平行四边形的性质得到DE=AC=4，CE=AD=2，求得BE=5，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键．
22.【答案】(1)解：∵二次函数的图象经过点(−2,−10)，
∴a×(−2)2−(2a−2)×(−2)−3a−1=−10，
解得a=−1，
∴二次函数的解析式是y=−x2+4x+2；
∴y=−(x−2)2+6，
∴顶坐标是(2,6)；
(2)解：设抛物线上关于原点对称的两个点的坐标是(m,n)与(−m,−n)，且x≠0，
∴n=am2−(2a−2)m−3a−1与−n=a(−m)2−(2a−2)(−m)−3a−1，
两式相加得2am2−6a−2=0，
∴2am2=6a+2，
∴m2=6a+22a>0，
∴2a(6a+2)>0，
解得a>0或a<−13，
∴a的取值范围为a>0或a<−13；
(3)证明：∵y1=am2+(2a−2)m−3a−1，y2=an2+(2a−2)n−3a−1，
∴y1+y2=a(m2+n2)−(2a−2)(m+n)−6a−2，
∵m+n=−2，即m=−n−2，
∴y1+y2=a[(−n−2)2+n2]−(2a−2)(−2)−6a−2
=a(2n2+4n+4)+4a−4−6a−2
=a(2n2+4n+2)−6
=2a(n+1)2−6
∵m+n=−2，m≠n
∴n≠−1，
∴(n+1)2>0，
又∵a>0，
∴y1+y2=2a(n+1)2−6>−6．
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式，再把解析式化为顶点式，求出顶点坐标；
(2)设这两个点的坐标是(x,y)与(−x,−y)，把两点坐标代入二次函数解析式，再两式相加，根据x2>0得出a的取值范围；
(3)把M，N两点坐标代入解析式，然后得出y1+y2，再由m+n+2=0，得出y1+y2，=2a(n+1)2−6>−6．
本题考查二次函数与不等式(组)，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是二次函数性质的应用．
23.【答案】解：(1)∵AC为直径，
∴∠ABC=∠ADC=90°，
又∵AB=AD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(HL)．
∴∠BAC=∠CAD=12∠BAD，
∵∠E=∠BAD=α，
∴∠BAC=α2．
(2)①连接DG．
∵AB=AD，∠BAG=∠DAG，AG=AG，
∴△ABG≌△ADG(SAS)，
∴BG=DG，∠ABG=∠ADG．
∵∠ABG=∠EDF，
∴∠ADG=∠EDF，
又∵EG⊥DF，DF=DF，
∴△DFG≌△DFE(ASA)，
∴DE=DG，GF=EF，
∴DE=BG．
②过点O作OH⊥AD，垂足为H．

∵tan∠ABE=34，BG=5，∠ABE=∠FDE
∴tan∠FDE=34，DE=5，
∴EF=FG=3，FD=4，
∴BF=BG+GF=8．
∴由tan∠ABE=34，得AF=6．
∴AD=AF+FD=10．
∵OH⊥AD，
∴AH=12AD=5，
∵tan∠GAF=GFAF=OHAH=36
∴OH=52．
∴由勾股定理得AO= AH2+HO2=52 5．
【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=∠ADC=90°，进而证明△ABC≌△ADC，根据全等三角形的性质以及同弧所对的圆周角相等得出∠E=∠BAD=α，即可求解．
(2)①连接DG.证明△ABG≌△ADG，△DFG≌△DFE，根据全等三角形的性质即可求解；
②过点O作OH⊥AD，垂足为H.根据DE=BG，同弧所对的圆周角相等得出∠ABE=∠FDE，则tan∠FDE=34，DE=5，进而求得EF=FG=3，FD=4，AF=6.由tan∠GAF=GFAF=OHAH=36可得OH=52，由勾股定理得AO=52 5．
本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．