2023年浙江省杭州市临平区中考数学二模试卷（含解析）

2023年浙江省杭州市临平区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  我们可用数轴直观研究有理数及其运算如图，将物体从点向左平移个单位到点，可以描述这一变化过程的算式为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  杭州市统计局发布，年末杭州市常住人口约为人，常住人口数量持续增加数据用科学记数法可以表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，在中，是上一点，，交于点，，交于点若，则(    )

A.
B.
C.
D.

5.  某工地派人去挖土和运土如果平均每人每天挖土或运土，那么怎样分配挖土和运土的人数，才能刚好被运完？设挖土的有人，运土的有人，则可得方程组(    )

A.  B.  C.  D.

6.  初三班拍合照时，最后一排位同学的身高单位：分别为，，，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度单位：分别为，，对比两组数据，下列统计量中不发生变化的是．(    )

A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差

7.  若商品的买入价为，售出价为，则毛利率，已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，扇形纸片的半径为，沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，则图中阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，和都是锐角，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知二次函数过点，，三点记，，下列命题正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  因式分解：______．

12.  在平面直角坐标系中，点位于第一象限，则的取值范围为______ ．

13.  若一次函数的图象经过点，则的值为______ ．

14.  已知、两家网站用户日人均上网时间分别为和，平均每天的上网用户人数分别为和则这两家网站所有用户的日人均上网时间为______ ．

15.  如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在、上，这个正方形零件的边长是______．

16.  如图，是半圆的直径，过半圆上一点作于点，若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．

18.  本小题分
某项目学习小组为调查学生对航天知识的了解情况，从全校学生中随机抽取名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如图的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：
补全频数分布直方图；
在扇形统计图中，“”这组的百分比 ______ ；
若成绩达到分以上含分为优秀，请估计全校名学生对航天知识了解情况为优秀的学生人数．

19.  本小题分
如图，在中，平分，，延长到点，使得，连结，．
求证：≌；
若，求的度数．

20.  本小题分
设函数，函数是常数，，．
若函数的图象经过点和，求函数的表达式；
若函数和函数的图象交于点和点，求的值．

21.  本小题分
如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点．
求证：∽；
连接，若，，，求的长．

22.  本小题分
在直角坐标系中，设函数是常数，．
已知．
若函数的图象经过和两点，求函数的表达式；
若将函数图象向下平移两个单位后与轴恰好有一个交点，求的最小值．
若函数图象经过，和，且，求的取值范围．

23.  本小题分
如图，在正方形中，点为边上一个动点，作点关于的对称点，连结并延长，交延长线于点，连结，．
求证：；
求的度数；
若，在点的运动过程中，求点到距离的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：物体从点向左平移个单位到点，即．
故选：．
点向左平移个单位到点相当于从向右平移了个单位，因此表示为即可．
此题考查有理数的混合运算，解题关键是看清平移的方向和距离．
 

2.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由能得出，
，
故选：．
根据不等式的性质得出答案即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
又，
，
，
，
，
故选：．
由，知，由知，结合，得，继而可得答案．
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据总人数为，可以得到方程，再根据挖土和运土一样多，可以得到方程，然后即可列出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

6.【答案】 

【解析】解：最后一排位同学的身高单位：分别为，，，，当他们站到一排高度相等的桌子上，头顶离地高度单位：分别为，，，相当于一组数都加上同一个不等于的常数后，所以方差不变，平均数，中位数，众数改变，
故选：．
根据平均数和方差的特点，结合题意：他们站到一排高度相等的桌子上，相当于一组数都加上同一个不等于的常数后，方差不变，平均数，中位数，众数改变，即可得出答案．
本题考查了方差和平均数，中位数，众数，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，掌握平均数、中位数，众数、方差的特点是本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，为已知量，
，
即，
，
故选：．
根据等式的性质解答即可．
本题考查等式的性质，关键是把等式变形．
 

8.【答案】 

【解析】解：沿折叠扇形纸片，点恰好落在上的点处，
，，
，
四边形是菱形，
连接交于，

，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
图中阴影部分的面积．
故选：．
根据折叠的想找得到，，推出四边形是菱形，连接交于，根据等边三角形的性质得到，求得，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，
则，
，，，，
，，
，
故选：．
过点作于，则，，，，于是，得到答案．
本题考查了解直角三角形，合理添加辅助线构造直角三角形，熟练运用三角函数的定义是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：二次函数过点，，三点，
，，，
，
，
，
若，则，
或，
故A错误，不符合题意；
若，则，
，
故B错误，不符合题意；
若，则，
，故C正确，符合题意；
若，则，即，
故D错误，不符合题意；
故选：．
由二次函数过点，，三点，可得，，即得，再逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是用含的代数式表示．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：点位于第一象限，
，
解得：，
故答案为：．
根据平面直角坐标系中第一象限点的坐标特征可得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，点的坐标，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：一次函数的图象经过点，
，
，
．
故答案为：．
把点代入一次函数可以确定、的关系，然后利用整体代值的方法即可求解．
此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，同时也利用了整体代值的思想．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意可得：
这两家网站所有用户的日人均上网时间为：，
故答案为：．
用总上网时间除以总人数即可列出式子．
本题考查了列代数式，解题的关键是掌握平均数的求法．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】
利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长．
此题主要考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比是解决问题的关键．
【解答】
解：正方形的边在上，
，
∽，
．
设，
，
，
解得：，
这个正方形零件的边长是．
故答案为：．  

16.【答案】 

【解析】解：设，的半径为，则，，
是半圆的直径，
，
，
，
，，
∽，
：：，即：：，
整理得，
解得，舍去，
，
在中，．
故答案为：．
设，的半径为，则，，先根据圆周角定理得到，再证明∽，利用相似比得到：：，整理得，解方程得到，然后在中利用正弦的定义求解．
本题考查了圆周角定理：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形．
 

17.【答案】解：圆圆的解答过程错误，
正确的解答过程如下：
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
两边同除以，得． 

【解析】根据解一元一次方程的基本步骤可得答案．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：人，人，
补全频数分布直方图如图所示：

，，
故答案为：；
名，
答：全校名学生对海洋科普知识了解情况为优秀的学生人数约为名．
根据频数、频率、总数之间的关系可求出样本容量，进而求出、的值，补全频数分布直方图；
用组的频数除以总数即可；
求出样本中优秀的所占的百分比即可．
本题考查频数分布直方图，频数分布表，理解频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．
 

19.【答案】证明：平分，
，
在与中，
，
≌；
解：平分，，
，
，，
，
≌，
，
． 

【解析】由角平分线的定义可得，利用即可判定≌；
由角平分线的定义可得，再由三角形的外角性质可得，，结合可得，从而可求得．
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各边与各角之间的关系．
 

20.【答案】解：函数的图象经过点和，
，
解得，
；
函数和函数的图象交于点和点，
，，
点和点故原点对称，
函数图象经过原点，
． 

【解析】利用待定系数法即可求得一次函数的解析式；
求得，，即可判断点和点故原点对称，即可得出函数图象经过原点，从而得出．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握待定系数法以及反比例函数的中心对称性是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是矩形，
，
于点，
，
，
，
∽．
解：作于点，则，
，，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，
的长是． 

【解析】由矩形的性质得，由于点，得，则，而，所以∽；
作于点，由，，，根据勾股定理得，由，得，则，再证明∽，得，则，，可求得，根据勾股定理可求得．
此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】解：，
．
将和两点代入得，
，
解得：．
．
答：函数的表达式．

函数向下平移两个单位得，此时该函数与轴恰好有一个交点，
，
即，
，
，
，
当时，的最小值为．
答：的最小值为．

当时，，即抛物线和轴的交点为：，
而，则抛物线的对称轴为，
当时，抛物线开口向上，
函数图象经过，且，
比直线离抛物线对称轴更近，
抛物线的对称轴在的左侧，
则和题设矛盾，故，
，
则，
解得：． 

【解析】利用待定系数法求出，的值，即可得出函数的表达式．
写出平移后的函数解析式，根据函数图象向下平移两个单位后与轴恰好有一个交点，利用判别式，即，整理为，进而求出，再配方，结合二次函数的性质即可求解．
判定，由，则，即可求解．
本题为二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象与轴的交点、解不等式、待定系数法求函数表达式等，对二次函数图象和性质的深度理解是本题解题的关键．
 

23.【答案】证明：点与点关于对称，
垂直平分，
点在上，
；
解：如图，连接，

由知，垂直平分，
，
，
四边形为正方形，
，，
，
，
；
如图，连接，以为直径，的中点为圆作圆，过点作于点，延长交于点，

由知，，
，
，
，
，即，
点在运动过程中，保持不变，
点是在上运动，
当时，即点在点时，点到距离的最大，
四边形为正方形，，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
在点的运动过程中，点到距离的最大值为． 

【解析】根据对称的性质可知，垂直平分，根据垂直平分线的性质即可证明；
连接，根据垂直平分线的性质可得，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，同理根据可得，根据角的关系代入计算即可求解；
连接，以为直径，的中点为圆作圆，过点作于点，延长交于点，根据平角的定义可得，易知为等腰直角三角形，，以此得到点是在上运动，当时，即点在点时，点到距离的最大，进一步计算即可求解．
本题主要考查正方形的性质、对称的性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形中位线的判定与性质、有关圆的最值问题，利用直径所对圆周角为分析出点是在上运动，以此得到当时，点到距离的最大是解题关键．