四川省宜宾市叙州区第二中学2024届高三下学期开学考试数学（理）试题（Word版附解析）

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本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知为纯虚数，且（为虚数单位），则
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数的代数形式的运算法则、纯虚数的概念、模的计算公式即可得出．
【详解】∵（2+i）z=1+ai3=1﹣ai，
∴（2﹣i）（2+i）z=（2﹣i）（1﹣ai），
∴z=，
∵z为纯虚数，
∴=0，≠0，
解得a=2．
∴z=﹣i．
∴|a+z|=|2﹣i|=．
故选D．
【点睛】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2. 已知全集为，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合A，B，再求出集合B的补集，然后求
【详解】解：因为，所以，
所以，
由，得，，
所以，所以，
所以，
故选：A
3. 如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是
A. 甲所得分数的极差为22
B. 乙所得分数的中位数为18
C. 两人所得分数的众数相等
D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
【答案】D
【解析】
【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.
【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A正确；乙所得分数的中位数为18，B正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C正确；甲的平均分为，乙的平均分为
，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D错误，故选D.
【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.
4. 设函数，则
A. B. 5C. 6D. 11
【答案】B
【解析】
【详解】分析：先确定的符号，再求的值.
详解：∵＜0，
∴=故选B.
点睛：本题主要考查分段函数求值和对数指数运算，意在考查学生分段函数和对数指数基础知识掌握能力和基本运算能力.
5. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】作出不等式组对应的平面区域，确定目标函数对应的直线经过区域内哪个点时取得最大值，求出该点坐标代入目标函数中计算即可得答案.
【详解】实数x，y满足的可行域为如图所示阴影部分区域，
把平移，当直线经过点A时，目标函数在y轴上的截距取得最大值，
此时z取最大值，联立得，
将坐标代入目标函数中，
所以的最大值为,
故选：C.
6. 设等比数列的前n项和为，且，则（ ）
A. 17B. 18C. 5D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列通项公式，结合等比数列的前n项和公式进行求解即可.
【详解】设等比数列的公比为q，
由，得，解得，
所以.
故选：A
7. 函数的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】对每个选项中函数中的实数进行赋值，分析对应函数的单调性、零点与奇偶性，即可得出合适的选项.
【详解】令，则.
对于A选项，取，则，定义域为，，
令，可得或；令，可得.
此时，函数的单调递增区间为和，
单调递减区间为，，且当时，，
A选项合乎题意；
对于B选项，取，，
，即函数在上单调递增，
当时，，
任取，则，，
则，则，
所以，函数在上单调递增.
，
此时，函数为奇函数，B选项合乎题意；
对于C选项，取，则，
当时，，则函数在上单调递增，
任取，则，，
则，则，
所以，函数在上单调递增.
，
此时，函数为偶函数，C选项合乎题意；
对于D选项，由图象可知，函数有三个零点，
且，
若，则，令，则，该函数只有一个零点；
若，令，可得或，
该函数至多两个零点，D选项不合乎题意.
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号来进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
8. 给出两个命题：：函数有两个不同的零点；：若，则，那么在下列四个命题中，真命题是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先分别判断出命题、的真假，然后可得答案.
【详解】对于，函数对应的方程的判别式
可知函数有两个不同的零点，故为真
当时，不等式恒成立；当时，不等式的解集为.
故不等式的解集为，故命题为假命题
所以只有为真
故选：D
9. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同分配方案共有（ ）
A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
10. 圆锥的母线长为2，侧面积为，若球的表面积与该圆锥的表面积相等，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先利用圆锥侧面积公式与表面积公式求得其表面积，再利用球的表面积公式得到关于的方程，解之即可求得球的体积.
【详解】依题意，设圆锥的底面半径为，母线，
则圆锥的侧面积为，故，
所以圆锥的底面积为，则圆锥的表面积为，
设球半径为，则，得，
所以球的体积.
故选：C.
11. 过双曲线的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与C的另一条渐近线交于点N，且，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意及图形可求出渐进线的倾斜角，即可得答案.
【详解】如图，设双曲线右焦点为，OM，ON为双曲线的两条渐进线.
由题意可知，，又，则M为FN中点，则为等腰三角形，
则，又，则.
所以双曲线的渐进线方程为：.
故选：B

12. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，，则（ ）
A. 关于直线对称B. 关于点中心对称
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，由是偶函数，且，可得为偶函数，可求得其对称轴，对于B，再结合，可得关于点中心对称，对于CD，由前面的计算可得的周期为4，然后根据已知条件求出，从而可判断.
【详解】对于A，是偶函数，，
又，
，是偶函数，∴关于直线对称，所以A错误，
对于B，关于点中心对称，所以B错误，
对于CD，又，即4是的一个周期；
令，可得
，又，
，
，
所以C正确，D错误，
故选：C.
第II卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知向量，若，则实数__________.
【答案】或2
【解析】
【分析】
根据向量数量积运算法则，可得结果.
【详解】由题意，，
因为，所以，
又
即，
则
解得或.
故答案为：或2
【点睛】本题考查向量的数量积用坐标进行运算，重在计算，属基础题.
14. 在正四棱柱中，，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的大小为_______________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，连接.先证明就是异面直线与所成角或补角，再通过解三角形得解.
【详解】
如图所示，连接.
因为,所以就是异面直线与所成角或补角，
因为，所以,
因为
所以.
所以异面直线与所成角为.
故答案为：
【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
15. 黄金分割比值是指将一条线段一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值.我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点，满足黄金分割比值的分割称为黄金分割.已知连接正五边形的所有对角线能够形成一个五角星，如图，点D是线段AB的黄金分割点，由此推断______.

【答案】
【解析】
【分析】利用正五边形的性质可求出所研究角的大小，再根据黄金分割的定义式求出，利用余弦定理及诱导公式即可得解.
【详解】依题意，正五边形中，内角为，
根据等腰三角形易求得，
所以，
所以，.
因为D为AB的黄金分割点（），
所以，即，
所以，所以.
不妨设，则，
在中，，
所以.
故答案为：
16. 在中，角，，对边分别为，，．若，，则的最小值_______
【答案】
【解析】
【分析】由题意首先求得∠C的大小，然后将原问题转化为关于∠A的三角函数求最值的问题，最后利用换元法结合角的范围即可求得的最小值.
【详解】由题意可得：，则，故，
则，据此可知，
从而：，
由于，故，
令，考查函数，其中，
注意到，当且仅当时等号成立.
故的最大值为，则的最小值为.
故答案为．
【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，同角三角函数基本关系及其应用，利用基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6．
（1）将列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？
（2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再在这8人中抽取3人调查其喜欢的活动类型，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望．
参考公式及数据：
【答案】（1）填表见解析；没有；（2）分布列见解析；期望为．
【解析】
【分析】(1)由给定概率求出数学竞赛的人数，完善列联表，计算K2的观测值并回答问题；
(2)利用分层抽样算出8人中男女生人数，写出女生人数的所有可能值，计算出取每个值时的概率而得解.
【详解】（1）由200名学生中抽取一人抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6，可得喜欢数学竞赛的总人数为，
所以
，
没有90%把握认为喜欢数学竞赛与性别有关；
（2）由题意可知抽取不喜欢数学竞赛的男生有5人，女生有3人，
的可能取值为0，1，2，3，
；
；
；
；
所以X的分布列为：
．
18. 如图，四棱锥中，底面是梯形，且，,,,,.
（1）求证：平面 平面;
（2）若,求二面角的余弦值.
【答案】（1）详见解析（2）
【解析】
【分析】(1) 取中点，连接、、，证明和可得平面（2）以为原点建立空间直角坐标系，如图，求平面ASD和平面SDC的法向量，利用向量的夹角公式计算即可.
【详解】解：（1）取中点，连接、、，在直角梯形中，，，，
∴，，；
∴，又
∴为等边三角形．
∵，∴ ．
∵，∴．∴．
∵，∴平面．
∵平面，∴平面平面．
（2）∵，∴．
由（1）知，平面平面，∴平面，
∴直线两两垂直．以为原点建立空间直角坐标系，如图，
则．
∴．
设平面的法向量为，
由，得，取，得，
设平面的法向量为，由，得，取，
得，
∴，
由图可知二面角为钝二面角，
∴二面角的余弦值为．
【点睛】本题考查面面垂直判定定理的应用，考查利用空间向量求二面角问题，考查空间想象能力和计算能力.
19. 已知在数列中，为其前项和，若，且，数列为等比数列，公比，且成等差数列．
（1）求与的通项公式；
（2）令 ，若的前n项和为，求证：．
【答案】（1）；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据得递推关系，化简得 ，根据等差数列定义及通项公式得 ，由待定系数法求得数列公比为2，再根据等比数列通项公式即可得到答案；
（2）利用错位相减法可得到 ，即可证明结论；
【小问1详解】
由可得
当时，，解得，
当时，，
所以，化为：，
又，∴，即，,
∴数列是等差数列，公差为2， ∴，
∵，成等差数列．
∴，∴，化为：，因为，解得，
∴；
【小问2详解】
由（1）可得．，
所以的前项和为①，
②，
∴①-②得，
∴
20. 已知椭圆E：的离心率为，过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，且｜AB|=1.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设P、Q是椭圆E上两点，P在第一象限，Q在第二象限，且OP⊥OQ,其中O是坐标原点.
当P、Q运动时，是否存在定圆O，使得直线PQ都与定圆O相切？若存在，请求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（１）＋y2＝1. （２）存在定圆O: 使得直线PQ与定圆O相切.
【解析】
【详解】试题分析：（1）利用，解得，由此求得椭圆方程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆方程，写出韦达定理，将转化为两个向量的数量积为零，可求得的一个关系式.由于直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径可求得半径为定值.
试题解析：
（1）因为e＝，所以＝，通径长，解得 ，,故椭圆的方程为＋y2＝1. （2）设PQ方程为y=kx+m 代入椭圆方程＋y2＝1.
化简得 设P（x1,y1） Q(x2,y2)
由韦达定理得


化简得
假设存在定圆与直线PQ相切，半径为r，则圆心到直线的距离d=r
为定值
所以当P,Q运动时， 存在定圆: 使得直线PQ与定圆相切.
点睛：本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查了化归与转化的数学思想方法和数形结合的数学思想方法.第一问先根据题目所给的两个已知条件，将条件转化为三者之间的关系，联立方程组可求得椭圆方程.第二问设出直线方程，利用两直线垂直，和圆心到直线的距离等于半径，可求得半径为定值.
21. 已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）存在；的最小值是1
【解析】
【分析】
（1）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；
（2）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.
【详解】（1）由题知，，
①当时，，所以在上单调递减，没有极值；
②当时，令，得，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
故在处取得极小值，无极大值.
（2）不妨令，
设在恒成立，
在单调递增，，
在恒成立，
所以当时，，
由（1）知，当时，在上单调递减，
恒成立；
所以若要不等式在上恒成立，只能.
当时，，由（1）知，在上单调递减，
所以，不满足题意.
当时，设，
因为，所以，
，
所以在上单调递增，又，
所以当时，恒成立，即恒成立，
故存在，使得不等式在上恒成立.
此时的最小值是1.
【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴（取相同的长度单位），建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若点P的极坐标为，直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用消元法将参数方程化为普通方程即可得到直线l的普通方程；利用极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得到曲线C的直角坐标方程；
（2）将点P的极坐标化为直角坐标判断得P在直线l上，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线l代入曲线C的直角坐标方程，结合韦达定理即可求解.
【小问1详解】
因为直线l的参数方程为（t为参数），
所以直线l的普通方程为；
因为，即，
所以，得，
所以曲线C的直角坐标方程为.
【小问2详解】
因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以点P在直线l上，
将直线l的参数方程（t为参数），代入，化简得，
设A，B两点所对应的参数分别为，，则，，故，，
所以，，
所以.
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23. 已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若的最小值为，正实数，满足，求证：．
【答案】（1）
（2）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，从而求得不等式的解集.
（2）先求得的最小值，也即求得，结合柯西不等式证得不等式成立.
【小问1详解】
由，得，
当时，，即，解得；
当时，，即，即，恒成立；
当时，，即，解得．
综上得的解集为．
【小问2详解】
由，得，
当时，，所以．
因为，所以，
由柯西不等式有，
整理得，当且仅当，即，时，等号成立.
喜欢数学竞赛
不喜欢数学竞赛
合计
男生
70
女生
30
合计
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828
喜欢数学竞赛
不喜欢数学竞赛
合计
男生
70
50
120
女生
50
30
80
合计
120
80
200
0
1
2
3