宜宾市叙州区第二中学校2024届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份宜宾市叙州区第二中学校2024届高三下学期开学考试数学（文）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知z为纯虚数,且(i为虚数单位),则( )
A.1B.C.2D.
2．已知全集为R,集合,,则( )
A.B.C.D.R
3．如图是某赛季甲,乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图,则下列说法错误的是( )
A.甲所得分数的极差为22
B.乙所得分数的中位数为18
C.两人所得分数的众数相等
D.甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数
4．设函数,则( )
A.B.5C.6D.11
5．已知实数x,y满足,则的最大值为( )
A.B.C.D.1
6．设等比数列的前n项和为,且,则( )
A.17B.18C.5D.6
7．函数的图象不可能是( )
A.B.C.D.
8．给出两个命题:p:函数有两个不同的零点;q:若,则,那么在下列四个命题中,真命题是( )
A.B.C.D.
9．圆锥的母线长为2,侧面积为,若球O的表面积与该圆锥的表面积相等,则球O的体积为( )
A.B.C.D.
10．已知函数,的定义域均为R,,是偶函数,且,,则( )
A.关于直线对称B.关于点中心对称
C.D.
11．已知两点A,M在双曲的右支上,点A与点B关于原点对称,BM交y轴于点N,若,且,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
12．已知函数有唯一零点,则( )
A.B.C.D.2
二、填空题
13．已知向量,,若,则实数________.
14．在正四棱柱中,,,E,F分别为棱,的中点,则异面直线与DF所成角的大小为________.
15．黄金分割比值是指将一条线段一分为二,较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值.我们把满足上述分割的点称为该线段的黄金分割点,满足黄金分割比值的分割称为黄金分割.已知连接正五边形的所有对角线能够形成一个五角星,如图,点D是线段AB的黄金分割点,由此推断________.
16．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若,,则的最小值________
三、解答题
17．某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关,随机抽取了选修课程的60名学生,得到数据如下表:
（1）判断是否有99.5％的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关?
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计课程的学生中抽取6名学生作进一步调查,将这6名学生作为一个样本,从中任选3人,求恰有2个男生和1个女生的概率.
下面的临界值表供参考:
(参考公式:,其中)
18．如图,已知四棱锥的底面为直角梯形,,,且,.
（1）求证:平面平面ABCD;
（2）若且,E,F分别是PA,PC的中点,求多面体PEBFD的体积.
19．已知在数列中,为其前项和,若,且,数列为等比数列,公比,,且,,成等差数列.
（1）求与的通项公式;
（2）令,若的前n项和为,求证:.
20．已知椭圆的离心率为,过左焦点作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,且.
（1）求椭圆E的方程;
（2）设P,Q是椭圆E上两点,P在第一象限,Q在第二象限,且,其中O是坐标原点.
当P,Q运动时,是否存在定圆O,使得直线PQ都与定圆O相切?若存在,请求出圆O的方程;若不存在,请说明理由.
21．已知函数,.
（1）函数是否有极值?若有,求出极值;若没有,说明理由.
（2）若对任意,,求实数a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴(取相同的长度单位),建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
（2）若点P的极坐标为,直线l与曲线C相交于A,B两点,求的值.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）若的最小值为c,正实数m,n满足,求证:.
参考答案
1．答案：D
解析：,
,
为纯虚数,
,,
解得.
,
故选:D.
2．答案：A
解析：因为,所以,所以,由,得,,所以,所以,,所以,故选:A
3．答案：D
解析：
4．答案：B
解析：函数,
,
故选:B.
5．答案：C
解析：作出约束条件满足的可行域如图阴影部分所示区域,
平移直线,
当直线经过点A时,目标函数在y轴上的截距取得最大值,此时z取最大值,联立得,所以的最大值为.
6．答案：A
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：C
解析：
10．答案：C
解析：由是偶函数,且可得,
所以,
对于A,,不关于对称,A错误;
对于B,由于,即关于中心对称,B错误;
对于C,由得,所以有,
即函数的最小正周期为4,所以,
又,所以,即,C正确;
对于D,,
由,,得,
即由,得,
由,得,
所以,D错误.
故选:C.
11．答案：D
解析：
12．答案：B
解析：,
令,则为偶函数,图象关于对称,
若有唯一零点,则根据偶函数的性质可知,
所以.
故选:B.
13．答案：或2
解析：由题意,,
因为,
所以,
解可得或.
故本题答案为:2或.
14．答案：
解析：如图所示,连接EF,,,
E,F分别为棱,的中点,
,,
四边形为平行四边形,
,
或其补角即为异面直线与DF所成角,在中,,,,,即,
.
故答案为:.
15．答案：
解析：正五边形得每个角,
以正五边形临边构成的等腰三角形底角是,得,
等腰中两底角为,
,
.
16．答案：
解析：
17．答案：（1）没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关
（2）
解析：（1）由公式,
所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关.
（2）设所抽样本中有m个男生,则,得人,
所以样本中有4个男生,记为A,B,C,D,2个女生,记为a,b,
从中选出3人的基本事件有:
,,,,,,,,,,
,,,,,,,,,,
共20种,恰有两名男生一名女生的事件数有种,所以恰有两名男生一名女生的概率为.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:如图,分别取AD,AB的中点O,G,连接OB,OP,OG,PG,则四边形OBCD为正方形,,,
又,,平面POG,,
,.
又与AD为平面ABCD内的两条相交直线,平面ABCD,
又平面PAD,平面平面ABCD.
（2）且,则由,知.
,F分别是PA,PC的中点,三棱锥与三棱锥的高均等于,
,
,
又,
.
19．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由可得
当时,,解得,
当时,,
所以,化为:,
又,,即,,
数列是等差数列,公差为2,,
,,,成等差数列.
,,化为:,因为,解得,
;
（2）由（1）可得.,
所以的前项和为①,
②,
①-②得,
20．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）因为,所以,通径长,解得,,故椭圆的方程为.
（2）设PQ方程为代入椭圆方程.
化简得,设,
由韦达定理得,
,
,化简得
假设存在定圆O与直线PQ相切,半径为r,则圆心到直线的距离
为定值
所以当P,Q运动时,存在定圆,使得直线PQ与定圆O相切.
21．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）由题意,函数的定义域为,且,
当时,,的单调增区间为,没有极值,
当时,令,解得;令,解得,
所以的单调增区间为,单调减区间为,
有极大值,没有极小值.
（2）由,令,则,
当时,,在上是减函数,
所以当时,,即,
要使得对成立,等价于对于恒成立,
当时,由（1）知,,所以当成立,必有,
当时,,由（1）有,从而不恒成立,
当时,令,
则,
所以在上是减函数,所以时,,
综上,可得a的取值范围是.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为直线l的参数方程为(t为参数),
所以直线l的普通方程为;因为,即,
所以,得,
所以曲线C的直角坐标方程为.
（2）因为点P的极坐标为,所以点P的直角坐标为,所以点P在直线l上,
将直线l的参数方程(t为参数),代入,化简得,
设A,B两点所对应的参数分别为,,则,,故,,
所以,,
所以.
23．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由,得,
当时,,即,解得;
当时,,即,即,恒成立;
当时,,即,解得.
综上得的解集为.
（2）由,得,
当时,,所以.因为,所以,
由柯西不等式有,
整理得,当且仅当,即,时,等号成立.
喜欢统计课程
不喜欢统计课程
合计
男生
20
10
30
女生
10
20
30
合计
30
30
60
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828