2022-2023学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市长宁区延安中学高三（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”( )
A. 是对立事件B. 都是不可能事件
C. 是互斥事件但不是对立事件D. 不是互斥事件
2.已知m∈R，则方程(2−m)x2+(m+1)y2=1所表示的曲线为C，则以下命题中正确的是( )
A. 当m∈(12,2)时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆
B. 当曲线C表示双曲线时，m的取值范围是(2,+∞)
C. 当m=2时，曲线C表示一条直线
D. 存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线
3.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段A1C1上的动点，则与直线CE夹角为定值的直线为( )
A. ACB. A1DC. BDD. A1A
4.若直线y=k1(x+1)−1与曲线y=ex相切，直线y=k2(x+1)−1与曲线y=lnx相切.则k1k2的值为( )
A. 12B. 1C. eD. e2
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.已知集合A={−1,0,1,2}，B={x|x≥1}，则A∩B= ______．
6.设复数z满足(1−i)z=1+i(i为虚数单位)，则z=______．
7.已知抛物线的准线方程为y=−2，则其标准方程为______．
8.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)，分数从低到高依次：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是 ．
9.不等式2x−3≤5的解集是______．
10.将4名教师分到3所学校支教，每所学校至少1名教师，则有______种不同分派方法．
11.已知(2− 3x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，其中a0、a1、a2、…、a8是常数，则(a0+a2+⋯+a8)2−(a1+a3+⋯+a7)2的值为______．
12.假设某产品的一个部件来自三个供应商，供货占比分别是12、16、13，而它们的良品率分别是0.92、0.95、0.94.则该部件的总体良品率是______．
13.函数y=2|sinx|+sinx在区间(0,2π)上的极大值是______．
14.在△ABC中，AB=3，AC=5，若O为△ABC的外心，则AO⋅BC的值为______．
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，x=−π4为f(x)的零点，x=π4为y=f(x)图象的对称轴，且f(x)在(π18,5π36)单调，则ω的最大值为______．
16.若数列{tn}满足tn+1=tn−f(tn)f′(tn)，则称该数列为“切线−零点数列”，已知函数f(x)=x2+px+q有两个零点1、2，数列{xn}为“切线−零点数列”，设数列{an}满足a1=2，an=lnxn−2xn−1，xn>2，数列{an}的前n项和为Sn，则S2023= ______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB/​/CD，AB=AD=1，D1D=CD=2，AB⊥AD．
(1)求证：BC⊥平面D1DB；
(2)求点D到平面BCD1的距离．
18.(本小题12分)
△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，满足2AB⋅AC=a2−(b+c)2．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)求2 3cs2C2−sin(4π3−B)的最大值，并求取得最大值时角B、C的大小．
19.(本小题12分)
某公司全年圆满完成预定的生产任务，为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力，公司决定在联欢晚会后，拟通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有4种面值的奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．
(1)若箱子中所装的4种面值的奖券中有1张面值为80元，其余3张均为40元，试比较员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是6万元，预定箱子中所装的4种面值的奖券有两种方案：第一方案是2张面值20元和2张面值100元；第二方案是2张面值40元和2张面值80元．为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．
20.(本小题12分)
在以A(−2,0)为圆心，6为半径的圆A内有一点B(2,0)，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP交于点M．
(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；
(2)记点M的轨迹为曲线Γ，过点B的直线与曲线Γ交于C，D两点，求OC⋅OD的最大值；
(3)在圆x2+y2=14上的任取一点Q，作曲线Γ的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE与QF是否垂直，并给出证明过程．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=x，函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[−1,1]上的减函数．
(Ⅰ)求λ的最大值；
(Ⅱ)若g(x)(Ⅲ)讨论关于x的方程lnxf(x)=x2−2ex+m的根的个数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：事件“至少有1名男生”与事件“至少有1名女生”能同时发生，即两名学生正好一名男生，一名女生，故两事件既不是对立事件也不是互斥事件．
故选：D．
根据已知条件，结合对立事件、互斥事件的定义，即可求解．
本题主要考查对立事件、互斥事件的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：对于A，当m∈(12,2)时，0<2−m<32，32∴0<1m+1<12−m，
∴x212−m+y21m+1=1表示焦点在x轴上的椭圆，即曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，A正确；
对于B，若曲线C表示双曲线，则(2−m)(m+1)<0，解得：m<−1或m>2，
即实数m的取值范围为(−∞,−1)∪(2,+∞)，B错误；
对于C，当m=2时，曲线C：3y2=1，即y=± 33，
即曲线C表示两条直线，C错误；
对于D，若曲线C为等轴双曲线，则(2−m)(m+1)<0−(2−m)=m+1，解集为⌀，
∴不存在m∈R，使得曲线C为等轴双曲线，D错误．
故选：A．
根据二元二次方程表示椭圆、双曲线的基本要求依次判断ABD选项即可；由m=2时，曲线C的方程可知C错误．
本题主要考查了曲线与方程的判断，属于中档题．
3.【答案】C
【解析】解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1正方向为x，y，z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
设AB=1，
则D(0,0,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，
∴AC=(−1,1,0)，A1D=(−1,0,−1)，BD=(−1,−1,0)，A1A=(0,0,−1)，A1C1=(−1,1,0)
设E(x,y,1)，则A1E=λA1C，(0≤λ≤1)，
∴E(1−λ,λ,1)，CE=(1−λ,λ−1,1)，
对于A，|cs|=|AC⋅CE||AC|⋅|CE|=|2λ−1| 2× 2(λ−1)2+1不是定值，A错误；
对于C，|cs|=|BD⋅CE||BD|⋅|CE|=|λ−1+1−λ| 2× 2(λ−1)2+1=0，
对于B，|cs|=|A1D⋅CE||A1D|⋅|CE|=|λ−2| 2× 2(λ−1)2+1不是定值，B错误；
故直线BD与CE所成角为定值π2，C正确；
对于D，|cs|=|AA1⋅CE||AA1||CE|=1 2λ2−4λ+3不是定值，D错误．
故选：C．
以D为坐标原点可建立空间直角坐标系，设AB=1，E(x,y,1)，A1E=λA1C1(0≤λ≤1)，可得E(1−λ,λ,1)，利用线线角的向量求法可求得结果．
本题主要考查了空间角的求解，向量的应用是求解问题的关键，属于中档题．
4.【答案】B
【解析】解：y=ex的导数为y′=ex，y=lnx的导数为y′=1x，
设与曲线y=ex相切的切点为(m,n)，
直线y=k2(x+1)−1与曲线y=lnx相切的切点为(s,t)，
所以k1=em，k2=1s，即m=lnk1，s=1k2，
n=k1=k1(1+lnk1)−1，即lnk1=1k1，
又t=lns=−lnk2=k2(1+1k2)−1，即−lnk2=k2，可得ek2=1k2，
考虑k1为方程lnx=1x的根，k2为方程ex=1x的根，
分别画出y=ex，y=lnx和y=1x，y=x的图像，
可得y=ex和y=1x的交点与y=lnx和y=1x的交点关于直线y=x对称，
则k1=1k2，即k1k2=1．
故选：B．
分别求得y=ex，y=lnx的导数，设出切点可得切线的斜率，由已知切线方程可得两个切点的坐标(用k1，k2表示)，结合函数的图像的对称性，可得所求值．
本题考查导数的几何意义：求切线的方程，以及函数的图像的对称性，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
5.【答案】{1,2}
【解析】解：因为A={−1,0,1,2}，B={x|x≥1}，
所以A∩B={1,2}．
故答案为：{1,2}．
根据交集的定义求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
6.【答案】i
【解析】解：由(1−i)z=1+i，得z=1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i2=i．
故答案为：i．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．
7.【答案】x2=8y
【解析】解：由准线方程为y=−2可知焦点坐标为(0,2)，
所以抛物线标准方程为x2=8y，
故答案为：x2=8y．
根据准线方程可得焦点，即可得标准方程．
本题考查抛物线的几何性质，属基础题．
8.【答案】90.5
【解析】解：因为15×80%=12，
故这15人成绩的第80百分位数为90+912=90.5．
故答案为：90.5．
计算15×80%=12，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案．
本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．
9.【答案】{x|x<3或x≥175}
【解析】解：不等式2x−3≤5，即17−5xx−3≤0，所以(x−3)(5x−17)≥0x−3≠0．
解得x<3或x≥175，
所以不等式2x−3≤5的解集是{x|x<3或x≥175}.
故答案为：{x|x<3或x≥175}.
由题意，分式不等式变式成−5x+17x−3≤0，等价于(x−3)(5x−17)≥0x−3≠0，求解即可．
本题考查分式不等式的求法，考查计算能力，属于基础题．
10.【答案】36
【解析】解：先将4名教师分成1，1，2的三组，
则有C42种方法，
然后将三组人分配到3所学校，
则有A33种方法，
所以共有C42A33=36种方法．
故答案为：36．
先将4名教师分成三组，然后再将三组人分配到三所学校即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步乘法计数原理，属中档题．
11.【答案】1
【解析】解：因为(2− 3x)8=a0+a1x+a2x2+⋯+a8x8，
令x=1，得a0+a1+⋯+a7+a8=(2− 3)8，
令x=−1，得a0−a1+⋯−a7+a8=(2+ 3)8，
所以(a0+a2+⋯+a8)2−(a1+a3+⋯+a7)2=(a0+a1+⋯+a7+a8)(a0−a1+⋯−a7+a8)=(2− 3)8(2+ 3)8=[(2− 3)(2+ 3)]8=1．
故答案为：1．
利用赋值法得到a0+a1+⋯+a7+a8=(2− 3)8，a0−a1+⋯−a7+a8=(2+ 3)8，从而利用平方差公式即可得解．
本题主要考查二项式定理，考查转化能力，属于中档题．
12.【答案】559600
【解析】解：根据全概率公式任取一个部件它是良品的概率P=12×0.92+16×0.95+13×0.94=559600．
故答案为：559600．
利用全概率公式求解．
本题主要考查了全概率公式的应用，属于基础题．
13.【答案】3或1
【解析】解：当x∈(0,π)时，y=2sinx+sinx=3sinx，
此时函数在(0,π2)上单调递增，在(π2,π)上单调递减，∴函数的极大值为3sinπ2=3；
当x∈[π,2π)时，y=−2sinx+sinx=−sinx，此时函数在[π,3π2)上单调递增，在(3π2,2π)上单调递减，
∴函数的极大值为−sin3π2=1；
综上所述：y=2|sinx|+sinx在(0,2π)上的极大值为3或1．
故答案为：3或1．
分别在x∈(0,π)和x∈[π,2π)的情况下，化简函数解析式，根据正弦函数单调性可确定函数的单调性，由极大值定义可得结果．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
14.【答案】8
【解析】解：过O作OS⊥AB，OT⊥AC垂足分别为S，T则S，T分别是AB，AC的中点，
BC⋅AO=(BA+AC)⋅AO=BA⋅AO+AC⋅AO
=−|BA||AS|+|AC|⋅|AT|=−3×32+5×52=8
故答案为：8
作出边AB，AC的垂线，利用向量的运算将BC用BA,AC表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积．
本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义，以及三角形的外心，属于基础题．
15.【答案】9
【解析】【分析】
先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f(x)在(π18,5π36)单调，分f(x)在(π18,5π36)单调 递增、单调递减两种情况，分别求得ω的最大值，综合可得它的最大值．本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称 性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．
【解答】
解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，x=−π4为f(x)的零点，x=π4为y=f(x)图象的对称轴，
∴ω(−π4)+φ=nπ，n∈Z，且ω⋅π4+φ=n′π+π2，n′∈Z，
∴相减可得ω⋅π2=(n′−n)π+π2=kπ+π2，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．
∵f(x)在(π18,5π36)单调，
(1)若f(x)在(π18,5π36)单调递增，
则ω⋅π18+φ≥2kπ−π2，且ω⋅5π36+φ≤2kπ+π2，k∈Z，
即−ω⋅π18−φ≤−2kπ+π2①，且ω⋅5π36+φ≤2kπ+π2，k∈Z ②，
把①②可得336ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．
当ω=11时，−114+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=−π4．
此时f(x)=sin(11x−π4)在(π18,5π36)上不单调，不满足题意．
当ω=9时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=π4，
此时f(x)=sin(9x+π4)在(π18,5π36)上单调递减，不满足题意；
故此时ω无解．
(2)若f(x)在(π18,5π36)单调递减，
则ω⋅π18+φ≥2kπ+π2，且ω⋅5π36+φ≤2kπ+3π2，k∈Z，
即−ω⋅π18−φ≤−2kπ−π2 ③，且ω⋅5π36+φ≤2kπ+3π2，k∈Z ④，
把③④可得336ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．
当ω=11时，−114+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=−π4．
此时f(x)=sin(11x−π4)在(π18,5π36)上不单调，不满足题意．
当ω=9时，−9π4+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤π2，∴φ=π4，
此时f(x)=sin(9x+π4)在(π18,5π36)上单调递减，满足题意；
故ω的最大值为9．
故答案为9．
16.【答案】22024−2
【解析】解：因为f(x)=x2+px+q有两个零点1、2，
由韦达定理可得1+2=−p1×2=q，解得p=−3q=2，
所以f(x)=x2−3x+2，f′(x)=2x−3，
由题意可得xn+1=xn−xn2−3xn+22xn−3=xn2−22xn−3，
所以xn+1−2xn+1−1=xn2−22xn−3−2xn2−22xn−3−1=xn2−4xn+4xn2−2xn+1=(xn−2)2(xn−1)2，
又因为an=lnxn−2xn−1，所以an+1=lnxn+1−2xn+1−1=2lnxn−2xn−1=2an，
又a1=2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以S2023=2(1−22023)1−2=22024−2．
故答案为：22024−2．
根据二次函数f(x)的零点可求得p，q的值，求出f′(x)，推导出数列{an}为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得S2023．
考查数列与函数的综合，函数的导数的运算，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
17.【答案】(1)证明：∵ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，
∴D1D⊥平面ABCD，则BC⊥D1D.
∵AB/​/CD，AB⊥AD，∴四边形ABCD为直角梯形，
又∵AB=AD=1，CD=2，∴BD2=2，BC2=2，
得BD2+BC2=CD2，则BC⊥DB，
∵D1D∩DB=D，∴BC⊥平面D1DB；
(2)解：由已知可得，BD1= 6，BC= 2，
又由(1)知BC⊥BD1，∴S△BCD1=12× 2× 6= 3，
S△BCD=12×2×1=1，VD1−BCD=13×1×2=23，
设点D到平面BCD1的距离为h，由VD1−BCD=VD−BCD1，
可得13× 3×h=23，则h=2 33．
即点D到平面BCD1的距离为2 33．
【解析】(1)证明直线BC垂直面D1DB内的两条相交直线D1D、DB，即可得到BC⊥平面D1DB；
(2)利用等体积法求点D到平面BCD1的距离．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．
18.【答案】解 (Ⅰ)由已知2AB⋅AC=a2−(b+c)2，
化为2bccsA=a2−b2−c2−2bc，(2分)
由余弦定理a2=b2+c2−2bccsA得4bccsA=−2bc，
∴csA=−12，(4分)
∵0(Ⅱ)∵A=2π3，∴B=π3−C，02 3cs2C2−sin(4π3−B)=2 3×1+csC2+sin(π3−B)
= 3+2sin(C+π3).(8分)
∵0∴当C+π3=π2，2 3cs2C2−sin(4π3−B)取最大值2+ 3，
解得B=C=π6.(12分)
【解析】(Ⅰ)通过化简向量的表达式，利用余弦定理求出A的余弦值，然后求角A的大小；
(Ⅱ)通过A利用2012年6月7日17：54：00想的内角和，化简2 3cs2C2−sin(4π3−B)为C的三角函数，通过C的范围求出表达式的最大值，即可求出最大值时角B、C的大小．
本题借助向量的数量积考查余弦定理以及三角函数的最值，考查计算能力．
19.【答案】解：(1)用X表示员工所获得的奖励额，
因为P(X=80)=C32C42=12，P(X=120)=C31C11C42=12，
所以P(X=80)=P(X=120)，
故员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率相等；
(2)第一种方案为(20,20,100,100)，
设员工所获得的奖励额为X1，则X1的分布列为
所以X1的数学期望为E(X1)=40×16+120×23+200×16=120，
X1的方差为D(X1)=(40−120)2×16+(120−120)2×23+(200−120)2×16=64003；
第二种方案为(40,40,80,80)，
设员工所获得的奖励额为X2，则X2的分布列为
所以X2的数学期望为E(X2)=80×16+120×23+160×16=120，
X2的方差为D(X2)=(80−120)2×16+(120−120)2×23+(160−120)2×16=16003，
又因为500E(X1)=500E(X2)=60000(元)，
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，
故应选择第二种方案．
【解析】本题考查了离散型随机变量的分布列，期望与方差的应用，属于中档题．
(1)根据超几何分布求出员工获得80元奖励额与获得120元奖励额的概率即可；
(2)根据题意可知有两种方案(20,20,100,100)、(40,40,80,80)，分别求出对应的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，从而得出结论．
20.【答案】解：(1)由题知：|MA|+|MB|=6>|AB|，∴点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆．
由2a=6，得a=3，又c=2，∴b= a2−c2= 5，
∴椭圆的标准方程为x29+y25=1．
(2)当直线CD斜率不存在时，直线方程为x=2，则C(2,53)，D(2,−53)，
∴OC⋅OD=2×2+53×(−53)=119．
当CD斜率存在时，设为k，直线方程为y=k(x−2)，
与x29+y25=1联立，消y得(5+9k2)x2−36k2x+36k2−45=0，
则△=(−36k2)2−4(5+9k2)(36k2−45)=900k2+900>0，
设C(x1,y1)，D(x2,y2)，x1+x2=36k25+9k2，x1x2=36k2−455+9k2，
则OC⋅OD=x1x2+y1y2=x1x2+k2(x1−2)(x2−2)=(1+k2)x1x2−2k2(x1+x2)+4k2
=(1+k2)(36k2−45)5+9k2−2k2×36k25+9k2+4k2=11k2−455+9k2=119(5+9k2)−46095+9k2=119−4609(5+9k2)<119．
综上，OC⋅OD的最大值为119．
(3)垂直．证明如下：设点Q(m,n)，则m2+n2=14．
①当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与x轴垂直时，切线方程为x=±3，
即m=±3，得n=± 5，∴另一条切线方程为y=± 5，即与x轴平行，∴两切线垂直．
②当斜率存在时，m2≠9，设切线方程为y=k(x−m)+n，
联立x29+y25=1，消y得(5+9k2)x2+18k(n−km)x+9(n−km)2−45=0．
由于直线与椭圆相切，得△=[18k(n−km)]2−4(5+9k2)×[9(n−km)2−45]=0．
化简得(m2−9)k2−2mnk+n2−5=0．
∵m2−9≠0，∴k1k2=n2−5m2−9=9−m2m2−9=−1，即两条切线相互垂直．
综上，过点Q作的两条切线QE与QF垂直．
【解析】(1)由垂直平分线的性质和椭圆的定义，可得所求轨迹和方程；
(2)讨论当直线CD斜率不存在时，当CD斜率存在时，设为k，直线方程为y=k(x−2)，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及数量积的坐标表示，不等式的性质可得所求最大值；
(3)设点Q(m,n)，讨论①当两切线中有一条切线斜率不存在时，②当斜率存在时，设出切线方程，联立椭圆方程，运用相切的条件：判别式为0，即可得到结论．
本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆的定义和方程、性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线和椭圆相切的条件，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(I)∵f(x)=x，
∴g(x)=λx+sinx，
∵g(x)在[−1,1]上单调递减，
∴g′(x)=λ+csx≤0
∴λ≤−csx在[−1,1]上恒成立，λ≤−1，故λ的最大值为−1．
(II)由题意[g(x)]max=g(−1)=−λ−sinl
∴只需−λ−sinl∴(t+1)λ+t2+sin+1>0(其中λ≤−1)，恒成立，
令h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1>0(λ≤−1)，
则t+1<0−t−1+t2+sin1+1>0，
∴t<−1t2−t+sin1>0，而t2−t+sin1>0恒成立，
∴t<−1
又t=−1时−λ−sinl故t≤−1(9分)
(Ⅲ)由lnxf(x)=lnxx=x2−2ex+m．
令f1(x)=lnxx,f2(x)=x2−2ex+m，
∵f1′(x)=1−lnxx2，
当x∈(0,e)时，f1′(x)≥0，
∴f1(x)在(0,e]上为增函数；
当x∈[e,+∞)时，f1′(x)≤0，
∴f1(x)在[e,+∞)为减函数；
当x=e时，[f1(x)]max=f1(e)=1e，
而f2(x)=(x−e)2+m−e2，
∴当m−e2>1e，即m>e2+1e时，方程无解；
当m−e2=1e，即m=e2+1e时，方程有一个根；
当m−e2<1e时，m【解析】(I)由题意由于f(x)=x，所以函数g(x)=λf(x)+sinx=λx+sinx，又因为该函数在区间[−1,1]上的减函数，所以可以得到λ的范围；
(II)由于g(x)(III)利用方程与函数的关系可以构造成两函数图形的交点个数加以分析求解．
此题考查了导函数，利用导函数求解恒成立问题，还考查了方程的根的个数等价于相应的两函数的交点的个数，即函数与方程的解之间的关系．X1
40
120
200
P
16
23
16
X2
80
120
160
P
16
23
16