2022-2023学年上海市市北中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年上海市市北中学高二下学期期中数学试题

一、填空题

1．点到直线的距离为______．

【答案】1

【分析】直接利用点到直线的距离公式计算可得.

【详解】点到直线的距离.

故答案为：

2．抛物线的准线方程为________．

【答案】

【分析】根据抛物线的准线方程直接写出即可.

【详解】由题, 开口向左,且,故准线方程为,即.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了抛物线的准线方程,属于基础题.

3．双曲线的离心率为__________．

【答案】

【分析】由双曲线的性质求解.

【详解】双曲线的离心率为.

故答案为：

4．直线的倾斜角的大小为______．

【答案】/

【分析】首先求出直线的斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算可得.

【详解】直线的斜率，

设直线的倾斜角为，则，又，

所以.

故答案为：

5．已知为椭圆上一动点，记原点为，若，则点的轨迹方程为______．

【答案】

【分析】先设点，再由应用相关点法求轨迹方程即可.

【详解】设点，由得点，而点为椭圆上的任意一点，

所以，整理得，

所以点的轨迹方程是.

故答案为：

6．已知直线，，若，则实数______．

【答案】

【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可.

【详解】因为直线，，且,

所以，解得或，

当直线，，两直线重合，故舍去.

故答案为：

7．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定不同两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．若且，则该圆的半径为______．

【答案】4

【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系求出圆的方程作答.

【详解】以点B为原点，射线BA为x轴非负半轴建立平面直角坐标系，如图，

则，设，由，得，

化简整理得，因此点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，

所以该圆的半径为4.

故答案为：4

8．已知函数的导数为，若，则______．

【答案】

【分析】求出函数的导函数，令，解得即可.

【详解】因为，

则，令可得

解得.

故答案为：

9．曲线为到两定点、距离乘积为常数16的动点的轨迹．以下结论正确的编号为______．

①曲线一定经过原点；

②曲线关于轴对称，但不关于轴对称；

③的面积不大于8；

④曲线在一个面积为的矩形范围内．

【答案】③④

【分析】求出动点轨迹方程，由方程确定轨迹的性质，判断各结论．

【详解】设，则，

对于①，原点代入方程，得，即方程不成立，曲线一定不经过原点，命题①错误；

对于②以代替，可得成立，

以代替，可得成立，

即曲线关于、轴对称，命题②错误；

对于③，显然、、三点不共线，

设，，，则，

由余弦定理得，

当且仅当时等号成立，则为锐角，所以，

则的面积为，命题③正确；

对于④，，

可得，得，解得，

由③知，得，即

曲线在一个面积为的矩形内，命题④正确.

综上，正确的命题有③④.

故答案为：③④

10．已知实数满足，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】讨论得到其图象是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得的取值范围，进而可得的取值范围.

【详解】

因为实数满足，

当时，方程为的图象为椭圆在第一象限的部分；

当时，方程为的图象为双曲线在第四象限的部分；

当时，方程为的图象为双曲线在第二象限的部分；

当时，方程为的图象不存在；

在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，

根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，

令，即，与双曲线渐近线平行，

当最大时，直线与椭圆相切，

联立方程组，得，

，

解得，

又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，

所以，

当直线与双曲线渐近线重合时，z最小但取不到最小值，即，所以

综上所述，，

所以，

即，

故答案为：.

【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

二、单选题

11．设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】D

【分析】首先求出，再根据椭圆的定义得解.

【详解】椭圆，则，所以，

因为是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点距离之和为.

故选：D

12．已知点，曲线的方程为，曲线的方程为，则“点在曲线上”是“点在曲线上”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【详解】若点在曲线上，则，显然，即满足曲线的方程为，

即点在曲线上，故充分性成立，

若点在曲线上，则，此时，不一定满足，

即点不一定在曲线上，故必要性不成立，

故“点在曲线上”是“点在曲线上”的充分非必要条件.

故选：A

13．若圆和圆没有公共点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，再由圆心距与半径间的关系列式求解．

【详解】化圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，

则k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为，

圆C1：x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1．

要使圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0没有公共点，

则|C1C2|或|C1C2|，

即5或5，

解得﹣25＜k＜﹣9或k＞11．

∴实数k的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．

故选：D．

【点睛】本题考查圆与圆位置关系的判定及应用，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．

14．将曲线()与曲线()合成的曲线记作．设为实数，斜率为的直线与交于两点，为线段的中点，有下列两个结论：①存在，使得点的轨迹总落在某个椭圆上；②存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，那么（    ）．

A．①②均正确 B．①②均错误

C．①正确，②错误 D．①错误，②正确

【答案】C

【分析】对①，分析当时点的轨迹总落在某个椭圆上即可；

对②，设，，，则，利用点差法，化简可得，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上则为常数，再化简分析推出无解即可

【详解】设，，，则.

对①，当时，，，易得，故两式相减有，易得此时，故，所以，即.代入可得，所以，故存在，使得点的轨迹总落在椭圆上.故①正确；

对②，， .由题意，若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则，，

两式相减有，即，又，故，即，又，故若存在，使得点的轨迹总落在某条直线上，则为常数.即为定值，因为分子分母次数不同，故若为定值则恒成立，即，无解.即不存在，使得点的轨迹总落在某条直线上

故选：C

三、解答题

15．已知圆的方程为，过点作直线l交圆于A、B两点．

(1)当直线l的斜率为1时，求弦AB的长；

(2)当直线l的斜率变化时，求动弦AB的中点Q的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)，其中.

【分析】（1）由点斜式表示此时直线l的方程，利用弦长公式计算即可；

（2）根据几何性质判定Q的轨迹即可.

【详解】（1）直线l的斜率为1时，此时过P的直线可表示为：，

设圆心到的距离为d,圆的半径为r，则.

由题意可得r=3，，所以.

（2）

如图所示，根据垂径定理，易知AB中点Q与O的连线垂直于AB，即可得Q在以OP为直径的圆上，同时Q应在圆内，即圆弧.

设圆心为C，则，，则Q在上，与联立可得

故Q轨迹方程为，其中.

16．已知函数，其中．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)当函数有且仅有一个驻点时，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）求出导函数计算，再求得，由点斜式得切线方程；

（2）根据题意，由方程有且仅有一个正实根求出实数a的取值范围即可．

【详解】（1）时，，则，

所以切线的斜率为，又，

所以在点处的方程为，即；

（2）的定义域是，，

因为函数有且仅有一个驻点，所以方程有且仅有一个正实根.

显然当时不符合题意．

对于方程，

若，则或（舍），

当时，由，得，

所以，符合方程有且仅有一个正实根；

若，则或，

当时，方程的两根满足，

所以方程的一根为正，一根为负，符合只有一正根，满足题意；

当时，方程的两根满足，

又，所以方程的两根均为正，不满足题意；

若，方程无实根，不符合题意.

综上，的范围是．

17．已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为．

(1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；

(2)若斜率，求的面积；

(3)若是等腰三角形且，求实数．

【答案】(1)

(2)

(3)或

【分析】（1）由抛物线的定义求解即可；

（2）由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可；

（3）将抛物线方程与直线方程联立，用表示出中点的坐标，使即可.

【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为.

由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和，则，，

∴.

（2）若斜率，则直线的方程为，

由消去，整理得，，

∵,，∴，，

由抛物线的定义，.

到直线即的距离为，

∴的面积.

（3）直线的方程为，（易知）

由消去，整理得，，

∵,，∴，，

∴中点，

其中，，∴，

∵是等腰三角形且，∴，

∴，解得.

∴实数的值为或.

18．已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O．

(1)当直线l垂直于x轴时，求弦长；

(2)当时，求直线l的方程；

(3)是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？

【答案】(1)3

(2)

(3)存在，

【分析】（1）求出点A、点B的坐标，进而求得的值.

（2）设出直线l的方程，联立直线l的方程与椭圆方程，运用韦达定理及向量坐标运算即可求得结果.

（3）当直线l斜率存在时，运用韦达定理可得关于k的式子，要使得为定值，则只需要式子的分子、分母成倍数关系，列式求解可得m的值，检验斜率不存在时是否成立即可.

【详解】（1）由题意知，，

将代入椭圆方程得，

不妨设，，

所以.

（2）由（1）知，当直线l斜率不存在时，不妨设，，

则，，

所以，不符合题意，舍去，

所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为：，

，

设，，

则，，

所以，

解得：，

所以，

所以直线l的方程为：.

（3）假设是一个定值.

①当直线l的斜率存在时，

由（2）知，，，

因为，，

所以，

要使得是一个定值，则，

解得：，

此时.

②当直线l的斜率不存在时，由（1）知，，，

则，，

所以，

当时，.

综上，存在，位于x轴上的定点使得是一个定值为.