2023-2024学年山东省滨州市博兴县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年山东省滨州市博兴县八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各组线段中，不能组成三角形的是( )
A. 3，3，5B. 5，6，7C. 3，8，8D. 5，6，11
2.下列运算不正确的是( )
A. b6÷b3=b3B. x4+x4=2x8C. (−3a4)2=9a8D. m⋅m6=m7
3.下列图形：①线段，②圆，③三角形，④长方形，其中轴对称图形的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.如图，在△ABC中，AB=BC，AD是中线，BE=CF，则下列说法：①AD平分∠EDF，②△EBD≌△FCD，③BD=FD，④AD⊥BC，其中正确的个数为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
5.下列各式：①(a−4)(a+4)，②(−x−3)(−x+3)，③(m−5)(−5−m)，④(−x+y)(−y+x)，其中在进行乘法运算时，能够利用平方差公式进行运算的个数为( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
6.把分式方程xx+1=3x−1+1变形为x(x−1)=3(x+1)+(x+1)(x−1)的形式，其依据为( )
A. 等式性质1B. 等式性质2C. 分式的基本性质D. 分式的乘法法则
7.如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线.若∠BAC=60∘，∠C=70∘，则∠EAD的大小为( )
A. 5∘
B. 10∘
C. 15∘
D. 20∘
8.如图，△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，且BD//AC，小明同学得出了下列结论：①PM=PN；②点P在∠CAB的平分线上；③∠CPB=90∘−∠A；④AB=CB.其中错误的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若代数式x+2x−2有意义，则x的取值范围是______.
10.一个多边形的内角和为900∘，则这个多边形的边数为______.
11.如图，将两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点固定在O点，使AA′，BB′可以绕着O点转动，就做成了一个测量工具，则A′B′的长等于内槽宽AB，原因是△OAB和△OA′B′全等，那么判定△OAB和△OA′B′全等的依据为______.
12.在平面直角坐标系中，点P(1,−6)关于x轴对称的点Q的坐标为______.
13.如果分式x2−42x2−5x+2的值是0，则x的值为______.
14.我们规定：等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值”，记作m.若m=2，则该等腰三角形底角的大小为______.
15.已知xm=6，xn=3，则x2m−n的值为______.
16.我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形来解释二项和(a+b)n的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的各项系数.例如三角形第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项(a+b)5的系数，此三角形称为“杨辉三角”.若根据“杨辉三角”的特征写出(a+b)10的展开式，则其第三项的系数为______.
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某海边公园一“帆船造型”景点的设计如图所示，其中点B，E，C，F在同一条直线上.若AB//DE，AB=DE，BE=CF，那么AC与DF平行吗？为什么？
18.(本小题12分)
计算：
(1)(2x+y)(3x−y+1)；
(2)3(a−b)2−(2a+b)(−b+2a).
19.(本小题12分)
分解因式：
(1)(3x−2)2−(2x+7)2；
(2)4+12(x−y)+9(x−y)2.
20.(本小题12分)
先化简，再求值：(a−2a2+2a−a−1a2+4a+4)÷a−4a+2，其中a是方程aa−1−1=3a2−1的解.
21.(本小题12分)
在Rt△ABC中∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线.
(1)求∠B的大小；
(2)求证：BC=3DC.
22.(本小题12分)
如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边EF上建一自来水厂向A村与B村供水.若要使水厂到A，B村的水管(同样的料)用料最省，则水厂应建在什么位置？
(1)请利用尺规作图的方法找出水厂应建位置(保留作图痕迹)；
(2)请根据画法写出每一步的详细作图步骤；
(3)请根据画法证明你的结论.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.3+3=6>5，∴3，3，5能组成三角形，故A不符合题意；
B.5+6=11>7，∴5，6，7能组成三角形，故B不符合题意；
C.3+8=11>8，∴3，8，8能组成三角形，故C不符合题意；
D.5+6=11，∴5，6，11不能组成三角形，故D符合题意；
故选：D.
根据三角形的三边关系即可解答．
本题主要考查了三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”．
2.【答案】B
【解析】解：A.b6÷b3=b3，故该选项正确；
B.x4+x4=2x4，故该选项错误；
C. (−3a4)2=9a8，故该选项正确；
D.m⋅m6=m7，故该选项正确；
故选：B.
根据同底数幂的乘法法则、同底数幂的除法法则、合并同类项、积的乘方法则逐项计算，即可得出答案．
本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：线段、圆、长方形是轴对称图形，三角形不是轴对称图形，
∴轴对称图形的个数为3个；
故选：C.
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查了轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4.【答案】C
【解析】解：∵AB=BC，AD是中线，
∴AD⊥BC，∠B=∠C，BD=CD，
即④正确；
在△EBD和△FCD中，
BD=CD∠B=∠CBE=CF，
∴△EBD≌△FCD(SAS)，
故②正确；
∴∠BDE=∠CDF；
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴∠ADE=∠ADF，
∴AD平分∠EDF，
故①正确；
∵△EBD≌△FCD，
∴DE=FD，
∴当DE=BD时，有BD=FD，否则不相等，
故③错误；
故正确的有3个，
故选：C.
由等腰三角形的性质可判断④正确，且∠B=∠C，进而可证明△EBD≌△FCD，即可判断②正确；从而可判断①正确；至于③不一定正确．
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握这些知识点是关键．
5.【答案】B
【解析】解：(a−4)(a+4)，(−x−3)(−x+3)，(m−5)(−5−m)均符合平方差公式的结构特点，能够利用平方差公式进行运算；而(−x+y)(−y+x)中，前一多项式的两项与后一多项式中的两项分别互为相反数，故不能用平方差公式进行运算；
故选：B.
根据平方差公式的特点进行判断即可．
本题考查了平方差公式，从相乘的两个多项式的项来看，平方差公式的结构特点：从相乘的两个多项式的项来看，有相同的项，有互为相反数的项，乘积的结果是相同的项的平方减去互为相反数的项的平方；从运算来看，是两数的和与两数的差的积，结果是两数的平方差，掌握这一特点是关键．
6.【答案】B
【解析】解：分式方程xx+1=3x−1+1等式两边同时乘以(x+1)(x−1)得到x(x−1)=3(x+1)+(x+1)(x−1)，
∴A、等式性质1：等式两边同时加上或者减去同一个式子，等式仍成立，不符合题意；
B、等式性质2：等式两边同时乘同一个式子，等式仍成立，符合题意；
C、分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为0的整式，分式值不变，不符合题意；
D、分式的乘法法则：分式的分子和分母分别相乘，即分式的分子和分母与另一个分式的分子和分母相乘，不符合题意；
故选：B.
根据等式的性质，分式的性质，逐一判断即可．
本题考查解分式方程，掌握分式方程的性质是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠BAC=60∘，∠C=70∘，
∴∠B=180∘−∠BAC−∠C
=180∘−60∘−70∘
=50∘.
∵AD是高，AE是角平分线．
∴∠ADC=90∘，∠BAE=12∠BAC=30∘.
∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC−∠B=90∘−50∘=40∘.
∵∠BAD=∠BAE+∠EAD，
∴∠EAD=∠BAD−∠BAE=40∘−30∘=10∘.
故选：B.
先利用三角形的内角和定理及推论求出∠B、∠BAD，再利用角平分线的性质求出∠BAE，最后利用角的和差关系得结论．
本题主要考查了三角形的内角和定理及推论，掌握“三角形的内角和是180∘”、“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”、角的和差关系等知识点是解决本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：过点P作PG⊥BC于点G，
∵BD平分∠MBD，CE平分∠BCN，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，
∴PM=PG，PN=PG，
∴PM=PN，故①正确；
连接AP，
∵PM=PN，
∴点P在∠CAB的平分线上，故②正确；
∵BD//AC，
∴∠A=∠MBP，
∵PM⊥AB，
∴∠MBP+∠BPM=90∘，
∴∠MPB=90∘−∠A，
在Rt△BPM与Rt△BPG中，
MP=GPBP=BP，
∴Rt△BPM≌Rt△BPG(HL)，
∴∠GPB=∠MPB，
∴∠GPB=90∘−∠A，由图可知∠BPC≠∠BPG，故③错误；
∵BD是∠MBC的平分线，
∴∠MBP=∠PBC，
∵BD//AC，
∴∠A=∠MBP，∠ACB=∠PBC，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=CB，故④正确．
故选：A.
过点P作PG⊥BC于点G，由角平分线的性质可得出PM=PG=PN，故①正确；连接AP，由PM=PN可知点P在∠CAB的平分线上，故②正确；由平行线的性质可知∠A=∠MBP，再由∠MBP+∠BPM=90∘可知∠MPB=90∘−∠A，由HL定理可知Rt△BPM≌Rt△BPG，故∠GPB=∠MPB，所以∠GPB=90∘−∠A，由图可知∠BPC≠∠BPG，故③错误；根据BD是∠MBC的平分线可知∠MBP=∠PBC，再由BD//AC可知∠A=∠MBP，∠ACB=∠PBC，故可得出∠A=∠ACB，据此得出结论．
本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
9.【答案】x≠2
【解析】解：∵代数式x+2x−2有意义，
∴x−2≠0，
∴x≠2，
故答案为：x≠2.
分式有意义的条件是：分母≠0，可得x−2≠0，解不等式可得答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是把握：分母≠0.
10.【答案】7
【解析】解：设这个多边形的边数为n，则有
(n−2)×180∘=900∘，
解得：n=7，
∴这个多边形的边数为7.
故答案为：7.
根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900∘，列出方程，解出即可．
本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题．
11.【答案】边角边
【解析】解：连接AB、A′B′，
∵两根长度相等的钢条AA′，BB′的中点固定在O点，
∴OA=OA′，OB=OB′，
∵∠AOB=∠A′OB′，
∴△OAB≌△OA′B′(SAS)；
故答案为：边角边．
由题意得OA=OA′，OB=OB′，由对顶角相等即可判定两个三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键．
12.【答案】(1,6)
【解析】解：点P(1,−6)关于x轴对称的点Q(1,6)，
故答案为：(1,6).
直接利用关于x轴对称点的性质得出Q点坐标．
本题主要考查了关于x轴对称点的性质以及点的坐标特点，正确掌握关于x轴对称点的性质是解题关键．
13.【答案】−2
【解析】解：∵x2−4=0，
∴x=±2，
当x=2时，2x2−5x+2=0，
当x=−2时，2x2−5x+2≠0，
∴当x=−2时，分式的值是0.
故答案为−2.
分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0.
分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．
14.【答案】72∘
【解析】解：设等腰三角形的顶角是α，底角是β，
∵等腰三角形一个底角与顶角度数的比值叫做等腰三角形的“特色值”，记作m.若m=2，
∴β：α=m=2，
∴β=2α，
∵β+β+α=180∘，
∴5α=180∘，
∴α=36∘，
∴β=72∘.
∴该等腰三角形底角的大小为72∘.
故答案为：72∘.
设等腰三角形的顶角是α，底角是β，根据题意得β：α=m=2，则β=2α，由三角形内角和定理即可求解．
本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，能根据等腰三角形性质、三角形内角和定理和已知得出5α=180∘是解此题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：x2m−n=(xm)2÷xn=36÷3=12.
故答案为：12.
根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，进行运算即可．
本题考查了同底数幂的除法运算及幂的乘方的知识，属于基础题．
16.【答案】45
【解析】解：根据“杨辉三角”的特征可得：
(a+b)0的第三项的系数为0，
(a+b)1的第三项的系数为0，
(a+b)2的第三项的系数为1，
(a+b)3的第三项的系数为3=1+2，
(a+b)4的第三项的系数为6=1+2+3，
(a+b)5的第三项的系数为10=1+2+3+4，
，
∴(a+b)10的第三项的系数为1+2+3+...+9=9×(9+1)2=45，
故答案为：45.
根据“杨辉三角”的特征确定出每个展开式中第三项的系数的规律解答即可．
本题考查了完全平方公式，数字的规律，弄清“杨辉三角”中的系数规律是解题的关键．
17.【答案】解：AC//DF，理由如下：
∵BE=CF，
∴BC=EF.
∵AB//DE，
∴∠B=∠DEF.
在△ABC和△DEF中，
AB=DE,∠B=∠DEF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠F，
∴AC//DF.
【解析】根据线段的和差求出BC=EF，根据平行线的性质得出∠B=∠DEF，利用SAS证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得到∠ACB=∠F，根据平行线的判定即可得解．
此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
18.【答案】解：(1)(2x+y)(3x−y+1)
=6x2−2xy+2x+3xy−y2+y
=6x2+xy+2x−y2+y.
(2)3(a−b)2−(2a+b)(−b+2a)
=3(a2−2ab+b2)−(4a2−b2)
=3a2−6ab+3b2−4a2+b2
=−a2−6ab+4b2.
【解析】(1)根据多项式乘多项式的法则展开，最后合并同类项即可；
(2)分别利用完全平方公式与平方差公式展开，再合并同类项即可．
本题考查了整式乘法的混合运算，乘法公式，正确进行运算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)原式=[(3x−2)+(2x+7)][(3x−2)−(2x+7)]
=(3x−2+2x+7)(3x−2−2x−7)
=(5x+5)(x−9)
=5(x+1)(x−9)；
(2)原式=22+2×2×[3(x−y)]+[3(x−y)]2
=[2+3(x−y)]2
=(3x−3y+2)2.
【解析】(1)原式运用平方差公式进行因式分解即可；
(2)原式运用完全平方公式进行因式分解即可．
此题考查了分解因式，熟记完全平方公式和平方差公式是解答的关键．
20.【答案】解：原式=[a−2a(a+2)−a−1(a+2)2]⋅a+2a−4
=a−4a(a+2)2⋅a+2a−4
=1a2+2a，
解方程aa−1−1=3a2−1，
去分母得：a(a+1)−(a2−1)=3，
去括号得：a2+a−a2+1=3，
解得a=2，
当a=2时，原式=1a2+2a=18.
【解析】先根据分式的混合运算法则计算化简，再求出方程的解，代入求值即可．
本题主要考查了分式的化简求值及分式方程的解，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】(1)解：∵∠C=90∘，
∴∠B+∠BAC=90∘，
∴∠B+∠BAD+∠DAC=90∘，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵DE是AB垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
∴∠B=∠BAD=∠DAC=30∘，
∴∠B的度数为30∘；
(2)证明：在Rt△BDE中，∠B=30∘，
∴BD=2DE，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC，
∴BD=2CD，
∴BC=3DC.
【解析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余可得∠B+∠BAC=90∘，从而可得∠B+∠BAD+∠DAC=90∘，然后根据角平分线的定义可得∠BAD=∠DAC，
再根据线段垂直平分线的性质可得DA=DB，从而可得∠B=∠BAD=∠DAC=30∘，即可解答；
(2)在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD=2DE，然后利用角平分线的性质可得DE=DC，从而进行计算即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)过A作EF的垂线MN，交EF于K，在射线KN上截取KA′=KA，连接A′B交EF于O，如图：
点O即为水厂应建位置；
(2)作法：
①以点A为圆心．以大于点A到直线EF的距离为半径画弧，交直线EF于两点C，D；
②分别以点C，D为圆心．以大于12CD的长为半径画弧交于异于点A的另一点M；
③过M，A作直线MN，交直线EF于点K；
④在射线KN上截取KA′=KA：
⑤连接BA′交直线EF于点O；
点O即为所求；
(3)证明：由作图可知：AC=AD，MC=MD，
∵AM=AM，
∴△ACM≌△ADM(SSS)，
∴∠CAM=∠DAM，
∵MC=MD，
∴MK⊥EF，
∵KA=KA′，
∴EF是AA′的垂直平分线，
∴OA=OA′，
∴OA+OB=OA′+OB，
∵A′，O，B共线，
∴此时OA+OB最小，最小值即为A′B的长度．
【解析】(1)过A作EF的垂线MN，交EF于K，在射线KN上截取KA′=KA，连接A′B交EF于O，点O即为水厂应建位置；
(2)根据作图写出作法即可；
(3)证明：△ACM≌△ADM(SSS)，知∠CAM=∠DAM，可得MK⊥EF，而KA=KA′，即得EF是AA′的垂直平分线，故OA=OA′，OA+OB=OA′+OB，又A′，O，B共线，从而知此时OA+OB最小，最小值即为A′B的长度．
本题考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握“将军饮马”问题的解决方法．