2022-2023学年福建省厦门市同安区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省厦门市同安区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  使二次根式有意义的的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下面各组数是三角形三边的长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  下列式子中，最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，在▱中，，，的平分线交于点，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法错误的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列命题的逆命题成立的是(    )

A. 全等三角形的对应角相等 B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两条直线平行，同位角相等 D. 对顶角相等

8.  菱形的周长为，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，在中，、分别是、的中点，，是线段上一点，连接、，，若，则的长度是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点若，，则长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共28.0分）

11.  ______ ；
______ ；
______ ；
______ ．

12.  如图，▱中，对角线，交于点，点是的中点若，则的长为______ ．

13.  如图所示，数轴上点所表示的数为，则的值是______ ．

14.  九章算术中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈一丈尺，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点，则点的坐标为______ ．

16.  如图，菱形的边长为，，为的中点，点在上若是上动点，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
；
．

18.  本小题分
如图，已知四边形是平行四边形，对角线、相交于点，点、在上，．
求证：．

19.  本小题分
已知，，求代数式的值．

20.  本小题分
如图，货船和轮船从码头同时出发，其中，货船沿着北偏西方向以海里小时的速度匀速航行，轮船沿着北偏东方向以海里小时的速度航行，小时后，两船分别到达，点求，两点之间的距离．

21.  本小题分
如图，为▱的对角线，点在边上．
尺规作图：求作点，使得：要求：不写作法，保留作图痕迹
在的条件下，连接，若，，，求证：．

22.  本小题分
在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
证明四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．

23.  本小题分
填空：只填写符号：，，，或
当，时， ______ ；
当，时， ______ ；
当，时， ______ ；
当，时， ______ ．
观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；提示：
实践应用：现在要用篱笆围一个面积为的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？

24.  本小题分
如图，正方形中，点，，分别在，，上，且，垂足为点．
求证：；
平移图中线段，使点与点重合，点在延长线上，连接，取中点，连接如图，试探究线段与的数量关系，并说明理由．
 

25.  本小题分
如图，将矩形放置于第一象限，使其顶点位于原点，且点，分别位于轴，轴上若满足．
求点的坐标；
取中点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交轴于点．
求的长；
如图，点位于线段上，且点为平面内一动点，满足，连接请你求出线段长度的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：二次根式有意义，
可得，
解得．
故选：．
根据二次根式的被开方数为非负数可得出关于的一次不等式，解出即可得出的范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，属于基础题，解答本题关键是掌握二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数为非负数．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
B、，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意；
C、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．如果没有这种关系，这个就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故不是最简二次根式，不合题意；
B、，是最简二次根式，符合题意；
C、，故不是最简二次根式，不合题意；
D、，故不是最简二次根式，不合题意．
故选：．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了最简二次根式，正确把握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：与不是同类二次根式，不能加减，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：．
利用二次根式的加减法法则计算、，利用二次根式的乘、除法法则计算、，根据计算结果判断即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
又平分，
，
，
，
．
故选：．
根据角平分线及平行线的性质可得，继而可得，根据即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是得出，判断三角形中，，难度一般．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
故A、、C正确，
故错误的是，
故选：．
利用排除法解决问题即可，只要证明、、C正确即可．
本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形的性质解决问题，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：、“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两三角形全等”，此逆命题为假命题，所以选项错误；
B、“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题为“如果两个数的绝对值相等，那么它们相等”，此逆命题为假命题，所以选项错误；
C、“两条直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，此逆命题为真命题，所以选项正确；
D、“对顶角相等”的逆命题为“若两个角相等，那么这两个角是对顶角”，此逆命题为假命题，所以选项错误．
故选C．
先分别写出四个命题的逆命题，根据三角形全等的判定方法对的逆命题进行判断；根据一对相反数的绝对值相等对的逆命题进行判断；根据平行线的判定定理可对的逆命题进行判断；根据两个角相等，这两个角可为任意相等度数的角对的逆命题进行判断．
本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．也考查了逆命题．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，

在菱形中，，
，，，，，
是等边三角形，
，
菱形的周长为，
，
，
，
，
故可得．
故选：．
先证是等边三角形，可得，由直角三角形的性质可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出的长是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：、分别是、的中点，
，
，
，
，
，点是的中点，
，
故选：．
根据三角形中位线定理得到，根据题意求出，根据直角三角形的性质求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：连接，
由尺规作图过程可知，，为的平分线，
，
，
≌，
，
四边形为矩形，
，，，
，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
长为．
故选：．
连接，由尺规作图过程可知，，为的平分线，可证明≌，则，由矩形的性质及勾股定理可得，，设，则，在中，由勾股定理可列方程为，解方程即可．
本题考查作图基本作图、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

11.【答案】      

【解析】解：，
故答案为：；


，
故答案为：；


，
故答案为：；


，
故答案为：．
利用二次根式的化简的法则进行运算即可；
利用二次根式的化简的法则及加法的法则进行运算即可；
利用二次根式的化简的法则进行运算即可；
利用二次根式的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
；
又点是的中点，
，
．
故答案为：．
因为四边形是平行四边形，所以；又因为点是的中点，所以是的中位线，由，即可求得．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．还考查了三角形中位线的性质：三角形的中位线平行且等于三角形第三边的一半．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图可得，
，
故答案为：．
根据图形，利用勾股定理可以求得的值．
本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．
根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．
【解答】
解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则，，

在中，，即．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
点坐标为，
，，
四边形是正方形，
，，

，
，
在和中，
，
≌，
，，
点；
故答案为：．
过点作轴于，过点作轴于，根据点的坐标求出、，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形的性质可得，，然后写出点的坐标即可．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：菱形的边长为，，
，，
是等边三角形，
点关于的对称点为点，连接交于点，为的中点，
，，
．
故答案为：．
首先根据菱形的性质得出是等边三角形以及连接后与的交点即为点，进而利用锐角三角函数关系得出的长即可得出答案．
此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和锐角三角函数的应用等知识，熟练利用菱形性质是解题关键．
 

17.【答案】解：原式
；
原式
． 

【解析】先算乘法，化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
先展开，再合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，

，，
．
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】根据平行四边形的性质可得，，再判断四边形是平行四边形，即可得结论．
此题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和判定解答即可．
 

19.【答案】解：，，



． 

【解析】首先把代数式利用平方差公式因式分解，再进一步代入求得答案即可．
此题考查二次根式的化简求值，根据数据特点，灵活变形，进一步代入求得答案即可．
 

20.【答案】解：根据题意得，
在中，
，，
海里．
答：、两点之间的距离为海里． 

【解析】根据方向角的意义得到，然后利用勾股定理计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题：在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，然后通过解直角三角形解决问题．
 

21.【答案】解：如图，作的垂直平分线，交于，则点即为所求；

证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
是直角三角形，且，
，，
，
，
． 

【解析】作出的垂直平分线，交于；
先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再利用等角的余角得出，根据等角对等边即可证明．
本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，余角的性质，等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
 

22.【答案】证明：，
，
是的中点，是的中点，，
，，
在和中，

≌；
．
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
解：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，，
． 

【解析】此题考查了菱形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
首先根据题意画出图形，由，是的中点，是的中点，易证得≌，即可得，又由在中，，是的中点，可得，证得四边形是平行四边形，继而判定四边形是菱形；
首先连接，易得四边形是平行四边形，即可求得的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
 

23.【答案】       

【解析】解：当，时，，，则；
当，时，，，则；
当，时，，，则；
当，时，，，则；
故答案为：，，，；
；理由如下：
，
，
；
设长方形的长为，宽是，则，
，
，
，
即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是．
把各组、的值分别代入和中计算可判断它们的大小公式；
由于，然后利用完全平方公式展开，变形后可得到；
设长方形的长宽分别为，，则，利用中的结论得到，则，然后可确定镜框周长的最小值．
本题考查了二次根式的混合运算，先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
 

24.【答案】证明：过点作交的延长线于点，如图，
四边形是正方形，
，，
又，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：在上截取，如图，
则是等腰直角三角形，，
由知，≌，
，
，，
，
，
，
，
即； 

【解析】过点作交的延长线于点，如图，可证得四边形是平行四边形，进而可证≌，即可证得结论；
在上截取，如图，则是等腰直角三角形，，由≌，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论；
本题是四边形综合题，考查了正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
 

25.【答案】解：．
，，
解得，，
点的坐标为；
与关于所在直线对称，
，，，
如图，连接，

，
，，
设，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点为的中点，
；
取的中点，连接，．

，点是的中点，
．
，
，
，
由中点坐标公式可知：点的坐标为，
，
，
，
当点、、三点共线时，的长度最大，
则的最大值，
，，
，
的最大值．
故答案为：． 

【解析】由可得，，即可求解；
证明，得到≌，可得，即可求解；
取的中点，连接，当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解．
本题是四边形综合题，主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，平行四边形的判定，解决本题的关键是得到四边形是平行四边形．