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北师大版七年级数学上册 期末重难点真题特训之易错必刷题型（96题32个考点）（原卷版+解析）
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这是一份北师大版七年级数学上册 期末重难点真题特训之易错必刷题型（96题32个考点）（原卷版+解析），共97页。
易错必刷题一、生活中的立体图形
1．（2023上·广东河源·七年级统考期中）下面表述错误的一项是（ ）
A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点
B．一个长方体可能有2个面是正方形
C．一个长方体只有4条高
D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等
2．（2023上·四川成都·七年级校考期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米．
3．（2023上·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为．
(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？
(2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留）
易错必刷题二、展开与折叠
1．（2023上·陕西榆林·七年级校考期中）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2023上·广东广州·七年级校考开学考试）一个圆柱高为厘米．如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米，这个圆柱的体积是 立方厘米．
3．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）小明在将一个几何体纸盒沿着棱剪开使其成为表面展开图时，不小心剪断了，分成了如图、图所示两部分．
(1)这个几何体的名称是________，小明共剪开了________条棱；
(2)此时小明希望将图与图重新粘上，请你帮助小明将图画在图的边上，使其能重新折叠为一个完整的几何体纸盒（直接在图中完成作图）；
(3)在（）的条件下，计算这个几何体的表面积（用含的代数式表示）．
易错必刷题三、截一个几何体
1．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）下列说法不正确的是（ ）
①长方体一定是柱体；②七棱柱有9个面；③五棱柱有10个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形．
A．①B．④C．①④D．②③
2．（2023上·山东青岛·七年级统考期中）在圆柱、圆锥、长方体这三种几何体中，截面不可能是长方形的是 ．
3．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可）
(1)有顶点的几何体有 ；
(2)截面可能为四边形的有 ；
(3)能由平面旋转形成的有 ；
(4)截面不可能是圆形的有 ．
易错必刷题四、从三个方向看物体的形状
1．（2023上·陕西榆林·七年级校考期中）如图，一个几何体由若干个相同的小正方体组成，要保持从上面看到的形状图不变，最多可以拿走的小正方体个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023上·山西太原·七年级统考期中）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题．
A．搭成该几何体的小立方块最少有 个．
B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出 种不同的图形．
3．（2023上·四川达州·七年级四川省渠县中学校考期中）如图，是由个棱长都为的小立方体块搭建的几何体．
(1)请在边长为的小正方形组成的网格中，画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图．
(2)请直接写出这个几何体的表面积（包括底部）是__________．
易错必刷题五、有理数
1．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（ ）.
A．1B．2C．3D．4
2．（2023上·山西太原·七年级太原市志达中学校校考阶段练习）在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有 ．
3．（2023上·天津滨海新·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：
，，，，，，0，，，．
(1)负数集合：{ …}；
(2)整数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)有理数集合：{ …}．
易错必刷题六、数轴
1．（2023上·江苏扬州·七年级校联考期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（ ）重合．
A．字母B．字母C．字母D．字母
2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ．
3．（2023上·陕西渭南·七年级统考期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值；
(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
易错必刷题七、绝对值
1．（2023上·重庆垫江·七年级重庆市垫江实验中学校校联考期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，⑤，其中一定成立的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）适合的正整数a的值有 个
3．（2023上·广东阳江·七年级阳江市第二中学校考阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图.
(1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0；
(2)化简：.
易错必刷题八、有理数的加法
1．（2023上·山东青岛·七年级统考期中）已知，b是3的相反数，则的值为（ ）
A．B．C．或1D．1或
2．（2023上·湖北恩施·七年级校考开学考试）一个合唱队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员.如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花( )分钟就能通知到每个人．
3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）如图为武汉市地铁2号线行程表的一部分，国庆节期间，学生小波从虎泉站出发，在地铁上参加志愿服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天小波的乘车站数按先后顺序依次记录如下：．当小波从A站出站时，结束本次志愿服务活动．
(1)请通过计算说明A站是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，问这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为多少千米？
易错必刷题九、有理数的减法
1．（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级内蒙古师大附中校考期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．和B．或C．或7D．或
2．（2023上·湖北黄冈·七年级校联考阶段练习）数轴上有、、三点，点表示的数是，点表示的数是2，点与点的距离为1，则
3．（2023上·安徽宿州·七年级校联考期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，将数轴上，之间的距离记作，定义，且满足．
(1) ， ， ；
(2)若为数轴上一点，且，求的值．
易错必刷题十、有理数的加减混合运算
1．（2023上·河南驻马店·七年级统考阶段练习）小明在计算时，不小心把八个运算符号中的一个写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了，则原式从左往右数，第（ ）个运算符号写错了
A．6B．8C．4D．2
2．（2023上·福建龙岩·七年级统考期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．
3．（2023上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校1500米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：
(1)联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？
(2)若联络员行走的平均速度为75米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？
易错必刷题十一、有理数的乘法
1．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖南衡阳·七年级校联考期中）对于有理数x，y，若，则的值是 .
3．（2023上·湖北省直辖县级单位·七年级天门市九真中学校联考阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，．
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
易错必刷题十二、有理数的除法
1．（2023上·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期中）有理数满足且，那么的值为（ ）
A．0B．2C．0或2D．0或
2．（2023上·江苏苏州·七年级统考期中）在纸上画一条数轴，点A，，在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上在点左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点重合，原点与数轴上另一点重合，再将白纸重新展平，此时点与原点的距离等于点与点的距离，若点表示的数是，则点A表示的数是 ．
3．（2023上·河南南阳·七年级统考阶段练习）阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：
易错必刷题十三、有理数的乘方
1．（2023上·浙江衢州·七年级统考期中）下列结果相等的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
2．（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）当式子取最小值时， ．
3．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，
例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
易错必刷题十四、科学记数法
1．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元．
3．（2023上·山东临沂·七年级统考期中）我们的家乡——临沂，大力实施公交优先发展战略，逐步建立以公共汽车为主体的公共交通运输系统，年全市实现公交客运量约万人次．为鼓励市民绿色出行，更多地选择乘坐公交，经市委、市政府研究决定，实施国家法定节假日及双休日在临沂市区免费乘坐公交车的政策．如图所示为临沂市区快速公交车路线图．周末双休日时间，某校组织名学生统一从兰山路站出发，乘坐多次出站参加集体志愿服务活动．如果规定在图中向右为正，向左为负，当天的乘车站数不含每次乘车起始站按先后乘车顺序依次记录如下单位：站：，，，，，，，．
(1)用科学记数法表示年全市实现公交客运量约为 人次；
(2)请通过计算，说明经过的最后一站是哪一站？
(3)若相邻两站之间的平均距离为，求这次志愿服务期间每人乘坐行进的总路程是多少？
(4)没有实施免费乘坐公交车政策前，每人每次乘车需要支付2元公交车费．请问完成本次志愿服务活动所有学生共可节省多少公交车费？
易错必刷题十五、有理数的混合运算
1．（2023上·山东德州·七年级校考期中）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（ ）
A．8B．2C．4D．1
2．（2024上·广东佛山·七年级校联考期中）已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算 ．
3．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）计算题
(1)
(2)
(3)
易错必刷题十六、字母表示数
1．（2023上·重庆江津·七年级统考期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）由一块正方形地和一块长方形地组成的花园，分别以正方形的边长为半径画圆弧，以长方形的长为直径画圆弧，如图所示，园艺师准备在阴影部分种花，则阴影部分的种植面积为 平方米（用含a的代数式表示，结果保留）．
3．（2023上·吉林白山·七年级校联考期中）某商店有一种商品每件成本元，该成本增加元定出售价，销售20件后，由于库存积压减价，按售价的八折出售，又销售50件．
(1)该商店销售这70件商品的总售价为多少元；
(2)销售这70件商品共盈利多少元？
易错必刷题十七、代数式
1．（2023上·江苏无锡·七年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）当时，代数式的值为2023，则与时，代数式的值为（ ）
A．2023B．C．2023D．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如果，那么的值是 ．
3．（2023上·湖南长沙·七年级校联考期中）近期长沙发布购房新政，正式开放首套房限购，小明家购买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）．
(1)这套住房的客厅面积是多少平方米？主卧面积是多少平方米？建筑总面积是多少平方米？（用含，的式子表示）
(2)若，，已知这套住房的售价为每平方米10000元，购房时首付款为房价的，其余款项向住房公积金中心申请贷款，则小明家购买这套住房时需要贷款多少元？
(3)在（2）的条件下，小明准备将房子的地面铺上地砖，他去找了两家装修公司谈价，甲装修公司的报价如下：客厅、餐厅地砖200元/平方米，两个卧室地砖220元/平方米，厨房和卫生间地砖180元/平方米；乙装修公司的报价如下：每个房间地砖均为250元/平方米，最后金额再打8折．请问小明选择哪家装修公司更划算呢？请说明理由．
易错必刷题十八、整式
1．（2023上·湖南娄底·七年级统考阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是是B．单项式的次数是，系数为
C．多项式是二次二项式D．在中，整式有个
2．（2023上·山东德州·七年级校考期中）已知有理数a和有理数b满足多项式A，是关于x的二次三项式，则 ， ；
3．（2023上·四川成都·七年级校考期中）如图，每个小正方形的面积均为1．
等式：； 等式：； 等式：；
认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题：
(1)请写出第5个等式；
(2)猜想第个等式，用含的等式表示这个等式，并通过计算说明这个等式的正确性；
(3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？
易错必刷题十九、整式的加减
1．（2023上·山西大同·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·江苏南通·七年级如皋市实验初中校联考阶段练习）已知，，则式子的值为 ．
3．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）先化简再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中．
易错必刷题二十、探索与表达规律
1．（2023上·浙江杭州·七年级校联考期中）观察下列算式：，，，，，…，则的末位数字为（ ）
A．1B．3C．7D．9
2．（2023上·吉林松原·七年级校考期中）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第2023个图案中白色瓷砖块数为 ．
3．（2023上·全国·七年级专题练习）【阅读】求值：．
解：设，
将等式①的两边同时乘以2得，
由得，
即：，
仿照此法计算：
（1）；
（2）；
【应用】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、…．
完成下列问题：
（3）小正方形的面积等于 ；
（4）求正方形、、、…的面积和．
易错必刷题二十一、线段、射线、直线
1．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（ ）
A．6个B．1个或4个C．6个或4个D．1个或4个或6个
2．（2023上·四川眉山·七年级校考期末）已知：如图，、是线段上两点，且，是的中点，，则线段 ．
3．（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）综合与实践
【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条．
【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．
易错必刷题二十二、比较线段的长短
1．（2023上·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）两条长度分别为16cm和20cm的线段有一个端点重合，且在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离为（ ）
A．2cmB．18cmC．4cm或20cmD．2cm或18cm
2．（2023上·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点P，使，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为 ．
3．（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）（1）如图，已知线段，用圆规和直尺作线段，使它的长等于．
（2）如图，点C在线段上，点M是线段的中点，．若，则的长为多少?
易错必刷题二十三、角
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．
3．（2023上·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
易错必刷题二十四、角的比较
1．（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为( )
A．B．C．D．4a
2．（2023上·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，在平面内，是直线上一点，，.在直线上方引出一条射线，使、、三条射线满足其中一条射线是另两条射线夹角的平分线，则的度数是 .
3．（2023上·陕西汉中·七年级校联考阶段练习）已知是内的射线．
(1)如图1，若平分平分．求的度数；
(2)是内的一条射线，是内的射线，如图2所示．若平分平分．求的度数．
易错必刷题二十五、多边形和圆的初步认识
1．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（ ）
A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形D．正五边形和正九边形
2．（2023上·河北保定·七年级保定市第十七中学校考开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
3．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把四边形分成___________个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把五边形分成__________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作_________条对角线，它把边形分成_________个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为__________．
易错必刷题二十六、认识一元一次方程
1．（2023上·山东泰安·六年级统考期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·重庆开州·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程的解是负整数，那么整数k的所有取值之和为 ；
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知是关于y的一元一次方程．
(1)求a，b的值；
(2)若是方程的解，求的值．
易错必刷题二十七、求解一元一次方程
1．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）若关于x的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为 ．
3．（2023上·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）计算或解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
易错必刷题二十八、应用一元一次方程
1．（2023上·全国·七年级专题练习）某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）
A．445元B．405元C．356元D．324元
2．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 立方米．
3．（2023上·重庆秀山·七年级统考期末）“一剪理发店”曾师傅在美容美发商场选购某品牌的洗发水：
曾师傅估算店里一个月洗发水的使用量，若买“大桶装”，则需若干桶但还差1升；若买“小桶装”，则需多买16桶但会剩余1升，
(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水多少升？
(2)喜迎新年，商场进行促销：满1000减118元现金，并且该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，曾师傅打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？
易错必刷题二十九、数据的收集
1．（2023上·全国·七年级专题练习）下面的调查适合用试验法收集数据的是（ ）
A．推荐班长候选人
B．调查同学们的生日
C．你在10 s内能跑多少米
D．世界上发生“禽流感”的情况
2．（2023·北京石景山·统考一模）餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：
①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．
前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，针对桌子的大小，每个步骤所花费时间如下表所示：
现有三名餐厅工作人员分别负责三个步骤，但每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作，如果此时恰有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
3．（2023·全国·九年级专题练习）为满足学生锻炼身体的需求，学校将大批量添置运动器械，在购买之前对学生进行了调查，找出学生最喜欢的体育项目，然后按比例分配资金．在开始调查前应考虑好如下一些问题：
(1)你要调查的问题是什么？
(2)你要调查哪些人？
(3)你用什么方法调查？
(4)向你的调查对象提出哪些问题？
易错必刷题三十、普查和抽样调查
1．（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）今年我市有25000名学生参加了中考，为了了解这25000名考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行分析：在这个问题中有以下四种说法：（1）500名考生是总体的一个样本；（2）500名考生数学成绩的平均数是总体平均数；（3）25000名考生是总体；（4）样本容量是500．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023·北京西城·校考模拟预测）某单位有名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 ．（填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
3．（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）为了了解某校八年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组对此展开抽样调查．已知八年级共25个班级，每班40名学生．
(1)小明选择对2班全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽取10名同学．他们的抽样是否合理？请分别说明理由．
(2)设样本容量为100，请设计一个合理的抽样调查方案．
易错必刷题三十一、数据的表示
1．（2023上·四川成都·七年级校考期末）某商场年月份的月销售总额如图所示，其中商品的销售额占当月销售总额的百分比如图所示．根据图中信息，在以下四个结论中推断不合理的是（ ）
A．月份商品的销售额为万元
B．月份月销售总额最低的是月份
C．月商品销售额占当月销售总额的百分比最高的是月份
D．月商品销售额最高的是月份
2．（2023下·山东滨州·七年级统考期末）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二学生进行了问卷调查，其中一项是疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图不完整，由图中信息可知，下列结论正确的序号 ．
本次调查的样本容量是；
选“责任”的有人；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角的大小为；
选“感恩”的人数最多．
3．（2023上·山东济南·八年级校联考阶段练习）某校为落实“双减”工作，丰富课后服务活动内容，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中圆心角_______度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
易错必刷题三十二、统计图的选择
1．（2023·云南昆明·统考一模）图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论：
①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（ ）
A．④B．②③C．①②③D．①②④
2．（2023·北京海淀·人大附中校考模拟预测）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%．对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2023上·山西运城·七年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）2023年12月4日是我国第23个“法制宣传日”，我校举行了主题“学法，知法，懂法，守法”的普法知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
(1)表中______，______；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若80分以上为优秀，我校现有4800余名学生，请你估计我校成绩优秀的学生有多少名？
(4)结合以上信息，请你给我校关于普法方面提出一条合理化的建议．
期末重难点真题特训之易错必刷题型（96题32个考点）专练
【精选2023年最新考试真题】
易错必刷题一、生活中的立体图形
1．（2023上·广东河源·七年级统考期中）下面表述错误的一项是（ ）
A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点
B．一个长方体可能有2个面是正方形
C．一个长方体只有4条高
D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等
【答案】C
【分析】根据长方体、正方体的特征即可解答．
【详解】解：A.每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点，A选项正确；
B.一个长方体可能有2个面是正方形，B选项正确；
C.一个长方体有无数条高，C选项错误；
D.一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等，D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了长方体、正方体的特征，掌握立体图形的特性是解答本题的关键．
2．（2023上·四川成都·七年级校考期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米．
【答案】
【分析】本题考查的是面动成体以及圆柱体的表面积，关键在于想象出旋转得到的几何体的形状：大圆柱内有一个圆柱形坑．进而这个几何体的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，再根据圆柱体表面积计算公式进行计算是解决问题的关键．
【详解】解：大圆柱的表面积（平方厘米）．
小圆柱的侧面积（平方厘米）．
待求几何体的表面积（平方厘米）．
故答案为：．
3．（2023上·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为．
(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？
(2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留）
【答案】(1)圆柱；
(2)或．
【分析】（）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解；
（）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为或底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答，
本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键．
【详解】（1）将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱；
（2）将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，体积为．
将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，体积为，
所以将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积是或．
易错必刷题二、展开与折叠
1．（2023上·陕西榆林·七年级校考期中）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方形的表面展开图找出相对面得到答案．
【详解】解：根据题意，与相对，与相对，与相对，
，，，
相对两个面上的数字之和的最小值是5．
故选A．
2．（2023上·广东广州·七年级校考开学考试）一个圆柱高为厘米．如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米，这个圆柱的体积是 立方厘米．
【答案】
【分析】本题考查圆柱的体积，侧面积．设圆柱的底面圆的半径是，由圆柱侧面积计算公式，可求出圆柱的底面圆半径，再由圆柱体积公式即可计算．关键是掌握圆柱体积，侧面积的计算公式．
【详解】解：设圆柱的底面圆的半径是，
由题意得：，
∴，
∴圆柱的体积=，
故答案为：．
3．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）小明在将一个几何体纸盒沿着棱剪开使其成为表面展开图时，不小心剪断了，分成了如图、图所示两部分．
(1)这个几何体的名称是________，小明共剪开了________条棱；
(2)此时小明希望将图与图重新粘上，请你帮助小明将图画在图的边上，使其能重新折叠为一个完整的几何体纸盒（直接在图中完成作图）；
(3)在（）的条件下，计算这个几何体的表面积（用含的代数式表示）．
【答案】(1)三棱柱，；
(2)作图见解析；
(3)．
【分析】本题考查了几何体的展开图，观察图形，找到图形的结构特征是解题的关键．
（）根据几何体的表面展开图即可求解；
（）根据几何体的表面展开图即可求解；
（）根据几何体的表面展开图即可求解；
【详解】（1）解：由几何体的表面展开图可知，几何体为三棱柱，共剪了条棱，
故答案为：三棱柱，；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：几何体的表面积．
易错必刷题三、截一个几何体
1．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）下列说法不正确的是（ ）
①长方体一定是柱体；②七棱柱有9个面；③五棱柱有10个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形．
A．①B．④C．①④D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了棱柱的性质、截一个几何体，根据柱体、棱柱的性质、截一个几何体的特点逐个判断即可得．
【详解】解：①长方体一定是柱体，则原说法正确；
②七棱柱有个面，则原说法正确；
③五棱柱有个顶点，则原说法正确；
④反例：正方体的面都是正方形，但用一个平面去截正方体，得到的图形可能是三角形，则原说法不正确；
综上，说法不正确的是④，
故选：B．
2．（2023上·山东青岛·七年级统考期中）在圆柱、圆锥、长方体这三种几何体中，截面不可能是长方形的是 ．
【答案】圆锥
【分析】此题主要考查了平面截简单几何体，首先根据当截面垂直于圆柱的底面时，则截面是长方形，当截面平行长方体的一个面时，则截面是长方形，据此可得出答案．
【详解】对于圆柱，当截面垂直于圆柱的底面时，则截面是长方形；
对于圆锥，无论截面怎样放置都截不出长方形；
对于长方体，当截面平行长方体的一个面时，则截面是长方形．
综上所述：截面不可能是长方形的是圆锥．
故答案为：圆锥．
3．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可）
(1)有顶点的几何体有 ；
(2)截面可能为四边形的有 ；
(3)能由平面旋转形成的有 ；
(4)截面不可能是圆形的有 ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）根据所给的图形的特点即可得出答案；
（）根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案；
（）根据平面旋转形特点，即可得出答案；
（）根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案；
此题考查了平面图形和立体图形，解题的关键是正确理解它们之间的联系和区别．
【详解】（1）有顶点的几何体有 （1）（2）（5）（6）（7）；
（2）截面可能为四边形的有 （1）（2）（4）（6）（7） ；
（3）能由平面旋转形成的有 （3）（4）（5） ；
（4）截面不可能是圆形的有 （1）（2）（6）（7） ．
易错必刷题四、从三个方向看物体的形状
1．（2023上·陕西榆林·七年级校考期中）如图，一个几何体由若干个相同的小正方体组成，要保持从上面看到的形状图不变，最多可以拿走的小正方体个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看到的形状图不变，只要保持第一层不变即可．
【详解】解：根据从上面看到的形状图不变，最多可以拿走的小正方体个数是．
故选C．
2．（2023上·山西太原·七年级统考期中）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题．
A．搭成该几何体的小立方块最少有 个．
B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出 种不同的图形．
【答案】 6 7
【分析】A．根据从左面看和从上面看的图形，在从上面看的图形上相应位置标出摆放的数量即可；
B．分别在从上面看到的图形上标出摆放的各种不同的情况即可．
【详解】解：A．如图，是符合条件的其中一种摆放方法，
共需要6个小立方体，
故答案为：6；
B．将不同情况的摆放方式，在俯视图上标注出来如下：
共有7种不同的摆放方式，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了从不同方向看简单组合体，理解视图的定义，掌握简单组合体的画法及形状是正确解答的前提．
3．（2023上·四川达州·七年级四川省渠县中学校考期中）如图，是由个棱长都为的小立方体块搭建的几何体．
(1)请在边长为的小正方形组成的网格中，画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图．
(2)请直接写出这个几何体的表面积（包括底部）是__________．
【答案】(1)画图见解析；
(2)平方厘米．
【分析】（）根据从不同方向看的形状图画法要求去画即可；
（）根据前后，左右，上下计算求和即可；
本题考查了几何体的表面积计算，从不同方向看的形状图画法，熟练掌握画图要求是解题的关键．
【详解】（1）如图，
（2）这个几何体的表面积为（平方厘米），
故答案为：平方厘米．
易错必刷题五、有理数
1．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数．
【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个.
故选C.
2．（2023上·山西太原·七年级太原市志达中学校校考阶段练习）在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有 ．
【答案】，0，
【分析】根据有理数的概念，不小于0的整数就是非负整数．
【详解】解：，，，，，，
，是负数，，3.14，0，是非负数，，不是有理数，
故答案为：，0，．
【点睛】此题考查了有理数分类的应用，关键是准确理解非负整数．
3．（2023上·天津滨海新·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：
，，，，，，0，，，．
(1)负数集合：{ …}；
(2)整数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)有理数集合：{ …}．
【答案】(1)，，，，
(2)，，0，，
(3)，，，
(4)，，，，，0，，，
【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义即可求得答案．熟知有理数的分类是解题的关键．
【详解】（1）解：负数集合：，，，，，
故答案为：，，，，；
（2）整数集合：，，0，，，
故答案为：，，0，，；
（3）分数集合：，，，，
故答案为：，，，；
（4）有理数集合：，，，，，0，，，，
故答案为：，，，，，0，，，．
易错必刷题六、数轴
1．（2023上·江苏扬州·七年级校联考期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（ ）重合．
A．字母B．字母C．字母D．字母
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，一次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键．
【详解】解：圆的周长为4个单位长度，
将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时，
字母与数字所对应的点重合，
字母与数字所对应的点重合，
字母与数字所对应的点重合，
字母与数字所对应的点重合，
字母与数字所对应的点重合，
…，
依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，
余，
数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母重合，
故选：D．
2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间的距离相等，分，，点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．
【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为；
②当点为点，的中点时，点表示的数为；
③当点为点，的中点时，点表示的数为；
综上：点表示的数为或或；
故答案为：或或．
3．（2023上·陕西渭南·七年级统考期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值；
(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键．
（1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可；
（2）由题意知，，即，计算求解即可；
（3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴在之间，则，，
∴，
解得，，
∴x的值为1．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，即，或，
解得或．
（3）解：的值不会随着t的变化而变化；
由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，
∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2．
易错必刷题七、绝对值
1．（2023上·重庆垫江·七年级重庆市垫江实验中学校校联考期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，⑤，其中一定成立的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】本题考查了根据数轴比较大小，绝对值的化简，有理数的加减，绝对值的性质，弄清各数之间的关系，根据，，逐个判断是解题的关键．①根据，，得出，即可判断；②根据，即可判断；③易得，则，即可判断；④根据，，即可判断；⑤先得出，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，
∴，故②正确，符合题意；
③∵，，
∴，
∴，
∴，故③不正确，不符合题意；
④∵，，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确，符合题意；
综上：综上正确的有：①②④⑤，共4个，
故选：B．
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）适合的正整数a的值有 个
【答案】8
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，分当时，当时，当时，三种情况去绝对值得到的取值范围，从而得到只有当时成立，据此求出满足题意的正整数a的值即可得到答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
∴只有当时成立，
∴正整数a的值有，共8个，
故答案为：8．
3．（2023上·广东阳江·七年级阳江市第二中学校考阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图.
(1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0；
(2)化简：.
【答案】(1)＜，＜，＞
(2)
【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减和有理数的大小比较，整式的加减．
（1）由数轴可得，，再根据有理数的加减法法则即可解答；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）由数轴可得：，，
∴，，．
故答案为：＜，＜，＞
（2）∵，，
∴
．
易错必刷题八、有理数的加法
1．（2023上·山东青岛·七年级统考期中）已知，b是3的相反数，则的值为（ ）
A．B．C．或1D．1或
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法，绝对值与相反数，先根据已知条件，求出，的值，然后分别把，的值代入进行计算即可．
【详解】，是3的相反数，
，，
当，时，
；
当，时，
，
综上可知的值为：或1，
故选：C．
2．（2023上·湖北恩施·七年级校考开学考试）一个合唱队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员.如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花( )分钟就能通知到每个人．
【答案】6
【分析】第1分钟只能通知到1个学生，第2分钟能通知到学生的总数为3人。先通知1个队员，然后再与这名队员一起给2生打电话，然后这2名再与前面已通知的学生一起给其他学生打电话，依此类推，进行计算即可求解．
【详解】解：老师首先用1分钟通知第一个学生，
第二分钟由老师和1个学生分别通知1个学生，此时一共通知到学生：（个），
由此可知，第三分钟通知到学生：（个），
第四分钟通知到学生：（个），
第五分钟通知到学生：（个），
第六分钟通知到学生：（个），
所以至少需要6分钟．
故答案为：6．
【点睛】解决此题的关键是利用已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数．
3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）如图为武汉市地铁2号线行程表的一部分，国庆节期间，学生小波从虎泉站出发，在地铁上参加志愿服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天小波的乘车站数按先后顺序依次记录如下：．当小波从A站出站时，结束本次志愿服务活动．
(1)请通过计算说明A站是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，问这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为多少千米？
【答案】(1)A站是洪山广场站
(2)54千米
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法的应用，绝对值的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）求出9个有理数的和，得出结论．
（2）求出9个有理数的绝对值和，再乘以1.2，得出总路程．
【详解】（1）
．
所以A站是洪山广场站．
（2）
．
（千米）．
答：这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为54千米．
易错必刷题九、有理数的减法
1．（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级内蒙古师大附中校考期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．和B．或C．或7D．或
【答案】D
【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的减法．
根据绝对值的性质求出x，y的值，再判断出x，y的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可解答．
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，或，，
当，时，，
当，时，，
∴的值为或．
故选：D
2．（2023上·湖北黄冈·七年级校联考阶段练习）数轴上有、、三点，点表示的数是，点表示的数是2，点与点的距离为1，则
【答案】2或4
【分析】分情况讨论点在的左侧和右侧两种情况．
【详解】解：①当在的左侧时，
代表的数为1，
此时．
②当在的右侧时，
代表的数是3，
此时，
故答案为：2或4．
【点睛】本题主要考查数轴上点与点之间距离的计算，解题关键在于要分情况讨论点的情况．
3．（2023上·安徽宿州·七年级校联考期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，将数轴上，之间的距离记作，定义，且满足．
(1) ， ， ；
(2)若为数轴上一点，且，求的值．
【答案】(1)，，
(2)或18
【分析】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，
（1）先利用绝对值的非负性，求出点、点所对应的数分别为，，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到的长即可．
（2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，利用数轴上的两点间距离求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
即，
∴
故答案为：，，；
（2）解：当点在点的左侧时，，
当点在点的右侧时，，
综上所述：或．
易错必刷题十、有理数的加减混合运算
1．（2023上·河南驻马店·七年级统考阶段练习）小明在计算时，不小心把八个运算符号中的一个写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了，则原式从左往右数，第（ ）个运算符号写错了
A．6B．8C．4D．2
【答案】A
【分析】利用有理数的加减混合运算的法则将原式计算得出结论，进而判定出将“”错写成“”，最后结合所给结论得出相差的数值即可．
【详解】解：
．
，
不小心把“”错写成“”，
，，
不小心把看成了，
不小心把原式从左往右数，第6个运算符号写错了．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键．
2．（2023上·福建龙岩·七年级统考期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．
【答案】3或6
【分析】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是．
由于八个数的和是4，所以需满足内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是．列等式可得结论．
【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为，，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是，
则，得，
，得，
，
∵当时，，则，
当时，，则，
∴的值为3或6．
故答案为：3或6．
3．（2023上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校1500米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：
(1)联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？
(2)若联络员行走的平均速度为75米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？
【答案】(1)没到达，离教育基地还差430米
(2)分钟
【分析】本题考查了有理数正负数的应用，加减混合运算，熟练掌握法则是解题的关键．
(1)计算各运动量值的和，比较计算结果与1500米的大小，判断计算即可．
(2)计算各运动量值的绝对值的和，除以运动的速度计算即可．
【详解】（1）∵（米）
∵，
∴没到达，
∵，
∴他离教育基地还差430米．
（2）∵（米），
(分钟)
∴他此次行程共用了分钟．
易错必刷题十一、有理数的乘法
1．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则．
【详解】解：，
，
，
故选：．
2．（2023上·湖南衡阳·七年级校联考期中）对于有理数x，y，若，则的值是 .
【答案】
【分析】由，不妨设，然后根据绝对值性质取绝对值，最后进行计算即可；掌握绝对值的性质是解题的关键．
【详解】解：由，不妨设，
则
．
故答案为：．
3．（2023上·湖北省直辖县级单位·七年级天门市九真中学校联考阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，．
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【答案】(1)东边20千米
(2)最远处离出发点25千米
(3)还需补充的油量为9升
【分析】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用．
（1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可；
（2）求出每一次距离地的距离，进行判断即可；
（3）将所有数据的绝对值相加，乘以油耗减去现有油量，即可．
读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：千米，
应耗油（升），
故还需补充的油量为：（升）．
易错必刷题十二、有理数的除法
1．（2023上·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期中）有理数满足且，那么的值为（ ）
A．0B．2C．0或2D．0或
【答案】A
【分析】由题意得，中有两个负数，一个正数，再分当时，，当时，两种情况讨论即可．
【详解】解：且，
，中有两个负数，一个正数，
当时，，，
，
当时，，，
．
综上所述：的值为．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，能够分类讨论解题是关键．
2．（2023上·江苏苏州·七年级统考期中）在纸上画一条数轴，点A，，在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上在点左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点重合，原点与数轴上另一点重合，再将白纸重新展平，此时点与原点的距离等于点与点的距离，若点表示的数是，则点A表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴及有理数的运算，能根据题意求出折点所表示的数是解题的关键．先求出点P所表示的数，再求出点B所表示的数，进而可解决问题．
【详解】解：由题知，
∵点P与原点O的距离等于点P与点C的距离，
且点C表示的数是，
∴点P表示的数是，
又∵折叠后原点O与点P重合，
且，
∴点B表示的数是，
又∵折叠后点A恰好与点C重合，
且，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
3．（2023上·河南南阳·七年级统考阶段练习）阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：
【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误；
(2)过程见解析，．
【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律；
（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案；
（2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案．
【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；
（2）解法一：原式的倒数为：
，
；
所以原式；
解法二：原式
．
易错必刷题十三、有理数的乘方
1．（2023上·浙江衢州·七年级统考期中）下列结果相等的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据平方和立方的计算方法求出结果即可得到答案，解题的关键是注意在运算过程中正负号的计算．
【详解】解：A、 ，，故A不符合题意；
B、，，故B符合题意；
C、 ，，故C不符合题意；
D、 ，，故D不符合题意，
故选：．
2．（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）当式子取最小值时， ．
【答案】81
【分析】本题考查了非负数的性质“任意一个数的偶次方都是非负数，任意一个数的绝对值都是非负数”、有理数的乘方，熟练掌握非负数的性质是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负数性质可得，再代入计算即可得．
【详解】解：，，
当式子取最小值时，，
解得，
则，
故答案为：81．
3．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，
例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
【答案】(1)
(2)
(3)42天
【分析】本题考查了有理数乘方的应用；
（1）根据题目信息直接进行计算即可；
（2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可；
（3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可．
【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是，
故答案为：；
（2）将八进制数“4372”转化为十进制数；
（3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，
所以孩子已经出生的天数为天．
易错必刷题十四、科学记数法
1．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据每一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水为升，再根据科学记数法表示绝对值较大的数的方法表示出250000．
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法形式：，其中，n为正整数，的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
【详解】∵，
∴．
故选：C．
2．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（2023上·山东临沂·七年级统考期中）我们的家乡——临沂，大力实施公交优先发展战略，逐步建立以公共汽车为主体的公共交通运输系统，年全市实现公交客运量约万人次．为鼓励市民绿色出行，更多地选择乘坐公交，经市委、市政府研究决定，实施国家法定节假日及双休日在临沂市区免费乘坐公交车的政策．如图所示为临沂市区快速公交车路线图．周末双休日时间，某校组织名学生统一从兰山路站出发，乘坐多次出站参加集体志愿服务活动．如果规定在图中向右为正，向左为负，当天的乘车站数不含每次乘车起始站按先后乘车顺序依次记录如下单位：站：，，，，，，，．
(1)用科学记数法表示年全市实现公交客运量约为 人次；
(2)请通过计算，说明经过的最后一站是哪一站？
(3)若相邻两站之间的平均距离为，求这次志愿服务期间每人乘坐行进的总路程是多少？
(4)没有实施免费乘坐公交车政策前，每人每次乘车需要支付2元公交车费．请问完成本次志愿服务活动所有学生共可节省多少公交车费？
【答案】(1)
(2)经过的最后一站是广州路站
(3)这次志愿服务期间每人乘坐行进的总路程是
(4)完成本次志愿服务活动所有学生共可节省元公交车费
【分析】本题考查了科学记数法以及正负数的意义，有理数的混合运算的应用；
（1）根据科学记数法的表示方法，即可求解；
（2）将记录的数据相加，对照图表，即可求解；
（3）将记录的绝对值相加乘以，即可求解；
（4）根据人数乘以票价格乘以次数，即可求解．
【详解】（1）解：万，
故答案为：；
（2），
∵从兰山路站出发，往左6站即广州路站；
∴经过的最后一站是广州路站；
（3）
，
即这次志愿服务期间每人乘坐行进的总路程是；
（4）解：依题意共20人，依次乘车8次，票价为2元每人每次，
∴元，
即完成本次志愿服务活动所有学生共可节省元公交车费．
易错必刷题十五、有理数的混合运算
1．（2023上·山东德州·七年级校考期中）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（ ）
A．8B．2C．4D．1
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的运算，先把0输入，根据程序计算并判断计算结果是不是可以输出，若不能输出重新代入计算结果输入计算，直至输出即可．理解运算程序是解决本题的关键．
【详解】解：当输入0时， ．
由于2不大于2，再次输入，
所以输出4．
故选：C．
2．（2024上·广东佛山·七年级校联考期中）已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，先计算出，再计算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
【详解】解：
，
∴
，
故答案为：．
3．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）计算题
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的加法计算法则求解即可；
（2）根据有理数乘法分配律进行求解即可；
（3）按照先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
易错必刷题十六、字母表示数
1．（2023上·重庆江津·七年级统考期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查列代数式，根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．
【详解】解：A、大长方形面积：，空白处小长方形面积：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
B、上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
C、左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
D、阴影部分面积无法表示为，故该选项错误；
故选：D．
2．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）由一块正方形地和一块长方形地组成的花园，分别以正方形的边长为半径画圆弧，以长方形的长为直径画圆弧，如图所示，园艺师准备在阴影部分种花，则阴影部分的种植面积为 平方米（用含a的代数式表示，结果保留）．
【答案】
【分析】首先依题意求出正方形的边长为米，进而得长方形的宽为10米，然后根据正方形内阴影部分的面积是四分之一圆的面积，长方形内阴影部分的面积长方形的面积半圆的面积即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
依题意得：四边形为正方形，四边形为长方形，
，米，，
米，
，
，
米，
正方形的边长为米，即米，
，
，
平方米．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列代数式，熟练掌握圆的面积公式，长方形的面积公式是解答问题的关键．
3．（2023上·吉林白山·七年级校联考期中）某商店有一种商品每件成本元，该成本增加元定出售价，销售20件后，由于库存积压减价，按售价的八折出售，又销售50件．
(1)该商店销售这70件商品的总售价为多少元；
(2)销售这70件商品共盈利多少元？
【答案】(1)元；
(2)元．
【分析】（）根据售价销售量总售价，把减价前后的总售价相加即可；
（）用总售价总成本即可；
本题考查的是整式的加减，要熟记整式加减的实质是合并同类项，正确表示售价是解题的关键．
【详解】（1）由题意，得元，
则该商店销售这件商品的总售价为元；
（2）由题意，得元，
则销售这件商品共盈利元．
易错必刷题十七、代数式
1．（2023上·江苏无锡·七年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）当时，代数式的值为2023，则与时，代数式的值为（ ）
A．2023B．C．2023D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．把代中可得：，然后再把代入代数式中，进行计算即可解答．
【详解】解：当时，代数式的值为2023，
∴
∴，
∴，
∴当时，
，
故选：B．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如果，那么的值是 ．
【答案】
3．（2023上·湖南长沙·七年级校联考期中）近期长沙发布购房新政，正式开放首套房限购，小明家购买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）．
(1)这套住房的客厅面积是多少平方米？主卧面积是多少平方米？建筑总面积是多少平方米？（用含，的式子表示）
(2)若，，已知这套住房的售价为每平方米10000元，购房时首付款为房价的，其余款项向住房公积金中心申请贷款，则小明家购买这套住房时需要贷款多少元？
(3)在（2）的条件下，小明准备将房子的地面铺上地砖，他去找了两家装修公司谈价，甲装修公司的报价如下：客厅、餐厅地砖200元/平方米，两个卧室地砖220元/平方米，厨房和卫生间地砖180元/平方米；乙装修公司的报价如下：每个房间地砖均为250元/平方米，最后金额再打8折．请问小明选择哪家装修公司更划算呢？请说明理由．
【答案】(1)这套住房的客厅面积是：平方米，主卧面积是平方米，建筑总面积为平方米
(2)小明家购买这套住房时需要贷款693000元
(3)小明家选择乙装修公司更划算，理由见解析
【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及有理数混合运算，能够根据图形列出代数式是解题的关键．
（1）根据图形，分别用代数式表示这套住房的客厅面积、主卧面积和建筑总面积即可；
（2）结合，求得这套住房的建筑面积，根据“贷款数单价面积（首付比例）”计算需要贷款的金额即可；
（3）结合甲乙两公司的报价，分别计算装修费用并进行比较，即可获得答案．
【详解】（1）解：由题意可得，这套住房的客厅面积为平方米，主卧面积为平方米，
建筑总面积是：
平方米；
（2）解：∵，，
∴总面积
（平方米），
∴贷款金额
（元）；
（3）解：甲装修公司总费用
（元），
乙装修公司总费用（元），
∵，
∴小明家选择乙装修公司更划算，铺地砖的总费用是19800元．
易错必刷题十八、整式
1．（2023上·湖南娄底·七年级统考阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是是B．单项式的次数是，系数为
C．多项式是二次二项式D．在中，整式有个
【答案】D
【分析】此题考查了整式的有关概念，根据单项式和多项式有关概念即可求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数．
【详解】、单项式的系数是，次数是，此选项判断错误，不符合题意；
、单项式的次数是，系数为，此选项判断错误，不符合题意；
、多项式是三次二项式，此选项判断错误，不符合题意；
、在中，整式有共个，此选项判断正确，符合题意；
故选：．
2．（2023上·山东德州·七年级校考期中）已知有理数a和有理数b满足多项式A，是关于x的二次三项式，则 ， ；
【答案】 1
【分析】本题主要考查多项式， 根据多项式的定义解决此题．
【详解】解：由题意得，，．
，或
当时
∵关于x的二次三项式，当时，，是二次二项式，
∴舍去
，．
故答案为：1，．
3．（2023上·四川成都·七年级校考期中）如图，每个小正方形的面积均为1．
等式：； 等式：； 等式：；
认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题：
(1)请写出第5个等式；
(2)猜想第个等式，用含的等式表示这个等式，并通过计算说明这个等式的正确性；
(3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？
【答案】(1)；
(2)；
(3)2200个．
【分析】（1）根据规律解答即可；
（2）利用规律可得第n个等式：，证明见解析；
（3）根据主视图，左视图的定义以及题目要求计算即可．
【详解】（1）解：由题可看出，
第一个等式有两个加数，
第二个等式有三个加数，
第三个等式有4个加数，且是从2开始的连续偶数……
所以第5个等式有6个加数，
第5个等式为：；
（2）解：猜想第n个等式：；
理由：
左边
右边．
故等式成立．
（3）解：∵从正面看到的是左图，从上面看到的是由400个小正方形组成的大正方形，可知最底层从正面看、左面看都有20个小正方形，
∴这个几何体最多共有：（个）．
答：这个几何体最多共有2200小正方体．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
易错必刷题十九、整式的加减
1．（2023上·山西大同·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．根据合并同类项法则和去括号法则计算即可求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2023上·江苏南通·七年级如皋市实验初中校联考阶段练习）已知，，则式子的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的加减．观察各系数可得，第一个式子加上第二个式子的3倍，得到，两边再乘以即可解答．
【详解】∵，，
∴，得，
∴．
故答案为：
3．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）先化简再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中．
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
（1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；
（2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：
，
当，时，原式；
（2）解：
，
当时，原式．
易错必刷题二十、探索与表达规律
1．（2023上·浙江杭州·七年级校联考期中）观察下列算式：，，，，，…，则的末位数字为（ ）
A．1B．3C．7D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，由，，，，，…，得个位数字以7，9，3，1为一循环，由余3，即可得的末位数字为3．
【详解】解：，，，，，…，
个位数字以7，9，3，1为一循环，
，
的末位数字为3．
故选：B．
2．（2023上·吉林松原·七年级校考期中）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第2023个图案中白色瓷砖块数为 ．
【答案】6071
【分析】本题考查了图形规律的探索，观察图形的变化规律，会发现白色瓷砖的数量分别有三层构成，分别相加，据此即可表示出变化规律，带入即可求解．
【详解】解：观察图形得到：
第一个图案中有白色瓷砖块，
第二个图案中有白色瓷砖块，
第三个图案中有白色瓷砖块，
……
第n个图案中，白色瓷砖有块，
所以第2023个图案中有白色瓷砖块．
故答案为：6071
3．（2023上·全国·七年级专题练习）【阅读】求值：．
解：设，
将等式①的两边同时乘以2得，
由得，
即：，
仿照此法计算：
（1）；
（2）；
【应用】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、…．
完成下列问题：
（3）小正方形的面积等于 ；
（4）求正方形、、、…的面积和．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索；
（1）设，将等式①的两边同时乘以3再减去等式①求出，进而可得答案；
（2）设，将等式①的两边同时乘以再减去等式①求出，进而可得答案；
（3）根据题意总结规律即可；
（4）设，将等式①的两边同时乘以4再减去等式①求出，进而可得答案．
【详解】解：（1）设，
将等式①的两边同时乘以3得：，
由得，
即：；
（2）设，
将等式①的两边同时乘以得：，
由得：，
即：；
（3）由题意得：，，，…，，
故答案为：；
（4）设，
将等式①的两边同时乘以4得：，
由得：，
即．
易错必刷题二十一、线段、射线、直线
1．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（ ）
A．6个B．1个或4个C．6个或4个D．1个或4个或6个
【答案】D
【分析】本题考查了直线相交问题，分成经过一个交点和不经过一个交点两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：四条直线经过同一个交点，这时只有一个交点，如图所示：
四条直线不经过同一个交点，这时有4个交点，如图所示：
四条直线没有公共交点，两两相交，这时有6个交点，如图所示：
故选：D．
2．（2023上·四川眉山·七年级校考期末）已知：如图，、是线段上两点，且，是的中点，，则线段 ．
【答案】/6厘米
【分析】本题考查了两点间的距离，根据已知先求出，的长度，就可得到的长度，再利用中点的性质解决即可．
【详解】解：：：：：，，
，，
，
是的中点，
，
，
故答案为：．
3．（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）综合与实践
【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条．
【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．
【答案】（1）10；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义，线段之间的倍分关系是关键．
（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条，据此回答即可；
（2）设，先列方程求得求得，，可得答案；
（3）设，先列方程求得，再求得的长即可．
【详解】解：（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条，
故答案为：10；
（2）设，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）设，
∵，
∴由（2）得，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴．
易错必刷题二十二、比较线段的长短
1．（2023上·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）两条长度分别为16cm和20cm的线段有一个端点重合，且在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离为（ ）
A．2cmB．18cmC．4cm或20cmD．2cm或18cm
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差关系，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．设较长的线段为，较短的线段为，根据中点定义求出、的长度，然后分①不在线段上时，，②在线段上时，，分别代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：如图，设较长的线段为，较短的线段为，
∵M、N分别为、的中点，
∴，，
∴①如图1，不在线段上时，，
②如图2，在线段上时，，
综上所述，两条线段的中点间的距离是2cm或；
故选：D．
2．（2023上·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点P，使，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想；由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况进行讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
【详解】如图，
∵，
∴，
①若绳子是关于A点对折，此时剪断后的三段绳子长分别为、、，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为
∴
∴三段绳子中最短的一段的长为，
∴②若绳子是关于B点对折，此时剪断后的三段绳子长分别为、、，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为
∴
∴三段绳子中最短的一段的长为，
综上所述，三段绳子中最短的一段的长为或，
故答案为：或．
3．（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）（1）如图，已知线段，用圆规和直尺作线段，使它的长等于．
（2）如图，点C在线段上，点M是线段的中点，．若，则的长为多少?
【答案】（1）见解析（2）5
【分析】本题考查了作线段，与线段中点有关的计算．熟练掌握作线段，与线段中点有关的计算是解题的关键．
（1）延长线段，在延长线上截取线段，则线段即为所求；
（2）由中点，可得，由，，可求，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解 ：如图，延长线段，在延长线上截取线段，线段即为所求；
（2）解：∵点M是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为5．
易错必刷题二十三、角
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方位角的概念即可求解．
【详解】解：如图所示，
甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．
【答案】66
【分析】根据折叠的性质得到，由平均的定义得到，再根据，，可得，即可得答案．
【详解】解：由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了折叠的性质，余角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3．（2023上·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【答案】(1)见解析图；
(2)；
(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【分析】（）根据要求画出图形即可；
（）得与正东方向的夹角，从而求得的度数；
（）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可．
【详解】（1）如图，点即为所求；
（2）∵，
∴与正东方向的夹角为，
；
（3）由（）得与正东方向的夹角为，
∵，
∴与正东方向的夹角为：，
∵正东和正北的夹角为，
∴与正北方向的夹角为：，
∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
易错必刷题二十四、角的比较
1．（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为( )
A．B．C．D．4a
【答案】A
【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解．
【详解】∵四条射线五等分，
∴每个小角的度数为．如图，
图中所有锐角的和为
，
故选：A．
2．（2023上·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，在平面内，是直线上一点，，.在直线上方引出一条射线，使、、三条射线满足其中一条射线是另两条射线夹角的平分线，则的度数是 .
【答案】，或
【分析】本题主要考查了与角平分线有关的计算，分是的平分线；是的平分线；是的平分线三种情况求解即可
【详解】解：分三种情况：①若是的平分线，如图，
∵，，
∴
∵是的平分线，
∴
∴
②若是的平分线，如图，
∵
∴
∴
∴；
③若是的平分线时，如图，
∵
∴
∴
∴
故答案为：，或
3．（2023上·陕西汉中·七年级校联考阶段练习）已知是内的射线．
(1)如图1，若平分平分．求的度数；
(2)是内的一条射线，是内的射线，如图2所示．若平分平分．求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．
（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解；
（2）设，表示出，根据角平分线的定义表示出和，然后根据列式计算即可得解．
【详解】（1）解：因为平分平分，
所以，
所以
．
（2）设，则，
∵平分平分，
．
易错必刷题二十五、多边形和圆的初步认识
1．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（ ）
A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形D．正五边形和正九边形
【答案】C
【分析】本题考查了平面镶嵌，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．由此逐项判断即可．
【详解】解：A选项，正三角形的内角为，正五边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
B选项，正方形的内角为，正六边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
C选项，正方形的内角为，正八边形内角为，，因此能镶嵌成一个平面图形，符合题意；
D选项，正五边形的内角为，正九边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
故选C．
2．（2023上·河北保定·七年级保定市第十七中学校考开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
【答案】 圆周长的一半 半径
【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答．
【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，
圆的面积近似长方形的面积长宽．
故答案为：圆周长的一半，半径，．
【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键．
3．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把四边形分成___________个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把五边形分成__________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作_________条对角线，它把边形分成_________个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为__________．
【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）解：运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）解：∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴代入（3）中的结论：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割，利用题中的条件找出题中的规律是解此题的关键．
易错必刷题二十六、认识一元一次方程
1．（2023上·山东泰安·六年级统考期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，将替换代入方程，即可得出，进而求出结果即可．
【详解】解：设，
则，变形为，
，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程得解是能使方程左右两边相等的未知数的值，设，将替换代入方程是解答本题的关键．
2．（2023上·重庆开州·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程的解是负整数，那么整数k的所有取值之和为 ；
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程的解是负整数且k为整数，可得出k的值，再将其相加即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵原方程的解是负整数，且k为整数，
∴或，
∴整数k的所有取值之和为．
故答案为：．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知是关于y的一元一次方程．
(1)求a，b的值；
(2)若是方程的解，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可知、， 从而求出、的值；
（2）将的值代入所给方程中求出的值， 再将、、的值代入待求式求解．
【详解】（1）解：由题意得：0 ，
解得．
（2）将代入， 得
解得，
所以．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．
易错必刷题二十七、求解一元一次方程
1．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了换元法解一元一次方程；
先对关于的一元一次方程进行变形，再根据方程解的定义求解即可．
【详解】解：把方程两边同时乘以整理得：，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）若关于x的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，根据原方程的解是整数，得到是整数，则或或，据此求出符合题意的k的值，然后求和即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵原方程的解是整数，
∴，
∴，
∵原方程的解是整数，
∴是整数，
∴或或，
∴或或或或或，
∴符合条件的所有整数k的值的和为，
故答案为：12．
3．（2023上·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）计算或解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，
（1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可．
（2）按照有理数的加减混合运算法则计算即可．
（3）按照解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3），
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
易错必刷题二十八、应用一元一次方程
1．（2023上·全国·七年级专题练习）某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）
A．445元B．405元C．356元D．324元
【答案】D
【分析】设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，分及两种情况可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值，由第二次购物付款金额第二次购物购买商品的价格可得出关于的一元一次方程，解之可求出值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．
【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，
当时，；
当时，，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴；
当时，则，
∴，
当时，，
∴；
∴或；
综上所述，小敏两次购物的实质价值为或，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
∴或，
∴至少付款324元．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的85元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
2．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 立方米．
【答案】981
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分清各档用气量和对应价格是解答本题的关键．先计算出第一档和第二档中年用天然气量分别为360立方米和600立方米应缴纳的费用之和为1320元，由得出该户2023年使用天然气超过600立方米，设该户2023年使用天然气x立方米，根据等量关系“各档天然气费用之和等于2463元”列方程求解即可．
【详解】，，
该户2023年使用天然气超过600立方米，
设该户2023年使用天然气x立方米，
根据题意得：，
解得：，
该户2023年使用天然气981立方米，
故答案为：981．
3．（2023上·重庆秀山·七年级统考期末）“一剪理发店”曾师傅在美容美发商场选购某品牌的洗发水：
曾师傅估算店里一个月洗发水的使用量，若买“大桶装”，则需若干桶但还差1升；若买“小桶装”，则需多买16桶但会剩余1升，
(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水多少升？
(2)喜迎新年，商场进行促销：满1000减118元现金，并且该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，曾师傅打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？
【答案】(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水109升
(2)比促销前节省462元
【分析】（1）设需购买“大桶装”洗发水x桶，则需购买“小桶装”桶，根据所需洗发水体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论；
（2）由（1）可知，需购买22桶“小桶装”洗发水，结合该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，可得出只需购买“小桶装”洗发水18桶，再利用节省钱数=促销前所需费用减去促销后所需费用，即可求出结论．
【详解】（1）解：设需购买“大桶装”洗发水x桶，则需购买“小桶装”桶，
依题意，得：
解得：，
曾师傅预计店里一个月需要洗发水109升；
（2）由（1）可知，需购买22桶“小桶装”洗发水，
该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，
只需购买“小桶装”洗发水18桶，
比促销前可节省：
（元），
比促销前节省462元钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
易错必刷题二十九、数据的收集
1．（2023上·全国·七年级专题练习）下面的调查适合用试验法收集数据的是（ ）
A．推荐班长候选人
B．调查同学们的生日
C．你在10 s内能跑多少米
D．世界上发生“禽流感”的情况
【答案】C
【分析】实验方法适用于不易直接操作掌控情况，只有实地测量才能得出结果的统计．
【详解】解：A、可以直接调查得到数据；
B、可以直接调查得到数据；
C、适合实验方法，可以直接通过实验实地测量；
D、可借助于报纸、信息库等资料来查阅得到；
故选：C．
【点睛】本题考查了调查收集数据的过程与方法，解答本题要理解每个选项所说的含义．
2．（2023·北京石景山·统考一模）餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：
①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．
前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，针对桌子的大小，每个步骤所花费时间如下表所示：
现有三名餐厅工作人员分别负责三个步骤，但每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作，如果此时恰有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
【答案】12
【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，
当工作人员1清理大桌子的同时，工作人员2清理2张小桌子，5分钟后，当工作人员1清理2张小桌子的同时，工作人员2开始清理1张大桌子，第8分钟，工作人员3开始在大桌上摆放新餐具，进而即可求解．
【详解】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，
故答案是：12．
【点睛】本题主要考查事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，在同一时段中同时进行，是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）为满足学生锻炼身体的需求，学校将大批量添置运动器械，在购买之前对学生进行了调查，找出学生最喜欢的体育项目，然后按比例分配资金．在开始调查前应考虑好如下一些问题：
(1)你要调查的问题是什么？
(2)你要调查哪些人？
(3)你用什么方法调查？
(4)向你的调查对象提出哪些问题？
【答案】(1)学生最喜欢的体育项目
(2)学校部分学生
(3)问卷调查
(4)见解析
【分析】利用统计的知识进行一些实际调查，明确调查的问题及调查的对象即可解答（1）（2）；对于（3）（4）结合实际调查所要达到的目的提出合理的方法及问题即可．
【详解】（1）解：不同年级部分学生最喜欢的体育项目；
（2）解：学校各个年级的部分学生；
（3）解：采用问卷调查的方式，向不同年级学生发放问卷进行调查；
（4）解：如：“你最喜欢的体育项目是什么？”（答案不唯一）
【点睛】本题考查了收集数据的过程与方法，熟练掌握收集数据的过程与方法是解题的关键．
易错必刷题三十、普查和抽样调查
1．（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）今年我市有25000名学生参加了中考，为了了解这25000名考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行分析：在这个问题中有以下四种说法：（1）500名考生是总体的一个样本；（2）500名考生数学成绩的平均数是总体平均数；（3）25000名考生是总体；（4）样本容量是500．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位，注意样本只能用来估计总体，不能就是总体，据此求解即可．
【详解】本题考查的对象是25000名考生的数学成绩，故总体是25000名考生的数学成绩，故（3）错误；
个体是25000名考生中每名考生的数学成绩；
样本是500名考生数学成绩，样本容量是500，故（1）错误，（4）正确；
注意500名考生数学成绩的平均数并不代表是总体平均数，只能由样本平均数来估计总体的平均数，故（2）错误．
所以本题中正确的说法只有（4），
故选：A．
2．（2023·北京西城·校考模拟预测）某单位有名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 ．（填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
【答案】 是
【分析】（1）10000人5人化验一次，第一批需要化验2000次，再加上混合血样呈阳性需要需要对这组的每个人再分别化验一次的总次数，即可判定是否能减少化验次数；
（2）根据题意可以知道有3人携带，最多次数的是这3人不在同一组，即第二轮有3组即15人要化验，即可求出结果．
【详解】解：（1）次次，明显减少；
故答案为：是．
（2）（人，
故有3人是携带者，
第一轮：（次，
至多化验次数，故而这3个人都在不同组，
这样次数最多，
第二轮有3个组需要化验，
（次，
（次，
故至多需要2023次化验．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查统计与概率和不等式的应用，解本题的关键弄懂题意．
3．（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）为了了解某校八年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组对此展开抽样调查．已知八年级共25个班级，每班40名学生．
(1)小明选择对2班全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽取10名同学．他们的抽样是否合理？请分别说明理由．
(2)设样本容量为100，请设计一个合理的抽样调查方案．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据抽样调查的特点判断即可；
（2）可以从从25个班级各随机抽取学号为9，19，29，39的4名同学进行调查．
【详解】（1）解：小明的抽样不合理．
理由：全年级每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性；
小刚的抽样不合理．
理由：样本容量太小，样本不具有广泛性．
（2）解：答案不唯一，如：数学兴趣小组从25个班级各随机抽取学号为9，19，29，39的4名同学进行调查．
【点睛】本题考查抽样调查，明确知识点是关键．
易错必刷题三十一、数据的表示
1．（2023上·四川成都·七年级校考期末）某商场年月份的月销售总额如图所示，其中商品的销售额占当月销售总额的百分比如图所示．根据图中信息，在以下四个结论中推断不合理的是（ ）
A．月份商品的销售额为万元
B．月份月销售总额最低的是月份
C．月商品销售额占当月销售总额的百分比最高的是月份
D．月商品销售额最高的是月份
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图，根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】、由两个统计图可知月份的销售总额是万元，其中商品的销售额占，因此（万元），选项不符合题意；
、由条形统计图可知，月份月销售总额最低的是月份，因此选项不符合题意；
、从折线统计图可知，月商品销售额占当月销售总额的百分比最高的是月份，因此选项不符合题意；
、月份商品销售额为(万元)，月份商品销售额为(万元)，月份商品销售额为(万元)，最高的是月份，因此选项符合题意，
故选：．
2．（2023下·山东滨州·七年级统考期末）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二学生进行了问卷调查，其中一项是疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图不完整，由图中信息可知，下列结论正确的序号 ．
本次调查的样本容量是；
选“责任”的有人；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角的大小为；
选“感恩”的人数最多．
【答案】
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：本次调查的样本容量为：，故选项中的说法正确；
选“责任”的有（人，故选项中的说法正确；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为，故选项中的说法错误；
选“感恩”的人数为：，故选“感恩”的人数最多，故选项中的说法正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本容量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2023上·山东济南·八年级校联考阶段练习）某校为落实“双减”工作，丰富课后服务活动内容，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中圆心角_______度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
【答案】(1)①400；②见解析；③54
(2)约为980名
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键．
（1）①用B小组的人数除以其所占百分比即可解答；②先分别求出A小组和C小组的人数，进而即可补全条形统计图；③用C小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可；
（2）用D小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可．
【详解】（1）解：①此次调查一共随机抽取了名学生．
故答案为：400；
②此次调查A小组的人数为名，
∴C小组的人数为名，
故补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角．
故答案为：54；
（2）解：名，
答：若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数约为980名．
易错必刷题三十二、统计图的选择
1．（2023·云南昆明·统考一模）图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论：
①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（ ）
A．④B．②③C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】用1 ~ 5月的营业总额减去其他月份的总额，求出4月份的营业额，故①正确；用5月份的营业额乘以“党史”类书籍所占的百分比即可求出，故②正确；用4月份的营业额乘以“党史”类书籍所占的百分比即可求出4月份“党史”类书籍营业额，和5月份比较，故③错误；先判断出1 - 3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，再由③的结论，故④正确．
【详解】解：该书店4月份的营业总额是：182- (30+ 40+ 25+ 42) = 45（万元），故①正确；5月份“党史”类书籍的营业额是42 ×25% = 10.5(万元)，故②正确；4月份“党史”类书籍的营业额是45 ×20% = 9(万元)，10.5＞9，故③错误；1一3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，而4月份“党史”类书籍的营业额又小于5月份“党史”类书籍的营业额，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了的是条形统计图和折线统计图的综合运用，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．
2．（2023·北京海淀·人大附中校考模拟预测）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%．对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断．
【详解】解：由题意得，甲校学生成绩优秀率在50%与70%之间，乙校学生成绩的优秀率在40%与60%之间，不能确定哪个学校的优秀率大，①错误；
②甲乙两校所有男生的优秀率在60%与70%之间，甲乙两校所有女生成绩的优秀率在40%与50%之间，所以甲乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲乙两校所有女生成绩的优秀率，②正确；
③甲校学生成绩的优秀率与学校的男女生的比例有关，不能由甲乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系确定，③正确；
所有正确的结论序号是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了统计学知识，根据给出条件，利用统计学知识加以判断是解决本题的关键．
3．（2023上·山西运城·七年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）2023年12月4日是我国第23个“法制宣传日”，我校举行了主题“学法，知法，懂法，守法”的普法知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
(1)表中______，______；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若80分以上为优秀，我校现有4800余名学生，请你估计我校成绩优秀的学生有多少名？
(4)结合以上信息，请你给我校关于普法方面提出一条合理化的建议．
【答案】(1)30，0.3
(2)见解析
(3)3360
(4)答案不唯一，见解析
【分析】本题考查画频数直方图，求频率和频数，用样本估计总体．
（1）根据样本数量、频率和频数关系计算解题；
（2）根据（1）中结果，补全频数分布直方图即可；
（3）用样本的优秀率去乘以总人数计算；
（4）根据数据，提出合理建议即可．
能从图表中提取相关信息进行分析是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
故答案为：30，0.3．
（2）如图即为所求，
（3）（名），
答：估计我校成绩优秀的学生有3360名．
（4）建议：继续加大法律宣传，让更多学生学法，知法，懂法，守法．（合情合理即可）
第一档天然气用量
第二档天然气用量
第三档天然气用量
年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元
年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元．
年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元．
规格（升/桶）
价格（元/桶）
大桶装
18
270
小桶装
5
86
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
成绩x/分
频数
频率
15
0.1
a
0.2
45
b
60
0.4
第一档天然气用量
第二档天然气用量
第三档天然气用量
年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元
年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元．
年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元．
规格（升/桶）
价格（元/桶）
大桶装
18
270
小桶装
5
86
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
成绩x/分
频数
频率
15
0.1
a
0.2
45
b
60
0.4
易错必刷题一、生活中的立体图形
1．（2023上·广东河源·七年级统考期中）下面表述错误的一项是（ ）
A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点
B．一个长方体可能有2个面是正方形
C．一个长方体只有4条高
D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等
2．（2023上·四川成都·七年级校考期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米．
3．（2023上·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为．
(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？
(2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留）
易错必刷题二、展开与折叠
1．（2023上·陕西榆林·七年级校考期中）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
2．（2023上·广东广州·七年级校考开学考试）一个圆柱高为厘米．如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米，这个圆柱的体积是 立方厘米．
3．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）小明在将一个几何体纸盒沿着棱剪开使其成为表面展开图时，不小心剪断了，分成了如图、图所示两部分．
(1)这个几何体的名称是________，小明共剪开了________条棱；
(2)此时小明希望将图与图重新粘上，请你帮助小明将图画在图的边上，使其能重新折叠为一个完整的几何体纸盒（直接在图中完成作图）；
(3)在（）的条件下，计算这个几何体的表面积（用含的代数式表示）．
易错必刷题三、截一个几何体
1．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）下列说法不正确的是（ ）
①长方体一定是柱体；②七棱柱有9个面；③五棱柱有10个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形．
A．①B．④C．①④D．②③
2．（2023上·山东青岛·七年级统考期中）在圆柱、圆锥、长方体这三种几何体中，截面不可能是长方形的是 ．
3．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可）
(1)有顶点的几何体有 ；
(2)截面可能为四边形的有 ；
(3)能由平面旋转形成的有 ；
(4)截面不可能是圆形的有 ．
易错必刷题四、从三个方向看物体的形状
1．（2023上·陕西榆林·七年级校考期中）如图，一个几何体由若干个相同的小正方体组成，要保持从上面看到的形状图不变，最多可以拿走的小正方体个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2023上·山西太原·七年级统考期中）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题．
A．搭成该几何体的小立方块最少有 个．
B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出 种不同的图形．
3．（2023上·四川达州·七年级四川省渠县中学校考期中）如图，是由个棱长都为的小立方体块搭建的几何体．
(1)请在边长为的小正方形组成的网格中，画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图．
(2)请直接写出这个几何体的表面积（包括底部）是__________．
易错必刷题五、有理数
1．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（ ）.
A．1B．2C．3D．4
2．（2023上·山西太原·七年级太原市志达中学校校考阶段练习）在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有 ．
3．（2023上·天津滨海新·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：
，，，，，，0，，，．
(1)负数集合：{ …}；
(2)整数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)有理数集合：{ …}．
易错必刷题六、数轴
1．（2023上·江苏扬州·七年级校联考期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（ ）重合．
A．字母B．字母C．字母D．字母
2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ．
3．（2023上·陕西渭南·七年级统考期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值；
(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
易错必刷题七、绝对值
1．（2023上·重庆垫江·七年级重庆市垫江实验中学校校联考期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，⑤，其中一定成立的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）适合的正整数a的值有 个
3．（2023上·广东阳江·七年级阳江市第二中学校考阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图.
(1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0；
(2)化简：.
易错必刷题八、有理数的加法
1．（2023上·山东青岛·七年级统考期中）已知，b是3的相反数，则的值为（ ）
A．B．C．或1D．1或
2．（2023上·湖北恩施·七年级校考开学考试）一个合唱队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员.如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花( )分钟就能通知到每个人．
3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）如图为武汉市地铁2号线行程表的一部分，国庆节期间，学生小波从虎泉站出发，在地铁上参加志愿服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天小波的乘车站数按先后顺序依次记录如下：．当小波从A站出站时，结束本次志愿服务活动．
(1)请通过计算说明A站是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，问这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为多少千米？
易错必刷题九、有理数的减法
1．（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级内蒙古师大附中校考期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．和B．或C．或7D．或
2．（2023上·湖北黄冈·七年级校联考阶段练习）数轴上有、、三点，点表示的数是，点表示的数是2，点与点的距离为1，则
3．（2023上·安徽宿州·七年级校联考期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，将数轴上，之间的距离记作，定义，且满足．
(1) ， ， ；
(2)若为数轴上一点，且，求的值．
易错必刷题十、有理数的加减混合运算
1．（2023上·河南驻马店·七年级统考阶段练习）小明在计算时，不小心把八个运算符号中的一个写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了，则原式从左往右数，第（ ）个运算符号写错了
A．6B．8C．4D．2
2．（2023上·福建龙岩·七年级统考期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．
3．（2023上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校1500米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：
(1)联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？
(2)若联络员行走的平均速度为75米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？
易错必刷题十一、有理数的乘法
1．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·湖南衡阳·七年级校联考期中）对于有理数x，y，若，则的值是 .
3．（2023上·湖北省直辖县级单位·七年级天门市九真中学校联考阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，．
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
易错必刷题十二、有理数的除法
1．（2023上·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期中）有理数满足且，那么的值为（ ）
A．0B．2C．0或2D．0或
2．（2023上·江苏苏州·七年级统考期中）在纸上画一条数轴，点A，，在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上在点左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点重合，原点与数轴上另一点重合，再将白纸重新展平，此时点与原点的距离等于点与点的距离，若点表示的数是，则点A表示的数是 ．
3．（2023上·河南南阳·七年级统考阶段练习）阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：
易错必刷题十三、有理数的乘方
1．（2023上·浙江衢州·七年级统考期中）下列结果相等的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
2．（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）当式子取最小值时， ．
3．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，
例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
易错必刷题十四、科学记数法
1．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元．
3．（2023上·山东临沂·七年级统考期中）我们的家乡——临沂，大力实施公交优先发展战略，逐步建立以公共汽车为主体的公共交通运输系统，年全市实现公交客运量约万人次．为鼓励市民绿色出行，更多地选择乘坐公交，经市委、市政府研究决定，实施国家法定节假日及双休日在临沂市区免费乘坐公交车的政策．如图所示为临沂市区快速公交车路线图．周末双休日时间，某校组织名学生统一从兰山路站出发，乘坐多次出站参加集体志愿服务活动．如果规定在图中向右为正，向左为负，当天的乘车站数不含每次乘车起始站按先后乘车顺序依次记录如下单位：站：，，，，，，，．
(1)用科学记数法表示年全市实现公交客运量约为 人次；
(2)请通过计算，说明经过的最后一站是哪一站？
(3)若相邻两站之间的平均距离为，求这次志愿服务期间每人乘坐行进的总路程是多少？
(4)没有实施免费乘坐公交车政策前，每人每次乘车需要支付2元公交车费．请问完成本次志愿服务活动所有学生共可节省多少公交车费？
易错必刷题十五、有理数的混合运算
1．（2023上·山东德州·七年级校考期中）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（ ）
A．8B．2C．4D．1
2．（2024上·广东佛山·七年级校联考期中）已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算 ．
3．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）计算题
(1)
(2)
(3)
易错必刷题十六、字母表示数
1．（2023上·重庆江津·七年级统考期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）由一块正方形地和一块长方形地组成的花园，分别以正方形的边长为半径画圆弧，以长方形的长为直径画圆弧，如图所示，园艺师准备在阴影部分种花，则阴影部分的种植面积为 平方米（用含a的代数式表示，结果保留）．
3．（2023上·吉林白山·七年级校联考期中）某商店有一种商品每件成本元，该成本增加元定出售价，销售20件后，由于库存积压减价，按售价的八折出售，又销售50件．
(1)该商店销售这70件商品的总售价为多少元；
(2)销售这70件商品共盈利多少元？
易错必刷题十七、代数式
1．（2023上·江苏无锡·七年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）当时，代数式的值为2023，则与时，代数式的值为（ ）
A．2023B．C．2023D．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如果，那么的值是 ．
3．（2023上·湖南长沙·七年级校联考期中）近期长沙发布购房新政，正式开放首套房限购，小明家购买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）．
(1)这套住房的客厅面积是多少平方米？主卧面积是多少平方米？建筑总面积是多少平方米？（用含，的式子表示）
(2)若，，已知这套住房的售价为每平方米10000元，购房时首付款为房价的，其余款项向住房公积金中心申请贷款，则小明家购买这套住房时需要贷款多少元？
(3)在（2）的条件下，小明准备将房子的地面铺上地砖，他去找了两家装修公司谈价，甲装修公司的报价如下：客厅、餐厅地砖200元/平方米，两个卧室地砖220元/平方米，厨房和卫生间地砖180元/平方米；乙装修公司的报价如下：每个房间地砖均为250元/平方米，最后金额再打8折．请问小明选择哪家装修公司更划算呢？请说明理由．
易错必刷题十八、整式
1．（2023上·湖南娄底·七年级统考阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是是B．单项式的次数是，系数为
C．多项式是二次二项式D．在中，整式有个
2．（2023上·山东德州·七年级校考期中）已知有理数a和有理数b满足多项式A，是关于x的二次三项式，则 ， ；
3．（2023上·四川成都·七年级校考期中）如图，每个小正方形的面积均为1．
等式：； 等式：； 等式：；
认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题：
(1)请写出第5个等式；
(2)猜想第个等式，用含的等式表示这个等式，并通过计算说明这个等式的正确性；
(3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？
易错必刷题十九、整式的加减
1．（2023上·山西大同·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·江苏南通·七年级如皋市实验初中校联考阶段练习）已知，，则式子的值为 ．
3．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）先化简再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中．
易错必刷题二十、探索与表达规律
1．（2023上·浙江杭州·七年级校联考期中）观察下列算式：，，，，，…，则的末位数字为（ ）
A．1B．3C．7D．9
2．（2023上·吉林松原·七年级校考期中）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第2023个图案中白色瓷砖块数为 ．
3．（2023上·全国·七年级专题练习）【阅读】求值：．
解：设，
将等式①的两边同时乘以2得，
由得，
即：，
仿照此法计算：
（1）；
（2）；
【应用】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、…．
完成下列问题：
（3）小正方形的面积等于 ；
（4）求正方形、、、…的面积和．
易错必刷题二十一、线段、射线、直线
1．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（ ）
A．6个B．1个或4个C．6个或4个D．1个或4个或6个
2．（2023上·四川眉山·七年级校考期末）已知：如图，、是线段上两点，且，是的中点，，则线段 ．
3．（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）综合与实践
【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条．
【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．
易错必刷题二十二、比较线段的长短
1．（2023上·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）两条长度分别为16cm和20cm的线段有一个端点重合，且在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离为（ ）
A．2cmB．18cmC．4cm或20cmD．2cm或18cm
2．（2023上·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点P，使，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为 ．
3．（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）（1）如图，已知线段，用圆规和直尺作线段，使它的长等于．
（2）如图，点C在线段上，点M是线段的中点，．若，则的长为多少?
易错必刷题二十三、角
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．
3．（2023上·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
易错必刷题二十四、角的比较
1．（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为( )
A．B．C．D．4a
2．（2023上·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，在平面内，是直线上一点，，.在直线上方引出一条射线，使、、三条射线满足其中一条射线是另两条射线夹角的平分线，则的度数是 .
3．（2023上·陕西汉中·七年级校联考阶段练习）已知是内的射线．
(1)如图1，若平分平分．求的度数；
(2)是内的一条射线，是内的射线，如图2所示．若平分平分．求的度数．
易错必刷题二十五、多边形和圆的初步认识
1．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（ ）
A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形D．正五边形和正九边形
2．（2023上·河北保定·七年级保定市第十七中学校考开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
3．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把四边形分成___________个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把五边形分成__________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作_________条对角线，它把边形分成_________个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为__________．
易错必刷题二十六、认识一元一次方程
1．（2023上·山东泰安·六年级统考期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·重庆开州·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程的解是负整数，那么整数k的所有取值之和为 ；
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知是关于y的一元一次方程．
(1)求a，b的值；
(2)若是方程的解，求的值．
易错必刷题二十七、求解一元一次方程
1．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）若关于x的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为 ．
3．（2023上·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）计算或解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
易错必刷题二十八、应用一元一次方程
1．（2023上·全国·七年级专题练习）某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）
A．445元B．405元C．356元D．324元
2．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 立方米．
3．（2023上·重庆秀山·七年级统考期末）“一剪理发店”曾师傅在美容美发商场选购某品牌的洗发水：
曾师傅估算店里一个月洗发水的使用量，若买“大桶装”，则需若干桶但还差1升；若买“小桶装”，则需多买16桶但会剩余1升，
(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水多少升？
(2)喜迎新年，商场进行促销：满1000减118元现金，并且该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，曾师傅打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？
易错必刷题二十九、数据的收集
1．（2023上·全国·七年级专题练习）下面的调查适合用试验法收集数据的是（ ）
A．推荐班长候选人
B．调查同学们的生日
C．你在10 s内能跑多少米
D．世界上发生“禽流感”的情况
2．（2023·北京石景山·统考一模）餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：
①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．
前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，针对桌子的大小，每个步骤所花费时间如下表所示：
现有三名餐厅工作人员分别负责三个步骤，但每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作，如果此时恰有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
3．（2023·全国·九年级专题练习）为满足学生锻炼身体的需求，学校将大批量添置运动器械，在购买之前对学生进行了调查，找出学生最喜欢的体育项目，然后按比例分配资金．在开始调查前应考虑好如下一些问题：
(1)你要调查的问题是什么？
(2)你要调查哪些人？
(3)你用什么方法调查？
(4)向你的调查对象提出哪些问题？
易错必刷题三十、普查和抽样调查
1．（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）今年我市有25000名学生参加了中考，为了了解这25000名考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行分析：在这个问题中有以下四种说法：（1）500名考生是总体的一个样本；（2）500名考生数学成绩的平均数是总体平均数；（3）25000名考生是总体；（4）样本容量是500．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2023·北京西城·校考模拟预测）某单位有名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 ．（填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
3．（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）为了了解某校八年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组对此展开抽样调查．已知八年级共25个班级，每班40名学生．
(1)小明选择对2班全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽取10名同学．他们的抽样是否合理？请分别说明理由．
(2)设样本容量为100，请设计一个合理的抽样调查方案．
易错必刷题三十一、数据的表示
1．（2023上·四川成都·七年级校考期末）某商场年月份的月销售总额如图所示，其中商品的销售额占当月销售总额的百分比如图所示．根据图中信息，在以下四个结论中推断不合理的是（ ）
A．月份商品的销售额为万元
B．月份月销售总额最低的是月份
C．月商品销售额占当月销售总额的百分比最高的是月份
D．月商品销售额最高的是月份
2．（2023下·山东滨州·七年级统考期末）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二学生进行了问卷调查，其中一项是疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图不完整，由图中信息可知，下列结论正确的序号 ．
本次调查的样本容量是；
选“责任”的有人；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角的大小为；
选“感恩”的人数最多．
3．（2023上·山东济南·八年级校联考阶段练习）某校为落实“双减”工作，丰富课后服务活动内容，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中圆心角_______度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
易错必刷题三十二、统计图的选择
1．（2023·云南昆明·统考一模）图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论：
①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（ ）
A．④B．②③C．①②③D．①②④
2．（2023·北京海淀·人大附中校考模拟预测）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%．对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2023上·山西运城·七年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）2023年12月4日是我国第23个“法制宣传日”，我校举行了主题“学法，知法，懂法，守法”的普法知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
(1)表中______，______；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若80分以上为优秀，我校现有4800余名学生，请你估计我校成绩优秀的学生有多少名？
(4)结合以上信息，请你给我校关于普法方面提出一条合理化的建议．
期末重难点真题特训之易错必刷题型（96题32个考点）专练
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易错必刷题一、生活中的立体图形
1．（2023上·广东河源·七年级统考期中）下面表述错误的一项是（ ）
A．每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点
B．一个长方体可能有2个面是正方形
C．一个长方体只有4条高
D．一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等
【答案】C
【分析】根据长方体、正方体的特征即可解答．
【详解】解：A.每个长方体都有6个面，12条棱，8个顶点，A选项正确；
B.一个长方体可能有2个面是正方形，B选项正确；
C.一个长方体有无数条高，C选项错误；
D.一个正方体12条棱长度都相等，6个面的面积也都相等，D选项正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了长方体、正方体的特征，掌握立体图形的特性是解答本题的关键．
2．（2023上·四川成都·七年级校考期中）图中的大长方形长10厘米、宽8厘米，小长方形长4厘米、宽3厘米，以长边中点连线（图中的虚线）为轴，将图中的阴影部分旋转一周得到的几何体的表面积为 平方厘米．
【答案】
【分析】本题考查的是面动成体以及圆柱体的表面积，关键在于想象出旋转得到的几何体的形状：大圆柱内有一个圆柱形坑．进而这个几何体的表面积是大圆柱的表面积加上小圆柱的侧面积，再根据圆柱体表面积计算公式进行计算是解决问题的关键．
【详解】解：大圆柱的表面积（平方厘米）．
小圆柱的侧面积（平方厘米）．
待求几何体的表面积（平方厘米）．
故答案为：．
3．（2023上·陕西咸阳·七年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为．
(1)若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是什么？
(2)求将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积．（结果保留）
【答案】(1)圆柱；
(2)或．
【分析】（）若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，则形成的几何体是圆柱；据此即可求解；
（）根据题意可得，圆柱的底面半径为，高为或底面半径为，高为，再根据圆柱的体积公式进行计算即可解答，
本题考查了点、线、面、体，熟练掌握圆柱的特征，以及圆柱的体积计算公式是解题的关键．
【详解】（1）将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，形成的几何体是圆柱；
（2）将此长方形纸片绕它的长所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，体积为．
将此长方形纸片绕它的宽所在直线旋转一周形成的几何体是底面半径为，高为的圆柱，体积为，
所以将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周形成的几何体的体积是或．
易错必刷题二、展开与折叠
1．（2023上·陕西榆林·七年级校考期中）如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，相对两个面上的数字之和的最小值是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方形的表面展开图找出相对面得到答案．
【详解】解：根据题意，与相对，与相对，与相对，
，，，
相对两个面上的数字之和的最小值是5．
故选A．
2．（2023上·广东广州·七年级校考开学考试）一个圆柱高为厘米．如果高缩短4厘米，表面积就减少平方厘米，这个圆柱的体积是 立方厘米．
【答案】
【分析】本题考查圆柱的体积，侧面积．设圆柱的底面圆的半径是，由圆柱侧面积计算公式，可求出圆柱的底面圆半径，再由圆柱体积公式即可计算．关键是掌握圆柱体积，侧面积的计算公式．
【详解】解：设圆柱的底面圆的半径是，
由题意得：，
∴，
∴圆柱的体积=，
故答案为：．
3．（2023上·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）小明在将一个几何体纸盒沿着棱剪开使其成为表面展开图时，不小心剪断了，分成了如图、图所示两部分．
(1)这个几何体的名称是________，小明共剪开了________条棱；
(2)此时小明希望将图与图重新粘上，请你帮助小明将图画在图的边上，使其能重新折叠为一个完整的几何体纸盒（直接在图中完成作图）；
(3)在（）的条件下，计算这个几何体的表面积（用含的代数式表示）．
【答案】(1)三棱柱，；
(2)作图见解析；
(3)．
【分析】本题考查了几何体的展开图，观察图形，找到图形的结构特征是解题的关键．
（）根据几何体的表面展开图即可求解；
（）根据几何体的表面展开图即可求解；
（）根据几何体的表面展开图即可求解；
【详解】（1）解：由几何体的表面展开图可知，几何体为三棱柱，共剪了条棱，
故答案为：三棱柱，；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：几何体的表面积．
易错必刷题三、截一个几何体
1．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）下列说法不正确的是（ ）
①长方体一定是柱体；②七棱柱有9个面；③五棱柱有10个顶点；④用一个平面去截几何体，若得到的图形是三角形，则这个几何体一定有一个面的形状是三角形．
A．①B．④C．①④D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了棱柱的性质、截一个几何体，根据柱体、棱柱的性质、截一个几何体的特点逐个判断即可得．
【详解】解：①长方体一定是柱体，则原说法正确；
②七棱柱有个面，则原说法正确；
③五棱柱有个顶点，则原说法正确；
④反例：正方体的面都是正方形，但用一个平面去截正方体，得到的图形可能是三角形，则原说法不正确；
综上，说法不正确的是④，
故选：B．
2．（2023上·山东青岛·七年级统考期中）在圆柱、圆锥、长方体这三种几何体中，截面不可能是长方形的是 ．
【答案】圆锥
【分析】此题主要考查了平面截简单几何体，首先根据当截面垂直于圆柱的底面时，则截面是长方形，当截面平行长方体的一个面时，则截面是长方形，据此可得出答案．
【详解】对于圆柱，当截面垂直于圆柱的底面时，则截面是长方形；
对于圆锥，无论截面怎样放置都截不出长方形；
对于长方体，当截面平行长方体的一个面时，则截面是长方形．
综上所述：截面不可能是长方形的是圆锥．
故答案为：圆锥．
3．（2023上·山东烟台·六年级统考期中）将下列几何体进行分类：（在横线处写明序号即可）
(1)有顶点的几何体有 ；
(2)截面可能为四边形的有 ；
(3)能由平面旋转形成的有 ；
(4)截面不可能是圆形的有 ．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【分析】（）根据所给的图形的特点即可得出答案；
（）根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案；
（）根据平面旋转形特点，即可得出答案；
（）根据所给的图形的特点和用一个平面截一个几何体得到的面叫做几何体的截面，即可得出答案；
此题考查了平面图形和立体图形，解题的关键是正确理解它们之间的联系和区别．
【详解】（1）有顶点的几何体有 （1）（2）（5）（6）（7）；
（2）截面可能为四边形的有 （1）（2）（4）（6）（7） ；
（3）能由平面旋转形成的有 （3）（4）（5） ；
（4）截面不可能是圆形的有 （1）（2）（6）（7） ．
易错必刷题四、从三个方向看物体的形状
1．（2023上·陕西榆林·七年级校考期中）如图，一个几何体由若干个相同的小正方体组成，要保持从上面看到的形状图不变，最多可以拿走的小正方体个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从上面看到的形状图不变，只要保持第一层不变即可．
【详解】解：根据从上面看到的形状图不变，最多可以拿走的小正方体个数是．
故选C．
2．（2023上·山西太原·七年级统考期中）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．
请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题．
A．搭成该几何体的小立方块最少有 个．
B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出 种不同的图形．
【答案】 6 7
【分析】A．根据从左面看和从上面看的图形，在从上面看的图形上相应位置标出摆放的数量即可；
B．分别在从上面看到的图形上标出摆放的各种不同的情况即可．
【详解】解：A．如图，是符合条件的其中一种摆放方法，
共需要6个小立方体，
故答案为：6；
B．将不同情况的摆放方式，在俯视图上标注出来如下：
共有7种不同的摆放方式，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了从不同方向看简单组合体，理解视图的定义，掌握简单组合体的画法及形状是正确解答的前提．
3．（2023上·四川达州·七年级四川省渠县中学校考期中）如图，是由个棱长都为的小立方体块搭建的几何体．
(1)请在边长为的小正方形组成的网格中，画出这个几何体从三个不同方向看到的形状图．
(2)请直接写出这个几何体的表面积（包括底部）是__________．
【答案】(1)画图见解析；
(2)平方厘米．
【分析】（）根据从不同方向看的形状图画法要求去画即可；
（）根据前后，左右，上下计算求和即可；
本题考查了几何体的表面积计算，从不同方向看的形状图画法，熟练掌握画图要求是解题的关键．
【详解】（1）如图，
（2）这个几何体的表面积为（平方厘米），
故答案为：平方厘米．
易错必刷题五、有理数
1．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）下列实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中，有理数个数有（ ）.
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据有理数的意义逐项判断即可．掌握整数和分数统称为有理数是解题的关键．注意π是无理数．
【详解】解：实数，π，，，（每两个0之间依次多一个1）中有理数为：、、，共3个.
故选C.
2．（2023上·山西太原·七年级太原市志达中学校校考阶段练习）在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有 ．
【答案】，0，
【分析】根据有理数的概念，不小于0的整数就是非负整数．
【详解】解：，，，，，，
，是负数，，3.14，0，是非负数，，不是有理数，
故答案为：，0，．
【点睛】此题考查了有理数分类的应用，关键是准确理解非负整数．
3．（2023上·天津滨海新·七年级校联考期中）把下列各数填在相应的表示集合的大括号里：
，，，，，，0，，，．
(1)负数集合：{ …}；
(2)整数集合：{ …}；
(3)分数集合：{ …}；
(4)有理数集合：{ …}．
【答案】(1)，，，，
(2)，，0，，
(3)，，，
(4)，，，，，0，，，
【分析】本题考查有理数的分类及定义，根据有理数的分类及定义即可求得答案．熟知有理数的分类是解题的关键．
【详解】（1）解：负数集合：，，，，，
故答案为：，，，，；
（2）整数集合：，，0，，，
故答案为：，，0，，；
（3）分数集合：，，，，
故答案为：，，，；
（4）有理数集合：，，，，，0，，，，
故答案为：，，，，，0，，，．
易错必刷题六、数轴
1．（2023上·江苏扬州·七年级校联考期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母，先将圆周上的字母对应的点与数轴的数字0所对应的点重合，若将圆沿着数轴向右滚动（无滑动），那么数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母（ ）重合．
A．字母B．字母C．字母D．字母
【答案】D
【分析】本题考查了数轴，一次求出与数，，，，…对应的点重合的字母，发现规律即可解决问题，能根据题中圆的运动方式，发现字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，是解此题的关键．
【详解】解：圆的周长为4个单位长度，
将圆沿着数轴向右滚动（无滑动）时，
字母与数字所对应的点重合，
字母与数字所对应的点重合，
字母与数字所对应的点重合，
字母与数字所对应的点重合，
字母与数字所对应的点重合，
…，
依次类推，字母，，，分别与数轴上表示数字，，，，…，的点重合，
余，
数轴上的数2023所对应的点将与圆周上的字母重合，
故选：D．
2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）数轴上的三个点，若其中一个点与其它两个点的距离相等，则称该点是其它两个点的“中点”，这三点满足“中点关系”．已知，如图点，表示的数分别为，，点为数轴上一动点．若，，三点满足“中点关系”时，则点表示的数为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查数轴上两点间的距离，掌握两点间的距离公式是解题的关键．根据中点到其它两点之间的距离相等，分，，点分别为其它两个点的中点，三种情况进行求解即可．
【详解】解：①当点为点，的中点时，点表示的数为；
②当点为点，的中点时，点表示的数为；
③当点为点，的中点时，点表示的数为；
综上：点表示的数为或或；
故答案为：或或．
3．（2023上·陕西渭南·七年级统考期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．
(1)若，求x的值；
(2)若，求x的值；
(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2
【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键．
（1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可；
（2）由题意知，，即，计算求解即可；
（3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴在之间，则，，
∴，
解得，，
∴x的值为1．
（2）解：由题意知，，
∵，
∴，即，或，
解得或．
（3）解：的值不会随着t的变化而变化；
由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，
∴，，
∴，
∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2．
易错必刷题七、绝对值
1．（2023上·重庆垫江·七年级重庆市垫江实验中学校校联考期中）已知整数a，b，c，d在数轴上对应的点如图所示，其中，则下列各式：①，②，③，④，⑤，其中一定成立的有（ ）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】本题考查了根据数轴比较大小，绝对值的化简，有理数的加减，绝对值的性质，弄清各数之间的关系，根据，，逐个判断是解题的关键．①根据，，得出，即可判断；②根据，即可判断；③易得，则，即可判断；④根据，，即可判断；⑤先得出，即可判断．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵，
∴，故②正确，符合题意；
③∵，，
∴，
∴，
∴，故③不正确，不符合题意；
④∵，，
∴，故④正确，符合题意；
⑤∵，
∴，
∴，
∴，故⑤正确，符合题意；
综上：综上正确的有：①②④⑤，共4个，
故选：B．
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）适合的正整数a的值有 个
【答案】8
【分析】本题主要考查了绝对值的意义，分当时，当时，当时，三种情况去绝对值得到的取值范围，从而得到只有当时成立，据此求出满足题意的正整数a的值即可得到答案．
【详解】解：当时，，
当时，，
当时，，
∴只有当时成立，
∴正整数a的值有，共8个，
故答案为：8．
3．（2023上·广东阳江·七年级阳江市第二中学校考阶段练习）有理数，，在数轴上的位置如图.
(1)判断正负，用“>”或“<”填空：________0，________，________0；
(2)化简：.
【答案】(1)＜，＜，＞
(2)
【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的加减和有理数的大小比较，整式的加减．
（1）由数轴可得，，再根据有理数的加减法法则即可解答；
（2）先去掉绝对值符号，再合并同类项即可．
【详解】（1）由数轴可得：，，
∴，，．
故答案为：＜，＜，＞
（2）∵，，
∴
．
易错必刷题八、有理数的加法
1．（2023上·山东青岛·七年级统考期中）已知，b是3的相反数，则的值为（ ）
A．B．C．或1D．1或
【答案】C
【分析】本题主要考查了有理数的加法，绝对值与相反数，先根据已知条件，求出，的值，然后分别把，的值代入进行计算即可．
【详解】，是3的相反数，
，，
当，时，
；
当，时，
，
综上可知的值为：或1，
故选：C．
2．（2023上·湖北恩施·七年级校考开学考试）一个合唱队共有50人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员.如果用打电话的方式，每分钟通知1人，最少花( )分钟就能通知到每个人．
【答案】6
【分析】第1分钟只能通知到1个学生，第2分钟能通知到学生的总数为3人。先通知1个队员，然后再与这名队员一起给2生打电话，然后这2名再与前面已通知的学生一起给其他学生打电话，依此类推，进行计算即可求解．
【详解】解：老师首先用1分钟通知第一个学生，
第二分钟由老师和1个学生分别通知1个学生，此时一共通知到学生：（个），
由此可知，第三分钟通知到学生：（个），
第四分钟通知到学生：（个），
第五分钟通知到学生：（个），
第六分钟通知到学生：（个），
所以至少需要6分钟．
故答案为：6．
【点睛】解决此题的关键是利用已通知的队员的人数加上老师是下一次要通知的队员人数．
3．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）如图为武汉市地铁2号线行程表的一部分，国庆节期间，学生小波从虎泉站出发，在地铁上参加志愿服务活动．如果规定向东为正，向西为负，当天小波的乘车站数按先后顺序依次记录如下：．当小波从A站出站时，结束本次志愿服务活动．
(1)请通过计算说明A站是哪一站？
(2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，问这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为多少千米？
【答案】(1)A站是洪山广场站
(2)54千米
【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法的应用，绝对值的应用，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）求出9个有理数的和，得出结论．
（2）求出9个有理数的绝对值和，再乘以1.2，得出总路程．
【详解】（1）
．
所以A站是洪山广场站．
（2）
．
（千米）．
答：这次小波志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约为54千米．
易错必刷题九、有理数的减法
1．（2023上·内蒙古呼和浩特·七年级内蒙古师大附中校考期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．和B．或C．或7D．或
【答案】D
【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的减法．
根据绝对值的性质求出x，y的值，再判断出x，y的对应情况，然后根据有理数的减法运算法则进行计算即可解答．
【详解】∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，或，，
当，时，，
当，时，，
∴的值为或．
故选：D
2．（2023上·湖北黄冈·七年级校联考阶段练习）数轴上有、、三点，点表示的数是，点表示的数是2，点与点的距离为1，则
【答案】2或4
【分析】分情况讨论点在的左侧和右侧两种情况．
【详解】解：①当在的左侧时，
代表的数为1，
此时．
②当在的右侧时，
代表的数是3，
此时，
故答案为：2或4．
【点睛】本题主要考查数轴上点与点之间距离的计算，解题关键在于要分情况讨论点的情况．
3．（2023上·安徽宿州·七年级校联考期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，将数轴上，之间的距离记作，定义，且满足．
(1) ， ， ；
(2)若为数轴上一点，且，求的值．
【答案】(1)，，
(2)或18
【分析】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，
（1）先利用绝对值的非负性，求出点、点所对应的数分别为，，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到的长即可．
（2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，利用数轴上的两点间距离求解即可．
【详解】（1）解：∵，
，
即，
∴
故答案为：，，；
（2）解：当点在点的左侧时，，
当点在点的右侧时，，
综上所述：或．
易错必刷题十、有理数的加减混合运算
1．（2023上·河南驻马店·七年级统考阶段练习）小明在计算时，不小心把八个运算符号中的一个写错了（“＋”错写成“－”或“－”错写成“＋”），结果算成了，则原式从左往右数，第（ ）个运算符号写错了
A．6B．8C．4D．2
【答案】A
【分析】利用有理数的加减混合运算的法则将原式计算得出结论，进而判定出将“”错写成“”，最后结合所给结论得出相差的数值即可．
【详解】解：
．
，
不小心把“”错写成“”，
，，
不小心把看成了，
不小心把原式从左往右数，第6个运算符号写错了．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算的法则是解题的关键．
2．（2023上·福建龙岩·七年级统考期中）爱动脑筋的小亮同学设计了一种“幻圆”游戏，将分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，他已经将这四个数填入了圆圈，则图中的值为 ．
【答案】3或6
【分析】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是．
由于八个数的和是4，所以需满足内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是．列等式可得结论．
【详解】解：设小圈上的数为，大圈上的数为，，
∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴内外两个圈的4个数字之和都是，横、竖的4个数字之和也是，
则，得，
，得，
，
∵当时，，则，
当时，，则，
∴的值为3或6．
故答案为：3或6．
3．（2023上·河北廊坊·七年级校考阶段练习）某校组织学生进行徒步研学活动．第一天下午，学生队伍从学校出发，开始沿向南的方向直走到距离学校1500米处的教育基地．学校联络员也从学校出发，不停地沿途往返，为队伍护行．以向南的方向为正方向，联络员从开始到最后行走的情况依次记录如下（单位：米）：
(1)联络员最终有没有到达教育基地？如果没有，那么他离教育基地还差多少米？
(2)若联络员行走的平均速度为75米/分，请问他此次行程共用了多少分钟？
【答案】(1)没到达，离教育基地还差430米
(2)分钟
【分析】本题考查了有理数正负数的应用，加减混合运算，熟练掌握法则是解题的关键．
(1)计算各运动量值的和，比较计算结果与1500米的大小，判断计算即可．
(2)计算各运动量值的绝对值的和，除以运动的速度计算即可．
【详解】（1）∵（米）
∵，
∴没到达，
∵，
∴他离教育基地还差430米．
（2）∵（米），
(分钟)
∴他此次行程共用了分钟．
易错必刷题十一、有理数的乘法
1．（2023上·河北石家庄·七年级校考期中）为了使的计算结果是，在“□”中填入的运算符号是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查了有理数乘法运算律，根据题意可以看出括号内之和为分数，与之积为只有乘法运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则．
【详解】解：，
，
，
故选：．
2．（2023上·湖南衡阳·七年级校联考期中）对于有理数x，y，若，则的值是 .
【答案】
【分析】由，不妨设，然后根据绝对值性质取绝对值，最后进行计算即可；掌握绝对值的性质是解题的关键．
【详解】解：由，不妨设，
则
．
故答案为：．
3．（2023上·湖北省直辖县级单位·七年级天门市九真中学校联考阶段练习）在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油，沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：14，，，，13，，，．
(1)请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米？
(2)救灾过程中，冲锋舟离出发点A最远处有多远？
(3)若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少升油？
【答案】(1)东边20千米
(2)最远处离出发点25千米
(3)还需补充的油量为9升
【分析】本题考查正负数的意义，有理数运算的实际应用．
（1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可；
（2）求出每一次距离地的距离，进行判断即可；
（3）将所有数据的绝对值相加，乘以油耗减去现有油量，即可．
读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴B地在A地的东边20千米；
（2）∵路程记录中各点离出发点的距离分别为：
14千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米；
千米．
∴最远处离出发点25千米；
（3）这一天走的总路程为：千米，
应耗油（升），
故还需补充的油量为：（升）．
易错必刷题十二、有理数的除法
1．（2023上·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期中）有理数满足且，那么的值为（ ）
A．0B．2C．0或2D．0或
【答案】A
【分析】由题意得，中有两个负数，一个正数，再分当时，，当时，两种情况讨论即可．
【详解】解：且，
，中有两个负数，一个正数，
当时，，，
，
当时，，，
．
综上所述：的值为．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，能够分类讨论解题是关键．
2．（2023上·江苏苏州·七年级统考期中）在纸上画一条数轴，点A，，在数轴上，如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上在点左右两侧的部分重合，此时数轴上点A恰与点重合，原点与数轴上另一点重合，再将白纸重新展平，此时点与原点的距离等于点与点的距离，若点表示的数是，则点A表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴及有理数的运算，能根据题意求出折点所表示的数是解题的关键．先求出点P所表示的数，再求出点B所表示的数，进而可解决问题．
【详解】解：由题知，
∵点P与原点O的距离等于点P与点C的距离，
且点C表示的数是，
∴点P表示的数是，
又∵折叠后原点O与点P重合，
且，
∴点B表示的数是，
又∵折叠后点A恰好与点C重合，
且，
∴点A表示的数是．
故答案为：．
3．（2023上·河南南阳·七年级统考阶段练习）阅读下列材料：计算．
解法一：原式．
解法二：原式．
解法三：原式的倒数为
．
故原式．
(1)上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为哪个解法是错误的．
(2)请你选择两种合适的解法解答下列问题：计算：
【答案】(1)没有除法分配律，故解法一错误；
(2)过程见解析，．
【分析】本题考查了有理数的除法乘法分配律；
（1）根据有理数的运算法则进行判断，可得答案；
（2）根据有理数的运算顺序，计算原式的倒数，和按照先计算括号内的，最后计算除法，两种方法求解，即可得出答案．
【详解】（1）解：没有除法分配律，故解法一错误；
（2）解法一：原式的倒数为：
，
；
所以原式；
解法二：原式
．
易错必刷题十三、有理数的乘方
1．（2023上·浙江衢州·七年级统考期中）下列结果相等的是（ ）
A．和B．和C．和D．和
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的乘方，根据平方和立方的计算方法求出结果即可得到答案，解题的关键是注意在运算过程中正负号的计算．
【详解】解：A、 ，，故A不符合题意；
B、，，故B符合题意；
C、 ，，故C不符合题意；
D、 ，，故D不符合题意，
故选：．
2．（2023上·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）当式子取最小值时， ．
【答案】81
【分析】本题考查了非负数的性质“任意一个数的偶次方都是非负数，任意一个数的绝对值都是非负数”、有理数的乘方，熟练掌握非负数的性质是解题关键．根据偶次方和绝对值的非负数性质可得，再代入计算即可得．
【详解】解：，，
当式子取最小值时，，
解得，
则，
故答案为：81．
3．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，
例：；
计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，
例：二进制数10010转化为十进制数：
；
其他进制也有类似的算法…
(1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________；
(2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数；
(3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数．
【答案】(1)
(2)
(3)42天
【分析】本题考查了有理数乘方的应用；
（1）根据题目信息直接进行计算即可；
（2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可；
（3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可．
【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是，
故答案为：；
（2）将八进制数“4372”转化为十进制数；
（3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1，
所以孩子已经出生的天数为天．
易错必刷题十四、科学记数法
1．（2023上·山东菏泽·七年级统考期中）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均量的四分之一，所以我们为中国节水，为世界节水．一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水（单位：升），用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据每一纸杯水大约0.25升，若每人每天浪费一纸杯水，那么100万人每天浪费的水为升，再根据科学记数法表示绝对值较大的数的方法表示出250000．
本题主要考查了用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法形式：，其中，n为正整数，的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1，按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
【详解】∵，
∴．
故选：C．
2．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）2023年是习近平总书记提出共建“一带一路”倡议的十周年，10年来取得了丰硕的成果，其中中国与共建国家的货物贸易累计规模达到1910000000美元．将1910000000美元用科学记数法表示为 美元．
【答案】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：，
故答案为：．
3．（2023上·山东临沂·七年级统考期中）我们的家乡——临沂，大力实施公交优先发展战略，逐步建立以公共汽车为主体的公共交通运输系统，年全市实现公交客运量约万人次．为鼓励市民绿色出行，更多地选择乘坐公交，经市委、市政府研究决定，实施国家法定节假日及双休日在临沂市区免费乘坐公交车的政策．如图所示为临沂市区快速公交车路线图．周末双休日时间，某校组织名学生统一从兰山路站出发，乘坐多次出站参加集体志愿服务活动．如果规定在图中向右为正，向左为负，当天的乘车站数不含每次乘车起始站按先后乘车顺序依次记录如下单位：站：，，，，，，，．
(1)用科学记数法表示年全市实现公交客运量约为 人次；
(2)请通过计算，说明经过的最后一站是哪一站？
(3)若相邻两站之间的平均距离为，求这次志愿服务期间每人乘坐行进的总路程是多少？
(4)没有实施免费乘坐公交车政策前，每人每次乘车需要支付2元公交车费．请问完成本次志愿服务活动所有学生共可节省多少公交车费？
【答案】(1)
(2)经过的最后一站是广州路站
(3)这次志愿服务期间每人乘坐行进的总路程是
(4)完成本次志愿服务活动所有学生共可节省元公交车费
【分析】本题考查了科学记数法以及正负数的意义，有理数的混合运算的应用；
（1）根据科学记数法的表示方法，即可求解；
（2）将记录的数据相加，对照图表，即可求解；
（3）将记录的绝对值相加乘以，即可求解；
（4）根据人数乘以票价格乘以次数，即可求解．
【详解】（1）解：万，
故答案为：；
（2），
∵从兰山路站出发，往左6站即广州路站；
∴经过的最后一站是广州路站；
（3）
，
即这次志愿服务期间每人乘坐行进的总路程是；
（4）解：依题意共20人，依次乘车8次，票价为2元每人每次，
∴元，
即完成本次志愿服务活动所有学生共可节省元公交车费．
易错必刷题十五、有理数的混合运算
1．（2023上·山东德州·七年级校考期中）科技的力量离不开复杂的程序，现在请同学们体会一个小小的程序设计，按图中程序运算，如果输入0，则输出的结果是（ ）
A．8B．2C．4D．1
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的运算，先把0输入，根据程序计算并判断计算结果是不是可以输出，若不能输出重新代入计算结果输入计算，直至输出即可．理解运算程序是解决本题的关键．
【详解】解：当输入0时， ．
由于2不大于2，再次输入，
所以输出4．
故选：C．
2．（2024上·广东佛山·七年级校联考期中）已知，均为有理数，现规定一种新运算“※”，满足，例如．计算 ．
【答案】
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，先计算出，再计算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则．
【详解】解：
，
∴
，
故答案为：．
3．（2023上·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期末）计算题
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，有理数的加减计算，有理数乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）根据有理数的加法计算法则求解即可；
（2）根据有理数乘法分配律进行求解即可；
（3）按照先计算乘方和绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法的运算顺序求解即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
易错必刷题十六、字母表示数
1．（2023上·重庆江津·七年级统考期中）下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查列代数式，根据不同的方法表示出阴影部分的面积即可．
【详解】解：A、大长方形面积：，空白处小长方形面积：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
B、上半部分阴影面积为：，下半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
C、左半部分阴影面积为：，右半部分阴影面积为：，所以阴影部分面积为：，故该选项正确；
D、阴影部分面积无法表示为，故该选项错误；
故选：D．
2．（2023上·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）由一块正方形地和一块长方形地组成的花园，分别以正方形的边长为半径画圆弧，以长方形的长为直径画圆弧，如图所示，园艺师准备在阴影部分种花，则阴影部分的种植面积为 平方米（用含a的代数式表示，结果保留）．
【答案】
【分析】首先依题意求出正方形的边长为米，进而得长方形的宽为10米，然后根据正方形内阴影部分的面积是四分之一圆的面积，长方形内阴影部分的面积长方形的面积半圆的面积即可得出答案．
【详解】解：如图所示：
依题意得：四边形为正方形，四边形为长方形，
，米，，
米，
，
，
米，
正方形的边长为米，即米，
，
，
平方米．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了列代数式，熟练掌握圆的面积公式，长方形的面积公式是解答问题的关键．
3．（2023上·吉林白山·七年级校联考期中）某商店有一种商品每件成本元，该成本增加元定出售价，销售20件后，由于库存积压减价，按售价的八折出售，又销售50件．
(1)该商店销售这70件商品的总售价为多少元；
(2)销售这70件商品共盈利多少元？
【答案】(1)元；
(2)元．
【分析】（）根据售价销售量总售价，把减价前后的总售价相加即可；
（）用总售价总成本即可；
本题考查的是整式的加减，要熟记整式加减的实质是合并同类项，正确表示售价是解题的关键．
【详解】（1）由题意，得元，
则该商店销售这件商品的总售价为元；
（2）由题意，得元，
则销售这件商品共盈利元．
易错必刷题十七、代数式
1．（2023上·江苏无锡·七年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）当时，代数式的值为2023，则与时，代数式的值为（ ）
A．2023B．C．2023D．
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．把代中可得：，然后再把代入代数式中，进行计算即可解答．
【详解】解：当时，代数式的值为2023，
∴
∴，
∴，
∴当时，
，
故选：B．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）如果，那么的值是 ．
【答案】
3．（2023上·湖南长沙·七年级校联考期中）近期长沙发布购房新政，正式开放首套房限购，小明家购买了一套商品房，其建筑平面图如图所示（单位：米）．
(1)这套住房的客厅面积是多少平方米？主卧面积是多少平方米？建筑总面积是多少平方米？（用含，的式子表示）
(2)若，，已知这套住房的售价为每平方米10000元，购房时首付款为房价的，其余款项向住房公积金中心申请贷款，则小明家购买这套住房时需要贷款多少元？
(3)在（2）的条件下，小明准备将房子的地面铺上地砖，他去找了两家装修公司谈价，甲装修公司的报价如下：客厅、餐厅地砖200元/平方米，两个卧室地砖220元/平方米，厨房和卫生间地砖180元/平方米；乙装修公司的报价如下：每个房间地砖均为250元/平方米，最后金额再打8折．请问小明选择哪家装修公司更划算呢？请说明理由．
【答案】(1)这套住房的客厅面积是：平方米，主卧面积是平方米，建筑总面积为平方米
(2)小明家购买这套住房时需要贷款693000元
(3)小明家选择乙装修公司更划算，理由见解析
【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及有理数混合运算，能够根据图形列出代数式是解题的关键．
（1）根据图形，分别用代数式表示这套住房的客厅面积、主卧面积和建筑总面积即可；
（2）结合，求得这套住房的建筑面积，根据“贷款数单价面积（首付比例）”计算需要贷款的金额即可；
（3）结合甲乙两公司的报价，分别计算装修费用并进行比较，即可获得答案．
【详解】（1）解：由题意可得，这套住房的客厅面积为平方米，主卧面积为平方米，
建筑总面积是：
平方米；
（2）解：∵，，
∴总面积
（平方米），
∴贷款金额
（元）；
（3）解：甲装修公司总费用
（元），
乙装修公司总费用（元），
∵，
∴小明家选择乙装修公司更划算，铺地砖的总费用是19800元．
易错必刷题十八、整式
1．（2023上·湖南娄底·七年级统考阶段练习）下列结论中正确的是（ ）
A．单项式的系数是，次数是是B．单项式的次数是，系数为
C．多项式是二次二项式D．在中，整式有个
【答案】D
【分析】此题考查了整式的有关概念，根据单项式和多项式有关概念即可求解，解题的关键是灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，多项式中次数最高项的次数是多项式的次数．
【详解】、单项式的系数是，次数是，此选项判断错误，不符合题意；
、单项式的次数是，系数为，此选项判断错误，不符合题意；
、多项式是三次二项式，此选项判断错误，不符合题意；
、在中，整式有共个，此选项判断正确，符合题意；
故选：．
2．（2023上·山东德州·七年级校考期中）已知有理数a和有理数b满足多项式A，是关于x的二次三项式，则 ， ；
【答案】 1
【分析】本题主要考查多项式， 根据多项式的定义解决此题．
【详解】解：由题意得，，．
，或
当时
∵关于x的二次三项式，当时，，是二次二项式，
∴舍去
，．
故答案为：1，．
3．（2023上·四川成都·七年级校考期中）如图，每个小正方形的面积均为1．
等式：； 等式：； 等式：；
认真研读图形及对应的等式，寻找规律，完成下列问题：
(1)请写出第5个等式；
(2)猜想第个等式，用含的等式表示这个等式，并通过计算说明这个等式的正确性；
(3)一个用形状大小一样的无数个小正方体搭成的几何体，若从其正面看到的形状图是上面规律图的左图，从其上面看到的形状图是由400个小正方形组成的大正方形，则这个几何体最多共有多少个小正方体？
【答案】(1)；
(2)；
(3)2200个．
【分析】（1）根据规律解答即可；
（2）利用规律可得第n个等式：，证明见解析；
（3）根据主视图，左视图的定义以及题目要求计算即可．
【详解】（1）解：由题可看出，
第一个等式有两个加数，
第二个等式有三个加数，
第三个等式有4个加数，且是从2开始的连续偶数……
所以第5个等式有6个加数，
第5个等式为：；
（2）解：猜想第n个等式：；
理由：
左边
右边．
故等式成立．
（3）解：∵从正面看到的是左图，从上面看到的是由400个小正方形组成的大正方形，可知最底层从正面看、左面看都有20个小正方形，
∴这个几何体最多共有：（个）．
答：这个几何体最多共有2200小正方体．
【点睛】本题考查由三视图判断几何体，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
易错必刷题十九、整式的加减
1．（2023上·山西大同·七年级统考期中）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．根据合并同类项法则和去括号法则计算即可求解．
【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项正确，符合题意；
D、，则此项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2023上·江苏南通·七年级如皋市实验初中校联考阶段练习）已知，，则式子的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查整式的加减．观察各系数可得，第一个式子加上第二个式子的3倍，得到，两边再乘以即可解答．
【详解】∵，，
∴，得，
∴．
故答案为：
3．（2023上·山东聊城·七年级校考阶段练习）先化简再求值：
(1)，其中，；
(2)，其中．
【答案】(1)，；
(2)，
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
（1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可；
（2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可．
【详解】（1）解：
，
当，时，原式；
（2）解：
，
当时，原式．
易错必刷题二十、探索与表达规律
1．（2023上·浙江杭州·七年级校联考期中）观察下列算式：，，，，，…，则的末位数字为（ ）
A．1B．3C．7D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，由，，，，，…，得个位数字以7，9，3，1为一循环，由余3，即可得的末位数字为3．
【详解】解：，，，，，…，
个位数字以7，9，3，1为一循环，
，
的末位数字为3．
故选：B．
2．（2023上·吉林松原·七年级校考期中）如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第2023个图案中白色瓷砖块数为 ．
【答案】6071
【分析】本题考查了图形规律的探索，观察图形的变化规律，会发现白色瓷砖的数量分别有三层构成，分别相加，据此即可表示出变化规律，带入即可求解．
【详解】解：观察图形得到：
第一个图案中有白色瓷砖块，
第二个图案中有白色瓷砖块，
第三个图案中有白色瓷砖块，
……
第n个图案中，白色瓷砖有块，
所以第2023个图案中有白色瓷砖块．
故答案为：6071
3．（2023上·全国·七年级专题练习）【阅读】求值：．
解：设，
将等式①的两边同时乘以2得，
由得，
即：，
仿照此法计算：
（1）；
（2）；
【应用】如图，将边长为1的正方形分成4个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作2023次，依次得到小正方形、…．
完成下列问题：
（3）小正方形的面积等于 ；
（4）求正方形、、、…的面积和．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】本题考查了整式的加减，数字类规律探索；
（1）设，将等式①的两边同时乘以3再减去等式①求出，进而可得答案；
（2）设，将等式①的两边同时乘以再减去等式①求出，进而可得答案；
（3）根据题意总结规律即可；
（4）设，将等式①的两边同时乘以4再减去等式①求出，进而可得答案．
【详解】解：（1）设，
将等式①的两边同时乘以3得：，
由得，
即：；
（2）设，
将等式①的两边同时乘以得：，
由得：，
即：；
（3）由题意得：，，，…，，
故答案为：；
（4）设，
将等式①的两边同时乘以4得：，
由得：，
即．
易错必刷题二十一、线段、射线、直线
1．（2023上·安徽亳州·七年级统考阶段练习）在同一平面内有四条直线，每两条直线都相交，则这四条直线的交点共有（ ）
A．6个B．1个或4个C．6个或4个D．1个或4个或6个
【答案】D
【分析】本题考查了直线相交问题，分成经过一个交点和不经过一个交点两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：四条直线经过同一个交点，这时只有一个交点，如图所示：
四条直线不经过同一个交点，这时有4个交点，如图所示：
四条直线没有公共交点，两两相交，这时有6个交点，如图所示：
故选：D．
2．（2023上·四川眉山·七年级校考期末）已知：如图，、是线段上两点，且，是的中点，，则线段 ．
【答案】/6厘米
【分析】本题考查了两点间的距离，根据已知先求出，的长度，就可得到的长度，再利用中点的性质解决即可．
【详解】解：：：：：，，
，，
，
是的中点，
，
，
故答案为：．
3．（2023上·山西晋城·七年级校联考阶段练习）综合与实践
【基础巩固】（1）如图1，点，，都在线段上，，是的中点，则图中共有线段__________条．
【深入探究】（2）在（1）的条件下，若，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
【拓展提高】（3）如图2，在（2）的基础上，是的中点，若，求的长．
【答案】（1）10；（2），理由见解析；（3）
【分析】本题考查了两点间的距离，掌握线段中点的定义，线段之间的倍分关系是关键．
（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条，据此回答即可；
（2）设，先列方程求得求得，，可得答案；
（3）设，先列方程求得，再求得的长即可．
【详解】解：（1）图中的线段有、、、、、、、、、这10条，
故答案为：10；
（2）设，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
（3）设，
∵，
∴由（2）得，，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴．
易错必刷题二十二、比较线段的长短
1．（2023上·湖北荆州·七年级校联考阶段练习）两条长度分别为16cm和20cm的线段有一个端点重合，且在同一条直线上，则这两条线段的中点之间的距离为（ ）
A．2cmB．18cmC．4cm或20cmD．2cm或18cm
【答案】D
【分析】本题考查了线段的和差关系，主要利用了线段的中点定义，难点在于要分情况讨论，作出图形更形象直观．设较长的线段为，较短的线段为，根据中点定义求出、的长度，然后分①不在线段上时，，②在线段上时，，分别代入数据进行计算即可得解．
【详解】解：如图，设较长的线段为，较短的线段为，
∵M、N分别为、的中点，
∴，，
∴①如图1，不在线段上时，，
②如图2，在线段上时，，
综上所述，两条线段的中点间的距离是2cm或；
故选：D．
2．（2023上·四川自贡·七年级四川省荣县中学校校考阶段练习）把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点P，使，将绳子从点P处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是线段的对折与长度比较，解题中渗透了分类讨论的思想；由于题目中的对折没有明确对折点，所以要分A为对折点与B为对折点两种情况进行讨论，讨论中抓住最长线段即可解决问题．
【详解】如图，
∵，
∴，
①若绳子是关于A点对折，此时剪断后的三段绳子长分别为、、，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为
∴
∴三段绳子中最短的一段的长为，
∴②若绳子是关于B点对折，此时剪断后的三段绳子长分别为、、，
∴剪断后的三段绳子中最长的一段为
∴
∴三段绳子中最短的一段的长为，
综上所述，三段绳子中最短的一段的长为或，
故答案为：或．
3．（2023上·广东佛山·七年级校考阶段练习）（1）如图，已知线段，用圆规和直尺作线段，使它的长等于．
（2）如图，点C在线段上，点M是线段的中点，．若，则的长为多少?
【答案】（1）见解析（2）5
【分析】本题考查了作线段，与线段中点有关的计算．熟练掌握作线段，与线段中点有关的计算是解题的关键．
（1）延长线段，在延长线上截取线段，则线段即为所求；
（2）由中点，可得，由，，可求，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解 ：如图，延长线段，在延长线上截取线段，线段即为所求；
（2）解：∵点M是线段的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为5．
易错必刷题二十三、角
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据方位角的概念即可求解．
【详解】解：如图所示，
甲从点出发，沿北偏西走了米到达点，乙从点出发，沿南偏东方向走了米到达点，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查的是方向角，根据方向角的概念正确画出图形是解答此题的关键．
2．（2023下·黑龙江哈尔滨·六年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，长方形中，点、分别在边、上，连接，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，将对折，点落在直线上的点处，得折痕，点在上，，，则为 度．
【答案】66
【分析】根据折叠的性质得到，由平均的定义得到，再根据，，可得，即可得答案．
【详解】解：由折叠得：，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了折叠的性质，余角的定义，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
3．（2023上·全国·七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店碰面，小丽家在早餐店南偏西方向上，小影家在点处，小华家在早餐店东南方向上，，且早餐店到小华家与小丽家的距离相等．
(1)在图中画出小华家的位置；
(2)求的度数；
(3)若，请说出小影家相对于早餐店的位置．
【答案】(1)见解析图；
(2)；
(3)小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【分析】（）根据要求画出图形即可；
（）得与正东方向的夹角，从而求得的度数；
（）求出与正北方向的夹角，根据方向角的定义判断即可．
【详解】（1）如图，点即为所求；
（2）∵，
∴与正东方向的夹角为，
；
（3）由（）得与正东方向的夹角为，
∵，
∴与正东方向的夹角为：，
∵正东和正北的夹角为，
∴与正北方向的夹角为：，
∴小影家在早餐店的位置北偏西的位置上．
【点睛】此题考查了作图-应用与设计作图，方向角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
易错必刷题二十四、角的比较
1．（2023上·浙江杭州·七年级统考期末）如图，设锐角的度数为，若一条射线平分，则图中所有锐角的和为．若四条射线五等分，则图中所有锐角的和为( )
A．B．C．D．4a
【答案】A
【分析】本题考查了角度的计算，角的数量问题，根据题意可得每一个小角的度数为，进而将所有角的度数相加即可求解．
【详解】∵四条射线五等分，
∴每个小角的度数为．如图，
图中所有锐角的和为
，
故选：A．
2．（2023上·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，在平面内，是直线上一点，，.在直线上方引出一条射线，使、、三条射线满足其中一条射线是另两条射线夹角的平分线，则的度数是 .
【答案】，或
【分析】本题主要考查了与角平分线有关的计算，分是的平分线；是的平分线；是的平分线三种情况求解即可
【详解】解：分三种情况：①若是的平分线，如图，
∵，，
∴
∵是的平分线，
∴
∴
②若是的平分线，如图，
∵
∴
∴
∴；
③若是的平分线时，如图，
∵
∴
∴
∴
故答案为：，或
3．（2023上·陕西汉中·七年级校联考阶段练习）已知是内的射线．
(1)如图1，若平分平分．求的度数；
(2)是内的一条射线，是内的射线，如图2所示．若平分平分．求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义，准确识图是解题的关键，难点在于要注意整体思想的利用．
（1）根据角平分线的定义求出和，然后根据代入数据进行计算即可得解；
（2）设，表示出，根据角平分线的定义表示出和，然后根据列式计算即可得解．
【详解】（1）解：因为平分平分，
所以，
所以
．
（2）设，则，
∵平分平分，
．
易错必刷题二十五、多边形和圆的初步认识
1．（2023上·山东济宁·八年级统考期中）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果选用两种儿何图形镶嵌整个地面，下列哪种组合能镶嵌成一个平面图形．（ ）
A．正三角形和正五边形B．正方形和正六边形
C．正方形和正八边形D．正五边形和正九边形
【答案】C
【分析】本题考查了平面镶嵌，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能．由此逐项判断即可．
【详解】解：A选项，正三角形的内角为，正五边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
B选项，正方形的内角为，正六边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
C选项，正方形的内角为，正八边形内角为，，因此能镶嵌成一个平面图形，符合题意；
D选项，正五边形的内角为，正九边形内角为，的整数倍和的整数倍之和不能凑成，因此不能镶嵌成一个平面图形，不合题意；
故选C．
2．（2023上·河北保定·七年级保定市第十七中学校考开学考试）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到．例如：在探究圆面积计算公式时（如下图），把一个圆平均分成若干等份，剪开拼成一个近似的长方形．这个长方形的长相当于( )，长方形的宽就是圆的( )，因此圆的面积是( )．
【答案】 圆周长的一半 半径
【分析】根据圆拼成的长方形的过程可知:近似长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，然后根据长方形的面积公式推导出圆的面积公式.据此解答．
【详解】解：近似长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径，
圆的面积近似长方形的面积长宽．
故答案为：圆周长的一半，半径，．
【点睛】本题主要考查了学生利用知识的迁移推导圆面积公式的过程，正确理解转化的思想是解答本题的关键．
3．（2023上·河南新乡·八年级校考阶段练习）探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把四边形分成___________个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作___________条对角线，它把五边形分成__________个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作_________条对角线，它把边形分成_________个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为__________．
【答案】(1) 1 2
(2) 2 3
(3)
(4)
【分析】（1）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（2）根据题意画出对图中的一个顶点的对角线即可得到结论；
（3）根据（1）（2）中的结论，可找到规律即可得到结论；
（4）将100代入（3）的结论中即可得到答案．
【详解】（1）解：如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2．
（2）解：运用（1）的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为：2，3．
（3）解：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，它把边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）解：∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴代入（3）中的结论：对于边形，过一个顶点可以作条对角线，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的对角线、边及三角形分割，利用题中的条件找出题中的规律是解此题的关键．
易错必刷题二十六、认识一元一次方程
1．（2023上·山东泰安·六年级统考期末）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，将替换代入方程，即可得出，进而求出结果即可．
【详解】解：设，
则，变形为，
，
解得：，
故选：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟知方程得解是能使方程左右两边相等的未知数的值，设，将替换代入方程是解答本题的关键．
2．（2023上·重庆开州·七年级校联考阶段练习）已知关于x的方程的解是负整数，那么整数k的所有取值之和为 ；
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程的解是负整数且k为整数，可得出k的值，再将其相加即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
∵原方程的解是负整数，且k为整数，
∴或，
∴整数k的所有取值之和为．
故答案为：．
3．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）已知是关于y的一元一次方程．
(1)求a，b的值；
(2)若是方程的解，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的定义可知、， 从而求出、的值；
（2）将的值代入所给方程中求出的值， 再将、、的值代入待求式求解．
【详解】（1）解：由题意得：0 ，
解得．
（2）将代入， 得
解得，
所以．
【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解的定义是解题的关键．
易错必刷题二十七、求解一元一次方程
1．（2023上·福建福州·七年级校考阶段练习）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了换元法解一元一次方程；
先对关于的一元一次方程进行变形，再根据方程解的定义求解即可．
【详解】解：把方程两边同时乘以整理得：，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
故选：C．
2．（2023上·浙江宁波·七年级校考阶段练习）若关于x的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数k的值的和为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，根据原方程的解是整数，得到是整数，则或或，据此求出符合题意的k的值，然后求和即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
∵原方程的解是整数，
∴，
∴，
∵原方程的解是整数，
∴是整数，
∴或或，
∴或或或或或，
∴符合条件的所有整数k的值的和为，
故答案为：12．
3．（2023上·四川绵阳·七年级校联考阶段练习）计算或解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，
（1）按照有理数的加减混合运算法则计算即可．
（2）按照有理数的加减混合运算法则计算即可．
（3）按照解一元一次方程的步骤解答即可．
【详解】（1）
．
（2）
．
（3），
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
易错必刷题二十八、应用一元一次方程
1．（2023上·全国·七年级专题练习）某超市在“双十一”活动期间，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；
②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠．
小敏在该超市两次购物分别付了85元和288元，若小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（ ）
A．445元B．405元C．356元D．324元
【答案】D
【分析】设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，分及两种情况可得出关于的一元一次方程，解之可求出的值，由第二次购物付款金额第二次购物购买商品的价格可得出关于的一元一次方程，解之可求出值，再利用两次购物合并为一次购物需付款金额两次购物购买商品的价格之和，即可求出结论．
【详解】解：设第一次购物购买商品的价格为元，第二次购物购买商品的价格为元，
当时，；
当时，，
解得：（不符合题意，舍去）；
∴；
当时，则，
∴，
当时，，
∴；
∴或；
综上所述，小敏两次购物的实质价值为或，均超过了350元，因此均可以按照8折付款：
∴或，
∴至少付款324元．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第一次购物的85元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．
2．（2023上·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）某市近期公布的居民用天然气阶梯价格方案如下：
若某户2023年实际缴纳天然气费2463元，则该户2023年使用天然气 立方米．
【答案】981
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分清各档用气量和对应价格是解答本题的关键．先计算出第一档和第二档中年用天然气量分别为360立方米和600立方米应缴纳的费用之和为1320元，由得出该户2023年使用天然气超过600立方米，设该户2023年使用天然气x立方米，根据等量关系“各档天然气费用之和等于2463元”列方程求解即可．
【详解】，，
该户2023年使用天然气超过600立方米，
设该户2023年使用天然气x立方米，
根据题意得：，
解得：，
该户2023年使用天然气981立方米，
故答案为：981．
3．（2023上·重庆秀山·七年级统考期末）“一剪理发店”曾师傅在美容美发商场选购某品牌的洗发水：
曾师傅估算店里一个月洗发水的使用量，若买“大桶装”，则需若干桶但还差1升；若买“小桶装”，则需多买16桶但会剩余1升，
(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水多少升？
(2)喜迎新年，商场进行促销：满1000减118元现金，并且该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，曾师傅打算购买“小桶装”，比促销前节省多少钱？
【答案】(1)曾师傅预计店里一个月需要洗发水109升
(2)比促销前节省462元
【分析】（1）设需购买“大桶装”洗发水x桶，则需购买“小桶装”桶，根据所需洗发水体积不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中即可求出结论；
（2）由（1）可知，需购买22桶“小桶装”洗发水，结合该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，可得出只需购买“小桶装”洗发水18桶，再利用节省钱数=促销前所需费用减去促销后所需费用，即可求出结论．
【详解】（1）解：设需购买“大桶装”洗发水x桶，则需购买“小桶装”桶，
依题意，得：
解得：，
曾师傅预计店里一个月需要洗发水109升；
（2）由（1）可知，需购买22桶“小桶装”洗发水，
该品牌商家对“小桶装”洗发水有“买4送1”的促销活动，
只需购买“小桶装”洗发水18桶，
比促销前可节省：
（元），
比促销前节省462元钱．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
易错必刷题二十九、数据的收集
1．（2023上·全国·七年级专题练习）下面的调查适合用试验法收集数据的是（ ）
A．推荐班长候选人
B．调查同学们的生日
C．你在10 s内能跑多少米
D．世界上发生“禽流感”的情况
【答案】C
【分析】实验方法适用于不易直接操作掌控情况，只有实地测量才能得出结果的统计．
【详解】解：A、可以直接调查得到数据；
B、可以直接调查得到数据；
C、适合实验方法，可以直接通过实验实地测量；
D、可借助于报纸、信息库等资料来查阅得到；
故选：C．
【点睛】本题考查了调查收集数据的过程与方法，解答本题要理解每个选项所说的含义．
2．（2023·北京石景山·统考一模）餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：
①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．
前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，针对桌子的大小，每个步骤所花费时间如下表所示：
现有三名餐厅工作人员分别负责三个步骤，但每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作，如果此时恰有两张小桌和一张大桌需要清理，那么将三张桌子收拾完毕最短需要 分钟．
【答案】12
【分析】设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，
当工作人员1清理大桌子的同时，工作人员2清理2张小桌子，5分钟后，当工作人员1清理2张小桌子的同时，工作人员2开始清理1张大桌子，第8分钟，工作人员3开始在大桌上摆放新餐具，进而即可求解．
【详解】解：设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，工作人员2负责②清洁椅面与地面，工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图：
将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟，
故答案是：12．
【点睛】本题主要考查事件的统筹安排，尽可能让①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，在同一时段中同时进行，是解题的关键．
3．（2023·全国·九年级专题练习）为满足学生锻炼身体的需求，学校将大批量添置运动器械，在购买之前对学生进行了调查，找出学生最喜欢的体育项目，然后按比例分配资金．在开始调查前应考虑好如下一些问题：
(1)你要调查的问题是什么？
(2)你要调查哪些人？
(3)你用什么方法调查？
(4)向你的调查对象提出哪些问题？
【答案】(1)学生最喜欢的体育项目
(2)学校部分学生
(3)问卷调查
(4)见解析
【分析】利用统计的知识进行一些实际调查，明确调查的问题及调查的对象即可解答（1）（2）；对于（3）（4）结合实际调查所要达到的目的提出合理的方法及问题即可．
【详解】（1）解：不同年级部分学生最喜欢的体育项目；
（2）解：学校各个年级的部分学生；
（3）解：采用问卷调查的方式，向不同年级学生发放问卷进行调查；
（4）解：如：“你最喜欢的体育项目是什么？”（答案不唯一）
【点睛】本题考查了收集数据的过程与方法，熟练掌握收集数据的过程与方法是解题的关键．
易错必刷题三十、普查和抽样调查
1．（2023上·江苏盐城·八年级校考期中）今年我市有25000名学生参加了中考，为了了解这25000名考生的数学成绩，从中抽取500名考生的数学成绩进行分析：在这个问题中有以下四种说法：（1）500名考生是总体的一个样本；（2）500名考生数学成绩的平均数是总体平均数；（3）25000名考生是总体；（4）样本容量是500．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象，总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位，注意样本只能用来估计总体，不能就是总体，据此求解即可．
【详解】本题考查的对象是25000名考生的数学成绩，故总体是25000名考生的数学成绩，故（3）错误；
个体是25000名考生中每名考生的数学成绩；
样本是500名考生数学成绩，样本容量是500，故（1）错误，（4）正确；
注意500名考生数学成绩的平均数并不代表是总体平均数，只能由样本平均数来估计总体的平均数，故（2）错误．
所以本题中正确的说法只有（4），
故选：A．
2．（2023·北京西城·校考模拟预测）某单位有名职工，想通过验血的方式筛查出某种病毒的携带者，如果对每个人的血样逐一化验，需要化验次．统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将各组5个人的血样混合再化验．如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一个人呈阳性，就需要对这组的每个人再分别化验一次．假设携带该病毒的人数占．
回答下列问题：
（1）按照这种化验方法是否能减少化验次数 ．（填“是”或“否”）；
（2）按照这种化验方法至多需要 次化验，就能筛查出这10000名职工中该种病毒的携带者．
【答案】 是
【分析】（1）10000人5人化验一次，第一批需要化验2000次，再加上混合血样呈阳性需要需要对这组的每个人再分别化验一次的总次数，即可判定是否能减少化验次数；
（2）根据题意可以知道有3人携带，最多次数的是这3人不在同一组，即第二轮有3组即15人要化验，即可求出结果．
【详解】解：（1）次次，明显减少；
故答案为：是．
（2）（人，
故有3人是携带者，
第一轮：（次，
至多化验次数，故而这3个人都在不同组，
这样次数最多，
第二轮有3个组需要化验，
（次，
（次，
故至多需要2023次化验．
故答案为：2023．
【点睛】本题考查统计与概率和不等式的应用，解本题的关键弄懂题意．
3．（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）为了了解某校八年级学生每天完成家庭作业所用时长，该校数学兴趣小组对此展开抽样调查．已知八年级共25个班级，每班40名学生．
(1)小明选择对2班全体同学进行调查，小刚选择在学校门口随机抽取10名同学．他们的抽样是否合理？请分别说明理由．
(2)设样本容量为100，请设计一个合理的抽样调查方案．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据抽样调查的特点判断即可；
（2）可以从从25个班级各随机抽取学号为9，19，29，39的4名同学进行调查．
【详解】（1）解：小明的抽样不合理．
理由：全年级每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性；
小刚的抽样不合理．
理由：样本容量太小，样本不具有广泛性．
（2）解：答案不唯一，如：数学兴趣小组从25个班级各随机抽取学号为9，19，29，39的4名同学进行调查．
【点睛】本题考查抽样调查，明确知识点是关键．
易错必刷题三十一、数据的表示
1．（2023上·四川成都·七年级校考期末）某商场年月份的月销售总额如图所示，其中商品的销售额占当月销售总额的百分比如图所示．根据图中信息，在以下四个结论中推断不合理的是（ ）
A．月份商品的销售额为万元
B．月份月销售总额最低的是月份
C．月商品销售额占当月销售总额的百分比最高的是月份
D．月商品销售额最高的是月份
【答案】D
【分析】本题考查了条形统计图、折线统计图，根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】、由两个统计图可知月份的销售总额是万元，其中商品的销售额占，因此（万元），选项不符合题意；
、由条形统计图可知，月份月销售总额最低的是月份，因此选项不符合题意；
、从折线统计图可知，月商品销售额占当月销售总额的百分比最高的是月份，因此选项不符合题意；
、月份商品销售额为(万元)，月份商品销售额为(万元)，月份商品销售额为(万元)，最高的是月份，因此选项符合题意，
故选：．
2．（2023下·山东滨州·七年级统考期末）为了调查疫情对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对初二学生进行了问卷调查，其中一项是疫情期间出现的哪一个高频词汇最触动你的内心？针对该项调查结果制作的两个统计图不完整，由图中信息可知，下列结论正确的序号 ．
本次调查的样本容量是；
选“责任”的有人；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角的大小为；
选“感恩”的人数最多．
【答案】
【分析】根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：本次调查的样本容量为：，故选项中的说法正确；
选“责任”的有（人，故选项中的说法正确；
扇形统计图中“生命”所对应的扇形圆心角度数为，故选项中的说法错误；
选“感恩”的人数为：，故选“感恩”的人数最多，故选项中的说法正确；
故答案为：．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本容量，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．（2023上·山东济南·八年级校联考阶段练习）某校为落实“双减”工作，丰富课后服务活动内容，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了______名学生；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中圆心角_______度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数．
【答案】(1)①400；②见解析；③54
(2)约为980名
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图相关联，由样本估计总体等知识．由条形统计图和扇形统计图得出必要的信息和数据是解题关键．
（1）①用B小组的人数除以其所占百分比即可解答；②先分别求出A小组和C小组的人数，进而即可补全条形统计图；③用C小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以即可；
（2）用D小组的人数除以总人数得出其所占比例，再乘以该校总人数即可．
【详解】（1）解：①此次调查一共随机抽取了名学生．
故答案为：400；
②此次调查A小组的人数为名，
∴C小组的人数为名，
故补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角．
故答案为：54；
（2）解：名，
答：若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数约为980名．
易错必刷题三十二、统计图的选择
1．（2023·云南昆明·统考一模）图1表示的是某书店今年1~5月的各月营业总额的情况，图2表示的是该书店“党史”类书籍的各月营业额占书店当月营业总额的百分比情况．若该书店1~5月的营业总额一共是182万元，某同学结合统计图分析得到如下结论：
①该书店4月份的营业总额为45万元；②5月份“党史”类书籍的营业额为10.5万元；③4月份“党史”类书籍的营业额最高；④5月份“党史”类书籍的营业额最高，则上述结论中正确的是（ ）
A．④B．②③C．①②③D．①②④
【答案】D
【分析】用1 ~ 5月的营业总额减去其他月份的总额，求出4月份的营业额，故①正确；用5月份的营业额乘以“党史”类书籍所占的百分比即可求出，故②正确；用4月份的营业额乘以“党史”类书籍所占的百分比即可求出4月份“党史”类书籍营业额，和5月份比较，故③错误；先判断出1 - 3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，再由③的结论，故④正确．
【详解】解：该书店4月份的营业总额是：182- (30+ 40+ 25+ 42) = 45（万元），故①正确；5月份“党史”类书籍的营业额是42 ×25% = 10.5(万元)，故②正确；4月份“党史”类书籍的营业额是45 ×20% = 9(万元)，10.5＞9，故③错误；1一3月份的营业总额以及“党史”类书籍的营业额占当月营业额的百分比都低于4、5月份，而4月份“党史”类书籍的营业额又小于5月份“党史”类书籍的营业额，故④正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了的是条形统计图和折线统计图的综合运用，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息．
2．（2023·北京海淀·人大附中校考模拟预测）在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中：甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%；乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%．对于此次测试，给出下列三个结论：
①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率；
②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率；
③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据给出条件，利用统计学知识逐一加以判断．
【详解】解：由题意得，甲校学生成绩优秀率在50%与70%之间，乙校学生成绩的优秀率在40%与60%之间，不能确定哪个学校的优秀率大，①错误；
②甲乙两校所有男生的优秀率在60%与70%之间，甲乙两校所有女生成绩的优秀率在40%与50%之间，所以甲乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲乙两校所有女生成绩的优秀率，②正确；
③甲校学生成绩的优秀率与学校的男女生的比例有关，不能由甲乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系确定，③正确；
所有正确的结论序号是②③．
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了统计学知识，根据给出条件，利用统计学知识加以判断是解决本题的关键．
3．（2023上·山西运城·七年级山西省运城市实验中学校考阶段练习）2023年12月4日是我国第23个“法制宣传日”，我校举行了主题“学法，知法，懂法，守法”的普法知识竞赛为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
(1)表中______，______；
(2)请补全频数分布直方图：
(3)若80分以上为优秀，我校现有4800余名学生，请你估计我校成绩优秀的学生有多少名？
(4)结合以上信息，请你给我校关于普法方面提出一条合理化的建议．
【答案】(1)30，0.3
(2)见解析
(3)3360
(4)答案不唯一，见解析
【分析】本题考查画频数直方图，求频率和频数，用样本估计总体．
（1）根据样本数量、频率和频数关系计算解题；
（2）根据（1）中结果，补全频数分布直方图即可；
（3）用样本的优秀率去乘以总人数计算；
（4）根据数据，提出合理建议即可．
能从图表中提取相关信息进行分析是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
故答案为：30，0.3．
（2）如图即为所求，
（3）（名），
答：估计我校成绩优秀的学生有3360名．
（4）建议：继续加大法律宣传，让更多学生学法，知法，懂法，守法．（合情合理即可）
第一档天然气用量
第二档天然气用量
第三档天然气用量
年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元
年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元．
年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元．
规格（升/桶）
价格（元/桶）
大桶装
18
270
小桶装
5
86
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
1
成绩x/分
频数
频率
15
0.1
a
0.2
45
b
60
0.4
第一档天然气用量
第二档天然气用量
第三档天然气用量
年用天然气量360立方米及以下，价格为每立方米2元
年用天然气量超出360立方米，不足600立方米时，超过360立方米部分每立方米价格为2.5元．
年用天然气量600立方米以上，超过600立方米部分价格为每立方米3元．
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价格（元/桶）
大桶装
18
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小桶装
5
86
回收餐具与剩菜、清洁桌面
清洁椅面与地面
摆放新餐具
大桌
5
3
2
小桌
3
2
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成绩x/分
频数
频率
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0.2
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