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山东省烟台市爱华高级中学2023-2024学年高二下学期开学质量检测数学试题（原卷版+解析版）
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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A. 72B. 36C. 24D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可.
【详解】先排三个唱歌节目这有：种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.
故选：A.
2. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. 135C. D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式，令的指数为，即可求出常数项．
【详解】依题意得，展开式的通项为：
令，解得
常数项为：
故选：B．
3. 2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲､乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（ ）
A. 10B. 14C. 16D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目要求分“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”三类，分别计算出每类的种数再由分类加法计数原理即可求解.
【详解】符合题目要求的分类方法共：“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”，三类
①“甲3张乙1张”的基本事件为：甲123乙4；甲124乙3，甲134乙2，甲234乙1，共4种；
②“甲2张乙2张”的基本事件为：甲12乙34；甲13乙24，甲14乙23，甲23乙14，甲24乙13，甲34乙12，共6种；
③“甲1张乙3张”的基本事件为：乙123甲4；乙124甲3，乙134甲2，乙234甲1，共4种；
所以不同分法总数为：种.
故选：B．
4. 已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，根据组合数的性质得到A正确；由组合数的计算公式得到B正确，C错误；D选项，根据排列数计算公式推出D正确.
【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；
对于B，因为，因此成立，B正确；
对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不一定正确；
对于D，，D正确．
故选：C．
5. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人的每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先从8人中任取3人，再对3人位置全调，然后利用分步计数原理求解.
【详解】从8人中任取3人有种，
3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，所以有种，
所以不同调换方式有种.
故选：C.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 5B. C. 15D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的多项式，利用组合的意义分析项的构成，列式计算作答.
【详解】可看作5个相乘，展开式中可由2种情况获得：
从5个式子中取2个式子提供，余下3个式子提供，则可得到；
从5个式子中取1个式子提供，另4个式子提供，则可得到，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
7. 某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有（ ）
A. 96B. 114C. 168D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】依据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求得不同种植方法的种数.
【详解】先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，
再在c中种植，分两类：
第一类：若c与b同色，则d中有3种不同种植方法，
第二类：若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，
最后在e中种植，有2种不同的种植方法.
所以不同种植方法的种数共有（种）．
故选：C．
8. 已知，则（ ）
A. 10935B. 5546C. 5467D. 5465
【答案】D
【解析】
【分析】令得，进而再结合赋值法求解即可.
【详解】解：令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
所以，
所以．
故选:D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（ ）
A. 从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B. 课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C. 课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D. 课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；
对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；
对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确.
故选：BC
10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 所有项的二项式系数和为64B. 所有项的系数和为0
C. 常数项为D. 系数最大的项为第3项
【答案】ABC
【解析】
【分析】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可.
【详解】，可得二项式的系数和为，故A正确；
令得所有项的系数和为0，故B正确；
常数项，故C正确；
由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.
故选：.
11. 现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A. 每人都安排一项工作的不同方法数为
B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】CD
【解析】
【分析】利用分步计数原理可判断A选项；利用先分组再排序，结合分步计数原理可判断B选项；利用分类加法与以及部分平均分组原理可判断C选项；利用分类计数原理和分步计数原理可判断D选项.
【详解】对于A选项，每人各有种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为，A错；
对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有人参加一份工作，
其余人都参加一份工作，
可先将人分为组，有一组为人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有种安排方法，B错；
对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况：
①有人选同一种工作，其余人只安排一种工作；
②有种工作只有人，其余种工作都只有人.
所以，不同的安排方法种数为，C对；
对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情况讨论：
①开车这份工作有人参与，其余工作各分配人，共有种安排方法；
②开车这份工作只有人参与，有人参与同一份工作，其余人各参与一份工作，共有.
综上所述，共有不同安排方案的种数是，D对.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二项式的展开式中的项的系数为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出含，的项，再与对应乘积即可得答案.
【详解】展开式的通项为，，
所以当时，，
当时，，
所以二项式的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
【答案】36
【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，
两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，
那么小明可以设置的不同密码共有．
故答案为：36.
14. 某地举办党史知识竞赛，已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁4支参赛队伍，其中1支队伍分配有7个名额，余下3支队伍都有参赛名额，则这4支队伍的名额分配方案有______种．
【答案】84
【解析】
【分析】取1支队伍获得7个名额，余下8个名额利用隔板法分给另外3支队伍，列式计算作答.
【详解】依题意，求分配方案数这件事需两步，先取1支队伍获得7个名额，有种方法，
把余下的8个名额分给另外3支队伍，每支队伍至少1个名额，由隔板法有种方法，
由分步乘法计数原理得这4支队伍的名额分配方案种数是.
故答案为：84
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，从左到右共有5个空格.
（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；
（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；
（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？
【答案】（1）36个；（2）48种；（3）16800种.
【解析】
【分析】（1）先排个位，再排首位，最后排其他位置，并用分步计数原理求解即可；
（2）按要求分析每个格子的颜色数量，顺序填涂，用分步计数原理求解即可；
（3）由题意可先分成5堆，在把分好的5堆排到5个位置即可求解
【详解】（1）个位有放法，首位有放法，其余三位任意放，
共有个五位奇数.
（2）第⼀个格⼦有3种涂色方案，剩下每个格⼦均有2种涂色方案，
共有种涂色方案.
（3）7个不同的球可分为1，1，1，1，3这样的5堆，有种分发，
在5个位置全排列有种方法；
7个不同的球可分为1，1，1，2，2这样的5堆，有种分发，
在5个位置全排列有种方法；
所以共有种方法.
16. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；
（2）求的展开式中项的系数．
【答案】（1）所有有理项为和；（2）164.
【解析】
【分析】（1）写出通项并化简，进而讨论x的指数为整数的情况，最后得到答案；
（2）写出每一项中x2项的系数并求和，进而通过组合数的性质得到答案.
【详解】（1）由题意得，2n＝1 024，∴n＝10，
∴展开式的通项为，
由或k=6，
所以有理项为.
（2）由，
∴x2项的系数为
17. 某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？
（1）将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；
（2）将9人平均分成3个组去进行社会实践；
（3）将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先将9人按分组，再将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
（2）利用平均分配直接列式计算作答
（3）将4个女生按分组，再取男生到分成的三组，确保各组都为3人，然后将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
【小问1详解】
将9人按分组，有种分组方法，再把各组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
【小问2详解】
从9人中任取3人去调查第一个项目，从余下6人中任取3人去调查第二个项目，最后3人去调查第三个项目，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同调查方式有.
【小问3详解】
把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，
从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，
将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
18. 已知的展开式中前三项的系数为等差数列.
（1）求二项式系数最大项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）；（2）和
【解析】
【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；
（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.
【详解】（1）由题意，的展开式是，
化简得
则，，
因为，前三项的系数为等差数列，则有，解得或（舍去）
则，则的展开式是
二项式系数是，当时，二项式系数最大，则
（2）由（1）得，的展开式是
根据组合数性质，最大，而随着的增大而减小，且，
则计算，
，
，
，
则当或时，系数最大，则系数最大项是和
【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.
19. 已知.
（1）当时，求的展开式中含项的系数；
（2）证明：的展开式中含项的系数为.
【答案】（1）84；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，根据二项展开式分别求出每个二项式中的项的系数相加即可；
（2）根据二项展开式，含项的系数为，又，再结合即可得到结论．
【详解】（1）当时，
，
的展开式中含项的系数为．
（2），，
故的展开式中含项的系数为
因为，
所以项的系数为：
【点睛】本题考查二项式定理、二项展开式中项的系数的求法、组合数的计算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
备用题：
20. 已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）49 （2）301
（3）179
【解析】
【分析】（1）由二项式定理求解
（2）由赋值法求解
（3）由赋值法求解
【小问1详解】
就是项的系数，所以．
【小问2详解】
令，得，
令，得，
所以．
【小问3详解】
令，得， ①
令，得， ②
由②－①可得，所以．
21. 在二项式的展开式中，______．给出下列条件：
①所有偶数项的二项式系数之和为256；
②前三项的二项式系数之和等于46．
试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，常数项即，可得k的值，即得常数项；
（2）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，解不等式可得r的值，即得系数绝对值最大的项
【小问1详解】
的二项展开式的通项为．
选①，所有偶数项的二项式系数之和为，可得．
选②，前三项的二项式系数之和为，解得．
由上知，展开式的通项为，
常数项即当时，，∴常数项为．
【小问2详解】
由（1）得，的二项展开式的通项为，
故第项的系数的绝对值为：．
由题设，令，解得，
∴，即第7项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为．
22. 已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7．
（1）求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数；
（2）利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01）
【答案】（1），或，，的系数为5
（2）
【解析】
【分析】（1）由x的系数为7得，的系数为，消元讨论最小值即可求；
（2），考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可
【小问1详解】
根据题意得，即．①
的展开式中的系数为．
将①变形为代入上式，得的系数为，
故当，或，时，的系数取得最小值且为9；
此时的系数均为；
【小问2详解】
当，或，时，
23. 已知正整数n满足.
（1）求n；
（2）求的展开式中的系数.（用数字表示结果）
【答案】（1）
（2）330
【解析】
【分析】（1）利用组合数公式及排列数公式得到方程，解得即可；
（2）依题意可得展开式中的系数为，再根据组合数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为，
所以，
即，
解得或（舍去）.
【小问2详解】
解：由（1）可得，所以展开式中的系数为
.
所以展开式中的系数为330.
24. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．
（Ⅰ）可以组成多少个不同的四位数？
（Ⅱ）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？
【答案】（Ⅰ）300（Ⅱ）100（Ⅲ）2301
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）用间接法，先分析从6个数中，任取4个组成4位数的情况数目，再计算其中包含0在首位的情况数目，计算可得答案；（Ⅱ）先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意（Ⅲ）按四位数从小到大的顺序，先计算千位是1的四位数的数目，再计算千位是2，百位是0或1的四位数的数目，与85比较可得答案
试题解析：（1） ．
（2）．
（3）千位是1的四位数有=60个，千位是2，百位是0或者1的四位数有2个，则第85项是2301．
考点：计数原理的应用
25. 7人站成一排，求满足下列条件的不同站法个数.
（1）甲、乙两人相邻；
（2）甲、乙之间隔着2人；
（3）原7人顺序不变，再加入3人；
（4）甲、乙、丙3人中从左向右看从高到低（3人身高不同）；
（5）甲、乙两人不相邻且都不在排头或排尾.
【答案】（1）1440;
（2）960; （3）720;
（4）840; （5）1440.
【解析】
【分析】（1）(捆绑法),把甲乙二人捆绑在一起,再和其他5人全排列;
（2）(捆绑法),先从5人选2人放着甲乙二人之间,并捆绑在一起,再和其他3人全排列;
（3）(插空法),原先7人排列形成8个空,先插入1人,再从形成的9个空再插入1人,再从10个空中插入1人;
（4）(定序法),先全排列,再除以顺序数;
（5）(分步计数原理), 先对其余的5人全排列，再对甲插空，对乙插空.
【小问1详解】
（捆绑法）把甲乙二人捆绑在一起,再和其他5人全排列,故有种；
【小问2详解】
（捆绑法）先从5人选2人放着甲乙二人之间,并捆绑在一起,再和其他3人全排列,故有种；
【小问3详解】
（插空法）原先7人排列形成8个空,先插入1人,再从形成的9个空再插入1人,再从10个空中插入1人,故有种；
【小问4详解】
（定序法）先全排列,再除以顺序数,故有种;
【小问5详解】
（分步计数原理）先对其余的5人全排列，再对甲插空，再对乙插空，故有.
26. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A. 24种B. 48种C. 72种D. 96种
【答案】C
【解析】
【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.
【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.
故选：C.
27. 没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A. 1176B. 2352C. 1722D. 1302
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区
【详解】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区；
当按照3，3，1的方法分配则有；
当按照2，2，3的方法分配则有；
当按照1，1，5的方法分配则有；
把三组成员分配到A，B，C三个小区的方法为
所以根据分步计数原理可得一共有：种不同的安排方式.
故选：A
28. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．
A. 600B. 300C. 360D. 180
【答案】B
【解析】
【分析】分最后一位为1、不为1两种情况，结合特殊位置法、插空法、捆绑法及排列组合数对不同情况计数，即可得答案.
【详解】当最后一位为1时，共有种；
当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有种，
把余下2个数字与9全排有种，
将两个1插入4个空中的2个有种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有种，
共有种；
综上，共有种.
故选：B
29. 某工艺品如图所示分成五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种（用数学作答）.
【答案】420
【解析】
【分析】根据分类计数原理，分D与B同色和D与B不同色两种情况求解即可.
【详解】第一类：先涂A，有5种情况，涂B，有4种情况，涂C，有3种情况，D与B同色，
涂E，有3种情况，共有种.
第二类：先涂A，有5种情况，涂B，有4种情况，涂C，有3种情况，
D与B不同色，有2种情况，涂E，有2种情况，共有种.
综上共有420种.
故答案为：420
30. 有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）
A. 任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
B. 全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C. 全体站成一排，女生必须站在一起有144种
D. 全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个计数原理和排列组合的知识，计算每个选项，可判断答案.
【详解】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有种，故A正确；
对于B：先排女生，将4名女生全排列，有种方法，
再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有种方法，故B正确．
对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有种情况，
再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有种情况，
故共有种方法，故C错误．
对于D：若甲站在排尾则有种排法，若甲不站在排尾则有种排法，
故有种排法，故D正确；
故选：C.
31. 的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】写出的展开式的通项，再令的指数等于和，结合题意即可得解.
【详解】的展开式的通项为，
令，则，令，则（舍去），
所以的展开式中含项的系数为，
所以.
故答案为：.
32. 若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________.
【答案】7
【解析】
【分析】由展开式中只有第5项最大，得，写出展开式的通项，求常数项.
【详解】由题意，所以展开式第项为，
令，得，故常数项为.
故答案为：7.
33. 已知在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求含的项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】
【详解】
（1）
（2）
展开式中所有的有理项为
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（ ）种排法？
A. 72B. 36C. 24D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】先排唱歌节目，利用插空法排舞蹈节目即可.
【详解】先排三个唱歌节目这有：种情况，
然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，
所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.
故选：A.
2. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. 135C. D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式，令的指数为，即可求出常数项．
【详解】依题意得，展开式的通项为：
令，解得
常数项为：
故选：B．
3. 2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲､乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（ ）
A. 10B. 14C. 16D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据题目要求分“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”三类，分别计算出每类的种数再由分类加法计数原理即可求解.
【详解】符合题目要求的分类方法共：“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”，三类
①“甲3张乙1张”的基本事件为：甲123乙4；甲124乙3，甲134乙2，甲234乙1，共4种；
②“甲2张乙2张”的基本事件为：甲12乙34；甲13乙24，甲14乙23，甲23乙14，甲24乙13，甲34乙12，共6种；
③“甲1张乙3张”的基本事件为：乙123甲4；乙124甲3，乙134甲2，乙234甲1，共4种；
所以不同分法总数为：种.
故选：B．
4. 已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】A选项，根据组合数的性质得到A正确；由组合数的计算公式得到B正确，C错误；D选项，根据排列数计算公式推出D正确.
【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；
对于B，因为，因此成立，B正确；
对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不一定正确；
对于D，，D正确．
故选：C．
5. 8个人坐成一排，现要调换其中3个人的每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同调换方式有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先从8人中任取3人，再对3人位置全调，然后利用分步计数原理求解.
【详解】从8人中任取3人有种，
3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，所以有种，
所以不同调换方式有种.
故选：C.
6. 的展开式中的系数为（ ）
A. 5B. C. 15D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的多项式，利用组合的意义分析项的构成，列式计算作答.
【详解】可看作5个相乘，展开式中可由2种情况获得：
从5个式子中取2个式子提供，余下3个式子提供，则可得到；
从5个式子中取1个式子提供，另4个式子提供，则可得到，
所以的展开式中的系数为.
故选：C
7. 某社区新建了一个休闲小公园，几条小径将公园分成5个区域，如图．社区准备从4种颜色不同的花卉中选择若干种种植在各个区域中，要求每个区域种植一种颜色的花卉，且相邻区域（有公共边的）所种花卉颜色不能相同，则不同种植方法的种数共有（ ）
A. 96B. 114C. 168D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】依据分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求得不同种植方法的种数.
【详解】先在a中种植，有4种不同的种植方法，再在b中种植，有3种不同的种植方法，
再在c中种植，分两类：
第一类：若c与b同色，则d中有3种不同种植方法，
第二类：若c与b不同色，则c中有2种不同的种植方法，d中有2种不同的种植方法，
最后在e中种植，有2种不同的种植方法.
所以不同种植方法的种数共有（种）．
故选：C．
8. 已知，则（ ）
A. 10935B. 5546C. 5467D. 5465
【答案】D
【解析】
【分析】令得，进而再结合赋值法求解即可.
【详解】解：令，则，
令，则，
令，则，
令，则，
所以，
所以．
故选:D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，则下列结论正确的是（ ）
A. 从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B. 课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C. 课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D. 课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
【答案】BC
【解析】
【分析】根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答.
【详解】对于A，从六门课程中选两门的不同选法有种，A不正确；
对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有种，B正确；
对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有种，C正确；
对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有种，D不正确.
故选：BC
10. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A. 所有项的二项式系数和为64B. 所有项的系数和为0
C. 常数项为D. 系数最大的项为第3项
【答案】ABC
【解析】
【分析】原二项式可以化为，再根据二项式展开式的性质求解即可.
【详解】，可得二项式的系数和为，故A正确；
令得所有项的系数和为0，故B正确；
常数项，故C正确；
由，系数为，最大为或，为第3项或第5项，故D错误.
故选：.
11. 现安排甲、乙、丙、丁、戊名同学参加年冬奥会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A. 每人都安排一项工作的不同方法数为
B. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C. 如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这名同学全部被安排的不同方法数为
D. 每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
【答案】CD
【解析】
【分析】利用分步计数原理可判断A选项；利用先分组再排序，结合分步计数原理可判断B选项；利用分类加法与以及部分平均分组原理可判断C选项；利用分类计数原理和分步计数原理可判断D选项.
【详解】对于A选项，每人各有种选择，每人都安排一项工作的不同方法数为，A错；
对于B选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则必有人参加一份工作，
其余人都参加一份工作，
可先将人分为组，有一组为人，然后将这四组分配给四种工作即可，共有种安排方法，B错；
对于C选项，如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，有两种情况：
①有人选同一种工作，其余人只安排一种工作；
②有种工作只有人，其余种工作都只有人.
所以，不同的安排方法种数为，C对；
对于D选项，每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，
甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，分两种情况讨论：
①开车这份工作有人参与，其余工作各分配人，共有种安排方法；
②开车这份工作只有人参与，有人参与同一份工作，其余人各参与一份工作，共有.
综上所述，共有不同安排方案的种数是，D对.
故选：CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 二项式的展开式中的项的系数为___________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出含，的项，再与对应乘积即可得答案.
【详解】展开式的通项为，，
所以当时，，
当时，，
所以二项式的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
【答案】36
【解析】
【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．
【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，
两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，
那么小明可以设置的不同密码共有．
故答案为：36.
14. 某地举办党史知识竞赛，已知有15个参赛名额分配给甲、乙、丙、丁4支参赛队伍，其中1支队伍分配有7个名额，余下3支队伍都有参赛名额，则这4支队伍的名额分配方案有______种．
【答案】84
【解析】
【分析】取1支队伍获得7个名额，余下8个名额利用隔板法分给另外3支队伍，列式计算作答.
【详解】依题意，求分配方案数这件事需两步，先取1支队伍获得7个名额，有种方法，
把余下的8个名额分给另外3支队伍，每支队伍至少1个名额，由隔板法有种方法，
由分步乘法计数原理得这4支队伍的名额分配方案种数是.
故答案为：84
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，从左到右共有5个空格.
（1）向5个空格中放入0，1，2，3，4这5个数，一共可组成多少个不同的5位奇数；
（2）用红，黄，蓝三种颜色给5个空格上色，要求相邻空格不同色，问一共有多少种涂色方案；
（3）向这5个空格中放入7个不同的小球，要求每个空格都有球，则有多少种不同的方法？
【答案】（1）36个；（2）48种；（3）16800种.
【解析】
【分析】（1）先排个位，再排首位，最后排其他位置，并用分步计数原理求解即可；
（2）按要求分析每个格子的颜色数量，顺序填涂，用分步计数原理求解即可；
（3）由题意可先分成5堆，在把分好的5堆排到5个位置即可求解
【详解】（1）个位有放法，首位有放法，其余三位任意放，
共有个五位奇数.
（2）第⼀个格⼦有3种涂色方案，剩下每个格⼦均有2种涂色方案，
共有种涂色方案.
（3）7个不同的球可分为1，1，1，1，3这样的5堆，有种分发，
在5个位置全排列有种方法；
7个不同的球可分为1，1，1，2，2这样的5堆，有种分发，
在5个位置全排列有种方法；
所以共有种方法.
16. 已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024.
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）；
（2）求的展开式中项的系数．
【答案】（1）所有有理项为和；（2）164.
【解析】
【分析】（1）写出通项并化简，进而讨论x的指数为整数的情况，最后得到答案；
（2）写出每一项中x2项的系数并求和，进而通过组合数的性质得到答案.
【详解】（1）由题意得，2n＝1 024，∴n＝10，
∴展开式的通项为，
由或k=6，
所以有理项为.
（2）由，
∴x2项的系数为
17. 某班有一个5男4女组成的社会实践调查小组，准备在暑假进行三项不同的社会实践，若不同的组合调查不同的项目算作不同的调查方式，求按下列要求进行组合时，有多少种不同的调查方式？
（1）将9人分成人数分别为2人、3人、4人的三个组去进行社会实践；
（2）将9人平均分成3个组去进行社会实践；
（3）将9人平均分成每组既有男生又有女生的三个组去进行社会实践.
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）先将9人按分组，再将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
（2）利用平均分配直接列式计算作答
（3）将4个女生按分组，再取男生到分成的三组，确保各组都为3人，然后将三组分配到三个项目中去，列式计算作答.
【小问1详解】
将9人按分组，有种分组方法，再把各组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
【小问2详解】
从9人中任取3人去调查第一个项目，从余下6人中任取3人去调查第二个项目，最后3人去调查第三个项目，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同调查方式有.
【小问3详解】
把4个女生按分组，有种分法，再从5个男生中任取1个到两个女生的一组，
从余下4个男生中任取2人到1个女生的一组，最后2个男生到最后的1个女生组，分法种数为，
将分得的三个小组分配到三个项目中去有方法，
由分步乘法计数原理得：，
所以不同的调查方式有.
18. 已知的展开式中前三项的系数为等差数列.
（1）求二项式系数最大项；
（2）求展开式中系数最大的项.
【答案】（1）；（2）和
【解析】
【分析】（1）根据二项式定理展开式，前三项的系数为等差数列，计算求解的取值，再根据展开式求解二项式系数最大项；
（2）由（1）中展开式，求解系数最大的项.
【详解】（1）由题意，的展开式是，
化简得
则，，
因为，前三项的系数为等差数列，则有，解得或（舍去）
则，则的展开式是
二项式系数是，当时，二项式系数最大，则
（2）由（1）得，的展开式是
根据组合数性质，最大，而随着的增大而减小，且，
则计算，
，
，
，
则当或时，系数最大，则系数最大项是和
【点睛】本题考查二项式定理（1）二项式系数最大项（2）系数最大项；考查计算能力，注意概念辨析，属于中等题型.
19. 已知.
（1）当时，求的展开式中含项的系数；
（2）证明：的展开式中含项的系数为.
【答案】（1）84；（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）当时，根据二项展开式分别求出每个二项式中的项的系数相加即可；
（2）根据二项展开式，含项的系数为，又，再结合即可得到结论．
【详解】（1）当时，
，
的展开式中含项的系数为．
（2），，
故的展开式中含项的系数为
因为，
所以项的系数为：
【点睛】本题考查二项式定理、二项展开式中项的系数的求法、组合数的计算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．
备用题：
20. 已知．
（1）求；
（2）求；
（3）求．
【答案】（1）49 （2）301
（3）179
【解析】
【分析】（1）由二项式定理求解
（2）由赋值法求解
（3）由赋值法求解
【小问1详解】
就是项的系数，所以．
【小问2详解】
令，得，
令，得，
所以．
【小问3详解】
令，得， ①
令，得， ②
由②－①可得，所以．
21. 在二项式的展开式中，______．给出下列条件：
①所有偶数项的二项式系数之和为256；
②前三项的二项式系数之和等于46．
试在上面两个条件中选择一个补充在横线上，并解答下列问题：
（1）求展开式的常数项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，常数项即，可得k的值，即得常数项；
（2）写出二项展开式通项，结合条件算出的n值，解不等式可得r的值，即得系数绝对值最大的项
【小问1详解】
的二项展开式的通项为．
选①，所有偶数项的二项式系数之和为，可得．
选②，前三项的二项式系数之和为，解得．
由上知，展开式的通项为，
常数项即当时，，∴常数项为．
【小问2详解】
由（1）得，的二项展开式的通项为，
故第项的系数的绝对值为：．
由题设，令，解得，
∴，即第7项系数的绝对值最大，且系数绝对值最大的项为．
22. 已知m，n是正整数，的展开式中x的系数为7．
（1）求m，n为何值时，的展开式中的系数最小，并求出此时的系数；
（2）利用（1）中结果，求的近似值．（精确到0.01）
【答案】（1），或，，的系数为5
（2）
【解析】
【分析】（1）由x的系数为7得，的系数为，消元讨论最小值即可求；
（2），考虑到精度，故各取多项式展开式的前两项即可
【小问1详解】
根据题意得，即．①
的展开式中的系数为．
将①变形为代入上式，得的系数为，
故当，或，时，的系数取得最小值且为9；
此时的系数均为；
【小问2详解】
当，或，时，
23. 已知正整数n满足.
（1）求n；
（2）求的展开式中的系数.（用数字表示结果）
【答案】（1）
（2）330
【解析】
【分析】（1）利用组合数公式及排列数公式得到方程，解得即可；
（2）依题意可得展开式中的系数为，再根据组合数的性质计算可得；
【小问1详解】
解：因为，
所以，
即，
解得或（舍去）.
【小问2详解】
解：由（1）可得，所以展开式中的系数为
.
所以展开式中的系数为330.
24. 用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数．
（Ⅰ）可以组成多少个不同的四位数？
（Ⅱ）若四位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则这样的四位数有多少个？
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么？
【答案】（Ⅰ）300（Ⅱ）100（Ⅲ）2301
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）用间接法，先分析从6个数中，任取4个组成4位数的情况数目，再计算其中包含0在首位的情况数目，计算可得答案；（Ⅱ）先选一个数排在首位，再选3个数，排在百，十，个位，其中十位数字比个位数字和百位数字都大，则选的3个数中最大的只能在十位，其它任意（Ⅲ）按四位数从小到大的顺序，先计算千位是1的四位数的数目，再计算千位是2，百位是0或1的四位数的数目，与85比较可得答案
试题解析：（1） ．
（2）．
（3）千位是1的四位数有=60个，千位是2，百位是0或者1的四位数有2个，则第85项是2301．
考点：计数原理的应用
25. 7人站成一排，求满足下列条件的不同站法个数.
（1）甲、乙两人相邻；
（2）甲、乙之间隔着2人；
（3）原7人顺序不变，再加入3人；
（4）甲、乙、丙3人中从左向右看从高到低（3人身高不同）；
（5）甲、乙两人不相邻且都不在排头或排尾.
【答案】（1）1440;
（2）960; （3）720;
（4）840; （5）1440.
【解析】
【分析】（1）(捆绑法),把甲乙二人捆绑在一起,再和其他5人全排列;
（2）(捆绑法),先从5人选2人放着甲乙二人之间,并捆绑在一起,再和其他3人全排列;
（3）(插空法),原先7人排列形成8个空,先插入1人,再从形成的9个空再插入1人,再从10个空中插入1人;
（4）(定序法),先全排列,再除以顺序数;
（5）(分步计数原理), 先对其余的5人全排列，再对甲插空，对乙插空.
【小问1详解】
（捆绑法）把甲乙二人捆绑在一起,再和其他5人全排列,故有种；
【小问2详解】
（捆绑法）先从5人选2人放着甲乙二人之间,并捆绑在一起,再和其他3人全排列,故有种；
【小问3详解】
（插空法）原先7人排列形成8个空,先插入1人,再从形成的9个空再插入1人,再从10个空中插入1人,故有种；
【小问4详解】
（定序法）先全排列,再除以顺序数,故有种;
【小问5详解】
（分步计数原理）先对其余的5人全排列，再对甲插空，再对乙插空，故有.
26. 甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（ ）
A. 24种B. 48种C. 72种D. 96种
【答案】C
【解析】
【分析】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个，再安排乙丙2人，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧；安排在甲有3个位置的一侧，最后安排其余3人，综上可得答案.
【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.
故选：C.
27. 没有一个冬天不可逾越，没有一个春天不会来临．某街道疫情防控小组选派7名工作人员到A，B，C三个小区进行调研活动，每个小区至少去1人，恰有两个小区所派人数相同，则不同的安排方式共有（ ）
A. 1176B. 2352C. 1722D. 1302
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区
【详解】根据题意可以先把7人按照3，3，1或者2，2，3或者1，1，5三种情况分为三组，然后把三组成员分配到A，B，C三个小区；
当按照3，3，1的方法分配则有；
当按照2，2，3的方法分配则有；
当按照1，1，5的方法分配则有；
把三组成员分配到A，B，C三个小区的方法为
所以根据分步计数原理可得一共有：种不同的安排方式.
故选：A
28. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．
A. 600B. 300C. 360D. 180
【答案】B
【解析】
【分析】分最后一位为1、不为1两种情况，结合特殊位置法、插空法、捆绑法及排列组合数对不同情况计数，即可得答案.
【详解】当最后一位为1时，共有种；
当最后一位不为1时，在3、4、5任选一个放最后有种，
把余下2个数字与9全排有种，
将两个1插入4个空中的2个有种，或两个1捆绑插入4个空中的1个有种，
共有种；
综上，共有种.
故选：B
29. 某工艺品如图所示分成五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种（用数学作答）.
【答案】420
【解析】
【分析】根据分类计数原理，分D与B同色和D与B不同色两种情况求解即可.
【详解】第一类：先涂A，有5种情况，涂B，有4种情况，涂C，有3种情况，D与B同色，
涂E，有3种情况，共有种.
第二类：先涂A，有5种情况，涂B，有4种情况，涂C，有3种情况，
D与B不同色，有2种情况，涂E，有2种情况，共有种.
综上共有420种.
故答案为：420
30. 有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（ ）
A. 任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种
B. 全体站成一排，男生互不相邻有1440种
C. 全体站成一排，女生必须站在一起有144种
D. 全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．
【答案】C
【解析】
【分析】根据两个计数原理和排列组合的知识，计算每个选项，可判断答案.
【详解】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有种，故A正确；
对于B：先排女生，将4名女生全排列，有种方法，
再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有种方法，故B正确．
对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有种情况，
再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有种情况，
故共有种方法，故C错误．
对于D：若甲站在排尾则有种排法，若甲不站在排尾则有种排法，
故有种排法，故D正确；
故选：C.
31. 的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】写出的展开式的通项，再令的指数等于和，结合题意即可得解.
【详解】的展开式的通项为，
令，则，令，则（舍去），
所以的展开式中含项的系数为，
所以.
故答案为：.
32. 若展开式中只有第5项的二项式系数最大，则其展开式中常数项为__________.
【答案】7
【解析】
【分析】由展开式中只有第5项最大，得，写出展开式的通项，求常数项.
【详解】由题意，所以展开式第项为，
令，得，故常数项为.
故答案为：7.
33. 已知在的展开式中，第6项为常数项．
（1）求含的项的系数；
（2）求展开式中所有的有理项．
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】
【详解】
（1）
（2）
展开式中所有的有理项为
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