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北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷
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这是一份北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，选出符合题目要求的一项）
1. 已知i为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. i B. －1 C. 2 D. －i
2. 已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称，则a,b的值分别为( )
A. 1，3B. −12，−32C. −2，0D. 12，−52
3. 已知两条不重合的直线m、n和平面α，则m//n的一个充分不必要条件是( )
A. m⊄α，n⊂αB. m//α，n//αC. m⊥α，n⊥αD. m//α，n⊂α
4. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2eq \r(5)的椭圆方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
5. 在△ABC中，若b=1，A=60°，△ABC的面积为 3，则a=( )
A. 2B. 2C. 13D. 13
6. 直线l：y=− 3x+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A. 14B. 34C. 12D. 32
7. 若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则 (a−2)2+(b−2)2的最小值为( )
A. 5 B. 5 C. 2 5 D. 10
8. 已知椭圆x216+y212=1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF2|：|PF1|=( )
A.B.C.D.
9 . 一名同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，可以判断一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.8
10. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：
x2+y2=a2+b2，这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆(x−4)2+(y−3)2=r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆x2+y23=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是( )
A. (1,9)B. [1,9]C. (3,7)D. [3,7]
11. 已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，若g(x)⋅f(x)=1，且函数g(x)的部分图象如图所示，则φ等于( )
A. π6B. π3C. −π3D. −π6
12. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1=3，N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点C1时，点O的轨迹长度为( )
A. π2
B. π
C. 3π2
D. 2 3π3
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
13. 若椭圆离心率为 32，则m= ．
14. 已知x,y满足x2−4x+y2=0，则x−2y的最大值为 .
15.已知直线l1:mx−y=1，l2:x−my−1=0.若l1//l2，则m的值为 ；若直线l1与圆x2+2x+y2−24=0交于A,B两点，则的最小值是 .
16.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A(0,b)，且△AF1F2是面积为 3的正三角形．过F1垂直于AF2的直线交椭圆M于B，C两点，则△ABC的周长为 ．
17. 已知A为直线l:x+y+2a=0上的一个动点，P,Q为圆(x−a)2+(y−a)2=2a2上的两个动点，则∠PAQ的最大值是______________．
18. 某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框(虚线)进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，AC、BD分别为其直径，且AB=BC=CD，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．
(1)若矩形框的周长为12，则当该矩形框面积最大时，r= ；
(2)若，图中阴影区域的面积为π3+ 32，则该“心形” 的离心率为 ．
三、解答题（共5题，共72分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
19.（本题满分13分）
给出以下三个条件：
①直线x=x1，x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1−x2|的最小值为π4，
②f(−π12)=0，
③对任意的x∈R，f(x)≤|f(π24)|；
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
已知函数f(x)=sinωx⋅csωx+ 3cs2ωx− 32，0<ω<3，______．
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间以及在区间[0,π2]上的值域．
20. （本题满分15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中，，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点．
(1)证明：若DM=2MP，直线MN//平面PAB；
(2)求二面角C−PD−N的余弦值；
(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为 26？若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由．
21. （本题满分14分）
某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70,80)中的市民有200人．
心理测评评价标准
(Ⅰ)求n的值及频率分布直方图中t的值；
(Ⅱ)在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50,60)的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；
(Ⅲ)该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)
22.（本题满分15分）
已知线段AB的端点B的坐标是6,4，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是x−42+y−22=1．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于异于原点O的两点E,F, 直线OE,OF的斜率分别为k1，k2，且k1k2=2. 证明：直线恒过定点.
23.（本题满分15分）
设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x∈A，都有x−1∈A或x+1∈A，则称A为自邻集，记集合An={1,2,⋯,n}(n≥2，n∈N)的所有子集中的自邻集的个数为an．
(Ⅰ)直接写出A4的所有自邻集；
(Ⅱ)若n为偶数且n≥6，求证：An的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(Ⅲ)若n≥4，求证：an≤2an−1．
调查评分
[0,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
心理等级
E
D
C
B
A
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，选出符合题目要求的一项）
1. 已知i为虚数单位，则复数的虚部为( )
A. i B. －1 C. 2 D. －i
2. 已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称，则a,b的值分别为( )
A. 1，3B. −12，−32C. −2，0D. 12，−52
3. 已知两条不重合的直线m、n和平面α，则m//n的一个充分不必要条件是( )
A. m⊄α，n⊂αB. m//α，n//αC. m⊥α，n⊥αD. m//α，n⊂α
4. 与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为2eq \r(5)的椭圆方程是( )
A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,20)＝1 B.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,25)＝1
C.eq \f(x2,20)＋eq \f(y2,45)＝1 D.eq \f(x2,80)＋eq \f(y2,85)＝1
5. 在△ABC中，若b=1，A=60°，△ABC的面积为 3，则a=( )
A. 2B. 2C. 13D. 13
6. 直线l：y=− 3x+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则△OAB的面积为( )
A. 14B. 34C. 12D. 32
7. 若直线l:ax+by+1=0始终平分圆M:x2+y2+4x+2y+1=0的周长，则 (a−2)2+(b−2)2的最小值为( )
A. 5 B. 5 C. 2 5 D. 10
8. 已知椭圆x216+y212=1的左焦点是F1，右焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF2|：|PF1|=( )
A.B.C.D.
9 . 一名同学掷骰子5次，记录每次骰子出现的点数，可以判断一定没有出现点数6的是( )
A. 平均数为3，中位数为2B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为2.4D. 中位数为3，方差为2.8
10. 椭圆x2a2+y2b2=1(a>0,b>0,a≠b)任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：
x2+y2=a2+b2，这个圆称为椭圆的蒙日圆.在圆(x−4)2+(y−3)2=r2(r>0)上总存在点P，使得过点P能作椭圆x2+y23=1的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是( )
A. (1,9)B. [1,9]C. (3,7)D. [3,7]
11. 已知函数f(x)=sin (ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)，若g(x)⋅f(x)=1，且函数g(x)的部分图象如图所示，则φ等于( )
A. π6B. π3C. −π3D. −π6
12. 如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，AA1=3，N为棱A1B1上的中点，M为棱CC1上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点C1时，点O的轨迹长度为( )
A. π2
B. π
C. 3π2
D. 2 3π3
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
13. 若椭圆离心率为 32，则m= ．
14. 已知x,y满足x2−4x+y2=0，则x−2y的最大值为 .
15.已知直线l1:mx−y=1，l2:x−my−1=0.若l1//l2，则m的值为 ；若直线l1与圆x2+2x+y2−24=0交于A,B两点，则的最小值是 .
16.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，A(0,b)，且△AF1F2是面积为 3的正三角形．过F1垂直于AF2的直线交椭圆M于B，C两点，则△ABC的周长为 ．
17. 已知A为直线l:x+y+2a=0上的一个动点，P,Q为圆(x−a)2+(y−a)2=2a2上的两个动点，则∠PAQ的最大值是______________．
18. 某中学开展“劳动创造美好生活”的劳动主题教育活动，展示劳动实践成果并进行评比，某学生设计的一款如图所示的“心形”工艺品获得了“十佳创意奖”，该“心形”由上、下两部分组成，并用矩形框(虚线)进行镶嵌，上部分是两个半径都为r的半圆，AC、BD分别为其直径，且AB=BC=CD，下部分是一个“半椭圆”，并把椭圆的离心率叫做“心形”的离心率．
(1)若矩形框的周长为12，则当该矩形框面积最大时，r= ；
(2)若，图中阴影区域的面积为π3+ 32，则该“心形” 的离心率为 ．
三、解答题（共5题，共72分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
19.（本题满分13分）
给出以下三个条件：
①直线x=x1，x=x2是y=f(x)图象的任意两条对称轴，且|x1−x2|的最小值为π4，
②f(−π12)=0，
③对任意的x∈R，f(x)≤|f(π24)|；
请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．
已知函数f(x)=sinωx⋅csωx+ 3cs2ωx− 32，0<ω<3，______．
(1)求f(x)的表达式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间以及在区间[0,π2]上的值域．
20. （本题满分15分）
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中，，AD=3，AB=BC=2，PA⊥平面ABCD，且PA=3，点M在棱PD上，点N为BC中点．
(1)证明：若DM=2MP，直线MN//平面PAB；
(2)求二面角C−PD−N的余弦值；
(3)是否存在点M，使NM与平面PCD所成角的正弦值为 26？若存在求出PMPD值；若不存在，说明理由．
21. （本题满分14分）
某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图．已知调查评分在[70,80)中的市民有200人．
心理测评评价标准
(Ⅰ)求n的值及频率分布直方图中t的值；
(Ⅱ)在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导．据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在[40,50)的市民的心理等级转为B的概率为14，调查评分在[50,60)的市民的心理等级转为B的概率为13，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；
(Ⅲ)该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据调查数据，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由．(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数=调查评分÷100)
22.（本题满分15分）
已知线段AB的端点B的坐标是6,4，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是x−42+y−22=1．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于异于原点O的两点E,F, 直线OE,OF的斜率分别为k1，k2，且k1k2=2. 证明：直线恒过定点.
23.（本题满分15分）
设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意x∈A，都有x−1∈A或x+1∈A，则称A为自邻集，记集合An={1,2,⋯,n}(n≥2，n∈N)的所有子集中的自邻集的个数为an．
(Ⅰ)直接写出A4的所有自邻集；
(Ⅱ)若n为偶数且n≥6，求证：An的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(Ⅲ)若n≥4，求证：an≤2an−1．
调查评分
[0,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
心理等级
E
D
C
B
A
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