湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期11月联考数学试题

2021年湖北省新高考联考协作体高三十一月考试

   高三数学试卷

    参考答案与评分标准

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．-1      　14． 　　  　 15．  　  　16.［］   

附：各题解析

1．【解析】选Ａ．因为，所以，，于是所以虚部为4．故选A．

2．【解析】选D．由集合，则或，又，所以．故选D．

3．【解析】选B．因为，所以或（），从而或，即不能推出，反之，由可推出，故“”是“”的充分不必要条件．故选B．

4．【解析】选C．易知函数是奇函数，图象关于原点对称，可以排除A；在原点右侧附近，函数值大于0，排除D；函数在区间上有零点，共计8个，排除B．仅有C符合上述要求．故选C．

5．【解析】选C．该台机器购买n年后的盈利为：， ．令，则解得．设该台机器购买n年后的年平均利润为y万元，则，当且仅当时取“”，因此，该台机器购买8年后的年平均利润最大，最大值是12．故选C．

6．【解析】选B．设塔高的高度为．在中，因为，所以；在中，因为，所以；在中，，，，根据余弦定理可得，，即，解得．故选B．

7．【解析】选D．设，显然是奇函数，又易知在上单调递增．由，可得，即，从而，解得．故选D．

8．【解析】选A．由已知可得即为．设，，则．当时，显然，当时，在上也成立，所以时，在上单调递减，恒成立；当时，在上单调递减，在上单调递增，于是，存在，使得，不满足，舍去此情况．综上所述，．故选A．

9．【解析】选AC．当时，，所以，A正确；，，符号不定，所以与大小关系不能确定，B错误．，所以C正确；在上单调递减，，所以，D错误； 故选AC．

10．【解析】选ABD．由是等差数列且,得．时，得是递增数列，A正确；时，得，B正确；时，得是递减数列，最大，C错误，D正确．

11．【解析】选CD．由图象可得，即，由，可得，又，所以，因此函数．

，所以A错误；，非奇非偶，所以B错误；由，可得，所以函数在区间单调递增，所以C正确；因为，所以，结合函数的图象可得，所以，所以D正确．故选CD．

12．【解析】选BCD．当为中点时，平面，故A不正确；由平面平面，平面平面在平面内作则平面由直棱柱，平面，又平面则有故B正确；对C，不妨设，，则由平面故即为与平面所成角.则故C正确；对D，若，与长度和最小时，可展开平面（如图），当平面与平面共面，且三点共线时，长度和最小．如图，不难知,．由由余弦定理，，所以，即长度之和最小值为,故D正确.

13．【解析】-1．由为R上奇函数，则，设，则，

．

14．【解析】．其活动轨迹空间为半径为1的球，体积．

15．【解析】.由有解，记，，．为增，，，为减，．，由有解，则，．

16．【解析】．由，得，所以点的轨迹是以点B为圆心，为半径的圆．，，所以，于是．故填．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

【解析】（1）由已知得，即

，

，

所以，

，       ……………………………………………………3分

因为，所以，即，故．……………5分

（2）由余弦定理得，即，

（当且仅当时，等于号成立）．

所以，即，…………………………………………………9分

于是周长．故周长的最大值是．…………10分

18．（本小题满分12分）

【解析】（1）设的公差为，由条件得，

所以，               ……………………………………………………3分

于是．                     ………………………………………·4分

（2）由（1）得

………………………………………………………6分

   ．  …………………………………………………………8分

因为，所以数列单调递增，于是中的最小项为．     …………………………………………………………………………………9分

要使不等式对任意正整数恒成立，首先，即．

……………………………………………………………………………………………10分

再只要，即．于是，解得．

故实数的取值范围为．            ………………………………12分

19．（本小题满分12分）

【解析】(1)因为是矩形，所以，又平面平面．

平面平面，平面

…………………………3分

过C作平面平面

平面平面，平面

平面又平面

又

平面由平面

．   …………………………………………6分

（2）…………………………………7分

证明如下：由棱柱知∥，又平面平面以B1原点，分别为轴建立空间直角坐标系，不妨设，则

 设为面的一法向量，

则 令则………………8分

取平面的一法向量，取平面一法向量，

由．

，则………………………10分
又=……………………11分

………………………………………………………………12分

（若用“传统几何法”作角求角，只要推理合理，根据相应步骤酌情给分）

20．（本小题满分12分）

【解析】（1）由散点图知，记物理方向2022届学生上线率为,则             …………………………3分

（2）由题意10人中有6人考上本科，按分层抽样，所抽5人，有3人考上本科，2人没考上本科，记从5人任抽2人，考上本科人数为X，则X中能值为0，1，2．

。……………7分

则X的分布列为

.…………………………………………………9分

（3）记表示从甲市中所抽100人中考上本科人数，则，．……………………………………………………………………12分

21．（本小题满分12分）

【解析】（1）证明：如图，由点与关于对称，则

，,故为定值．…………………………………………………2分

由，

由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线的右支，设双曲线方程为

，，

所以双曲线方程为．……………………………………………4分

（2）由题意知，分别为双曲线的渐近线

设，由，设．

，由于P点在双曲线上

………6分

又 同理，设的倾斜角为，则

．………………8分

…10分

，．

当且仅当，即时取最小值12；当时，有最大值16

．……………………………………………………………………12分

22．（本小题满分12分）

【解析】（1）函数的定义域是，．             ……………………………………1分

令，得在上有两个不等实数根，，，解得．………………………………………………4分

（2）由（1）可知，，（）是方程在上的两个不等实根，所以，其中，．………………………5分

．……………………7分

同理，．………………………………………………8分

．……………………………………………………………9分

令（），

则，…………………………………10分

再令，（），则在上恒成立， 则

函数在上单调递增，，从而在区间上恒成立，于是函数在上单调递增，．

 所以，即．……………………………………12分

（其他解法，只要推理合理，酌情给分）