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广东省广州市花都区和兴学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解一元二次方程，配方后的结果是（ ）
A B. C. D.
3. 对二次函数y＝x2＋2x＋3的性质描述正确的是（ ）
A. 该函数图象的对称轴在y轴左侧
B. 当x＜0时，y随x的增大而减小
C. 函数图象开口朝下
D. 该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
4. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ）
A. 18B. 10C. 4D. 2
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A. y＝(x－1)2－1B. y＝(x－1)2＋1C. y＝(x＋1)2－1D. y＝(x＋1)2＋1
6. 如图，分别与相切于A、B，，C为上一点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为（ ）
A 6B. 8C. 10D. 8或10
8. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A. B.
C D.
9. 如图已知二次函数交x轴于A、B两点(点A在B点的左边)，交y轴于点．
①二次函数顶点坐标为
②二次函数与轴交点坐标为，；
③二次函数：与二次函数的对称轴和开口方向相同
④若直线与抛物线交于、两点，则线段的长度不变;
以上说法正确的是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 已知点与点关于原点O对称，则________．
12. 若点，为二次函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是 _____________．
13. 如图，△ABC按顺时针方向转动一个角后成△AED，且点D恰好在边BC上，若∠EAB=40°，则∠C=_________．
14. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解是_______．
15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则字母已知数k的取值范围为_____．
16. 如图，等边三角形的边长为4，点O是的中心，，绕点O旋转，分别交线段、于D、E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中不正确的有_____．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
18. 已知抛物线的对称轴是直线，与x轴两交点间的距离为4，与y轴的交点是，求抛物线的解析式．
19. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
（1）将△ABC向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A'B'C'，画出△A'BC'(点A'、B'、C'分别为A、B、C的对应点)；
（2）将△ABC绕点B'顺时针旋转90°得到△DEF，画出△DEF(点D、E、F分别为A、B、C的对应点).
20. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
（1）若，求m的值；
（2）已知的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长，求这个的周长．
21. 有一批商品，原售价为每件40元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一件单价为39元，买两件每件都为38元，依此类推，即每多买一件，则所买各台单价均再减1元；乙公司一律按原售价的七五折促销．某单位需购买这批商品：
（1）若此单位需购买5件商品，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若该单位计划购买a件商品，经过对比发现，在两家公司购买相差24元，试求a的值．
22. 为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益元)会相应降低且满足：．
（1）在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数与政府补贴款额之间的函数关系式；
（2）在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
（3）要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值．
23. 如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连结，将线段绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段，连结．求证：．
24. 已知关于的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若方程的两根，恰好是一个矩形两邻边的长，且，求该矩形的其中一条对角线的长．
25. 若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．
（1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 ；
（2）如图1，“完美四边形”内接于，与相交于点P，且对角线为直径，，，求另一条对角线的长；
（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”的四个顶点、，B在第三象限，D在第一象限，与交于点O，直线的解析式为，且四边形的面积为，若二次函数（a、b、c为常数，且）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 用配方法解一元二次方程，配方后的结果是（ ）
A B. C. D.
3. 对二次函数y＝x2＋2x＋3的性质描述正确的是（ ）
A. 该函数图象的对称轴在y轴左侧
B. 当x＜0时，y随x的增大而减小
C. 函数图象开口朝下
D. 该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
4. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ）
A. 18B. 10C. 4D. 2
5. 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2向上平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到的抛物线解析式是（ ）
A. y＝(x－1)2－1B. y＝(x－1)2＋1C. y＝(x＋1)2－1D. y＝(x＋1)2＋1
6. 如图，分别与相切于A、B，，C为上一点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边长，则的周长为（ ）
A 6B. 8C. 10D. 8或10
8. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A. B.
C D.
9. 如图已知二次函数交x轴于A、B两点(点A在B点的左边)，交y轴于点．
①二次函数顶点坐标为
②二次函数与轴交点坐标为，；
③二次函数：与二次函数的对称轴和开口方向相同
④若直线与抛物线交于、两点，则线段的长度不变;
以上说法正确的是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 已知点与点关于原点O对称，则________．
12. 若点，为二次函数图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是 _____________．
13. 如图，△ABC按顺时针方向转动一个角后成△AED，且点D恰好在边BC上，若∠EAB=40°，则∠C=_________．
14. 如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点，，则关于的不等式的解是_______．
15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则字母已知数k的取值范围为_____．
16. 如图，等边三角形的边长为4，点O是的中心，，绕点O旋转，分别交线段、于D、E两点，连接，给出下列四个结论：①；②；③四边形的面积始终等于；④周长的最小值为6．上述结论中不正确的有_____．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 用适当的方法解方程：
（1）；
（2）．
18. 已知抛物线的对称轴是直线，与x轴两交点间的距离为4，与y轴的交点是，求抛物线的解析式．
19. 如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上.
（1）将△ABC向下平移3个单位，再向右平移2个单位得到△A'B'C'，画出△A'BC'(点A'、B'、C'分别为A、B、C的对应点)；
（2）将△ABC绕点B'顺时针旋转90°得到△DEF，画出△DEF(点D、E、F分别为A、B、C的对应点).
20. 已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
（1）若，求m的值；
（2）已知的斜边长为，而且，恰好是另外两条直角边的长，求这个的周长．
21. 有一批商品，原售价为每件40元，在甲、乙两家公司销售．甲公司用如下方法促销：买一件单价为39元，买两件每件都为38元，依此类推，即每多买一件，则所买各台单价均再减1元；乙公司一律按原售价的七五折促销．某单位需购买这批商品：
（1）若此单位需购买5件商品，应去哪家公司购买花费较少？
（2）若该单位计划购买a件商品，经过对比发现，在两家公司购买相差24元，试求a的值．
22. 为了拉动内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益元)会相应降低且满足：．
（1）在政府补贴政策实施后，求出该商场销售彩电台数与政府补贴款额之间的函数关系式；
（2）在政府未出台补贴措施之前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？
（3）要使该商场销售彩电的总收益最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值．
23. 如图，在中，，，D是边上一点（点D与A，B不重合），连结，将线段绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段，连结．求证：．
24. 已知关于的方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
（2）若方程的两根，恰好是一个矩形两邻边的长，且，求该矩形的其中一条对角线的长．
25. 若凸四边形的两条对角线所夹锐角为，我们称这样的凸四边形为“完美四边形”．
（1）在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“完美四边形”的有 ；
（2）如图1，“完美四边形”内接于，与相交于点P，且对角线为直径，，，求另一条对角线的长；
（3）如图2，平面直角坐标系中，已知“完美四边形”的四个顶点、，B在第三象限，D在第一象限，与交于点O，直线的解析式为，且四边形的面积为，若二次函数（a、b、c为常数，且）的图象同时经过这四个顶点，求a的值．
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