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2024年高中物理新教材同步学案 必修第三册 第11章 专题强化7 电阻的测量（含解析）
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专题强化7 电阻的测量[学习目标] 1.进一步理解电流表内接法、外接法及滑动变阻器的限流式接法和分压式接法，并能在具体问题中正确选择(重难点)。2.学会用伏伏法、安安法、等效替代法、半偏法及电桥法测电阻(重难点)。一、伏伏法测电阻伏伏法又称电压表差值法，是利用两个电压表的组合测量电压表的内阻或其他电阻的方法。常见电路如图甲、乙所示。(1)条件：电压表V2的量程必须大于电压表V1的量程且能搭配使用。(2)技巧：已知内阻值的电压表可当作电流表使用。在缺少合适的电流表的情况下，常用电压表代替电流表使用。(3)原理：以图甲为例，电压表V1、V2的读数分别为U1、U2，根据电路知识有U2＝U1＋eq \f(U1,r1)R0，则如果R0已知，可求出电压表的内阻r1＝eq \f(U1,U2－U1)R0；如果r1已知，可以求出R0＝eq \f(U2－U1,U1)r1。例1 用以下器材可测量电阻Rx的阻值。待测电阻Rx，阻值约为600 Ω；电源，电压为6.0 V；电压表V1，量程为0～500 mV，内阻r1＝1 000 Ω；电压表V2，量程为0～6 V，内阻r2约为10 kΩ；电流表A，量程为0～0.6 A，内阻r3约为1 Ω；定值电阻R0，R0＝60 Ω；滑动变阻器R，最大阻值为150 Ω；单刀单掷开关S一个，导线若干。(1)测量中要求两只电表的示数都不小于其量程的eq \f(1,3)，并能测量多组数据，请在框内画出测量电阻Rx的实验电路图。(2)若选择测量数据中的一组来计算Rx，则由已知量和测量物理量计算Rx的表达式为Rx＝________(所有物理量用符号表示)，式中各符号的意义是____________________________。答案 (1)见解析图 (2)eq \f(U2－U1R0r1,U1R0＋r1) 见解析解析 (1)电路的最大电流约为I＝eq \f(6 V,600 Ω)＝0.01 A，电流表的量程太大，可以把电压表V1并联一个定值电阻改装成电流表，电压表选择V2即可，要求测量多组数据且滑动变阻器阻值与Rx的阻值相比较小，滑动变阻器需用分压式接法，电路如图所示。(2)流过被测电阻的电流为I＝eq \f(U1,r1)＋eq \f(U1,R0)＝eq \f(U1R0＋r1,R0r1)，被测电阻为Rx＝eq \f(U2－U1,I)＝eq \f(U2－U1R0r1,U1R0＋r1)；U1为电压表V1的示数，U2为电压表V2的示数，r1为电压表V1的内阻，R0为定值电阻。二、安安法测电阻安安法又称电流表差值法，是利用两个电流表的组合测量电流表的内阻或其他电阻的方法，常见电路如图甲、乙所示。(1)条件：电流表A2的量程必须大于电流表A1的量程且能搭配使用。(2)技巧：已知内阻值的电流表可当作电压表使用。在缺少合适的电压表的情况下，常用电流表代替电压表使用。(3)原理：电流表A1、A2的读数分别为I1、I2，电流表A1的内阻为r1，则以图甲为例，根据电路知识有I1(r1＋R0)＝(I2－I1)Rx，则如果r1、R0已知，可求出Rx的阻值；如果R0、Rx已知，可以求出电流表A1的内阻r1＝eq \f(I2－I1,I1)Rx－R0。例2 用以下器材测量待测电阻Rx的阻值。待测电阻Rx，阻值约为100 Ω；电源，电压约为6.0 V；电流表A1，量程为0～50 mA，内阻R1为20 Ω；电流表A2，量程为0～300 mA，内阻R2约为4 Ω；定值电阻R0，阻值为20 Ω；滑动变阻器R，最大阻值为10 Ω；单刀单掷开关S，导线若干。(1)测量中要求两电流表的读数都不小于其量程的eq \f(1,3)，在框中试画出测量电阻Rx的实验电路原理图(原理图中的元件用题干中相应的符号标注)。(2)若某次测量中电流表A1的示数为I1，电流表A2的示数为I2，则由已知量和测量量计算Rx的表达式为Rx＝____________________________。答案 (1)见解析图丙(R作为限流电阻也可)(2)eq \f(I2－I1,I1)R0－R1解析 (1)在尝试设计电路中，很容易设计出图甲所示的测量电路，以A1满偏时代入已知数据估算可得，此时电流表A2的最大电流值约为70 mA，远小于其量程的三分之一，所以不满足实验要求；另一种测量电路如图乙所示，电流表A1和待测电阻的串联阻值约为120 Ω，和定值电阻R0的阻值之比约为6∶1，通过电流表A2的最大电流值接近量程最大值，所以这个电路符合要求，然后连接滑动变阻器来进行调节测量多组数据即可。最终的电路图如图丙所示。滑动变阻器用分压式、限流式接法都可以。(2)用字母表示待测电阻阻值可得Rx＝eq \f(I2－I1,I1)R0－R1。三、等效替代法测电阻如图所示，先让待测电阻与一电流表串联后接到电压恒定的电源上，读得电流表示数I；然后将电阻箱与电流表串联后接到同一电源上，调节电阻箱的阻值，使电流表的示数仍为I，则电阻箱的读数等于待测电阻的阻值。说明：等效替代法的实验原理简单，看似没有系统误差，但考虑到电阻箱不能连续调节，往往很难保证电流表的读数不变。例3 电流表A1的量程为0～200 μA、内电阻约为500 Ω，现要测量其内阻，除若干开关，导线之外还有器材如下：电流表A2：与A1规格相同；滑动变阻器R1：阻值0～20 Ω；电阻箱R2：阻值0～9 999 Ω；保护电阻R3：阻值约为3 kΩ；电源：电压为1.5 V。(1)如图所示，某同学想用替代法测量电流表内阻，设计了部分测量电路，在此基础上请你将滑动变阻器接入电路中，使实验可以完成。(2)电路补充完整后，请你完善以下测量电流表A1内电阻的实验步骤。a．先将滑动变阻器R1的滑动端移到使电路安全的位置，再把电阻箱R2的阻值调到________(选填“最大”或“最小”)。b．闭合开关S1、S，调节滑动变阻器R1，使两电流表的指针在满偏附近，记录电流表A2的示数I。c．断开S1，保持S闭合、R1不变，再闭合S2，调节R2，使电流表A2的示数________，读出此时电阻箱的阻值R0，则电流表A1内电阻r＝________。答案 (1)见解析图 (2)a.最大 c．再次为I(或仍为I) R0解析 (1)滑动变阻器的阻值远小于待测电流表内阻，因此必须采用分压式接法，电路图如图所示。(2)a.实验前R2应该调节到最大，以保证电表安全；c.替代法最简单的操作是让A2示数不变，则可直接从R2的读数得到电流表A1的内电阻。四、电桥法测电阻如图所示，R2、R3为定值电阻，R1为电阻箱，Rx为待测电阻。闭合开关S，调节R1的阻值，当电流表G的读数为零时φa＝φb，即Uab＝0，此时，R1、R2两端的电压相等，R3、Rx两端的电压相等，即eq \f(U1,U3)＝eq \f(U2,Ux)，可得eq \f(R1,R3)＝eq \f(R2,Rx)⇒Rx＝eq \f(R2R3,R1)。例4 (2023·江苏省扬中高级中学期末)某实验小组的同学利用图甲所示的电路探究并联电路中各点电势的关系。已知R1 ＝ 10 Ω，R2 ＝ 20 Ω，R3 ＝ 30 Ω，R4 ＝ 40 Ω，电源的电压为U＝10 V，且电源负极端接地。(1)由此可得ab两点电势差为Uab＝________ V，如果在ab两点间接一个电阻，则有电流从________点流向________点。(选填“a”或“b”)(2)该实验小组同学又设计了图乙的电路来测量电阻Rx的阻值，其中R为电阻箱，G为灵敏电流计，请按图乙的实验原理图完成图丙中实物电路的连线。(3)实验时，先调节电阻箱，使电阻箱的阻值为R1，闭合开关，反复调节滑动变阻器滑片的位置，使通过灵敏电流计的电流为零；断开开关，保持滑动变阻器的滑片所处位置不变，交换电阻箱与待测电阻的位置。闭合开关，然后反复调节电阻箱，使灵敏电流计的示数再次为零，记下此时电阻箱的阻值记为R2；则待测电阻的阻值为Rx＝________。(用题中已知量的字母表示)答案 (1)2 a b (2)见解析图 (3)eq \r(R1R2)解析 (1)由题图甲可知，R4两端的电压为U4 ＝ eq \f(R4U,R1＋R4)＝eq \f(40×10,40＋10) V＝8 V则a点的电势为φa＝8 V，R3两端的电压为U3 ＝ eq \f(R3U,R2＋R3)＝eq \f(30×10,20＋30) V＝6 V则b点的电势为φb＝6 V，则Uab＝2 V如果在ab两点间接一个电阻，则有电流从a点流向b点。(2)实物连线如图(3)先调节电阻箱，使电阻箱的阻值为R1，闭合开关，反复调节滑动变阻器滑片的位置，使通过灵敏电流计的电流为零；若设滑动变阻器左右两边的电阻分别为Ra和Rb，则应该满足eq \f(Rx,Ra)＝eq \f(R1,Rb)保持滑动变阻器的滑片所处位置不变，交换电阻箱与待测电阻的位置，闭合开关，然后反复调节电阻箱，使灵敏电流计的示数再次为零，记下此时电阻箱的阻值，记为R2；则应该满足eq \f(R2,Ra)＝eq \f(Rx,Rb)联立两式可知待测电阻的阻值为Rx＝eq \r(R1R2)。五、半偏法测电阻1．“半偏法”测电流表的内阻测量原理：实验电路如图所示。(1)闭合开关S1前，将滑动变阻器R1、电阻箱R2的阻值调到最大；(2)闭合开关S1，调节R1使电流表A的指针满偏；(3)再闭合开关S2，保持滑动变阻器滑片的位置不变，调节电阻箱R2的阻值，使电流表A的指针半偏；(4)读取电阻箱的阻值R2，则RA＝R2。注意：R1接入阻值越大，误差越小，故R1应选择总阻值较大的。2．“半偏法”测电压表的内阻测量原理：实验电路如图所示。(1)闭合开关S之前，电阻箱R的阻值调到零，滑动变阻器R′的滑片P滑到左端；(2)闭合开关S，调节滑片P的位置使电压表V的指针满偏；(3)保持滑动变阻器滑片位置不变，再调节电阻箱的阻值，使电压表V的指针半偏；(4)读取电阻箱的阻值R，则有RV＝R。注意：R′应选总阻值较小的，有利于减小实验误差。例5 (2022·富宁县第一中学高二开学考试)某同学利用图甲中的电路测量电流表A的内阻RA(约为5 Ω)，图中R1是滑动变阻器，R2是电阻箱，S1和S2为开关。已知电流表的量程为10 mA。(1)请根据电路图连接图乙中的实物图；(2)断开S2，闭合S1，调节R1的阻值，使A满偏；保持R1的阻值不变，闭合S2，调节R2，当R2的阻值如图丙所示时，A恰好半偏。若忽略S2闭合后电路中总电阻的变化，则可知RA＝________ Ω；(3)考虑电路中总电阻的变化，则电流表的内阻RA的测量值R测和真实值R真相比，R测________(填“＞”或“＜”)R真；(4)将(2)中电流表内阻的测量值作为该表内阻，若要改装成量程为3 V的电压表，则需与该电流表串联一个阻值为________ Ω的电阻。答案 (1)见解析图 (2)4.9 (3)＜ (4)295.1解析 (1)根据电路图连接题图乙中的实物图如图所示；(2)电阻箱R2的读数为R2＝4×1 Ω＋9×0.1 Ω＝4.9 Ω，若忽略S2闭合后电路中总电阻的变化，则电流表的内电阻等于R2，可知RA＝4.9 Ω；(3)闭合开关S2时，电流表与R2并联，电路总电阻变小，由欧姆定律可知，干路电流变大，电流表半偏时流过R2的电流大于电流表电流，R2的电阻阻值小于电流表内阻，由此可知电流表内阻测量值小于真实值；(4)电流表改装成量程为3 V的电压表需要串联分压电阻，串联电阻阻值R＝eq \f(U,IA)－RA＝eq \f(3,10×10－3) Ω－4.9 Ω＝295.1 Ω。专题强化练1．(2022·广东高二期末)某小组探究未知金属丝的电阻率，根据实验需要已选用了规格和量程合适的器材，按照以下步骤开展实验。(1)用螺旋测微器测量金属丝直径，如图甲所示，则该直径为________ mm；(2)按图乙连接好电路进行测量，先将滑动变阻器R2的滑片P置于a端；(3)接着将单刀双掷开关S1掷向1，调节滑动变阻器，得如图丙电流表读数为______ A，然后断开S2；(4)电阻箱R1的阻值调至较大，将单刀双掷开关S1掷向2，保持滑动变阻器滑片位置不变，闭合开关S2，调电阻箱使得电流表读数逐渐增大到上一步读数，记录电阻箱读数为R；(5)金属丝的电阻值为____________，若金属丝直径用d表示，金属丝长度用x表示，则金属丝电阻率为____________。(均用字母表示)答案 (1)5.694(5.691～5.695均可)(3)0.28(5)R eq \f(πRd2,4x)解析 (1)金属丝直径为5.5 mm＋19.4×0.01 mm＝5.694 mm(3)最小刻度为0.02 A，则电流表读数为0.28 A；(5)等效法测量电阻，金属丝的电阻值为R；根据电阻定律有R＝ρeq \f(x,S)，S＝eq \f(πd2,4)，解得金属丝电阻率为ρ＝eq \f(πRd2,4x)。2．(2022·河南省高二期中)实验小组用图甲所示的电路来测量阻值约为18 Ω的未知电阻Rx的阻值。电路中R0为定值电阻，阻值为4 Ω，V1、V2为理想电压表，S为开关，R为滑动变阻器，U为电源，采用如下步骤完成实验。回答下列问题：(1)按照图甲所示的实验原理图用笔画线代替导线将实物图补充完整。(2)实验开始之前，将滑动变阻器的滑片置于__________(填“最左端”“最右端”或“中间”)位置。闭合开关S，改变滑动变阻器滑片的位置，记下两电压表的示数分别为U1、U2，则待测电阻阻值的表达式为Rx＝________(用U1、U2、R0表示)。(3)为了减小偶然误差，多次改变滑动变阻器滑片的位置，测几组U1、U2的值，作出的U1－U2图像如图乙所示，图像的斜率k＝__________(用R0、Rx表示)，可得Rx＝__________Ω。答案 (1)见解析图 (2)最右端 eq \f(U2,U1－U2)R0 (3)eq \f(R0＋Rx,Rx) 20解析 (1)(2)闭合开关前，应将滑动变阻器的滑片置于最右端位置。由串联电路电流相等与欧姆定律可得eq \f(U1－U2,R0)＝eq \f(U2,Rx)，整理可得待测电阻Rx＝eq \f(U2,U1－U2)R0(3)由Rx＝eq \f(U2,U1－U2)R0得U1＝eq \f(R0＋Rx,Rx)U2则U1－U2图像的斜率k＝eq \f(R0＋Rx,Rx)，由题知R0＝4 Ω，可以得到Rx＝20 Ω。3．(2023·长沙市高二阶段练习)学校物理兴趣小组用如图甲所示的电路测量电阻Rx(阻值约为50 Ω)的阻值，图中电源电压适当，电阻箱R1的调节范围为0～99.9 Ω，主要实验步骤如下：①正确连接电路，将滑动变阻器R的滑片移至N端；②调节R1，使R1接入电路的阻值适当，闭合开关S，再移动滑动变阻器R的滑片，使电流表A1的示数I1＝0.20 A，记下此时电阻箱的阻值R1和电流表A2的示数I2；③重复步骤②，再获得6组R1和I2值；④将实验测得的7组数据在坐标纸上描点，如图丙所示。(1)实验中，可能用到如下规格的电流表：A．电流表(量程为3 mA，内阻为20.0 Ω)B．电流表(量程为300 mA，内阻未知)C．电流表(量程为300 mA，内阻为2.0 Ω)A1应选用________，A2应选用________。(2)根据图甲，用笔画线代替导线，将图乙中的实物连接成测量电路。(3)在电流表选用及电路连接均正确的情况下，结合图丙可得Rx的阻值的测量值为________ Ω(结果保留三位有效数字)。(4)若开始时A1的示数为0.22 A，下列两种做法中，可使A1的示数调为0.20 A的是________。A．仅调节电阻箱R1，使R1接入电路的阻值变大B．仅移动滑动变阻器R的滑片，使R接入电路的阻值变小答案 (1)B C (2)见解析图 (3)41.5(40.5～42.5均可给分) (4)A解析 (1)A1的示数需达到0.20 A，结合题图丙可知A2的示数需达到0.25 A，因此A1、A2的量程均应选择300 mA，根据题图甲有(Rx＋RA2)I2＝(R1＋RA1)I1整理得R1＝eq \f(RA2＋Rx,I1)I2－RA1，设题图丙中图线的斜率为k，有eq \f(RA2＋Rx,I1)＝k，只有在RA2已知的情况下，才能算出Rx，故A1选用B，A2选用C。(2)实物连接电路(3)根据eq \f(RA2＋Rx,I1)＝eq \f(50,0.25－0.02) Ω·A－1≈217.4 Ω·A－1，I1＝0.20 A、RA2＝2.0 Ω可得Rx＝41.5 Ω(4)干路电流I＝I1＋I2，要使I1变小，可使干路总电阻增大，即使R接入电路的阻值变大；要使I1变小，也可使A1这一支路的电阻增大，电路总电阻变大则干路电流变小，干路电压变小则并联部分电压变大，待测电阻支路电流变大，则A1的电流变小，故选A。4．(2022·泸县五中高二期中)某同学为精确测量某金属圆柱的电阻，设计了如图甲所示的电路图。现在需要两个量程为200 mA的电流表，但实验室提供的器材中，一个电流表的量程为100 mA，内阻为12 Ω，另外一个电流表的量程为200 mA。(1)图中U为学生电源、G为灵敏电流计、A1代表量程为100 mA电流表A(图中未画出)改装后的电流表、A2为量程为200 mA的电流表、R1为电阻箱、R2与R3均为滑动变阻器、R0为定值电器、S为开关、Rx为待测金属圆柱，另有导线若干，这些器材全部由实验室提供。具体的实验操作如下：A．按照如图甲所示的电路图连接好实验器材；B．将滑动变阻器R2的滑片、滑动变阻器R3的滑片均调至适当位置，闭合开关S；C．调整R3，逐步增大并联部分电压，并反复调整R1和R2使灵敏电流计G的示数为零，此时量程为100 mA的电流表A的示数为I1，A2的示数为I2，电阻箱的示数为R1；D．实验完毕，整理器材。①实验步骤B中滑动变阻器R3的滑片应调至最________(填“左”或“右”)端；②某次测量时，量程为100 mA的电流表A的指针位置如图乙所示，则此时通过R2的电流为______ mA。(2)待测金属圆柱Rx的阻值为________(用所测物理量的字母表示)。(3)电流表A1、A2的内阻对测量结果______(填“有”或“无”)影响。答案 (1)①左 ②160 (2)eq \f(2I1R1,I2) (3)无解析 (1)①实验步骤B中滑动变阻器R3的滑片应调至最左端，使并联部分电压从零开始，保护元件及电表。②把量程为100 mA电流表A改装为量程为200 mA 的电流表A1，应并联一个阻值为12 Ω的电阻，题图乙的示数为80 mA，根据电表改装原理可知，流过R2的电流应为示数的2倍，即160 mA。(2)灵敏电流计G的示数为零时满足2I1R1＝I2Rx，可得待测金属圆柱Rx的阻值为Rx＝eq \f(2I1R1,I2)。(3)由Rx测量的表达式可知，电流表A1、A2的内阻对测量结果无影响。5．某同学利用图(a)所示电路测量量程为2.5 V的电压表的内阻(内阻为数千欧姆)，可供选择的器材有：电阻箱R(最大阻值99 999.9 Ω)，滑动变阻器R1(最大阻值50 Ω)，滑动变阻器R2(最大阻值5 kΩ)，直流电源U(电源电压为3 V)，开关1个，导线若干。实验步骤如下：①按电路原理图(a)连接线路；②将电阻箱阻值调节为0，将滑动变阻器的滑片移到与图(a)中最左端所对应的位置，闭合开关S；③调节滑动变阻器，使电压表满偏；④保持滑动变阻器滑片的位置不变，调节电阻箱阻值，使电压表的示数为2.00 V，记下电阻箱的阻值。回答下列问题：(1)实验中应选择滑动变阻器________(填“R1”或“R2”)。(2)根据图(a)所示电路将图(b)中实物图连线。(3)实验步骤④中记录的电阻箱阻值为630.0 Ω，若认为调节电阻箱时滑动变阻器上的分压不变，计算可得电压表的内阻为________Ω。(4)如果此电压表是由一个表头和电阻串联构成的，可推断该表头的满刻度电流为________。A．100 μA B．250 μA C．500 μA D．1 mA答案 (1)R1 (2)见解析图 (3)2 520 (4)D解析 (1)本实验测电压表的内阻，实验中电压表示数变化不大，则接入电阻箱后电路的总电阻变化不大，故需要滑动变阻器的最大阻值较小，故选R1可减小实验误差。(2)滑动变阻器为分压式接法，连接实物电路如图所示：(3)电压表和电阻箱串联，两端电压分别为2.00 V和0.50 V，则RV＝4R＝2 520 Ω。(4)电压表的满偏电流Ig＝eq \f(UV,RV)＝eq \f(2.5,2 520) A≈1 mA，故选项D正确。6．某同学将一个量程为0～1 mA、内阻未知的电流表G改装为量程为0～3 V 的电压表V，他先测量该电流表G的内阻Rg，再进行改装，然后把改装的电压表与标准电压表进行校准。实验室准备的仪器有：电源U(电压为4.5 V)；滑动变阻器R1(最大阻值为5 000 Ω，允许通过的最大电流约为0.02 A)；滑动变阻器R2(最大阻值为20 Ω，允许通过的最大电流约为1.0 A)；电阻箱R(最大阻值为999.9 Ω，允许通过的最大电流约为0.2 A)；标准电压表V0(最大量程为3.0 V，内阻约为4 000 Ω)；已知阻值的定值电阻若干(可以用R′表示)；开关两个，导线若干。他的操作过程如下：(1)按如图a所示连接电路，其中滑动变阻器应选择__________(填仪器对应的符号)。测量电流表G的内阻Rg，其步骤为：①将滑动变阻器接入电路的阻值调到最大，保持开关S2断开，闭合开关S1，再调节滑动变阻器，使电流表G的指针指在满刻度Ig处；②保持滑动变阻器接入电路的阻值不变，再闭合开关S2，调节电阻箱R的阻值使电流表G 的指针指在满刻度的一半处，即I＝eq \f(1,2)Ig，此时电阻箱上示数如图b所示，则电流表G 的内阻Rg＝________Ω；(2)他根据所测出的电流表G的内阻Rg的值，通过计算后，在表头G上串联一个电阻R′，就将电流表G改装成量程为0～3 V的电压表V，如图c所示，则这个定值电阻的阻值R′＝________Ω；(3)他再用标准电压表V0对改装的电压表进行校准，要求电压能从0到最大值之间逐一进行校准，试在图d的方框中补全校准电路图，并标出所选用器材的符号，其中改装电压表和标准电压表已画出；答案 (1)R1 ②105.0 (2)2 895.0 (3)见解析图解析 (1)当S1接通，S2断开，电流表满偏时，电路的总电阻为R总＝eq \f(U,Ig)＝eq \f(4.5,1×10－3) Ω＝4 500 Ω，可知滑动变阻器应选择R1；②电阻箱的读数为R＝105.0 Ω，保持滑动变阻器接入电路的阻值不变，可认为电路的总电流保持不变，再闭合开关S2，调节电阻箱R的阻值使电流表G的指针指在满刻度的一半处，即I＝eq \f(1,2)Ig，则有I·Rg＝(Ig－I)R，解得Rg＝R＝105.0 Ω；(2)在表头G上串联一个电阻R′，将电流表G改装成量程为0～3 V的电压表V，则有Um＝Ig(Rg＋R′)得R′＝eq \f(Um,Ig)－Rg＝eq \f(3,1×10－3) Ω－105.0 Ω＝2 895.0 Ω；(3)要求电压从0到最大值之间逐一进行校准，因此滑动变阻器应采用分压接法，滑动变阻器选用R2，标准电压表和改装电压表应并联。电路图如图所示
专题强化7 电阻的测量[学习目标] 1.进一步理解电流表内接法、外接法及滑动变阻器的限流式接法和分压式接法，并能在具体问题中正确选择(重难点)。2.学会用伏伏法、安安法、等效替代法、半偏法及电桥法测电阻(重难点)。一、伏伏法测电阻伏伏法又称电压表差值法，是利用两个电压表的组合测量电压表的内阻或其他电阻的方法。常见电路如图甲、乙所示。(1)条件：电压表V2的量程必须大于电压表V1的量程且能搭配使用。(2)技巧：已知内阻值的电压表可当作电流表使用。在缺少合适的电流表的情况下，常用电压表代替电流表使用。(3)原理：以图甲为例，电压表V1、V2的读数分别为U1、U2，根据电路知识有U2＝U1＋eq \f(U1,r1)R0，则如果R0已知，可求出电压表的内阻r1＝eq \f(U1,U2－U1)R0；如果r1已知，可以求出R0＝eq \f(U2－U1,U1)r1。例1 用以下器材可测量电阻Rx的阻值。待测电阻Rx，阻值约为600 Ω；电源，电压为6.0 V；电压表V1，量程为0～500 mV，内阻r1＝1 000 Ω；电压表V2，量程为0～6 V，内阻r2约为10 kΩ；电流表A，量程为0～0.6 A，内阻r3约为1 Ω；定值电阻R0，R0＝60 Ω；滑动变阻器R，最大阻值为150 Ω；单刀单掷开关S一个，导线若干。(1)测量中要求两只电表的示数都不小于其量程的eq \f(1,3)，并能测量多组数据，请在框内画出测量电阻Rx的实验电路图。(2)若选择测量数据中的一组来计算Rx，则由已知量和测量物理量计算Rx的表达式为Rx＝________(所有物理量用符号表示)，式中各符号的意义是____________________________。答案 (1)见解析图 (2)eq \f(U2－U1R0r1,U1R0＋r1) 见解析解析 (1)电路的最大电流约为I＝eq \f(6 V,600 Ω)＝0.01 A，电流表的量程太大，可以把电压表V1并联一个定值电阻改装成电流表，电压表选择V2即可，要求测量多组数据且滑动变阻器阻值与Rx的阻值相比较小，滑动变阻器需用分压式接法，电路如图所示。(2)流过被测电阻的电流为I＝eq \f(U1,r1)＋eq \f(U1,R0)＝eq \f(U1R0＋r1,R0r1)，被测电阻为Rx＝eq \f(U2－U1,I)＝eq \f(U2－U1R0r1,U1R0＋r1)；U1为电压表V1的示数，U2为电压表V2的示数，r1为电压表V1的内阻，R0为定值电阻。二、安安法测电阻安安法又称电流表差值法，是利用两个电流表的组合测量电流表的内阻或其他电阻的方法，常见电路如图甲、乙所示。(1)条件：电流表A2的量程必须大于电流表A1的量程且能搭配使用。(2)技巧：已知内阻值的电流表可当作电压表使用。在缺少合适的电压表的情况下，常用电流表代替电压表使用。(3)原理：电流表A1、A2的读数分别为I1、I2，电流表A1的内阻为r1，则以图甲为例，根据电路知识有I1(r1＋R0)＝(I2－I1)Rx，则如果r1、R0已知，可求出Rx的阻值；如果R0、Rx已知，可以求出电流表A1的内阻r1＝eq \f(I2－I1,I1)Rx－R0。例2 用以下器材测量待测电阻Rx的阻值。待测电阻Rx，阻值约为100 Ω；电源，电压约为6.0 V；电流表A1，量程为0～50 mA，内阻R1为20 Ω；电流表A2，量程为0～300 mA，内阻R2约为4 Ω；定值电阻R0，阻值为20 Ω；滑动变阻器R，最大阻值为10 Ω；单刀单掷开关S，导线若干。(1)测量中要求两电流表的读数都不小于其量程的eq \f(1,3)，在框中试画出测量电阻Rx的实验电路原理图(原理图中的元件用题干中相应的符号标注)。(2)若某次测量中电流表A1的示数为I1，电流表A2的示数为I2，则由已知量和测量量计算Rx的表达式为Rx＝____________________________。答案 (1)见解析图丙(R作为限流电阻也可)(2)eq \f(I2－I1,I1)R0－R1解析 (1)在尝试设计电路中，很容易设计出图甲所示的测量电路，以A1满偏时代入已知数据估算可得，此时电流表A2的最大电流值约为70 mA，远小于其量程的三分之一，所以不满足实验要求；另一种测量电路如图乙所示，电流表A1和待测电阻的串联阻值约为120 Ω，和定值电阻R0的阻值之比约为6∶1，通过电流表A2的最大电流值接近量程最大值，所以这个电路符合要求，然后连接滑动变阻器来进行调节测量多组数据即可。最终的电路图如图丙所示。滑动变阻器用分压式、限流式接法都可以。(2)用字母表示待测电阻阻值可得Rx＝eq \f(I2－I1,I1)R0－R1。三、等效替代法测电阻如图所示，先让待测电阻与一电流表串联后接到电压恒定的电源上，读得电流表示数I；然后将电阻箱与电流表串联后接到同一电源上，调节电阻箱的阻值，使电流表的示数仍为I，则电阻箱的读数等于待测电阻的阻值。说明：等效替代法的实验原理简单，看似没有系统误差，但考虑到电阻箱不能连续调节，往往很难保证电流表的读数不变。例3 电流表A1的量程为0～200 μA、内电阻约为500 Ω，现要测量其内阻，除若干开关，导线之外还有器材如下：电流表A2：与A1规格相同；滑动变阻器R1：阻值0～20 Ω；电阻箱R2：阻值0～9 999 Ω；保护电阻R3：阻值约为3 kΩ；电源：电压为1.5 V。(1)如图所示，某同学想用替代法测量电流表内阻，设计了部分测量电路，在此基础上请你将滑动变阻器接入电路中，使实验可以完成。(2)电路补充完整后，请你完善以下测量电流表A1内电阻的实验步骤。a．先将滑动变阻器R1的滑动端移到使电路安全的位置，再把电阻箱R2的阻值调到________(选填“最大”或“最小”)。b．闭合开关S1、S，调节滑动变阻器R1，使两电流表的指针在满偏附近，记录电流表A2的示数I。c．断开S1，保持S闭合、R1不变，再闭合S2，调节R2，使电流表A2的示数________，读出此时电阻箱的阻值R0，则电流表A1内电阻r＝________。答案 (1)见解析图 (2)a.最大 c．再次为I(或仍为I) R0解析 (1)滑动变阻器的阻值远小于待测电流表内阻，因此必须采用分压式接法，电路图如图所示。(2)a.实验前R2应该调节到最大，以保证电表安全；c.替代法最简单的操作是让A2示数不变，则可直接从R2的读数得到电流表A1的内电阻。四、电桥法测电阻如图所示，R2、R3为定值电阻，R1为电阻箱，Rx为待测电阻。闭合开关S，调节R1的阻值，当电流表G的读数为零时φa＝φb，即Uab＝0，此时，R1、R2两端的电压相等，R3、Rx两端的电压相等，即eq \f(U1,U3)＝eq \f(U2,Ux)，可得eq \f(R1,R3)＝eq \f(R2,Rx)⇒Rx＝eq \f(R2R3,R1)。例4 (2023·江苏省扬中高级中学期末)某实验小组的同学利用图甲所示的电路探究并联电路中各点电势的关系。已知R1 ＝ 10 Ω，R2 ＝ 20 Ω，R3 ＝ 30 Ω，R4 ＝ 40 Ω，电源的电压为U＝10 V，且电源负极端接地。(1)由此可得ab两点电势差为Uab＝________ V，如果在ab两点间接一个电阻，则有电流从________点流向________点。(选填“a”或“b”)(2)该实验小组同学又设计了图乙的电路来测量电阻Rx的阻值，其中R为电阻箱，G为灵敏电流计，请按图乙的实验原理图完成图丙中实物电路的连线。(3)实验时，先调节电阻箱，使电阻箱的阻值为R1，闭合开关，反复调节滑动变阻器滑片的位置，使通过灵敏电流计的电流为零；断开开关，保持滑动变阻器的滑片所处位置不变，交换电阻箱与待测电阻的位置。闭合开关，然后反复调节电阻箱，使灵敏电流计的示数再次为零，记下此时电阻箱的阻值记为R2；则待测电阻的阻值为Rx＝________。(用题中已知量的字母表示)答案 (1)2 a b (2)见解析图 (3)eq \r(R1R2)解析 (1)由题图甲可知，R4两端的电压为U4 ＝ eq \f(R4U,R1＋R4)＝eq \f(40×10,40＋10) V＝8 V则a点的电势为φa＝8 V，R3两端的电压为U3 ＝ eq \f(R3U,R2＋R3)＝eq \f(30×10,20＋30) V＝6 V则b点的电势为φb＝6 V，则Uab＝2 V如果在ab两点间接一个电阻，则有电流从a点流向b点。(2)实物连线如图(3)先调节电阻箱，使电阻箱的阻值为R1，闭合开关，反复调节滑动变阻器滑片的位置，使通过灵敏电流计的电流为零；若设滑动变阻器左右两边的电阻分别为Ra和Rb，则应该满足eq \f(Rx,Ra)＝eq \f(R1,Rb)保持滑动变阻器的滑片所处位置不变，交换电阻箱与待测电阻的位置，闭合开关，然后反复调节电阻箱，使灵敏电流计的示数再次为零，记下此时电阻箱的阻值，记为R2；则应该满足eq \f(R2,Ra)＝eq \f(Rx,Rb)联立两式可知待测电阻的阻值为Rx＝eq \r(R1R2)。五、半偏法测电阻1．“半偏法”测电流表的内阻测量原理：实验电路如图所示。(1)闭合开关S1前，将滑动变阻器R1、电阻箱R2的阻值调到最大；(2)闭合开关S1，调节R1使电流表A的指针满偏；(3)再闭合开关S2，保持滑动变阻器滑片的位置不变，调节电阻箱R2的阻值，使电流表A的指针半偏；(4)读取电阻箱的阻值R2，则RA＝R2。注意：R1接入阻值越大，误差越小，故R1应选择总阻值较大的。2．“半偏法”测电压表的内阻测量原理：实验电路如图所示。(1)闭合开关S之前，电阻箱R的阻值调到零，滑动变阻器R′的滑片P滑到左端；(2)闭合开关S，调节滑片P的位置使电压表V的指针满偏；(3)保持滑动变阻器滑片位置不变，再调节电阻箱的阻值，使电压表V的指针半偏；(4)读取电阻箱的阻值R，则有RV＝R。注意：R′应选总阻值较小的，有利于减小实验误差。例5 (2022·富宁县第一中学高二开学考试)某同学利用图甲中的电路测量电流表A的内阻RA(约为5 Ω)，图中R1是滑动变阻器，R2是电阻箱，S1和S2为开关。已知电流表的量程为10 mA。(1)请根据电路图连接图乙中的实物图；(2)断开S2，闭合S1，调节R1的阻值，使A满偏；保持R1的阻值不变，闭合S2，调节R2，当R2的阻值如图丙所示时，A恰好半偏。若忽略S2闭合后电路中总电阻的变化，则可知RA＝________ Ω；(3)考虑电路中总电阻的变化，则电流表的内阻RA的测量值R测和真实值R真相比，R测________(填“＞”或“＜”)R真；(4)将(2)中电流表内阻的测量值作为该表内阻，若要改装成量程为3 V的电压表，则需与该电流表串联一个阻值为________ Ω的电阻。答案 (1)见解析图 (2)4.9 (3)＜ (4)295.1解析 (1)根据电路图连接题图乙中的实物图如图所示；(2)电阻箱R2的读数为R2＝4×1 Ω＋9×0.1 Ω＝4.9 Ω，若忽略S2闭合后电路中总电阻的变化，则电流表的内电阻等于R2，可知RA＝4.9 Ω；(3)闭合开关S2时，电流表与R2并联，电路总电阻变小，由欧姆定律可知，干路电流变大，电流表半偏时流过R2的电流大于电流表电流，R2的电阻阻值小于电流表内阻，由此可知电流表内阻测量值小于真实值；(4)电流表改装成量程为3 V的电压表需要串联分压电阻，串联电阻阻值R＝eq \f(U,IA)－RA＝eq \f(3,10×10－3) Ω－4.9 Ω＝295.1 Ω。专题强化练1．(2022·广东高二期末)某小组探究未知金属丝的电阻率，根据实验需要已选用了规格和量程合适的器材，按照以下步骤开展实验。(1)用螺旋测微器测量金属丝直径，如图甲所示，则该直径为________ mm；(2)按图乙连接好电路进行测量，先将滑动变阻器R2的滑片P置于a端；(3)接着将单刀双掷开关S1掷向1，调节滑动变阻器，得如图丙电流表读数为______ A，然后断开S2；(4)电阻箱R1的阻值调至较大，将单刀双掷开关S1掷向2，保持滑动变阻器滑片位置不变，闭合开关S2，调电阻箱使得电流表读数逐渐增大到上一步读数，记录电阻箱读数为R；(5)金属丝的电阻值为____________，若金属丝直径用d表示，金属丝长度用x表示，则金属丝电阻率为____________。(均用字母表示)答案 (1)5.694(5.691～5.695均可)(3)0.28(5)R eq \f(πRd2,4x)解析 (1)金属丝直径为5.5 mm＋19.4×0.01 mm＝5.694 mm(3)最小刻度为0.02 A，则电流表读数为0.28 A；(5)等效法测量电阻，金属丝的电阻值为R；根据电阻定律有R＝ρeq \f(x,S)，S＝eq \f(πd2,4)，解得金属丝电阻率为ρ＝eq \f(πRd2,4x)。2．(2022·河南省高二期中)实验小组用图甲所示的电路来测量阻值约为18 Ω的未知电阻Rx的阻值。电路中R0为定值电阻，阻值为4 Ω，V1、V2为理想电压表，S为开关，R为滑动变阻器，U为电源，采用如下步骤完成实验。回答下列问题：(1)按照图甲所示的实验原理图用笔画线代替导线将实物图补充完整。(2)实验开始之前，将滑动变阻器的滑片置于__________(填“最左端”“最右端”或“中间”)位置。闭合开关S，改变滑动变阻器滑片的位置，记下两电压表的示数分别为U1、U2，则待测电阻阻值的表达式为Rx＝________(用U1、U2、R0表示)。(3)为了减小偶然误差，多次改变滑动变阻器滑片的位置，测几组U1、U2的值，作出的U1－U2图像如图乙所示，图像的斜率k＝__________(用R0、Rx表示)，可得Rx＝__________Ω。答案 (1)见解析图 (2)最右端 eq \f(U2,U1－U2)R0 (3)eq \f(R0＋Rx,Rx) 20解析 (1)(2)闭合开关前，应将滑动变阻器的滑片置于最右端位置。由串联电路电流相等与欧姆定律可得eq \f(U1－U2,R0)＝eq \f(U2,Rx)，整理可得待测电阻Rx＝eq \f(U2,U1－U2)R0(3)由Rx＝eq \f(U2,U1－U2)R0得U1＝eq \f(R0＋Rx,Rx)U2则U1－U2图像的斜率k＝eq \f(R0＋Rx,Rx)，由题知R0＝4 Ω，可以得到Rx＝20 Ω。3．(2023·长沙市高二阶段练习)学校物理兴趣小组用如图甲所示的电路测量电阻Rx(阻值约为50 Ω)的阻值，图中电源电压适当，电阻箱R1的调节范围为0～99.9 Ω，主要实验步骤如下：①正确连接电路，将滑动变阻器R的滑片移至N端；②调节R1，使R1接入电路的阻值适当，闭合开关S，再移动滑动变阻器R的滑片，使电流表A1的示数I1＝0.20 A，记下此时电阻箱的阻值R1和电流表A2的示数I2；③重复步骤②，再获得6组R1和I2值；④将实验测得的7组数据在坐标纸上描点，如图丙所示。(1)实验中，可能用到如下规格的电流表：A．电流表(量程为3 mA，内阻为20.0 Ω)B．电流表(量程为300 mA，内阻未知)C．电流表(量程为300 mA，内阻为2.0 Ω)A1应选用________，A2应选用________。(2)根据图甲，用笔画线代替导线，将图乙中的实物连接成测量电路。(3)在电流表选用及电路连接均正确的情况下，结合图丙可得Rx的阻值的测量值为________ Ω(结果保留三位有效数字)。(4)若开始时A1的示数为0.22 A，下列两种做法中，可使A1的示数调为0.20 A的是________。A．仅调节电阻箱R1，使R1接入电路的阻值变大B．仅移动滑动变阻器R的滑片，使R接入电路的阻值变小答案 (1)B C (2)见解析图 (3)41.5(40.5～42.5均可给分) (4)A解析 (1)A1的示数需达到0.20 A，结合题图丙可知A2的示数需达到0.25 A，因此A1、A2的量程均应选择300 mA，根据题图甲有(Rx＋RA2)I2＝(R1＋RA1)I1整理得R1＝eq \f(RA2＋Rx,I1)I2－RA1，设题图丙中图线的斜率为k，有eq \f(RA2＋Rx,I1)＝k，只有在RA2已知的情况下，才能算出Rx，故A1选用B，A2选用C。(2)实物连接电路(3)根据eq \f(RA2＋Rx,I1)＝eq \f(50,0.25－0.02) Ω·A－1≈217.4 Ω·A－1，I1＝0.20 A、RA2＝2.0 Ω可得Rx＝41.5 Ω(4)干路电流I＝I1＋I2，要使I1变小，可使干路总电阻增大，即使R接入电路的阻值变大；要使I1变小，也可使A1这一支路的电阻增大，电路总电阻变大则干路电流变小，干路电压变小则并联部分电压变大，待测电阻支路电流变大，则A1的电流变小，故选A。4．(2022·泸县五中高二期中)某同学为精确测量某金属圆柱的电阻，设计了如图甲所示的电路图。现在需要两个量程为200 mA的电流表，但实验室提供的器材中，一个电流表的量程为100 mA，内阻为12 Ω，另外一个电流表的量程为200 mA。(1)图中U为学生电源、G为灵敏电流计、A1代表量程为100 mA电流表A(图中未画出)改装后的电流表、A2为量程为200 mA的电流表、R1为电阻箱、R2与R3均为滑动变阻器、R0为定值电器、S为开关、Rx为待测金属圆柱，另有导线若干，这些器材全部由实验室提供。具体的实验操作如下：A．按照如图甲所示的电路图连接好实验器材；B．将滑动变阻器R2的滑片、滑动变阻器R3的滑片均调至适当位置，闭合开关S；C．调整R3，逐步增大并联部分电压，并反复调整R1和R2使灵敏电流计G的示数为零，此时量程为100 mA的电流表A的示数为I1，A2的示数为I2，电阻箱的示数为R1；D．实验完毕，整理器材。①实验步骤B中滑动变阻器R3的滑片应调至最________(填“左”或“右”)端；②某次测量时，量程为100 mA的电流表A的指针位置如图乙所示，则此时通过R2的电流为______ mA。(2)待测金属圆柱Rx的阻值为________(用所测物理量的字母表示)。(3)电流表A1、A2的内阻对测量结果______(填“有”或“无”)影响。答案 (1)①左 ②160 (2)eq \f(2I1R1,I2) (3)无解析 (1)①实验步骤B中滑动变阻器R3的滑片应调至最左端，使并联部分电压从零开始，保护元件及电表。②把量程为100 mA电流表A改装为量程为200 mA 的电流表A1，应并联一个阻值为12 Ω的电阻，题图乙的示数为80 mA，根据电表改装原理可知，流过R2的电流应为示数的2倍，即160 mA。(2)灵敏电流计G的示数为零时满足2I1R1＝I2Rx，可得待测金属圆柱Rx的阻值为Rx＝eq \f(2I1R1,I2)。(3)由Rx测量的表达式可知，电流表A1、A2的内阻对测量结果无影响。5．某同学利用图(a)所示电路测量量程为2.5 V的电压表的内阻(内阻为数千欧姆)，可供选择的器材有：电阻箱R(最大阻值99 999.9 Ω)，滑动变阻器R1(最大阻值50 Ω)，滑动变阻器R2(最大阻值5 kΩ)，直流电源U(电源电压为3 V)，开关1个，导线若干。实验步骤如下：①按电路原理图(a)连接线路；②将电阻箱阻值调节为0，将滑动变阻器的滑片移到与图(a)中最左端所对应的位置，闭合开关S；③调节滑动变阻器，使电压表满偏；④保持滑动变阻器滑片的位置不变，调节电阻箱阻值，使电压表的示数为2.00 V，记下电阻箱的阻值。回答下列问题：(1)实验中应选择滑动变阻器________(填“R1”或“R2”)。(2)根据图(a)所示电路将图(b)中实物图连线。(3)实验步骤④中记录的电阻箱阻值为630.0 Ω，若认为调节电阻箱时滑动变阻器上的分压不变，计算可得电压表的内阻为________Ω。(4)如果此电压表是由一个表头和电阻串联构成的，可推断该表头的满刻度电流为________。A．100 μA B．250 μA C．500 μA D．1 mA答案 (1)R1 (2)见解析图 (3)2 520 (4)D解析 (1)本实验测电压表的内阻，实验中电压表示数变化不大，则接入电阻箱后电路的总电阻变化不大，故需要滑动变阻器的最大阻值较小，故选R1可减小实验误差。(2)滑动变阻器为分压式接法，连接实物电路如图所示：(3)电压表和电阻箱串联，两端电压分别为2.00 V和0.50 V，则RV＝4R＝2 520 Ω。(4)电压表的满偏电流Ig＝eq \f(UV,RV)＝eq \f(2.5,2 520) A≈1 mA，故选项D正确。6．某同学将一个量程为0～1 mA、内阻未知的电流表G改装为量程为0～3 V 的电压表V，他先测量该电流表G的内阻Rg，再进行改装，然后把改装的电压表与标准电压表进行校准。实验室准备的仪器有：电源U(电压为4.5 V)；滑动变阻器R1(最大阻值为5 000 Ω，允许通过的最大电流约为0.02 A)；滑动变阻器R2(最大阻值为20 Ω，允许通过的最大电流约为1.0 A)；电阻箱R(最大阻值为999.9 Ω，允许通过的最大电流约为0.2 A)；标准电压表V0(最大量程为3.0 V，内阻约为4 000 Ω)；已知阻值的定值电阻若干(可以用R′表示)；开关两个，导线若干。他的操作过程如下：(1)按如图a所示连接电路，其中滑动变阻器应选择__________(填仪器对应的符号)。测量电流表G的内阻Rg，其步骤为：①将滑动变阻器接入电路的阻值调到最大，保持开关S2断开，闭合开关S1，再调节滑动变阻器，使电流表G的指针指在满刻度Ig处；②保持滑动变阻器接入电路的阻值不变，再闭合开关S2，调节电阻箱R的阻值使电流表G 的指针指在满刻度的一半处，即I＝eq \f(1,2)Ig，此时电阻箱上示数如图b所示，则电流表G 的内阻Rg＝________Ω；(2)他根据所测出的电流表G的内阻Rg的值，通过计算后，在表头G上串联一个电阻R′，就将电流表G改装成量程为0～3 V的电压表V，如图c所示，则这个定值电阻的阻值R′＝________Ω；(3)他再用标准电压表V0对改装的电压表进行校准，要求电压能从0到最大值之间逐一进行校准，试在图d的方框中补全校准电路图，并标出所选用器材的符号，其中改装电压表和标准电压表已画出；答案 (1)R1 ②105.0 (2)2 895.0 (3)见解析图解析 (1)当S1接通，S2断开，电流表满偏时，电路的总电阻为R总＝eq \f(U,Ig)＝eq \f(4.5,1×10－3) Ω＝4 500 Ω，可知滑动变阻器应选择R1；②电阻箱的读数为R＝105.0 Ω，保持滑动变阻器接入电路的阻值不变，可认为电路的总电流保持不变，再闭合开关S2，调节电阻箱R的阻值使电流表G的指针指在满刻度的一半处，即I＝eq \f(1,2)Ig，则有I·Rg＝(Ig－I)R，解得Rg＝R＝105.0 Ω；(2)在表头G上串联一个电阻R′，将电流表G改装成量程为0～3 V的电压表V，则有Um＝Ig(Rg＋R′)得R′＝eq \f(Um,Ig)－Rg＝eq \f(3,1×10－3) Ω－105.0 Ω＝2 895.0 Ω；(3)要求电压从0到最大值之间逐一进行校准，因此滑动变阻器应采用分压接法，滑动变阻器选用R2，标准电压表和改装电压表应并联。电路图如图所示
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