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最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题34 规律探究性问题
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这是一份最新中考数学总复习真题探究与变式训练（讲义） 专题34 规律探究性问题，文件包含专题34规律探究性问题原卷版docx、专题34规律探究性问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共76页， 欢迎下载使用。
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
模块三 重难点题型专项训练
专题34 规律探究题专训
规律探索类问题的特征是给出若干个按照一定顺序排列的具有某种特定变化规律的数、式或图形，要求解题者通过观察、分析、归纳和猜想等一系列活动找出蕴藏于其间的一般性规律。这类较为新颖的探索型问题不仅可以锻炼学生的逻辑推理能力，培养创新意识和创新能力，而且还具有较强的综合性和较高的区分度，因此成为近年各地中考数学中的一个考查热点。
例1 （2022·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．B．C．D．
例2 （2022·山东济宁·统考中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297B．301C．303D．400
例3 （2022·新疆·统考中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98B．100C．102D．104
例4 （2022·重庆·统考中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15B．13C．11D．9
例5 （2022·重庆·统考中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
例6 （2022·内蒙古·中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
例7 （2021·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
例8（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 _____．
例9 （2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
例10 （2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
例11 （2022·安徽·统考中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
例12 （2021·山东青岛·统考中考真题）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表①
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表②
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
一、递进式变化规律
递进变化类的规律题通常给出若干个按照某种特定的递进变化规律(递增或递减)排列的数、式或图形等内容，要求从这些已知量的观察分析中找出变化的一般规律。学生很容易看出题目呈现的是一列递进变化的量，但较难归纳出一个统一的表达式来表示变化的一般规律，而变化的一般规律常常与已知量的排列序号有关联。因此在解决此类问题时，首先要按照题目中的排列顺序给已知量编上序号；然后找出已知量中变化和不变的部分，分析序号和变化部分之间的数量关系，猜想和归纳出第n个量的含有n的表达式，得出一般规律；最后将序号代回表达式算出结果，比较所得结果与对应数值是否一致，验证猜想的正确性，得出最终结果。
1、数与式的递进变化规律
这类规律题通常呈现出一列按照某种特定的递进变化规律排列的数字、等式或代数式等，要求变化的一般规律。解决这类题目的关键在于根据前若干项已知量(若没直接给出则需根据题目的信息求出来)的变化部分找出与它们对应的排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。
2、图形变化中的数量递进变化规律
与图形有关的递进变化规律题归根结底考查的也是图形在变化过程中图案的个数、图形的周长或面积、线段的长度等这些量的变化规律。解决这类问题要仔细观察并找出图形变化与不变的部分，研究变化部分的图形变化和数量变化的规律，找出不变部分的固定数量，分析变化部分的数量与对应的图形排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。
3、图表中的数字递进变化规律
这类题目的规律蕴藏在图表中的数字变化中，解题的关键在于寻找图表中每行、每列中的数字之间关系和排列顺序，以及行与行之间、列与列之间的联系，此外还应观察图表中的数与它所处的列数和行数间的数量变化规律。
【变式1】（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）下列中国结图形都是边长为“”的正方形按照一定规律组成，第个图形中共有个边长为“”的正方形，第个图形中共有个边长为“”的正方形，第个图形中共有个边长为“”的正方形，，依此规律，第个图形中边长为“”的正方形的个数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·重庆·重庆八中校考二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【变式3】（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第_________个图案中有2021个涂有阴影的小正方形．
【变式4】（2022·山东泰安·模拟预测）我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中的系数；请根据规律直接写出的展开式______．
【变式5】（2022·浙江台州·统考二模）浙江从3月6日至3月20日新增新冠确诊人数和无症状人数情况如下表，根据表中数据绘制出如下的折线统计图，请根据统计图表分析：
(1)在统计的这段时期内，新增确诊和无症状感染者总人数在60人以上的天数有______天；
(2)3月6日至3月20日平均每天有多少个确诊的新冠病人？
(3)请比较分析这段时间确诊人数与无症状感染人数的整体水平与变化规律，并对下阶段防疫工作提出一条合理化的建议．
例1 （2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）
A．（2）5B．（2）6C．（）5D．（）6
例2 （2020·山东烟台·统考中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ）
A．（）nB．（）n﹣1C．（）nD．（）n﹣1
例3 （2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
例4 4．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，为射线上一点，为射线上一点，．以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；…，按此规律进行下去，则的面积___________．
例5 （2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为________．
循环变化规律
循环类规律题中的数、式、图形或坐标等内容的变化中有着循环规律，它们有着一定的排列顺序和固定的循环周期，并根据特定的循环周期间隔出现。解决此类问题首先应发现题目中的循环规律并找出循环周期，明确循环周期中的量的个数和变化规律，然后根据实际问题求出循环周期的个数及余数，最后结合题目的要求和所得数据解出答案。
1、数与式的循环变化规律
这类题目中有着一列存在着循环规律排列的数字或代数式。计算并观察题目规律中前若干项的结果，当发现这些数字或代数式存在循环规律时，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数是解决此类问题的关键。
2、图形变化中的坐标循环变化规律
这类规律题通常要求某个连续变化的图形中某点的坐标，在某点的变化过程中对应坐标的数字存在着循环变化的规律。解题的重点在于仔细观察图形变化的特点，计算和分析某点变化中横坐标或纵坐标的规律，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数，进而得出要求的坐标。
【变式1】（2022·山东济宁·校考二模）如图，在正方形中，，与直线所夹锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依次规律，则线段（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，在图1中，、、分别是等边 的边、、的中点，在图2中，，，分别是的边、、的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（ ）个．
A．B．C．D．
【变式3】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，平面直角坐标系内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第二次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，动点P第次运动到的点的坐标是_______．
【变式4】（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“……”的路线运动．设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是_______________．
【变式5】（2020·江西南昌·模拟预测）已知抛物线（n为正整数，且）与x轴的交点为和．当时，第1条抛物线与x轴的交点为和，其他以此类推．
（1）求的值及抛物 线的解析式．
（2）抛物线的顶点的坐标为（_______，_______）；以此类推，第条抛物线的顶点的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_________．
（3）探究以下结论：
①是否存在抛物线，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
②若直线与抛物线分别交于点，则线段的长有何规律？请用含有m的代数式表示．
【培优练习】
1．（2022秋·全国·七年级期末）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（ ）
A．7B．52C．154D．310
2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”， 是的“哈利数”， 是的“哈利数”， ，依此类推，则等于（ ）
A．B．C．D．5
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，点，，，，，根据这个规律，可得点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·山东泰安·九年级统考期末）斐波那契螺旋线．也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以为半径，依次作圆心角为的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（ ）
A．38B．52C．68D．86
6．（2021秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…第n次移动到An．则△OA6A2018的面积是（ ）
A．505B．504.5
C．504D．503
7．（2021秋·河南新乡·九年级新乡市第一中学校考期末）如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第3个黄金三角形的周长（ ）
A．B．C．D．
8．（2021秋·山东日照·七年级日照港中学校考期中）将正方形ABCD(如图1)作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点(如图2)，得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方形依次划分下去，则第n次划分后，图中共有（ ）个正方形．
A．B．C．D．
9．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________．
10．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，，则点的坐标为_______．
11．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线交点D，将菱形绕点D顺时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是___________，旋转2022次后，点D的坐标是___________．
12．（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，图中的方格均是边长为1的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点.图①⑥中，这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，像这样的多边形我们称为“内空格点多边形”
（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为______；
（2）设内空格点多边形边上的格点数为L，面积为S，请用等式表示L与S的关系______
13．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）如图①，将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是__________．
14．（2022秋·九年级单元测试）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为依此类推，的坐标 __，经过2022次翻滚后点对应点的坐标为 ________．
15．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，点 在反比例函数（ ）的图象上，点 在y轴上，且 ，直线 与双曲线交于点 ， ， ， 则 的坐标是 _____．
16．（2022秋·辽宁鞍山·七年级统考期中）观察下面三行数：
，4，，16，，……；①
，5，，17，，……；②
，8，，32，，……；③
(1)第①行的第8个数是______；
(2)第②行的第个数是______；（为正整数）
(3)取每一行的第7个数，计算这三个数的和．
17．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，……，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：
(1)第10层有 个盆栽，第a层有 个盆栽，前n层共有 个盆栽；
(2)计算： ；
(3)拓展应用：求的值．
18．（2022秋·九年级课时练习）如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．
(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．
(2)求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．
(3)求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．
19．（2022秋·八年级单元测试）阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
20．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）问题提出：用个三角形最多可以把平面分成几部分？
为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
探究（一）：我们先考虑最简单的情况：用一个三角形最多可以把平面分成几部分？
（1）用1个三角形分平面只有一种情况，平面本身是1部分，一个三角形将平面分成三角形内和三角形外2部分，即增加1部分，所以用1个三角形最多可以把平面分成2部分．
（2）用2个三角形最多可以把平面分成几部分？
两个三角形不能相交时将平面分成3部分．
相交时：如图1~图6，用2个三角形分平面有6种情况：如图1，当两个三角形只有1个交点时，这两个三角形将平面分成3部分；当两个三角形有2个交点时，这两个三角形将平面分成4部分；当两个三角形有3个交点时，这两个三角形将平面分成5部分；当两个三角形有4个交点时，这两个三角形将平面分成6部分，根据前面给出的规律，在图6的位置画出图形，并补全表格
由上图可知：新增加的部分数与新增加的交点个数的关系是______
探究（二）：用3个三角形最多将平面分成几部分？
前面通过画图我们知道2个三角形最多有6个交点；
3个三角形相交时，对于每个三角形因为一条边最多与三角形的两条边相交，所以第三个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共产生个交点即增加12部分，因此，3个三角形最多可以把平面分成：部分；
探究（三）：用4个三角形最多可以将平面分成几部分？说明理由．
问题解决：用10个三角形最多可以把平面分成______部分
建立模型：用个三角形最多可以把平面分成______部分
拓展延伸：用个边形最多可以把平面分成______部分．
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1
1
1个1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1
1
2个1
2
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1
1
2个2
2
，
2
3
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1
1
3个2
2
，
2
3
，
2
4
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1
1
___
___
2
，
2
3
_______
_____
4
，
2
5
1
日期
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
确诊
1
6
1
6
18
24
54
15
43
28
38
32
23
30
3
无症状
34
8
8
33
3
43
11
37
17
12
8
22
24
26
17
用2个三角形分平面
情况1图1
情况2图2
情况3图3
情况4图4
情况5图5
情况6图6
交点个数
1
2
3
4
5
增加部分
1
2
3
4
5
能分成的区域数量
3
4
5
6
7
一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
模块三 重难点题型专项训练
专题34 规律探究题专训
规律探索类问题的特征是给出若干个按照一定顺序排列的具有某种特定变化规律的数、式或图形，要求解题者通过观察、分析、归纳和猜想等一系列活动找出蕴藏于其间的一般性规律。这类较为新颖的探索型问题不仅可以锻炼学生的逻辑推理能力，培养创新意识和创新能力，而且还具有较强的综合性和较高的区分度，因此成为近年各地中考数学中的一个考查热点。
例1 （2022·西藏·统考中考真题）按一定规律排列的一组数据：，，，，，，…．则按此规律排列的第10个数是（ ）
A．B．C．D．
例2 （2022·山东济宁·统考中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数是（ ）
A．297B．301C．303D．400
例3 （2022·新疆·统考中考真题）将全体正偶数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第10行第5个数是（ ）
A．98B．100C．102D．104
例4 （2022·重庆·统考中考真题）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）
A．15B．13C．11D．9
例5 （2022·重庆·统考中考真题）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32B．34C．37D．41
例6 （2022·内蒙古·中考真题）观察下列等式：，，，，，，…根据其中的规律可得的结果的个位数字是（ ）
A．0B．1C．7D．8
例7 （2021·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：，……，第n个单项式是（ ）
A．B．C．D．
例8（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为，，，……按此规律排列，则第30个数是 _____．
例9 （2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2，，，…，它们按一定规律排列，第n个数记为，且满足．则________，________．
例10 （2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
例11 （2022·安徽·统考中考真题）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
例12 （2021·山东青岛·统考中考真题）问题提出：
最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形．）
问题探究：
为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论．
（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1，第三边长也是1.按照（最长边长，最短边长，第三边长）的形式记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表①
（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当最短边长为1时，第三边长只能是2，记为，有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2，记为，有1个，所以总共有个整数边三角形．
表②
（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况：
表③
（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况：
表④
（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空：
表⑤
问题解决：
（1）最长边长为6的整数边三角形有___________个．
（2）在整数边三角形中，设最长边长为，总结上述探究过程，当为奇数或为偶数时，整数边三角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为的整数边三角形的个数．
（3）最长边长为128的整数边三角形有__________个．
拓展延伸：
在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有___________个．
一、递进式变化规律
递进变化类的规律题通常给出若干个按照某种特定的递进变化规律(递增或递减)排列的数、式或图形等内容，要求从这些已知量的观察分析中找出变化的一般规律。学生很容易看出题目呈现的是一列递进变化的量，但较难归纳出一个统一的表达式来表示变化的一般规律，而变化的一般规律常常与已知量的排列序号有关联。因此在解决此类问题时，首先要按照题目中的排列顺序给已知量编上序号；然后找出已知量中变化和不变的部分，分析序号和变化部分之间的数量关系，猜想和归纳出第n个量的含有n的表达式，得出一般规律；最后将序号代回表达式算出结果，比较所得结果与对应数值是否一致，验证猜想的正确性，得出最终结果。
1、数与式的递进变化规律
这类规律题通常呈现出一列按照某种特定的递进变化规律排列的数字、等式或代数式等，要求变化的一般规律。解决这类题目的关键在于根据前若干项已知量(若没直接给出则需根据题目的信息求出来)的变化部分找出与它们对应的排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。
2、图形变化中的数量递进变化规律
与图形有关的递进变化规律题归根结底考查的也是图形在变化过程中图案的个数、图形的周长或面积、线段的长度等这些量的变化规律。解决这类问题要仔细观察并找出图形变化与不变的部分，研究变化部分的图形变化和数量变化的规律，找出不变部分的固定数量，分析变化部分的数量与对应的图形排列序号之间的数量关系，从而得出变化的一般规律。
3、图表中的数字递进变化规律
这类题目的规律蕴藏在图表中的数字变化中，解题的关键在于寻找图表中每行、每列中的数字之间关系和排列顺序，以及行与行之间、列与列之间的联系，此外还应观察图表中的数与它所处的列数和行数间的数量变化规律。
【变式1】（2022·重庆铜梁·铜梁中学校校考模拟预测）下列中国结图形都是边长为“”的正方形按照一定规律组成，第个图形中共有个边长为“”的正方形，第个图形中共有个边长为“”的正方形，第个图形中共有个边长为“”的正方形，，依此规律，第个图形中边长为“”的正方形的个数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·重庆·重庆八中校考二模）把黑色圆点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有6个黑色圆点，第③个图案中有8个黑色圆点，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中黑色圆点的个数为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【变式3】（2022·山西·山西实验中学校考模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第_________个图案中有2021个涂有阴影的小正方形．
【变式4】（2022·山东泰安·模拟预测）我国古代数学的许多成就都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，例如，在三角形中第三行的三个数，，，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数，，，，恰好对应着展开式中的系数；请根据规律直接写出的展开式______．
【变式5】（2022·浙江台州·统考二模）浙江从3月6日至3月20日新增新冠确诊人数和无症状人数情况如下表，根据表中数据绘制出如下的折线统计图，请根据统计图表分析：
(1)在统计的这段时期内，新增确诊和无症状感染者总人数在60人以上的天数有______天；
(2)3月6日至3月20日平均每天有多少个确诊的新冠病人？
(3)请比较分析这段时间确诊人数与无症状感染人数的整体水平与变化规律，并对下阶段防疫工作提出一条合理化的建议．
例1 （2022·山东烟台·统考中考真题）如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）
A．（2）5B．（2）6C．（）5D．（）6
例2 （2020·山东烟台·统考中考真题）如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（ ）
A．（）nB．（）n﹣1C．（）nD．（）n﹣1
例3 （2022·黑龙江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
例4 4．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，为射线上一点，为射线上一点，．以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；延长交射线于点，以为边在其右侧作菱形，且与射线交于点，得；…，按此规律进行下去，则的面积___________．
例5 （2022·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，，点在射线上，且，过点作交射线于，在射线上截取，使；过点作交射线于，在射线上截取，使.按照此规律，线段的长为________．
循环变化规律
循环类规律题中的数、式、图形或坐标等内容的变化中有着循环规律，它们有着一定的排列顺序和固定的循环周期，并根据特定的循环周期间隔出现。解决此类问题首先应发现题目中的循环规律并找出循环周期，明确循环周期中的量的个数和变化规律，然后根据实际问题求出循环周期的个数及余数，最后结合题目的要求和所得数据解出答案。
1、数与式的循环变化规律
这类题目中有着一列存在着循环规律排列的数字或代数式。计算并观察题目规律中前若干项的结果，当发现这些数字或代数式存在循环规律时，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数是解决此类问题的关键。
2、图形变化中的坐标循环变化规律
这类规律题通常要求某个连续变化的图形中某点的坐标，在某点的变化过程中对应坐标的数字存在着循环变化的规律。解题的重点在于仔细观察图形变化的特点，计算和分析某点变化中横坐标或纵坐标的规律，找出循环周期并结合题目要求算出循环周期的个数及余数，进而得出要求的坐标。
【变式1】（2022·山东济宁·校考二模）如图，在正方形中，，与直线所夹锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，依次规律，则线段（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2022·山东淄博·山东省淄博第六中学校考模拟预测）如图，在图1中，、、分别是等边 的边、、的中点，在图2中，，，分别是的边、、的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（ ）个．
A．B．C．D．
【变式3】（2022·甘肃嘉峪关·校考一模）如图，平面直角坐标系内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第二次运动到点，第3次运动到点，按这样的运动规律，动点P第次运动到的点的坐标是_______．
【变式4】（2022·贵州遵义·校考三模）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“……”的路线运动．设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是_______________．
【变式5】（2020·江西南昌·模拟预测）已知抛物线（n为正整数，且）与x轴的交点为和．当时，第1条抛物线与x轴的交点为和，其他以此类推．
（1）求的值及抛物 线的解析式．
（2）抛物线的顶点的坐标为（_______，_______）；以此类推，第条抛物线的顶点的坐标为（______，_______）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_________．
（3）探究以下结论：
①是否存在抛物线，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
②若直线与抛物线分别交于点，则线段的长有何规律？请用含有m的代数式表示．
【培优练习】
1．（2022秋·全国·七年级期末）有一个数字游戏，第一步：取一个自然数，计算得，第二步：算出的各位数字之和得，计算得，第三步算出的各位数字之和得，计算得；以此类推，则的值为（ ）
A．7B．52C．154D．310
2．（2022秋·江苏泰州·七年级校考阶段练习）是不为2的有理数，我们把称为的“哈利数”．如：3的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”， 是的“哈利数”， 是的“哈利数”， ，依此类推，则等于（ ）
A．B．C．D．5
3．（2022秋·江苏·八年级专题练习）如图所示，点，，，，，根据这个规律，可得点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·山东泰安·九年级统考期末）斐波那契螺旋线．也称“黄金螺旋线”，它可以通过分别以为半径，依次作圆心角为的扇形弧线画出来（如图）．第1步中扇形的半径是，按如图所示的方法依次画，第8步所画扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．
5．（2021秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考阶段练习）下列图形都是由大小相同的小圆按一定规律组成的，其中第①个图形中有2个小圆，第②个图形中有8个小圆，第③个图形中有16个小圆…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小圆个数为（ ）
A．38B．52C．68D．86
6．（2021秋·广东茂名·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…第n次移动到An．则△OA6A2018的面积是（ ）
A．505B．504.5
C．504D．503
7．（2021秋·河南新乡·九年级新乡市第一中学校考期末）如图，顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比等k，这样的三角形称为黄金三角形，已知腰AB=1，为第一个黄金三角形，为第二个黄金三角形，为第三个黄金三角形以此类推，第3个黄金三角形的周长（ ）
A．B．C．D．
8．（2021秋·山东日照·七年级日照港中学校考期中）将正方形ABCD(如图1)作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点(如图2)，得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；若把左上角的正方形依次划分下去，则第n次划分后，图中共有（ ）个正方形．
A．B．C．D．
9．（2022秋·山东临沂·九年级统考期中）若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________．
10．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…．若点，，则点的坐标为_______．
11．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线交点D，将菱形绕点D顺时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是___________，旋转2022次后，点D的坐标是___________．
12．（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图，图中的方格均是边长为1的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点.图①⑥中，这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，像这样的多边形我们称为“内空格点多边形”
（1）当内空格点多边形边上的格点数为10时，此多边形的面积为______；
（2）设内空格点多边形边上的格点数为L，面积为S，请用等式表示L与S的关系______
13．（2022秋·江苏泰州·七年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习）如图①，将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4）放置于水平桌面上．在图②中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则视作完成一次变换．若骰子的初始位置为图①所示的状态，那么按上述规则连续完成2022次变换后，骰子朝上一面的点数是__________．
14．（2022秋·九年级单元测试）如图，矩形的两边、分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将矩形沿轴向右翻滚，经过一次翻滚点对应点记为，经过第二次翻滚点对应点记为依此类推，的坐标 __，经过2022次翻滚后点对应点的坐标为 ________．
15．（2022秋·湖南岳阳·九年级校考阶段练习）如图，点 在反比例函数（ ）的图象上，点 在y轴上，且 ，直线 与双曲线交于点 ， ， ， 则 的坐标是 _____．
16．（2022秋·辽宁鞍山·七年级统考期中）观察下面三行数：
，4，，16，，……；①
，5，，17，，……；②
，8，，32，，……；③
(1)第①行的第8个数是______；
(2)第②行的第个数是______；（为正整数）
(3)取每一行的第7个数，计算这三个数的和．
17．（2022秋·山东济南·七年级统考期中）十一期间，泉城广场的一个公共区域用盆栽进行了美化，盆栽按如图的方式摆放，图中的盆栽被折线隔开分成若干层，第一层有1个盆栽，第二层有3个盆栽，第三层有5个盆栽，第四层有7个盆栽，……，以此类推．请观察图形规律，解答下列问题：
(1)第10层有 个盆栽，第a层有 个盆栽，前n层共有 个盆栽；
(2)计算： ；
(3)拓展应用：求的值．
18．（2022秋·九年级课时练习）如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．
(1)第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有______个．
(2)求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数．
(3)求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．
19．（2022秋·八年级单元测试）阅读理解：
材料：小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，，…，
发现规律：（为正整数），并证明了此规律成立．
应用规律，快速计算：．
根据材料，回答问题：
在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，并解决问题．请将下面的探究过程，补充完整．
（1）具体运算：
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4： （填写一个符合上述运算特征的例子）．
……
（2）发现规律： （为正整数），并证明此规律成立．
（3）应用规律：
①计算：；
②如果，那么n＝ ．
20．（2022秋·山东青岛·九年级统考期中）问题提出：用个三角形最多可以把平面分成几部分？
为了找到解决问题的办法，我们可以把上述问题简单化：
探究（一）：我们先考虑最简单的情况：用一个三角形最多可以把平面分成几部分？
（1）用1个三角形分平面只有一种情况，平面本身是1部分，一个三角形将平面分成三角形内和三角形外2部分，即增加1部分，所以用1个三角形最多可以把平面分成2部分．
（2）用2个三角形最多可以把平面分成几部分？
两个三角形不能相交时将平面分成3部分．
相交时：如图1~图6，用2个三角形分平面有6种情况：如图1，当两个三角形只有1个交点时，这两个三角形将平面分成3部分；当两个三角形有2个交点时，这两个三角形将平面分成4部分；当两个三角形有3个交点时，这两个三角形将平面分成5部分；当两个三角形有4个交点时，这两个三角形将平面分成6部分，根据前面给出的规律，在图6的位置画出图形，并补全表格
由上图可知：新增加的部分数与新增加的交点个数的关系是______
探究（二）：用3个三角形最多将平面分成几部分？
前面通过画图我们知道2个三角形最多有6个交点；
3个三角形相交时，对于每个三角形因为一条边最多与三角形的两条边相交，所以第三个三角形的每条边最多与前面2个三角形的各两条边相交，共产生个交点即增加12部分，因此，3个三角形最多可以把平面分成：部分；
探究（三）：用4个三角形最多可以将平面分成几部分？说明理由．
问题解决：用10个三角形最多可以把平面分成______部分
建立模型：用个三角形最多可以把平面分成______部分
拓展延伸：用个边形最多可以把平面分成______部分．
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
1
1
1
1个1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
2
1
1
2个1
2
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
3
1
1
2个2
2
，
2
3
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
4
1
1
3个2
2
，
2
3
，
2
4
1
最长边长
最短边长
（最长边长，最短边长，第三边长）
整数边三角形个数
计算方法
算式
5
1
1
___
___
2
，
2
3
_______
_____
4
，
2
5
1
日期
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
确诊
1
6
1
6
18
24
54
15
43
28
38
32
23
30
3
无症状
34
8
8
33
3
43
11
37
17
12
8
22
24
26
17
用2个三角形分平面
情况1图1
情况2图2
情况3图3
情况4图4
情况5图5
情况6图6
交点个数
1
2
3
4
5
增加部分
1
2
3
4
5
能分成的区域数量
3
4
5
6
7
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