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数学选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用复习练习题
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这是一份数学选择性必修 第一册第三章 空间向量与立体几何3 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算3.2 空间向量运算的坐标表示及其应用复习练习题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．3B．C．D．2
2．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知向量，向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．或
6．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正方体的棱长为1，设，，，则（ ）
A．1B．C．0D．2
8．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．
二、多选题
9．（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线与平面的夹角正切值为
D．
11．下列命题中正确的是（ ）
A．已知是两个互相垂直的单位向量，，且，则实数
B．已知正四面体的棱长为1，则
C．已知，则向量在上的投影向量的模是
D．已知.为空间向量的一个基底，则向量不可能共面
12．在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在上的投影向量为D．
三、填空题
13．正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 .
14．已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 .
15．已知点，则向量在上的投影向量的坐标是 ．
16．如图，有一长方形的纸片，的长度为4 cm，的长度为3 cm，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 cm.
四、解答题
17．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
18．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长.
19．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．
(1)求的长．
(2)求异面直线与所成的角的余弦值．
20．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
21．如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，．
(1)求证：；
(2)求直线BD与AC所成角的大小．
参考答案：
1．A
【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案.
【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部，
又平面，故点在过且平行于平面的平面内，
连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，，
由是长方体，可知对角面为矩形，且，
因为，，
所以且，四边形为平行四边形，可得，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为是平面内的相交直线，
故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面，
所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段.
因为矩形中，，，可知，
所以，可得中，，
所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3.
故选：A
2．B
【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
【详解】解：若，则，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；
反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，
，可取任意值，不一定有，
所以是，，，四点共面的充分不必要条件．
故选：B．
3．A
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】解：因为向量，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选：A
4．A
【分析】利用空间向量的线性运算可得正确的选项.
【详解】
，
化简得：，
故选：A .
5．D
【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解.
【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或，
因为，所以或，
由题可知，
，
故或，
或．
故选：D.
6．A
【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
【详解】因为二面角的大小为，，，，，，
所以与的夹角为，又因为，
所以
，
所以，即．
故选：A．
7．A
【分析】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：A.
8．B
【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.
【详解】根据题意：，，
与共线，所以，
可得，．
故选：B
9．ABC
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解.
【详解】A：，故A符合题意；
B：，故B符合题意；
C：，故C符合题意；
D：，故D不符合题意；
故选：ABC.
10．BC
【分析】对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可.
【详解】对于A：因为，
所以，
则，A错误；
对于B：因为，为线段中点，
所以，
又面面，面面，面，
所以面，又面，
所以，B正确；
对于C：因为面，
所以面，
所以为直线与平面的夹角，
又，C正确；
对于D：
，
又，
所以，D错误.
故选：BC.
11．ABC
【分析】A中，根据平面向量的数量积列方程求出k的值；B中，根据正四面体的结构特征，计算空间向量的数量积即可；C中，根据投影向量的定义计算模长即可；D中，假设向量共面，由此列方程组求解即可．
【详解】对于A：因为，且是两个互相垂直的单位向量，所以，
，故A正确；
对于B：如图，正四面体对棱互相垂直，所以，
，故B正确；
对于C：，
向量在上的投影向量的模长，故C正确；
对于D：假设向量共面，则存在实数使，所以
，
所以，所以，故向量共面，D错误．
故选：ABC．
12．AB
【分析】取DC的中点M，根据CD⊥平面ABM判断A；取BD的中点H，判断B；根据投影向量定义判断C；根据空间向量线性运算判断D.
【详解】
如图，取DC的中点M，连接AM，BM，
∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面，
∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确；
取BD的中点H，连接HE，HF，则，，
∴HE⊥FH，即，又，∴，，
∴，故B正确；
由B知，在上的投影向量为，故C不正确；
，故D不正确，
故选：AB．
13．
【分析】利用等体积法求得正面体内切球的半径为，取的中点为，利用向量的运算得到，易知当的长度最小时，取得最小值，由是的中点，则三点共线求解.
【详解】解：由正四面体的棱长为6，则其高为，
则其体积为，
设正四面体内切球的半径为，
则，解得，
如图，
取的中点为，
则，
显然，当的长度最小时，取得最小值，
设正四面体内切球的球心为，可求得，
则球心到点的距离，
所以内切球上的点到点的最小距离为，
是的中点，三点共线，
，
在中，边上的高为.
.
故答案为：
14．
【分析】利用向量的四则运算可得，再根据数量积的公式和运算律求解即可.
【详解】由题意可得点在以为球心，为半径的球上，
所以
，
因为，所以，
所以，所以的最小值为，
故答案为：
15．
【分析】根据空间向量的投影向量的性质进行求解即可
【详解】，
向量在上的投影向量为：
，
故答案为：
16．
【分析】作，，垂足分别为，，求出、、的长度，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】如图所示，作，，垂足分别为，，则，，
，，折叠后，，，的长度保持不变，
所以，，
因为二面角为直二面角，，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
所以，
因为
，
所以，即.
故答案为：；
17．(1)，．
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明即可得.
【详解】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，且，
所以，即、、三点共线．
18．，
【分析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果.
【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形，
所以
，
由题意，可得|，，，
因此
所以，即的长为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可.
（2）利用及向量的数量积求夹角即可.
【详解】（1）
，
所以，
即的长为.
（2）
，
又由余弦定理得，
所以设所求异面直线所成角为，.
20．(1)；
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】（1），
，
故
∵点E为AD的中点，
故.
（2）由题意得，
故，
故
.
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理即可得出；
（2）利用已知计算出，的值，再利用（1）的结论及已知求出的值，用向量的数量积公式计算直线BD与AC所成角的余弦，即可得到直线BD与AC所成角的大小．
【详解】（1）证明：是底面圆的直径，，；
由圆柱可得：母线底面，底面，；
又，平面，平面，
又平面，．
（2），，
，
由（1）知母线底面，，，
又，，
，由题知，，
设直线BD与AC所成角为，则
，
而，所以，故直线BD与AC所成角的大小为.
一、单选题
1．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（ ）
A．3B．C．D．2
2．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知向量，向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面和平面的夹角为，，已知A，B两点在棱上，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．或
6．如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ）
A．B．C．D．
7．如图，正方体的棱长为1，设，，，则（ ）
A．1B．C．0D．2
8．在空间直角坐标系中，已知点，，，若向量与向量共线，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．
二、多选题
9．（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在直棱柱中，分别是的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．直线与平面的夹角正切值为
D．
11．下列命题中正确的是（ ）
A．已知是两个互相垂直的单位向量，，且，则实数
B．已知正四面体的棱长为1，则
C．已知，则向量在上的投影向量的模是
D．已知.为空间向量的一个基底，则向量不可能共面
12．在棱长为2的正四面体A-BCD中，E，F分别是AD，BC的中点，G是△BCD的重心，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．在上的投影向量为D．
三、填空题
13．正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 .
14．已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 .
15．已知点，则向量在上的投影向量的坐标是 ．
16．如图，有一长方形的纸片，的长度为4 cm，的长度为3 cm，现沿它的一条对角线把它折叠成的二面角，则折叠后 ，线段的长是 cm.
四、解答题
17．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
18．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为3，且和的夹角都是，是的中点，设，，，试以，，为基向量表示出向量，并求的长.
19．如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．
(1)求的长．
(2)求异面直线与所成的角的余弦值．
20．如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
21．如图，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，E是AC上的点，且，．
(1)求证：；
(2)求直线BD与AC所成角的大小．
参考答案：
1．A
【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案.
【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部，
又平面，故点在过且平行于平面的平面内，
连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，，
由是长方体，可知对角面为矩形，且，
因为，，
所以且，四边形为平行四边形，可得，
因为平面，平面，
所以平面，同理可得平面，
因为是平面内的相交直线，
故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面，
所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段.
因为矩形中，，，可知，
所以，可得中，，
所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3.
故选：A
2．B
【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
【详解】解：若，则，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；
反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，
，可取任意值，不一定有，
所以是，，，四点共面的充分不必要条件．
故选：B．
3．A
【分析】利用投影向量的定义求解.
【详解】解：因为向量，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为：
，
故选：A
4．A
【分析】利用空间向量的线性运算可得正确的选项.
【详解】
，
化简得：，
故选：A .
5．D
【分析】由题意可得二面角的大小为或，则或，将用，结合空间向量数量积的运算律即可得解.
【详解】平面和平面的夹角为，则二面角的大小为或，
因为，所以或，
由题可知，
，
故或，
或．
故选：D.
6．A
【分析】根据题意得到，利用结合向量的数量积的运算公式，即可求解．
【详解】因为二面角的大小为，，，，，，
所以与的夹角为，又因为，
所以
，
所以，即．
故选：A．
7．A
【分析】根据垂直关系结合空间向量的数量积分析求解.
【详解】由题意可知：，
所以.
故选：A.
8．B
【分析】根据向量平行的坐标关系直接求解可得.
【详解】根据题意：，，
与共线，所以，
可得，．
故选：B
9．ABC
【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解.
【详解】A：，故A符合题意；
B：，故B符合题意；
C：，故C符合题意；
D：，故D不符合题意；
故选：ABC.
10．BC
【分析】对于A：直接求解判断；对于B：通过证明面来判断；对于C：为直线与平面的夹角，计算其正切值即可；对于D：分别求出，，然后利用公式计算即可.
【详解】对于A：因为，
所以，
则，A错误；
对于B：因为，为线段中点，
所以，
又面面，面面，面，
所以面，又面，
所以，B正确；
对于C：因为面，
所以面，
所以为直线与平面的夹角，
又，C正确；
对于D：
，
又，
所以，D错误.
故选：BC.
11．ABC
【分析】A中，根据平面向量的数量积列方程求出k的值；B中，根据正四面体的结构特征，计算空间向量的数量积即可；C中，根据投影向量的定义计算模长即可；D中，假设向量共面，由此列方程组求解即可．
【详解】对于A：因为，且是两个互相垂直的单位向量，所以，
，故A正确；
对于B：如图，正四面体对棱互相垂直，所以，
，故B正确；
对于C：，
向量在上的投影向量的模长，故C正确；
对于D：假设向量共面，则存在实数使，所以
，
所以，所以，故向量共面，D错误．
故选：ABC．
12．AB
【分析】取DC的中点M，根据CD⊥平面ABM判断A；取BD的中点H，判断B；根据投影向量定义判断C；根据空间向量线性运算判断D.
【详解】
如图，取DC的中点M，连接AM，BM，
∵AM⊥CD，BM⊥CD，平面，
∴CD⊥平面，平面，∴CD⊥AB，故A正确；
取BD的中点H，连接HE，HF，则，，
∴HE⊥FH，即，又，∴，，
∴，故B正确；
由B知，在上的投影向量为，故C不正确；
，故D不正确，
故选：AB．
13．
【分析】利用等体积法求得正面体内切球的半径为，取的中点为，利用向量的运算得到，易知当的长度最小时，取得最小值，由是的中点，则三点共线求解.
【详解】解：由正四面体的棱长为6，则其高为，
则其体积为，
设正四面体内切球的半径为，
则，解得，
如图，
取的中点为，
则，
显然，当的长度最小时，取得最小值，
设正四面体内切球的球心为，可求得，
则球心到点的距离，
所以内切球上的点到点的最小距离为，
是的中点，三点共线，
，
在中，边上的高为.
.
故答案为：
14．
【分析】利用向量的四则运算可得，再根据数量积的公式和运算律求解即可.
【详解】由题意可得点在以为球心，为半径的球上，
所以
，
因为，所以，
所以，所以的最小值为，
故答案为：
15．
【分析】根据空间向量的投影向量的性质进行求解即可
【详解】，
向量在上的投影向量为：
，
故答案为：
16．
【分析】作，，垂足分别为，，求出、、的长度，再根据数量积的运算律计算可得.
【详解】如图所示，作，，垂足分别为，，则，，
，，折叠后，，，的长度保持不变，
所以，，
因为二面角为直二面角，，平面平面，
平面，所以平面，平面，所以，
所以，
因为
，
所以，即.
故答案为：；
17．(1)，．
(2)证明见解析
【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得；
（2）借助向量共线定理证明即可得.
【详解】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以
；
（2）因为
，且，
所以，即、、三点共线．
18．，
【分析】根据题中条件，由向量的线性运算法则求出；再由向量模的计算公式，结合题中条件求出，即得出结果.
【详解】因为N是CM的中点，底面ABCD是正方形，
所以
，
由题意，可得|，，，
因此
所以，即的长为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可.
（2）利用及向量的数量积求夹角即可.
【详解】（1）
，
所以，
即的长为.
（2）
，
又由余弦定理得，
所以设所求异面直线所成角为，.
20．(1)；
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】（1），
，
故
∵点E为AD的中点，
故.
（2）由题意得，
故，
故
.
21．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）利用圆的直径所对圆周角的性质、圆柱的性质、线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质定理即可得出；
（2）利用已知计算出，的值，再利用（1）的结论及已知求出的值，用向量的数量积公式计算直线BD与AC所成角的余弦，即可得到直线BD与AC所成角的大小．
【详解】（1）证明：是底面圆的直径，，；
由圆柱可得：母线底面，底面，；
又，平面，平面，
又平面，．
（2），，
，
由（1）知母线底面，，，
又，，
，由题知，，
设直线BD与AC所成角为，则
，
而，所以，故直线BD与AC所成角的大小为.
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