赤峰市第四中学分校2024届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)

这是一份赤峰市第四中学分校2024届高三下学期开学考试数学（理）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知,则z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．某企业举办冬季趣味运动会,在跳绳比赛中,10名参赛者的成绩(单位:个)分别是152,136,125,131,129,123,143,119,115,138,则这组数据的中位数是( )
A.126B.129C.130D.131
4．函数的图象大致为( )
A.B.C.D.
5．已知函数有极值,则( )
A.1B.2C.eD.3
6．已知直线l交抛物线于M,N两点,且MN的中点为,则直线l的斜率为( )
A.B.C.D.
7．某班级举行“变废为宝”手工活动,某学生用扇形纸壳裁成扇环(如图1)后,制成了简易笔筒(如图2)的侧面,在它的轴截面中,,,则原扇形纸壳中扇形的圆心角为( )
A.B.C.D.
8．的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,,则的外接圆半径为( )
A.B.C.D.
9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象,若在上单调递增,则的最大值为( )
A.B.C.D.1
10．已知椭圆,,为两个焦点,P为椭圆C上一点,若,则的面积为( )
A.2B.3C.4D.6
11．折纸既是一种玩具,也是一种艺术品,更是一种思维活动.如图,有一张直径为4的圆形纸片,圆心为O,在圆内任取一点P,折叠纸片,使得圆周上某一点刚好与点P重合,记此时的折痕为l,点Q在l上,则的最小值为( )
A.5B.4C.3D.2
12．若函数是R上的减函数,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若,则__________.
14．设x,y满足约束条件,则的最大值为__________.
15．已知单位向量,满足,则__________.
16．小王一次买了两串冰糖葫芦,其中一串有两颗冰糖葫芦,另一串有三颗冰糖葫芦.若小王每次随机从其中一串吃一颗,则只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的概率为__________.
三、解答题
17．已知数列的前n项和为.且.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18．已知函数.
（1）若,求曲线在处的切线方程;
（2）若,恒成立,求实数a的取值范围.
19．如图,在四棱锥中,四边形ABCD是等腰梯形,,,.
（1）证明:平面平面ABCD.
（2）若,且,求二面角的正弦值.
20．卫生纸主要供人们生活日常卫生之用,是人民群众生活中不可缺少的纸种之一.某品牌卫生纸生产厂家为保证产品的质量,现从甲､乙两条生产线生产的产品中各随机抽取500件进行品质鉴定,并将统计结果整理如下:
（1）判断能否有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.
（2）用频率近似概率,从甲､乙两条生产线生产的产品中各随机抽取2件进行详细检测,记抽取的产品中优等品的件数为X,求随机变量X的分布列与数学期望.
附:,其中.
21．已知双曲线的离心率为,右焦点为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）过点F的直线l与双曲线C的右支交于A,B两点,在x轴上是否存在点P,使得为定值?若存在.求出该定值;若不存在,请说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是.
（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程;
（2）若直线l与圆C交于A,B两点,且,求m的值.
23．已知,,且.
（1）证明:.
（2）求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：.
2．答案：B
解析：因为,所以z在复平面内对应的点位于第二象限.
3．答案：C
解析：将这组数据从小到大排列为115,119,123,125,129,131,136,138,143,152,第5个和第6个数据分别是129和131,则这组数据的中位数是.
4．答案：B
解析：由题易知为偶函数,排除选项;当时,,,所以,排除C,D选项.
5．答案：B
解析：由题意可得.令,解得.由,得,由,得,则在上单调递减,在上单调递增,则,解得.
6．答案：C
解析：易知直线l的斜率存在,设直线l的斜率为,,则,两式相减得,整理得.因为MN的中点为,所以,即直线l的斜率为.
7．答案：B
解析：延长CB,DA交于点O,设圆台上､下个底面的圆心分别为,.连接,
设,,.因为,所以,
则.设所求圆心角为,则,所以.
8．答案：C
解析：因为,,,所以,所以.设的外接圆半径为R,则.
9．答案：C
解析：将的图象向左平移个单位长度后得到的图象.
因为,所以.
因为在上单调递增,所以,得,所以的最大值为.
10．答案：C
解析：由,解得,.因为,,所以,.
11．答案：D
解析：如图,
设P关于l对称的点为,则在圆O上,连接,,则有,故.
12．答案：A
解析：由题知,解得.
13．答案：
解析：因为,所以,
所以.
14．答案：12
解析：作出可行域(图略),当直线经过点时,z有最大值,最大值为12.
15．答案：
解析：因为,所以,所以,则,故.
16．答案：
解析：记事件A为“小王从有两颗冰糖葫芦的这串吃一颗”,事件B为“小王从有三颗冰糖葫芦的这串吃一颗”.只有两颗冰糖葫芦的这串先吃完的情况有6种:①,
②,
③,
④,
⑤,
⑥.故所求概率为.
17．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）当时,,
当时,.
符合,所以数列的通项公式为.
（2）,
则.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）若,则,所以.
因为,
所以,所以所求切线方程为,即.
（2）因为,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以.
因为当时,恒成立,
所以,所以,故实数a的取值范围是.
19．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:如图一在等腰梯形ABCD中,作于E,于F.
,
以,,
所以,则.
因为,平面PBD,平面PBD,,所以平面PBD.
因为平面ABCD,所以平面平面ABCD.
（2）由（1）得平面PBD,所以.
因为,,所以平面ABCD.
以点D为原点建立如图2所示的空间直角坐标系,
则,,,
,,,.
设平面PAB的法向量为,则有,令,可取.
平面PBD的一个法向量为.
设二面角的平面角为,则,
,故二面角的正弦值为.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）补充列联表如下:
根据列联表中的数据,经计算得到,
所以没有99.9%的把握认为产品的品质与生产线有关.
（2）由样本数据可知甲､乙两条生产线生产的产品中优等品的频率分别为,.
所以估计从甲､乙两生产线生产的产品中各随机抽取1件产品为优等品的概率分别为,.
X的所有可能值为0,1,2,3,4,
;
;
;
;
.
所以X的分布列为
所以.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）由题意可得解得
则双曲线C的标准方程为.
（2）由题意可知直线l的斜率不为0,设直线,,,,
联立,整理得,
则,.
因为,所以.
将代入上式,
得.
若为定值,则,解得,
故存在点,使得为定值.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由(为参数),得,
则圆C的普通方程为.
由,得,
则直线l的直角坐标方程为.
（2）由（1）可知圆C的圆心坐标为,半径为3,
则圆心C到直线l的距离,
所以.
因为,所以,
解得.
23．答案：（1）见解析
（2）3
解析：（1）证明:因为,所以,
所以.
因为,所以,当且仅当时,等号成立.
（2）因为,所以,
所以.
因为,所以,当且仅当,即时,等号成立,
则,
故,即的最小值为3.
合格品
优等品
甲生产线
250
250
乙生产线
300
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
合格品
优等品
总计
甲生产线
250
250
500
乙生产线
300
200
500
总计
550
450
1000
X
0
1
2
3
4
P