北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 导数的概念同步练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.1 导数的概念同步练习题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是
A．10B．9C．8D．
2．已知函数，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
3．如果可导曲线在点的切线方程为，其中，则（ ）
A．B．
C．D．无法确定
4．函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）

A．B．
C．D．
5．“”是“直线与曲线相切”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．函数的图象如图所示，则 与的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为（ ）
A．-1B．1C．D．2
8．曲线在点处的切线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．过点与函数相切的直线为（ ）
A．B．
C．D．
10．设，点是直线上的任意一点，过点作函数图象的切线，可能作（ ）
A．0条B．1条C．2条D．3条
11．（多选题）已知函数满足，，则下列关于的图象描述正确的是（ ）
A．的图象在处的切线斜率大于
B．的图象在处的切线斜率小于
C．的图象在处位于轴上方
D．的图象在处位于轴下方
12．已知，若恒成立，则不正确的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．方程可能有三个实数根
C．若函数在处的切线经过原点，则
D．过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线
三、填空题
13．已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是 ．
14．已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
15．已知函数，则曲线在处切线的方程为 ．
16．人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程的根就是函数的零点，取初始值，在处的切线与轴的交点横坐标为，在处的切线与轴的交点横坐标为，一直继续下去，得到、、、、，它们越来越接近.若，取，则用牛顿法得到的的近似值 ， .

四、解答题
17．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.
(1)求证：；
(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.
18．已知函数（，）的图象过点，且．
(1)求，的值；
(2)求曲线过点的切线方程．
19．已知函数是曲线和的一条公切线．
(1)求实数的值；
(2)过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围．
20．对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”
(1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求.
(2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论.
(3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立.
21．已知双曲线的方程为：，若点是曲线上一点，以点为切点作双曲线的切线.
(1)求证：切线的方程为；
(2)分别过双曲线的左焦点和右焦点作切线的垂线，垂足分别为，.求证：为定值.
参考答案：
1．B
【分析】由导数的几何意义可知，再利用基本不等式求最值.
【详解】，由题意可知，，
，
当，且，解得：，
所以的最小值是9.
故选：B
2．C
【分析】画出函数的图象，观察与连线的斜率即得.
【详解】作出函数的图象，如图所示.

由图可知曲线上各点与坐标原点的连线的斜率随着的增大而减小.
由，得，即.
故选：C.
3．C
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】解：切线方程的斜截式为，斜率，
所以.
故选：C
4．B
【分析】由于，分别表示在点，处的切线斜率，表示点，和连线的斜率，结合图象，即可得到答案.
【详解】由函数的图象可知为上的增函数，故且，

又因为，分别表示在点，处的切线斜率，
由图可得，
由于表示点，和连线的斜率，
由图可知.
故选：B
5．C
【分析】利用导函数求得直线与曲线相切时，再根据直线与曲线相切即可得出结论.
【详解】若直线与曲线相切，
设切点为，
则解得，即必要性成立；
反之，若，可知直线与曲线相切，即充分性成立；
故选：C．
6．A
【分析】由导数的几何意义和函数的图象可得答案.
【详解】与分别表示在和处切线的斜率，
由图象得，且在处切线的斜率比处切线斜率小，
所以；
故选：A
7．C
【分析】可得，得到，进而求得直线的斜率，得到答案.
【详解】由函数，可得，
则，所以直线的斜率为.
故选：C．
8．C
【分析】直接利用导数的定义与几何意义可求得正确答案
【详解】设，
所以
.
因为，
所以曲线在点处的切线的方程为，即.
故选：C.
9．CD
【分析】当为切点时，根据的值和直接求解出切线方程；当不是切点时，设出切点，然后根据斜率的表示求解出的坐标，则切线方程可求.
【详解】因为，所以；
若A点是切点，则，
则切线方程为，即，故C正确；
若A点不是切点，设切点，则B处切线斜率为，
又因为直线AB的斜率为，
则，，
化简可得，所以或（舍去，此时重合），
所以点B为，故切线斜率为，
则切线方程为，即，故D正确．
故选：CD．
10．BC
【分析】设为直线上任意一点，切点为求出切线方程，将代入切线方程，转化为根的个数求解即可.
【详解】设为直线上任意一点，
过点作的切线，切点为，
则函数图象在点B处的切线方程为，
即，
整理得，，
解得1或
当时，，方程仅有一个实根，切线仅可以作1条；
当时，，方程有两个不同实根，切线可以作2条.
故选：.
11．BC
【分析】结合，，利用导数的相关知识即可判断.
【详解】因为，则的图象在处的切线斜率小于；
因为，所以的图象在处位于轴上方．
故选：BC.
12．ABC
【分析】A选项，根据，得到，画出函数图象，可得单调区间；
B选项，结合函数图象得到方程的根的个数；
C选项，分和两种情况，得到或；
D选项，设上一点，分M为切点和不是切点，结合函数图象可得过图象上任何一点，最多可作函数的8条切线.
【详解】A选项，因为函数，时，由于恒成立，
故要想恒正，则要满足，
时，恒成立，，
当时，在恒成立，
故在单调递增，又当时，，
故在上恒成立，满足要求，
当时，令，故存在，使得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，
又当时，，故时，，不合题意，舍去，
综上：，
当时，，，
且，画出函数图象如下，
故的单调递增区间为，A错误；
B选项，可以看出方程最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B错误；
C选项，当时，，则，
则函数在处的切线方程为，
将代入切线方程得，解得，
当时，，则，
则函数在处的切线方程为，
将代入切线方程得，，
其中满足上式，不满足，故C错误；
D选项，当时，设上一点，
，当切点为，则，
故切线方程为，此时有一条切线，
当切点不为时，设切点为，
则，此时有，
即，其中表示直线的斜率，
画出与的图象，
最多有6个交点，故可作6条切线，
时，当切点不为时，设切点为，
则，，，
，，
结合图象可得，存在一个点，
使得过点的切线过上时函数的一点，
故可得一条切线，
当M点在时的函数图象上时，由图象可知，
不可能作8条切线，综上，过图象上任何一点，
最多可作函数f(x)的8条切线，D正确.
故选：ABC
【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 已知斜率求切点,即解方程；(3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点,利用求解.
13．4
【分析】结合导数的几何意义，转化为，求解集中的整点.
【详解】由题意，，即，
解得，其中的整点有0,1,2,3，共4个.
故答案为：4
14．/
【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果.
【详解】由函数可得，即；
所以的反函数为；
由点在曲线上可知点在其反函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
即，
利用反函数性质可得与关于对称，
所以可得当与垂直时，取得最小值为2，
因此两点到的距离都为1，
过点的切线平行于直线，斜率为1，即，
可得，即；
点到的距离，解得；
当时，与相交，不合题意；
因此.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值.
15．
【分析】利用导数的定义及其几何意义计算即可．
【详解】因为
，
又因为，所以所求切线方程为，
即．
故答案为：.
16． /
【分析】利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值，再利用导数求出曲线在处的切线方程，可求出的值.
【详解】因为，，则，
且，则，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
由题意可得，解得，
，，
所以，曲线在处的切线方程为，即，
由题意可得，解得.
故答案为：；.
17．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用导函数的几何意义求得直线的表达式，得出三点的坐标，联立直线与抛物线方程根据韦达定理得出；
（2）利用点到直线距离公式可求得，可求出的最小值.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，即的方程为：，如下图所示：
设点，
由题意可知直线的斜率一定存在，设，
联立得，
所以.
由，得，
所以，即.
令，得，即，
同理，且，
所以.
由，得，即.
所以.
故.
（2）设点，结合（1）知，即
因为，
所以.
同理可得，
所以.
又，
所以.
当且仅当时，等号成立；
即直线斜率为0时，取最小值；
18．(1)，．
(2)
【分析】（1）根据题意可得，由， 可得，联立即可得解；
（2）由可设曲线上的切点为，利用导数的几何意义可得切线斜率为，利用点斜式可得切线方程，带入点，即可得解.
【详解】（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，，所以②，
由①②解得，．
（2）由（1）知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
19．(1)，
(2)或或
【分析】（1）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可；
（2）根据导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可
【详解】（1）设直线与曲线的切点坐标为，
，，
又直线的斜率为，，
且点同时在直线和曲线上，
满足，联立以上两式可得，
故直线的方程为，
联立，可得，
又直线与曲线相切，
，解得．
（2）由（1）得，，
设切点为，
则曲线在点的切线方程为，
又切线过点，
，
即方程有两个不相等的实数根，且，
，
解得或或，
所以实数的取值范围为或或．
【点睛】关键点睛：本题的关键是利用导数的几何意义，结合一元二次方程根的判别式进行求解.
20．(1)当是正奇数时，；当是正偶数时，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式，进一步分类讨论即可求其前项和.
（2）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式.
（3）由复数的概念、运算先表示出，再求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据 “切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式结合的定义以及模即可得证.
【详解】（1）由题意，则，设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得，
当是正奇数时，；当是正偶数时，；
所以当是正奇数时，；当是正偶数时，.
（2）猜想的通项公式为，证明过程如下：
由题意，则，设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得.
（3）由题意，则，
所以，
设切点为，
则过切点的切线为，
令，整理得.
【点睛】关键点睛：解决问题的关键是读懂新定义的数列，然后具体会求切线方程进行运算转换即可，综合性较强.
21．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）对于双曲线上下两部分进行分类讨论，利用导数的几何意义即可证明以点为切点的双曲线的切线方程为；
（2）依题意由点到直线的距离公式得，结合化简整理可求得.
【详解】（1）由双曲线的方程，可得，
即或，
其中函数的图象即为双曲线在轴的上半部分，函数的图象即为双曲线在轴的下半部分；
1、当时，由导数的几何意义可知：以点为切点的切线斜率，
所以切线方程为：，
即①.
又，故，
代入①整理得，
又切点在双曲线上，故，
所以切线方程为.
2、当时，以点为切点的切线斜率，
所以切线方程为，
即②.
又，故，
代入②整理得.
又切点在双曲线上，故，
所以切线方程为：.
3、当时，切点为，切线方程为，满足，
综上：上一点为切点的切线的方程为.
（2）由（1）知，切线的方程可化为，
根据题意可知分别代表，到切线的距离，
由点到直线的距离公式得
，
由，可得，
代入上式分母整理得，
所以，
所以为定值.