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2024春八年级数学下册期末提分练案第8讲平行四边形2素养专项提升专项与平行四边形有关的常考类型作业课件新版北师大版
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这是一份2024春八年级数学下册期末提分练案第8讲平行四边形2素养专项提升专项与平行四边形有关的常考类型作业课件新版北师大版，共27页。PPT课件主要包含了∵点E是AB的中点，1求S△ABC等内容，欢迎下载使用。
平行四边形的判定与计算
1.【2023·杭州上城区期中】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF.
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形.
（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠ABD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，又∵BE＝AF，∴DE＝AF，∴四边形ADEF是平行四边形.
解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，且AO＝OC，EF过点O与AD，BC分别交于E，F. （1）求证：①△AOE≌△COF. ②四边形ABCD为平行四边形.
∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形.
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，且AO＝OC，EF过点O与AD，BC分别交于E，F.
（2）若EF⊥BD，连接BE，若∠BAD＝100°， ∠DBF＝32°，求∠ABE的度数.
（2）解：∵AD∥BC，∠DBF＝32°，∴∠EDB＝∠DBF＝32°，由（1）②得四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，
∴EF是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB＝32°，∵AD∥BC，∠BAD＝100°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－100°＝80°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBD－∠DBF＝80°－32°－32°＝16°.
平行四边形与图形变换问题
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP，PE，若将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一时，BP的长为____________.
点拨：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，
①若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图①所示，
由折叠可得S△A'EP＝S△AEP，A'E＝AE＝4，
∴四边形A'EPB是平行四边形，∴BP＝A'E＝4.
②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP于点H，
∴AP＝AC＝4，∴点P与点C重合，
4.【2023·宁波金东区期末】一副三角板如图①放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图②，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接AD，BC，AC.求证：
（1）四边形ABCD是平行四边形.
证明：（1）由题意得AB＝CD，∠BAE＝∠ABE＝45°，∠DEC＝60°，∠EDC＝30°，
过点E作EF∥AB交AD于点F，则∠FEA＝∠BAE＝45°，∴∠FED＝75°－∠FEA＝30°，∴∠FED＝∠EDC＝30°，∴EF∥CD，∴AB∥CD，又AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）直线CE垂直平分AB.
证明：（2）∵∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝135°，∴∠BEC＝360°－∠AEB－∠AEC＝135°，∵△AEB是等腰直角三角形，∴EB＝AE，又∵EC＝EC，∠AEC＝∠BEC，∴△AEC≌△BEC，∴AC＝BC，又EB＝AE，
∴直线CE垂直平分AB.
动点问题与平行四边形
5.【2023·武汉实验外国语学校期末】在△ABC中， AB＝AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
（1）如图①，若点P在BC边上，此时PD＝0，直接写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.
解：（1）PD＋PE＋PF＝AB.
（2）如图②，当点P在△ABC内时，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想.
解：（2）PD＋PE＋PF＝AB.证明：如图②，过点P作MN∥CB分别交AB，AC于点M，N.
由（1）易得PE＋PF＝AM，∵MN∥BC，DF∥AB，∴四边形BDPM是平行四边形，∴MB＝PD，∴PD＋PE＋PF＝MB＋AM＝AB.
（3）如图③，当点P在△ABC外时，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.（不用说明理由）
解：（3）PE＋PF－PD＝AB.
与函数有关的平行四边形存在性问题
6.如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝－x＋b与直线n：y＝ax＋8（a≠0）交于点A（－1，5），直线m，n分别与x轴交于点B，C.
解：（1）将点A（－1，5）的坐标代入y＝－x＋b，得1＋b＝5，解得b＝4，∴直线m：y＝－x＋4，将点A（－1，5）的坐标代入y＝ax＋8，得－a＋8＝5，解得a＝3，∴直线n：y＝3x＋8，当y＝－x＋4＝0时，x＝4，∴点B的坐标为（4，0），
（2）若线段AC上存在一点P，使得S△ABP＝10，求点P的坐标.
平行四边形的判定与计算
1.【2023·杭州上城区期中】如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE＝AF.
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形.
（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠DBE＝∠ABD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴BE＝DE，又∵BE＝AF，∴DE＝AF，∴四边形ADEF是平行四边形.
解：如图，过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，且AO＝OC，EF过点O与AD，BC分别交于E，F. （1）求证：①△AOE≌△COF. ②四边形ABCD为平行四边形.
∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝CB，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形.
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，且AO＝OC，EF过点O与AD，BC分别交于E，F.
（2）若EF⊥BD，连接BE，若∠BAD＝100°， ∠DBF＝32°，求∠ABE的度数.
（2）解：∵AD∥BC，∠DBF＝32°，∴∠EDB＝∠DBF＝32°，由（1）②得四边形ABCD为平行四边形，∴OB＝OD，又∵EF⊥BD，
∴EF是BD的垂直平分线，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB＝32°，∵AD∥BC，∠BAD＝100°，∴∠ABC＝180°－∠BAD＝180°－100°＝80°，∴∠ABE＝∠ABC－∠EBD－∠DBF＝80°－32°－32°＝16°.
平行四边形与图形变换问题
3.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，点P是射线BC上的一个动点，连接AP，PE，若将△AEP沿着边PE折叠，折叠后得到△EPA'，当△EPA'与△BEP的重叠部分的面积恰好为△ABP面积的四分之一时，BP的长为____________.
点拨：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝4，E为斜边AB的中点，
①若PA'与AB交于点F，连接A'B，如图①所示，
由折叠可得S△A'EP＝S△AEP，A'E＝AE＝4，
∴四边形A'EPB是平行四边形，∴BP＝A'E＝4.
②若EA'与BC交于点G，连接AA'，交EP于点H，
∴AP＝AC＝4，∴点P与点C重合，
4.【2023·宁波金东区期末】一副三角板如图①放置，AB＝CD，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图②，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接AD，BC，AC.求证：
（1）四边形ABCD是平行四边形.
证明：（1）由题意得AB＝CD，∠BAE＝∠ABE＝45°，∠DEC＝60°，∠EDC＝30°，
过点E作EF∥AB交AD于点F，则∠FEA＝∠BAE＝45°，∴∠FED＝75°－∠FEA＝30°，∴∠FED＝∠EDC＝30°，∴EF∥CD，∴AB∥CD，又AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形.
（2）直线CE垂直平分AB.
证明：（2）∵∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝135°，∴∠BEC＝360°－∠AEB－∠AEC＝135°，∵△AEB是等腰直角三角形，∴EB＝AE，又∵EC＝EC，∠AEC＝∠BEC，∴△AEC≌△BEC，∴AC＝BC，又EB＝AE，
∴直线CE垂直平分AB.
动点问题与平行四边形
5.【2023·武汉实验外国语学校期末】在△ABC中， AB＝AC，点P为△ABC所在平面内的一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F.
（1）如图①，若点P在BC边上，此时PD＝0，直接写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.
解：（1）PD＋PE＋PF＝AB.
（2）如图②，当点P在△ABC内时，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系，然后证明你的猜想.
解：（2）PD＋PE＋PF＝AB.证明：如图②，过点P作MN∥CB分别交AB，AC于点M，N.
由（1）易得PE＋PF＝AM，∵MN∥BC，DF∥AB，∴四边形BDPM是平行四边形，∴MB＝PD，∴PD＋PE＋PF＝MB＋AM＝AB.
（3）如图③，当点P在△ABC外时，猜想并写出PD，PE，PF与AB满足的数量关系.（不用说明理由）
解：（3）PE＋PF－PD＝AB.
与函数有关的平行四边形存在性问题
6.如图，在平面直角坐标系中，直线m：y＝－x＋b与直线n：y＝ax＋8（a≠0）交于点A（－1，5），直线m，n分别与x轴交于点B，C.
解：（1）将点A（－1，5）的坐标代入y＝－x＋b，得1＋b＝5，解得b＝4，∴直线m：y＝－x＋4，将点A（－1，5）的坐标代入y＝ax＋8，得－a＋8＝5，解得a＝3，∴直线n：y＝3x＋8，当y＝－x＋4＝0时，x＝4，∴点B的坐标为（4，0），
（2）若线段AC上存在一点P，使得S△ABP＝10，求点P的坐标.
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