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初中数学湘教版九年级下册1.5 二次函数的应用课后作业题
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这是一份初中数学湘教版九年级下册1.5 二次函数的应用课后作业题，共26页。试卷主要包含了5mD．4m，6B．y=2，5时，y有最大值，等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为y=15x2+10x，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
3．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝-（x-1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
4．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一度GDP总值约为26千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.6(1+2x)B．y=2.6(1−x)2
C．y=2.6(1+x)2D．y=2.6+2.6(1+x)+2.6(1+x)2
5．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Ω
6．如果一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（ ）
A．5秒B．10秒C．1秒D．2秒
7．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112（x-10）（x+4），则铅球推出的距离OA=（ ）
A．14mB．10mC．7mD．4m
8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，那么CD宽为（ ）
A．45米B．10米C．46米D．12米
二、填空题
9．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=-110x2+35x+85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 米.
10．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y＝﹣14x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是 米．
11．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1＝1.21h2，则t1：t2＝ ．
12．已知点M(a，b)是抛物线y=x2−4x+5上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是 ；
（2）当点M到直线x=m的距离不大于n(n>0)时，b的取值范围是5≤b≤10，则m+n的值为 ．
13．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
三、解答题
14． 某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
房价定为多少时，宾馆的利润最大？
15．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
四、综合题
16．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
17．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.
若矩形养殖场的总面积为36 m2 ，求此时x的值；
当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册
1.5 二次函数的应用同步分层训练基础题（解析版）
一、选择题
1．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.
2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为y=15x2+10x，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令y=0，则−15x2+10x=0，
解得x1=0（舍去），x2=50，
故答案为：C.
【分析】令y=0，代入解析式，计算求解即可．
3．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝-（x-1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当y=0时，有 -（x-1）2+4=0，
解得：x1=-1（舍去），x2=3，
该同学此次投掷实心球的成绩是3m。
故答案为：B.
【分析】 该同学此次投掷实心球的成绩就是求抛物线与x轴的交点的坐标。
4．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一度GDP总值约为26千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.6(1+2x)B．y=2.6(1−x)2
C．y=2.6(1+x)2D．y=2.6+2.6(1+x)+2.6(1+x)2
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意可得：y=2.6（1+x）2
故答案为：C
【分析】第三季度的GDP=第一度的GDP×（1+每个季度增长率）2，代入求解即可。
5．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Ω
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；
A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水贵距离长；
同理可知C点路线优于A点路线，
综上： P→B→Q 是被“盖帽”的可能性最大的路线。
故答案为：B.
【分析】球的飞行路线是抛物线，抓住篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大进行分析求解。
6．如果一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（ ）
A．5秒B．10秒C．1秒D．2秒
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令h=0，即10t-5t2=0，
求得t=0或t=2 ，
∴球弹起后又回到地面所花的时间t是2-0=2秒.
故答案为：D.
【分析】令h=0，解方程求出t的值，两次时间差，即为球弹起后又回到地面所花的时间.
7．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112（x-10）（x+4），则铅球推出的距离OA=（ ）
A．14mB．10mC．7mD．4m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由图象得OA等于点A的横坐标，且xA>0，
令 y=0，即−112（x-10）（x+4）=0，
求得x=10或x=-4 ，
∴xA=10，
∴OA=10m.
故答案为：B.
【分析】由图象得OA等于点A的横坐标，从而令解析式中的y=0算出对应的x的值，可解决此题.
8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，那么CD宽为（ ）
A．45米B．10米C．46米D．12米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣125，
∴y＝﹣125x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣125x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的拱桥问题求解。以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，确定A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），用待定系数法求解析式，再求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
二、填空题
9．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=-110x2+35x+85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 米.
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵y=−110x2+35x+85，
令y=0，则x1=−2舍，x2=8，
∴小宇此次实心球的训练成绩为8米.
故答案为：8.
【分析】将y=0代入函数解析式，算出对应的自变量的值，即可求出小宇此次实心球的训练成绩.
10．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y＝﹣14x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是 米．
【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得AB=12米，∴B点的横坐标为6，
把x=6代入 y=−14x2，
得y=−14×62=−9，
即水面离桥顶的高度h是9米.
故答案为：9.
【分析】根据题意B点的横坐标为6，代入计算求解即可.
11．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1＝1.21h2，则t1：t2＝ ．
【答案】11：10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当小球落回地面时，高h=0，此时t=v4.9；
∴可得t1=v14.9，t2=v24.9；
∵h＝vt﹣4.9t2 =-4.9t−v2×4.92+v24×4.9
∴ℎ1=v124×4.9，ℎ2=v224×4.9
∵h1＝1.21h2 ∴ℎ1=v124×4.9=1.21ℎ2=v224×4.9
∴v1：v2=1.1=11：10
∴t1：t2 =v1：v2=11：10
故答案为：11：10.
【分析】根据二次函数的性质，当y=0时，可得关于t的代数式；根据高度之间的等式关系列等式即可求出速度的比值，进而求出时间的比值.
12．已知点M(a，b)是抛物线y=x2−4x+5上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是 ；
（2）当点M到直线x=m的距离不大于n(n>0)时，b的取值范围是5≤b≤10，则m+n的值为 ．
【答案】（1）2≤b≤10或10≥b≥2
（2）0或5或5或0
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵点M到y轴的距离不大于1，
∴−1≤a≤1，
∴此时点M在对称轴的左侧，
∵a=1>0，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴当a=−1时，b取最大值，且最大值为b最大=(−1−2)2+1=10，
当a=1时，b取最小值，且最小值为b最小=(1−2)2+1=2，
∴b的取值范围是2≤b≤10；
故答案为：2≤b≤10；
（2）∵点M(a，b)到直线x=m的距离不大于n(n>0)，
∴|a−m|≤n，即a−m≤nm−a≤n，
∴m−n≤a≤m+n，
令b=5，代入y=x2−4x+5，即5=a2−4a+5，解得：a1=0，a2=4，
令b=10，代入y=x2−4x+5，即10=a2−4a+5，解得：a1=5，a2=−1，
∴点M应为−1≤x≤0或4≤x≤5上的动点，
当−1≤x≤0时，m+n=0，
当4≤x≤5时，m+n=5，
综上分析可知，m+n的值为0或5；
故答案为：0或5．
【分析】（1）将二次函数的一般式化为顶点式，再求出最小值和最大值，即可得到b的取值范围；
（2）根据题意列出不等式|a−m|≤n，即a−m≤nm−a≤n，再求解即可。
13．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【答案】22
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
【分析】根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
三、解答题
14． 某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
（3）房价定为多少时，宾馆的利润最大？
【答案】（1）解：若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
（200+30-20）×（40-3010）=7770（元）；
答：这个宾馆这一天的利润为7770元；
（2）解：设每个房间的定价为a元，
根据题意，得： (a−20)(40−a−20010)=8400，
解得：a＝300或a＝320，
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元；
（3）解：设房价增加x元时，利润为w元，
则w=(200−20+x)(40−x10)
＝﹣0.1x2+22x+7200
＝﹣0.1（x﹣110）2+8410，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝110时，即房价定为310元时，利润最大是8410元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用--销售问题。理解题意，明确销售问题中的公式是关键。总利润=单件商品的利润×销售数量。根据二次函数的性质，求出利润最大值是关键。（1）求出单件利润=200+30-20，销售数量= 40-3010 ，可求出总利润；（2）根据定价a，求出单件利润=a-20，销售数量= 40-a−20010 ，可求出总利润的方程，求解即可；（3） 设房价增加x元时，利润为w=(200−20+x)(40−x10)＝−0.1（x﹣110）2+8410 根据函数性质，可得房价为110时利润最大。
15．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：12k+b=2815k+b=25
解得：k=−1b=40，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）解：根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据图形，一次函数图象经过点（12，28），（15，25），设y与x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法即可求得y与x的函数解析式.
(2)销售利润=每件利润×销量，销售利润=售价-成本价，所以W＝（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣x+40）=﹣（x﹣25）2+225，由a＝﹣1＜0可知，函数图象开口向下，故当x＜25时，W随x的增大而增大，当x＝20时，W取得最大值，最大值为200.
四、综合题
16．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
【答案】（1）2x；（50-x）
（2）解：根据题意得：y=(50−x)(30+2x)=−2x2+70x+1500
（3）解：y=−2x2+70x+1500，
当x=−b2a=17.5时，y有最大值，
答：每件商品降价17.5元时，商场日盈利最高.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：每天销售30件，每件盈利50元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价x元时，商场日销售量增加2x件，每件商品盈利为（50-x）元，
故答案为：2x，（50-x）；
【分析】（1）由“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”可得商场每天销售量增加的数量；根据原来的利润减去降低的的钱数即可算出每件商品的盈利；
（2）根据单件商品的利润×每日的销售数量=每日的总利润即可建立出y关于x的函数解析式；
（3）将（2）所得函数解析式配成顶点式即可得出答案.
17．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为36 m2 ，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE= 13 (24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48 m2 ，
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得CD=2x，则BD=BC+CD=3x，AB=CF=DE=8-x，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
一、选择题
1．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为y=15x2+10x，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
3．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝-（x-1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
4．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一度GDP总值约为26千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.6(1+2x)B．y=2.6(1−x)2
C．y=2.6(1+x)2D．y=2.6+2.6(1+x)+2.6(1+x)2
5．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Ω
6．如果一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（ ）
A．5秒B．10秒C．1秒D．2秒
7．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112（x-10）（x+4），则铅球推出的距离OA=（ ）
A．14mB．10mC．7mD．4m
8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，那么CD宽为（ ）
A．45米B．10米C．46米D．12米
二、填空题
9．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=-110x2+35x+85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 米.
10．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y＝﹣14x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是 米．
11．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1＝1.21h2，则t1：t2＝ ．
12．已知点M(a，b)是抛物线y=x2−4x+5上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是 ；
（2）当点M到直线x=m的距离不大于n(n>0)时，b的取值范围是5≤b≤10，则m+n的值为 ．
13．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
三、解答题
14． 某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
房价定为多少时，宾馆的利润最大？
15．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
四、综合题
16．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
17．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.
若矩形养殖场的总面积为36 m2 ，求此时x的值；
当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
2023-2024学年湘教版初中数学九年级下册
1.5 二次函数的应用同步分层训练基础题（解析版）
一、选择题
1．用绳子围成周长为10（m）的矩形，记矩形的一边长为x（m），面积为S（m2）．当x在一定范围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数关系是（ ）
A．一次函数关系B．二次函数关系
C．反比例函数关系D．正比例函数关系
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵矩形周长为10 m，一边长为x m，
∴另一边长为：（10-2x）÷2=5-x （m），
∴S=x（5-x）=-x2+5x.
故答案为：B.
【分析】结合矩形对边相等，将另一边长表示出来，再根据面积=长×宽，建立出S与x的关系式，即可判断.
2．在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关系式为y=15x2+10x，当炮弹落到地面时，经过的时间为（ ）
A．40秒B．45秒C．50秒D．55秒
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令y=0，则−15x2+10x=0，
解得x1=0（舍去），x2=50，
故答案为：C.
【分析】令y=0，代入解析式，计算求解即可．
3．已知实心球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系是y＝-（x-1）2+4，则该同学此次投掷实心球的成绩是（ ）
A．2mB．3mC．3.5mD．4m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当y=0时，有 -（x-1）2+4=0，
解得：x1=-1（舍去），x2=3，
该同学此次投掷实心球的成绩是3m。
故答案为：B.
【分析】 该同学此次投掷实心球的成绩就是求抛物线与x轴的交点的坐标。
4．据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一度GDP总值约为26千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=2.6(1+2x)B．y=2.6(1−x)2
C．y=2.6(1+x)2D．y=2.6+2.6(1+x)+2.6(1+x)2
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意可得：y=2.6（1+x）2
故答案为：C
【分析】第三季度的GDP=第一度的GDP×（1+每个季度增长率）2，代入求解即可。
5．在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（ ）
A．P→A→QB．P→B→QC．P→C→QD．P→D→Ω
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；
A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水贵距离长；
同理可知C点路线优于A点路线，
综上： P→B→Q 是被“盖帽”的可能性最大的路线。
故答案为：B.
【分析】球的飞行路线是抛物线，抓住篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大进行分析求解。
6．如果一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过t（秒）时球距离地面的高度h（米）适用公式h=10t-5t2，那么球弹起后又回到地面所花的时间t是（ ）
A．5秒B．10秒C．1秒D．2秒
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：令h=0，即10t-5t2=0，
求得t=0或t=2 ，
∴球弹起后又回到地面所花的时间t是2-0=2秒.
故答案为：D.
【分析】令h=0，解方程求出t的值，两次时间差，即为球弹起后又回到地面所花的时间.
7．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112（x-10）（x+4），则铅球推出的距离OA=（ ）
A．14mB．10mC．7mD．4m
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由图象得OA等于点A的横坐标，且xA>0，
令 y=0，即−112（x-10）（x+4）=0，
求得x=10或x=-4 ，
∴xA=10，
∴OA=10m.
故答案为：B.
【分析】由图象得OA等于点A的横坐标，从而令解析式中的y=0算出对应的x的值，可解决此题.
8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，那么CD宽为（ ）
A．45米B．10米C．46米D．12米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为﹣4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），
将A代入y＝ax2，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣125，
∴y＝﹣125x2，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为﹣1，
∴﹣1＝﹣125x2，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的拱桥问题求解。以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，确定A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），用待定系数法求解析式，再求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
二、填空题
9．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为y=-110x2+35x+85，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 米.
【答案】8
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵y=−110x2+35x+85，
令y=0，则x1=−2舍，x2=8，
∴小宇此次实心球的训练成绩为8米.
故答案为：8.
【分析】将y=0代入函数解析式，算出对应的自变量的值，即可求出小宇此次实心球的训练成绩.
10．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y＝﹣14x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是 米．
【答案】9
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：由题意得AB=12米，∴B点的横坐标为6，
把x=6代入 y=−14x2，
得y=−14×62=−9，
即水面离桥顶的高度h是9米.
故答案为：9.
【分析】根据题意B点的横坐标为6，代入计算求解即可.
11．以初速度v（单位：m/s）从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝vt﹣4.9t2．现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2．若h1＝1.21h2，则t1：t2＝ ．
【答案】11：10
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当小球落回地面时，高h=0，此时t=v4.9；
∴可得t1=v14.9，t2=v24.9；
∵h＝vt﹣4.9t2 =-4.9t−v2×4.92+v24×4.9
∴ℎ1=v124×4.9，ℎ2=v224×4.9
∵h1＝1.21h2 ∴ℎ1=v124×4.9=1.21ℎ2=v224×4.9
∴v1：v2=1.1=11：10
∴t1：t2 =v1：v2=11：10
故答案为：11：10.
【分析】根据二次函数的性质，当y=0时，可得关于t的代数式；根据高度之间的等式关系列等式即可求出速度的比值，进而求出时间的比值.
12．已知点M(a，b)是抛物线y=x2−4x+5上一动点．
（1）当点M到y轴的距离不大于1时，b的取值范围是 ；
（2）当点M到直线x=m的距离不大于n(n>0)时，b的取值范围是5≤b≤10，则m+n的值为 ．
【答案】（1）2≤b≤10或10≥b≥2
（2）0或5或5或0
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：（1）∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∵点M到y轴的距离不大于1，
∴−1≤a≤1，
∴此时点M在对称轴的左侧，
∵a=1>0，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∴当a=−1时，b取最大值，且最大值为b最大=(−1−2)2+1=10，
当a=1时，b取最小值，且最小值为b最小=(1−2)2+1=2，
∴b的取值范围是2≤b≤10；
故答案为：2≤b≤10；
（2）∵点M(a，b)到直线x=m的距离不大于n(n>0)，
∴|a−m|≤n，即a−m≤nm−a≤n，
∴m−n≤a≤m+n，
令b=5，代入y=x2−4x+5，即5=a2−4a+5，解得：a1=0，a2=4，
令b=10，代入y=x2−4x+5，即10=a2−4a+5，解得：a1=5，a2=−1，
∴点M应为−1≤x≤0或4≤x≤5上的动点，
当−1≤x≤0时，m+n=0，
当4≤x≤5时，m+n=5，
综上分析可知，m+n的值为0或5；
故答案为：0或5．
【分析】（1）将二次函数的一般式化为顶点式，再求出最小值和最大值，即可得到b的取值范围；
（2）根据题意列出不等式|a−m|≤n，即a−m≤nm−a≤n，再求解即可。
13．某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为 元时，该服装店平均每天的销售利润最大．
【答案】22
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设定价为x元，
根据题意得：y=（x﹣15）[8+2（25﹣x）]
=﹣2x2+88x﹣870
∴y=﹣2x2+88x﹣870，
=﹣2（x﹣22）2+98
∵a=﹣2＜0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=22时，y最大值=98．
故答案为：22．
【分析】根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；把二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答．
三、解答题
14． 某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
（3）房价定为多少时，宾馆的利润最大？
【答案】（1）解：若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
（200+30-20）×（40-3010）=7770（元）；
答：这个宾馆这一天的利润为7770元；
（2）解：设每个房间的定价为a元，
根据题意，得： (a−20)(40−a−20010)=8400，
解得：a＝300或a＝320，
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元；
（3）解：设房价增加x元时，利润为w元，
则w=(200−20+x)(40−x10)
＝﹣0.1x2+22x+7200
＝﹣0.1（x﹣110）2+8410，
∵﹣0.1＜0，
∴当x＝110时，即房价定为310元时，利润最大是8410元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用和二次函数的应用--销售问题。理解题意，明确销售问题中的公式是关键。总利润=单件商品的利润×销售数量。根据二次函数的性质，求出利润最大值是关键。（1）求出单件利润=200+30-20，销售数量= 40-3010 ，可求出总利润；（2）根据定价a，求出单件利润=a-20，销售数量= 40-a−20010 ，可求出总利润的方程，求解即可；（3） 设房价增加x元时，利润为w=(200−20+x)(40−x10)＝−0.1（x﹣110）2+8410 根据函数性质，可得房价为110时利润最大。
15．毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设y与x的函数解析式为y＝kx+b，
将（12，28）、（15，25）代入，得：12k+b=2815k+b=25
解得：k=−1b=40，
所以y与x的函数解析式为y＝﹣x+40（10≤x≤20）；
（2）解：根据题意知，W＝（x﹣10）y
＝（x﹣10）（﹣x+40）
＝﹣x2+50x﹣400
＝﹣（x﹣25）2+225，
∵a＝﹣1＜0，
∴当x＜25时，W随x的增大而增大，
∵10≤x≤20，
∴当x＝20时，W取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)根据图形，一次函数图象经过点（12，28），（15，25），设y与x的函数解析式为y＝kx+b，用待定系数法即可求得y与x的函数解析式.
(2)销售利润=每件利润×销量，销售利润=售价-成本价，所以W＝（x﹣10）y=（x﹣10）（﹣x+40）=﹣（x﹣25）2+225，由a＝﹣1＜0可知，函数图象开口向下，故当x＜25时，W随x的增大而增大，当x＝20时，W取得最大值，最大值为200.
四、综合题
16．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：
（1）商场日销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）；
（2）在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？
【答案】（1）2x；（50-x）
（2）解：根据题意得：y=(50−x)(30+2x)=−2x2+70x+1500
（3）解：y=−2x2+70x+1500，
当x=−b2a=17.5时，y有最大值，
答：每件商品降价17.5元时，商场日盈利最高.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：每天销售30件，每件盈利50元，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴当降价x元时，商场日销售量增加2x件，每件商品盈利为（50-x）元，
故答案为：2x，（50-x）；
【分析】（1）由“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”可得商场每天销售量增加的数量；根据原来的利润减去降低的的钱数即可算出每件商品的盈利；
（2）根据单件商品的利润×每日的销售数量=每日的总利润即可建立出y关于x的函数解析式；
（3）将（2）所得函数解析式配成顶点式即可得出答案.
17．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为36 m2 ，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE= 13 (24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵-3<0，
∴当x=4m时，S有最大值，最大值为48 m2 ，
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得CD=2x，则BD=BC+CD=3x，AB=CF=DE=8-x，根据矩形的面积公式可得关于x的方程，求解即可；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，根据矩形的面积公式可得S与x的关系式，然后结合二次函数的性质进行解答.
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