模型31 正、余弦定理与正弦面积公式（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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R正弦定理：三角形ABC的三边长分别为a、b、c，其分别对应∠A、∠B、∠C；则有
R余弦定理：在△ABC中，余弦定理可以表示为：
a2＝b2+c2﹣2bccs∠A
b2＝a2+c2﹣2accs∠B
c2＝a2+b2﹣2abcs∠C．
R正弦面积公式：
S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB
例题精讲
【例1】．如图，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的两个顶点A、B分别在OX，OY上移动，其中AB＝10，则点O到顶点A的距离的最大值为 10 ，点O到AB的距离的最大值为 5+5 ．
解：作△OAB的外接圆，如图，
∵＝，
∴当∠ABO＝90°，△ABO是等腰直角三角形时，点O到顶点A的距离最大．
则OA＝AB＝10．
点O到AB的距离的最大值为5+5．
故答案是：10，5+5．
变式训练
【变式1-1】．以O为圆心，1为半径作圆．△ABC为⊙O的内接正三角形，P为弧AC的三等分点，则PA2+PB2+PC2的值为 6 ．
解：∵以O为圆心，1为半径作圆，△ABC为⊙O的内接正三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC＝，
∴∠APB＝∠ACB＝60°，∠BPC＝∠BAC＝60°，
∵P为弧AC的三等分点，
∴∠ABP＝∠ABC＝20°，
∴∠PBC＝40°，
∴∠PAC＝∠PBC＝40°，
∴∠PAB＝∠BAC+∠PAC＝100°，
∵，，
∴，，
∵＝2，
∴PA＝2sin20°，PB＝2sin100°，PC＝2sin40°，
∴PA2+PB2+PC2＝4[sin220+sin280+sin240]＝4[++]＝4[﹣cs（60°﹣20°）+cs20°﹣cs（60°+20°）]＝6．
故答案为：6．
【变式1-2】．如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
解：由题意知AB＝5（3+）海里，∠DBA＝90°﹣60°＝30°，∠DAB＝45°，
∴∠ADB＝105°，
在△DAB中，由正弦定理得，
∴DB＝，
＝，
＝，
＝，
＝10（海里），
又∠DBC＝∠DBA+∠ABC＝30°+（90°﹣60°）＝60°，BC＝20海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC•cs∠DBC
＝300+1200﹣2×10×20×＝900，
∴CD＝30（海里），则需要的时间t＝＝1（小时）．
答：救援船到达D点需要1小时．
【例2】．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为D，BD＝3，CD＝2，求AD的长．
解：设AD＝x（x＞0）．
∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，
∴AC＝，AB＝；
又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，
∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcs45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，
解得x＝6，
∴AD＝6．
变式训练
【变式2-1】．在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝26，AD＝30，AC，BD交于点O，∠AOB＝60°．求S四边形ABCD＝ 506 ．
解：设BO＝x，AO＝y，CO＝a，DO＝b，
由余弦定理，得．
由（③+④）﹣（①+②）得：ax+by+ab+xy＝2024．
所以S四边形ABCD＝xysin60°+axsin120°+absin60°+bysin60°＝xy+ax+ab+by＝（ax+by+ab+xy），
所以．
故答案是：506．
【变式2-2】．如图，圆内接四边形ABCD中，AC平分BD，AC＝，求AB2+BC2+CD2+AD2的值．
解：∵，．
∵AC平分BD，
∴BP＝DP，
∴S△ABC＝S△ADC，
∴．
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴sin∠ADC＝sin∠ABC，cs∠ADC+cs∠ABC＝0，
∴AB•BC＝AD•CD，
∴，
即AB2+BC2+AD2+CD2＝10．

1．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，则△ABC（ ）
A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
解：∵△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC＝5：11：13，
∴由正弦定理可设a＝5k，b＝11k，c＝13k，
由余弦定理得：csC＝＝＝﹣＜0，
∴∠C是钝角，
∴△ABC是钝角三角形，
故选：C．
2．如图，点D是△ABC的边BC上一点，如果AB＝AD＝2，AC＝4，且BD：DC＝2：3，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．锐角三角形或直角三角形
解：方法1：过A作AE垂直BC于E，
令BD＝2xCD＝3x 则BC＝5x，
∵AB＝AD＝2，
∴BE＝x，csB＝，
∴AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcsB 即16＝4+25x2﹣10x2，
解得，x＝，
∴△ABC用余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcsA 即20＝4+16﹣16csA，
∴csA＝0，∠A＝90°．
方法2：过点D作AB平行线交AC于E，
因此很容易得到DE：AB＝CE：CA＝CD：CB＝3：5，
那么DE＝1.2；
AD＝2，AE＝1.6，由勾股定理得△AED构成一个直角三角形，即△ABC是直角三角形
故选：B．

3．在△ABC中，∠B＝45°，AC＝2，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．2B．+1C．2D．
解：∵∠B＝45°、AC＝2，
∴由余弦定理csB＝得：＝，
∴ac＝a2+c2﹣4≥2ac﹣4，即（2﹣）ac≤4（当且仅当a＝c时取等号），
∴ac≤＝2（2+）＝4+2，
∴△ABC的面积S＝acsinB≤（4+2）×＝1+，
则△ABC的面积的最大值为1+，
故选：B．
4．△ABC中，，，BC＝2，设P为BC边上任一点，则（ ）
A．PA2＜PB•PC
B．PA2＝PB•PC
C．PA2＞PB•PC
D．PA2与PB•PC的大小关系并不确定
解：如图，设BP＝x，PC＝2﹣x，
在△ABC中，由余弦定理，有
＝，
在△ABP中，由余弦定理，
有PA2＝AB2+BP2﹣2AB•BPcsB＝，
∴PA2＝x2﹣5x+8，
而PB•PC＝x（2﹣x）＝2x﹣x2，
令y＝PA2﹣PB•PC＝x2﹣5x+8﹣2x+x2＝，
∴PA2＞PB•PC．
故选：C．
5．圆内接四条边长顺次为5、10、11、14，则这个四边形的面积为（ ）
A．78.5B．97.5C．90D．102
解：设AB＝5，BC＝10，CD＝11，AD＝14，
∵52+142＝102+112，
∴BD2＝AB2+AD2＝BC2+CD2，
∴∠A＝∠C＝90°，
∴S四边形＝AB•AD+BC•CD＝5×7+5×11＝90．故选：C．
6．如图，点1为单位正方形内一点，且AE＝BE＝AB，延长AE交CD于F，作FG⊥AB于点G，则EG的长度为（ ）
A．B．C．D．
解：如右图所示，
∵AE＝BE＝AB，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠EAB＝∠EBA＝∠AEB＝60°，
又∵FG⊥AB，
∴∠AGF＝90°，
∴∠AFG＝30°，
∴AF＝＝，
∴EF＝AF﹣AE＝﹣1，
在△EFG中，EG2＝EF2+FG2﹣2×EF×FG×cs30°＝，
∴EG＝．
（作EH⊥FG，求出EH，GH，利用勾股定理即可解决问题）
故选：D．
7．设△ABC的三边为a，b，c且（b+c）：（c+a）：（a+b）＝4：5：6，则sinA：sinB：sinC＝ 7：5：3 ．
解：由已知，设（k＞0），
得 b+c＝4k，
c+a＝5k，
a+b＝6k，
三式相加，得a+b+c＝k，
∴a＝k，b＝k，c＝k，
∴sinA：sinB：sinC＝a：b：c＝7：5：3．
8．已知在△ABC中，有一个角为60°，，周长为20，则三边长分别为 5，7，8 ．
解：在△ABC中，不妨设∠A＝60°．
由题意，可得，
，
，
解得a＝7，b＝5，c＝8或a＝7，b＝8，c＝5，
所以，△ABC三边长分别为5，7，8．
故答案为：5，7，8．
9．已知直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝6，CA＝3，CD为∠C的角平分线，则CD＝ ．
解：令CD＝x，由正弦定理可知：
S△ABC＝9＝×3×x•sin45°+×6×x•sin45°，
故x＝．
故答案为：2．
10．在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，那么AD的长是 6 ．
解：设AD＝x（x＞0）．
∵AD⊥BC于D，BD＝3，CD＝2，
∴AC＝，AB＝；
又∵在△ABC中，∠BAC＝45°，
∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•ABcs45°，即25＝x2+4+x2+9﹣2••，
解得x＝6．
故答案是：6．
11．在△ABC中，∠C＝3∠A，AB＝48，BC＝27，则AC＝ 35 ．
解：作CD交AB于D，使∠ACD＝∠A，
由已知得∠BCD＝2∠A，
又因∠BDC＝∠A+∠ACD＝2∠A，
所以∠BCD＝∠BDC，BD＝CB＝27，CD＝AD＝AB﹣BD＝21，
在△CBD和△ABC中，
由余弦定理，得：，
解得：AC＝35．
故答案为：35．
12．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D为AC中点，DE⊥AB于点E，BE＝BC，BD＝，则AC的长为 4 ．
解：设AE＝x（x＞0），BE＝BC＝y（y＞0），
∵∠A＝45°，DE⊥AB，
∴AE＝DE＝x，
在Rt△BDE中，BD2＝BE2+DE2，即x2+y2＝87…①，
在Rt△ADE中，AD＝＝x，
又∵D为AC中点，
∴AC＝2x，
在△ABC中，由余弦定理得：BC2＝AB2+AC2﹣2AB×AC×csA，
即y2＝（x+y）2+8x2﹣2（x+y）×2x×，
整理得：5x2﹣2xy＝0，
解得：y＝x…②，
将②代入①得：x＝2，
∴AC＝2x＝4．
故答案为：4．
13．在△ABC中，AB＝2，BC＝a，∠C＝60°，如果对于a的每一个确定的值，都存在两个不全等的△ABC，那么a的取值范围是 2＜a＜4 ．
解：法一：由正弦定理得：＝，即＝，
再sinA＝，
由题意得：当60°＜∠A＜120°时，满足条件的△ABC有两个，
所以＜＜1，
解得2＜a＜4；
法二：由题，对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，例如下图所示，在BC为定值时，存在两个不全等的△ABC与△A′BC，
∴两个不全等的△ABC中其中一个是锐角三角形，其中一个是钝角三角形（∠CAB为钝角），
①当△ABC为锐角三角形时，假设0°＜∠A＜60°，如下图所示，
在图中无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，
②当△ABC为锐角三角形时，假设∠A＝60°，如下图所示，△ABC为等边三角形，
在图中也无法以BC边为定值，再画出另一个不全等的△ABC，
∴综上，当△ABC为锐角三角形时，∠A必须满足：90°＞∠A＞60°，
∵当∠A＝60°时，△ABC为等边三角形，此时BC＝2，
∵当∠A＝90°时，△ABC为直角三角形，此时BC＝4，
∴对于a的每一个确定的值，都要存在两个不全等的△ABC，则BC需满足：2＜BC＜4，
∴2＜a＜4；
故答案为：2＜a＜4．
14．在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝，AC＝3，CD＝，求AB的长．
解：∵AD＝，AC＝3，CD＝，
∴AC2＝32＝9，AD2＝3，CD2＝6，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴∠ADC＝90°，
∵∠B＝45°，
∴AB＝AD＝•＝．
15．如图，在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，点D在AB上，点E在AC上，且DE平分△ABC的面积，求线段DE长度的最小值．
解：在Rt△ABC中，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则S△ABC＝＝30，sinA＝＝．
∵DE平分△ABC的面积，
∴S△ADE＝S△ABC＝15．
令AD＝a，AE＝b，有：absinA＝15．
故ab＝78．
∴．
故DE长度的最小值为．
16．如图，在△ABC中，AD⊥直线BC，垂足为D，且AD＝BC＝a（a为常数），AC＝b，AB＝c，求最大值．
解：由题意知bcsinA＝a•a，即bcsinA＝a2．
又∵a2＝b2+c2﹣2bccsA，
∴b2+c2＝a2+2bccsA，
∴＝＝＝＝sinA+2csA．
又∵sinA+2csA＝（sinA+csA）＝sin（A+B）．
∴最大值为．
17．在△ABC中，csA＝，csB＝，csC＝，我们称为余弦定理，请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题：
（1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝，求EF的长度；
（2）通过合理的构造，试求cs105°．
解：（1）由余弦定理，可得csE＝，
∵∠E＝60°，DE＝4，DF＝，
∴＝，
解得EF＝1或3；
（2）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，AD⊥BC，AD＝1．
∵在RT△ADC中，AD＝1．
∴AC＝2，CD＝，
∵在RT△ADB中，AD＝1，
∴AB＝，BD＝1，
∴在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝+1，
∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
利用余弦定理可得cs105°＝＝＝．
18．阅读：△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的边角有如下性质：
①正弦定理：＝＝
②余弦定理：a2＝b2+c2﹣2bccsA，b2＝a2+c2﹣2accsB，c2＝a2+b2﹣2abcsC．
③S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB
请你根据上述结论求解下列问题：在锐角△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且2asinB＝b．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝6，b+c＝8，求△ABC的面积．
解：（1）∵2asinB＝b，利用正弦定理＝得：asinB＝bsinA，
∴2bsinA＝b，
∵sinB≠0，
∴sinA＝，
又∵A为锐角，
∴A＝；
（2）由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bc•csA，即36＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝64﹣3bc，
∴bc＝，
又∵sinA＝，
∴S△ABC＝bcsinA＝．
19．△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB．
（1）若∠A＝x°，∠BDC是y°，则y与x之间的函数关系式 y＝x+45 ；
（2）若△BDC三边的长是三个连续整数，求sinA；
（3）在（2）的条件下求△ADC的面积．
解：（1）∵AB＝AC，∠A＝x°，
∴∠ACB＝∠B＝，
又∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠ACB＝，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝x°+＝，
∴y＝x+45．
故答案为y＝x+45；
（2）∵∠BCD＝∠ACB＝＝45°﹣x°，∠BDC＝x°+45°，∠DBC＝2∠BCD，
∴∠BCD＜∠BDC，∠BCD＜∠DBC，
∴△BCD中BD边最小．
作∠ABC的平分线交CD于E．
∵∠DBE＝∠ABC＝∠ACB＝∠DCB，∠BDE＝∠CDB，
∴△BDE∽△CDB，
∴BD：CD＝BE：BC＝DE：BD．（*）
设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣z．
下面分两种情况讨论BC与CD的关系：
①当BC＞CD时，设BD、CD、BC分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+1﹣z．将它们代入（*），得
＝＝，
由＝，得z＝，
由＝，得n+1﹣z＝，
两式相加，得n+1＝，
解得n＝1．
由三角形三边关系定理可知1，2，3不能组成三角形，所以BC＞CD不成立；
②当BC＜CD时，设BD、BC、CD分别为n，n+1，n+2，再设BE＝CE＝z，则DE＝n+2﹣z．将它们代入（*），得
＝＝，
由＝，得z＝，
由＝，得n+2﹣z＝，
两式相加，得n+2＝，
解得n1＝4，n2＝﹣1（不合题意，舍去），
∴BD＝4，BC＝5，CD＝6．
∵CD平分∠ACB，
∴AD：BD＝AC：BC，
∴AD：4＝AC：5，
设AD＝4x，则AC＝5x，
∵AB＝AC，
∴4x+4＝5x，
∴x＝4，
∴AB＝AC＝20．
在△ABC中，AB＝AC＝20，BC＝5，
由余弦定理，得csA＝＝，
∴sinA＝＝；
（3）△ADC的面积＝×16×20×＝15．
20．如图：D是以AB为直径的圆O上任意一点，且不与点A、B重合，点C是弧BD的中点，作CE∥AB，交AD或其延长线于E，连接BE交AC与G，AE＝CE，过C作CM⊥AD交AD延长线于点M，MC与⊙O相切，CE＝7，CD＝6，求EG的长．
解：连接OC，如图．
∵MC与⊙O相切，
∴OC⊥MC．
∵CM⊥AD，
∴OC∥AM．
∵CE∥AB，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∴OA＝CE＝7，
∴AB＝14．
∵点C是弧BD的中点，
∴BC＝CD＝6．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝4．
∵CE∥AB，∴△CGE∽△AGB，
∴＝＝＝，
∴AG＝AC＝．
在Rt△ACB中，
cs∠BAC＝＝＝．
∵点C是弧BD的中点，
∴∠BAC＝∠CAD，即∠BAC＝∠EAG，
∴cs∠EAG＝．
在△EAG中，
cs∠EAG＝．
∴＝．
∵AG＝，AE＝CE＝7，
∴＝．
整理得：GE2＝．
∵GE＞0，∴GE＝．
∴EG的长为．